求轨迹方程的常用方法PPT课件
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轨迹方程PPT教学课件
动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
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59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
求曲线的轨迹方程.ppt
lity
解答: 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____ • 设中点Q(x,y),P(x0,y0),则
x0=2x,y0 =2y+1, 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
lity
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程, • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤, • 二要记住解题的4条注意事项,对自己的
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是 以A 为焦点，以n 为准线的抛物线。
lity
练习2
• 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:
• ____y_=__4_x_2 ______. • 2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),
C(0,2),则三角形的AB边中线的方程是: _x_=_0__(0_≤_y_≤_2_)___ • 已知M(1,0),N(-1,0),若kpmkpn=-1,则动点p的 轨迹方程为:_x_2_+_y_2=_1_(_x_≠_±__1_)_
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
lity
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
解答: 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____ • 设中点Q(x,y),P(x0,y0),则
x0=2x,y0 =2y+1, 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
lity
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程, • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤, • 二要记住解题的4条注意事项,对自己的
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是 以A 为焦点，以n 为准线的抛物线。
lity
练习2
• 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:
• ____y_=__4_x_2 ______. • 2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),
C(0,2),则三角形的AB边中线的方程是: _x_=_0__(0_≤_y_≤_2_)___ • 已知M(1,0),N(-1,0),若kpmkpn=-1,则动点p的 轨迹方程为:_x_2_+_y_2=_1_(_x_≠_±__1_)_
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
lity
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
求轨迹方程的方法
方法1：定义法（也称待定系数法）
如果动点的轨迹满足已知曲线的定义，可 先设定方程，再确定其中的基本量。
方法2：直接法（也称直译法）
如果动点满足的几何条件本身就是一些 几何量的等量关系，或这些几何条件简 单明了易于表达，我们只需把这种关系 “翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨 迹方程。
方法3：相关点法（也称代入法）
方法5：交轨法（参数法的一种特例）
在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线 交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方 程组得出含参数的交点坐标，再消去参数 求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法 并用。
有些问题中，其动点满足的条件不便用 等式列出，但动点随着另一动点（称之 为相关点）运动的.如果相关点所满足的 条件是明显的，这时我们可以用动点坐 标表示相关点坐标，根据相关点所满足 的方程即可求得动点的轨迹方程。
方法4：参பைடு நூலகம்法（也称中间量法）
当动点坐标x,y之间的直接关系难以找到 时，往往先寻找x,y与某一参变量（即中 间量）的关系，再消去该参变量得到动点 轨迹的普通方程，参变量的选取要注意它 的取值范围对坐标取值范围的影响。
如果动点的轨迹满足已知曲线的定义，可 先设定方程，再确定其中的基本量。
方法2：直接法（也称直译法）
如果动点满足的几何条件本身就是一些 几何量的等量关系，或这些几何条件简 单明了易于表达，我们只需把这种关系 “翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨 迹方程。
方法3：相关点法（也称代入法）
方法5：交轨法（参数法的一种特例）
在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线 交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方 程组得出含参数的交点坐标，再消去参数 求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法 并用。
有些问题中，其动点满足的条件不便用 等式列出，但动点随着另一动点（称之 为相关点）运动的.如果相关点所满足的 条件是明显的，这时我们可以用动点坐 标表示相关点坐标，根据相关点所满足 的方程即可求得动点的轨迹方程。
方法4：参பைடு நூலகம்法（也称中间量法）
当动点坐标x,y之间的直接关系难以找到 时，往往先寻找x,y与某一参变量（即中 间量）的关系，再消去该参变量得到动点 轨迹的普通方程，参变量的选取要注意它 的取值范围对坐标取值范围的影响。
圆的一般方程轨迹问题解析ppt课件
例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).
证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
解法一：求圆心、求半径 •P
解法二：相关点法
P点满足PA⊥PB
A
• C
B
即 yy1 yy2 1
xx1 xx2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
【分析】设M(x,y), A(x0,y0)
因为M是AB的中点，
所以
x
y
x0 4 2
y0 3 2
解得
x0 y0
2x 2y
4 3
又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，
y
M(x,y) B(4,3)
A (x0,y0)
o
x
所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
得 (x3)2(y3)2 1为所求。
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。
(x-2)2+y2=4
(0≤x< 1)
y
A M B
o
Px
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
∴端点C的轨迹方程是
(x-4)2+(y-2)2=10(
x y
35且xy
5 -1
).
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 1 0 为半径的圆,
椭圆的轨迹方程PPT课件
2020年9月28日
汇报人：云博图文 日期：20XX年10月10日
21
2020年9月28日
y
M O
Ax
18
练习解答
解：设M (x, y)，A(5，0), B(5，0)
y
y
kMA x 5 , kMB x 5
B
yy
kMA
kMB
2
x5
x
5
2
y
M O
Ax
y2 2x2 50 2x2 y2 50
2020年9月28日
M的轨迹方程为：x2 y2 1 25 50
y0 2
x0
x, y0
2y
点P(x0 , y0 )在圆 x2 y2 4 上，所以
x02 y02 4 x2 4 y2 4
x2 y2 1 轨迹是焦距为2 3，e 3 的椭圆
4
2
2020年9月28日
y
P
M
x
O
D
4
椭圆的第一定义——点的轨迹
y
如图：在圆C：(x 1)2 y2 16内有一点A(1, 0). B为圆C上一点，AB的垂直平分线与CB的连
C1
求圆心P的轨迹
P C2
2020年9月28日
x
9
典型例题 y 解：动圆P与C1外切，与C2内切
PC1 RP RC1
PC2 RC2 RP
PC1 PC2 RP RC1 RC2 RP
PC1 PC2 RC1 RC2 16
C1
C1,C2为定点 P到两个定点的距离为定值
动点P的轨迹是椭圆 2a 16 2c C1C2 8
整理可得：9x2 25y2 225 标准方程为：x2 y2 1
解析几何第二章轨迹与方程PPT课件
①由 r t x te 1 y te 2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
轨迹方程的求法PPT课件11 通用
y1 y2 1 x1 x2
所以直线ＡＢ的方程为 y1(x2)
· 轨迹方程的求法
即：y x3
将 y x3代入椭圆方程得: 3 x2 1 2 x 1 8 2 b 2 0 ∵直线与椭圆相交 ∴△﹥0，得b2﹥3
由 A B 2x 1 x 224 2 4 (1 8 3 2 b 2 ) 22 3 0
3
3
y2 6x
已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设
条件确定其系数即可。
例4：已知圆C1的方程为(x2)2(y1)2
20 3
，椭圆C2的方程为ax
2 2
y2 b2
1
（a>b>c），C2离心率为 2 ，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好 2
为圆C1的直径，求直径AB的方程和椭圆C2的方程。
出动点的轨迹方程。
例2：已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，以y轴为右准线，
且过点A（1，2），求此双曲线右焦点F的轨迹方程。
分析：由已知条件得a、b、c之间的关系，再加上隐含条件c2＝a2＋b2得
到双曲线的离心率，最后由双曲线的定义得到动点坐标之间的关系式，化
简得到动点轨迹方程。
解：设F（x，y），∵2a＝b＋c，c2＝a2＋b2
解：设Q点坐标为（1+cosθ，sinθ），
∵P（x，y）的坐标为
x 1 cos 2
消去θ得
y sin
2
(x1)2y21x
2
4
六、交轨法 是两条已知曲线f1(x，y) = 0，f2(x，y) = 0联立，
解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。
例6：如图，F1，2是双曲线
x2 3
∵k≠0，∴动点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x2)
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
求轨迹方程——交轨法 课件-2023届高三数学一轮复习
解：设 P 点的坐标为(x1,y1)，则 Q 点坐标为(x1,－y1),
又有 A1(－m,0),A2(m,0),
则 A1P 的方程为：y= y1 (x m)
①
x1 m
A2Q 的方程为：y=－ y1 (x m)
②
x1 m
两式相乘得：y2=－
y12 x12 m2
(x2
m2)
③
又因点
P
在双曲线上，故 x12
即（x - 1)2 ( y 1)2 1
2
22
.
小结：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的 方程直接求出交点的轨迹方程，也可以解方程组先求 出交点坐标的参数方程，再化为普通方程.
例
2.已知双曲线
x2 m2
y2 n2
=1(m＞0,n＞0)的顶点为
A1、A2，与
y
轴平行
的直线 l 交双曲线于点 P、Q.求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程
m2
y12 n2
1,即y12
n2 m2
( x12
m2 ).
代入③并整理得
x2 m2
y2 n2
=1.此即为
M 的轨迹方程.
小结：求两曲线的交点轨迹时，可先引入参数来建立 这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程.
跟踪训练：已知 MN
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 中垂直于长轴的动弦， A
、B
是
椭圆长轴的两个端点，求直线 MA 和NB 的交点 P 的轨迹方程.
得 x2 b2 ，
x2 a2 a2
即交点 P 的轨迹方程为
x2 y2 1 a2 b2
解 2： (利用角作参数)
点的轨迹方程的求法
2x 4 2y 3
①
2
因为点A (x0 , y0 ) 在圆 (x 1)2 y2 4 上运动
(x0 1)2 y02 4
②
将①代入②中,得 (2x 4 1)2 (2 y 3)2 4
化简，得 (x 3)2 ( y 3)2 1
2
2
所以点M的轨迹是以 (3 , 3) 为圆心，半径长是1的圆
一、求动点的轨迹方程的常用方法
1、直接法
第2页/共13页
1. 已知点M与两个定点O(0，0) 、A(3，0)
距离的比为
1 2
求点M的轨迹方程,说明它是什么图形
解:设点M的坐标是 (x, y)
由题意得 MO 1 MA 2
即
x2 y2 1
(x 3)2 y2 2
两边平方，得
x2 y2 1
化简，得
第6页/共13页
4、已知线段AB的端点B的坐标 是(4,3),端点A在圆 (x 1)2 y2 4 上运动,求线段AB的中点M的轨 迹方程，并说明轨迹的形状
图像
第7页/共13页
解:设点M的坐标是(x, y)
点A的坐标是(x0 , y0 )
因
y
y0
3
x0 y0
2第82页/共13页
【小结】 求一个随着已知曲线上的动点而动的点的 轨迹方程用的方法叫 相关点法
第9页/共13页
求动点的轨迹方程的常用方法
1、直接法: 2、相关点法 (也称坐标转移法): 所求动点M
的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的 运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知 曲线,所得的方程即为所求.
(x 3)2 y2 4
x2 y2 2x 3 0 即(x 1)2 y2 4
椭圆的轨迹方程教学课件
研究量子力学
在量子力学中，椭圆轨迹 方程被用来描述粒子的波 函数，进而研究粒子的运 动规律。
分析力学系统
椭圆轨迹方程也被用来分 析力学系统的运动，如开 普勒三定律等。
在工程学中的应用
机械设计
在机械设计中，椭圆轨迹方程被 用来描述机器部件的运动轨迹，
如凸轮、曲柄等。
航空航天
在航空航天领域，椭圆轨迹方程被 用来描述飞行器的运动轨迹，如卫 星、火箭等。
THANKS
感谢观看
对未来学习的建议
注重基础
01
在学习更复杂的曲线和方程时，要注重基础知识的学习和掌握，
如二次曲线、极坐标方程等。
加强几何直观
02
在学习曲线和方程时，要加强几何直观的理解和应用，通过几
何图形来帮助理解方程的意义和性质。
提高解题能力
03
在学习曲线和方程时，要注重提高解题能力，通过不同类型的
题目来训练思维能力和解题技巧。
椭圆轨迹方程在天文学中 有着广泛的应用，用来描 述行星、卫星等天体的运 动轨迹。
预测天文现象
通过椭圆轨迹方程，可以 预测一些天文现象的发生， 如日食、月食等。
研究星系结构
椭圆轨迹方程也被用来研 究星系的结构和演化。
在物理学中的应用
描述粒子运动
在物理学中，椭圆轨迹方 程被用来描述粒子的运动 轨迹，如电子、质子等。
等。
学习方法总结
1 2 3
理解定义和方程 学习椭圆轨迹方程的关键是理解其定义和方程， 包括焦点位置、大小和形状等方面。
掌握解题方法 学习椭圆轨迹方程的另一个关键是掌握解题方法， 如如何根据已知条件求解未知量，如何分析曲线 的性质等。
多做练习题 学习椭圆轨迹方程需要大量的练习，通过不同类 型的练习题来加深对知识点的理解和掌握。
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圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求．
.
2
(4)相关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而 变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程．
(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也 没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数)表示， 得参数方程，再消去参数得普通方程．
(2)如图 D20，||MP|－|FP||≤|MF|＝2，
等号当且仅当 P 为直线 MF 与双曲线 的位于线段 MF 的延长线上的那个交点处取得．
图D20
直线 MF 的方程为：2x＋y－2 5＝0.
.
9
将直线方程代入双曲线方程中并整理得：
(3 5x－14)( 5x－6)＝0.
解得
x1＝3 14 5，x2＝
.
11
【互动探究】 2．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆
M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 解：如图D21，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根
据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
.
3
知识技能形成诊断
1．已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项，则圆锥曲线 x2＋ym2＝1 的离心率为( D )
A.
23或
5 2
3 B. 2
C. 5
D. 23或 5
2．已知点 F14，0，直线 l：x＝－14，点 B 是 l 上的动点．若 过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( D )
求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系 的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通 过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系．
【互动探究】 1．已知点 A(－2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足uPuAr ·uPuBur ＝x2，
则点 P 的轨迹是( D )
5．(2010年上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的 距离相等，则P的轨迹方程为__y_2_＝__8_x_.
.
5
方法技能形成与突破
考点1 利用直接法求轨迹方程 例1：如图 12－4－1 所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1， l2.若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．
得xy00＝ ＝22xy－ . 8，
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16，化简得(x－4)2＋y2＝4
图 D21
.
12
因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大，到 C1 的距离小)． 这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8. 设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1)．
||MP|－|FP||的最大值及此时点 P 的坐标．
.
8
解析：(1)设 F′(－ 5，0)，F( 5，0)，并设圆 C 的半径为 r，
则||CF′|－|CF||＝|(2＋r)－(r－2)|＝4.
又 4<2 5，∴C 的圆心轨迹是以 F′，F 为焦点的双曲线，
且 a＝2，c＝ 5，从而 b＝1.
∴C 的圆心轨迹 L 的方程为：x42－y2＝1.
A．圆
B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
.
7
考点2 利用定义法求轨迹方程
例 2：(2011 年广东)设圆 C 与两圆(x＋ 5)2＋y2＝4，(x－ 5)2 ＋y2＝4 中的一个内切，另一个外切．
(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程；
(2)已知点
M3
5
5，4
5
5，F(
5，0)，且 P 为 L 上动点，求
求轨迹方程的常用方法 （复习课）
.
1
知识系统
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系， 直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据 条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．
(3)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭
6＝ 53
18
5>3
14
5.
∴P
点的横坐标应取
6 ＝6 5
5
5，代入得其纵坐标为－2
5
5 .
综上所述，||MP|－|FP||的最大值为 2，此时点 P 的坐标为
6
Байду номын сангаас
5
5，－2
5
5 .
.
10
求曲线的方程，然后利用圆锥曲线的定义或圆锥 曲线中有关几何元素的范围求最值(范围)是高考的一种基本模式． 广东试题(2011 年、2009 年即是如此)．这样出题，一改直线与圆 锥曲线联立这一传统，多少有些出乎意料，在备考时应予以关注．
解析：设点 M 的坐标为(x，y)，
∵M 是线段 AB 的中点，
∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)．
uur
uuur
∴ PA＝(2x－2，－4)，PB＝(－2,2y－4)． 图 12－4－1
.
6
uur uuur
由已知 PA·PB＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0. 即 x＋2y－5＝0. ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0.
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
.
4
3．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝ 3，则顶点A的轨迹方程为_____(_x_－__1_0_)_2＋__y_2_＝__3_6_(y_≠__0_)．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点 在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是__y_2_＝__8_x.
.
13
考点3 利用相关点法求轨迹方程 例3：已知点 A 在圆 x2＋y2＝16 上移动，点 P 为连接 M(8,0) 和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程．
解析：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)． 因为点 A 在圆 x2＋y2＝16 上，有 x20＋y20＝16.
又因为 P 为 MA 的中点，有xy＝ ＝80＋ ＋22 xy00， .
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2
(4)相关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而 变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程．
(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也 没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数)表示， 得参数方程，再消去参数得普通方程．
(2)如图 D20，||MP|－|FP||≤|MF|＝2，
等号当且仅当 P 为直线 MF 与双曲线 的位于线段 MF 的延长线上的那个交点处取得．
图D20
直线 MF 的方程为：2x＋y－2 5＝0.
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将直线方程代入双曲线方程中并整理得：
(3 5x－14)( 5x－6)＝0.
解得
x1＝3 14 5，x2＝
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【互动探究】 2．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆
M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 解：如图D21，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根
据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
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知识技能形成诊断
1．已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项，则圆锥曲线 x2＋ym2＝1 的离心率为( D )
A.
23或
5 2
3 B. 2
C. 5
D. 23或 5
2．已知点 F14，0，直线 l：x＝－14，点 B 是 l 上的动点．若 过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( D )
求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系 的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通 过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系．
【互动探究】 1．已知点 A(－2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足uPuAr ·uPuBur ＝x2，
则点 P 的轨迹是( D )
5．(2010年上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的 距离相等，则P的轨迹方程为__y_2_＝__8_x_.
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方法技能形成与突破
考点1 利用直接法求轨迹方程 例1：如图 12－4－1 所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1， l2.若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．
得xy00＝ ＝22xy－ . 8，
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16，化简得(x－4)2＋y2＝4
图 D21
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因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大，到 C1 的距离小)． 这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8. 设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1)．
||MP|－|FP||的最大值及此时点 P 的坐标．
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解析：(1)设 F′(－ 5，0)，F( 5，0)，并设圆 C 的半径为 r，
则||CF′|－|CF||＝|(2＋r)－(r－2)|＝4.
又 4<2 5，∴C 的圆心轨迹是以 F′，F 为焦点的双曲线，
且 a＝2，c＝ 5，从而 b＝1.
∴C 的圆心轨迹 L 的方程为：x42－y2＝1.
A．圆
B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
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考点2 利用定义法求轨迹方程
例 2：(2011 年广东)设圆 C 与两圆(x＋ 5)2＋y2＝4，(x－ 5)2 ＋y2＝4 中的一个内切，另一个外切．
(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程；
(2)已知点
M3
5
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5，0)，且 P 为 L 上动点，求
求轨迹方程的常用方法 （复习课）
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知识系统
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系， 直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据 条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．
(3)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭
6＝ 53
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5>3
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5.
∴P
点的横坐标应取
6 ＝6 5
5
5，代入得其纵坐标为－2
5
5 .
综上所述，||MP|－|FP||的最大值为 2，此时点 P 的坐标为
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5，－2
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求曲线的方程，然后利用圆锥曲线的定义或圆锥 曲线中有关几何元素的范围求最值(范围)是高考的一种基本模式． 广东试题(2011 年、2009 年即是如此)．这样出题，一改直线与圆 锥曲线联立这一传统，多少有些出乎意料，在备考时应予以关注．
解析：设点 M 的坐标为(x，y)，
∵M 是线段 AB 的中点，
∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)．
uur
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∴ PA＝(2x－2，－4)，PB＝(－2,2y－4)． 图 12－4－1
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由已知 PA·PB＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0. 即 x＋2y－5＝0. ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0.
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
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3．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝ 3，则顶点A的轨迹方程为_____(_x_－__1_0_)_2＋__y_2_＝__3_6_(y_≠__0_)．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点 在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是__y_2_＝__8_x.
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考点3 利用相关点法求轨迹方程 例3：已知点 A 在圆 x2＋y2＝16 上移动，点 P 为连接 M(8,0) 和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程．
解析：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)． 因为点 A 在圆 x2＋y2＝16 上，有 x20＋y20＝16.
又因为 P 为 MA 的中点，有xy＝ ＝80＋ ＋22 xy00， .