求轨迹方程的常用方法PPT课件

求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系 的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通 过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系．
【互动探究】 1．已知点 A(－2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足uPuAr ·uPuBur ＝x2，
则点 P 的轨迹是( D )
Байду номын сангаас
A．圆
B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
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考点2 利用定义法求轨迹方程
例 2：(2011 年广东)设圆 C 与两圆(x＋ 5)2＋y2＝4，(x－ 5)2 ＋y2＝4 中的一个内切，另一个外切．
(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程；
(2)已知点
M3
5
5，4
5
5，F(
5，0)，且 P 为 L 上动点，求
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【互动探究】 2．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆
M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 解：如图D21，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根
据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
(2)如图 D20，||MP|－|FP||≤|MF|＝2，
等号当且仅当 P 为直线 MF 与双曲线 的位于线段 MF 的延长线上的那个交点处取得．
图D20
直线 MF 的方程为：2x＋y－2 5＝0.
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将直线方程代入双曲线方程中并整理得：
(3 5x－14)( 5x－6)＝0.
解得
x1＝3 14 5，x2＝
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
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4
3．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝ 3，则顶点A的轨迹方程为_____(_x_－__1_0_)_2＋__y_2_＝__3_6_(y_≠__0_)．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点 在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是__y_2_＝__8_x.
||MP|－|FP||的最大值及此时点 P 的坐标．
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解析：(1)设 F′(－ 5，0)，F( 5，0)，并设圆 C 的半径为 r，
则||CF′|－|CF||＝|(2＋r)－(r－2)|＝4.
又 4<2 5，∴C 的圆心轨迹是以 F′，F 为焦点的双曲线，
且 a＝2，c＝ 5，从而 b＝1.
∴C 的圆心轨迹 L 的方程为：x42－y2＝1.
得xy00＝ ＝22xy－ . 8，
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16，化简得(x－4)2＋y2＝4
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知识技能形成诊断
1．已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项，则圆锥曲线 x2＋ym2＝1 的离心率为( D )
A.
23或
5 2
3 B. 2
C. 5
D. 23或 5
2．已知点 F14，0，直线 l：x＝－14，点 B 是 l 上的动点．若 过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( D )
6＝ 53
18
5>3
14
5.
∴P
点的横坐标应取
6 ＝6 5
5
5，代入得其纵坐标为－2
5
5 .
综上所述，||MP|－|FP||的最大值为 2，此时点 P 的坐标为
6
5
5，－2
5
5 .
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求曲线的方程，然后利用圆锥曲线的定义或圆锥 曲线中有关几何元素的范围求最值(范围)是高考的一种基本模式． 广东试题(2011 年、2009 年即是如此)．这样出题，一改直线与圆 锥曲线联立这一传统，多少有些出乎意料，在备考时应予以关注．
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考点3 利用相关点法求轨迹方程 例3：已知点 A 在圆 x2＋y2＝16 上移动，点 P 为连接 M(8,0) 和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程．
解析：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)． 因为点 A 在圆 x2＋y2＝16 上，有 x20＋y20＝16.
又因为 P 为 MA 的中点，有xy＝ ＝80＋ ＋22 xy00， .
解析：设点 M 的坐标为(x，y)，
∵M 是线段 AB 的中点，
∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)．
uur
uuur
∴ PA＝(2x－2，－4)，PB＝(－2,2y－4)． 图 12－4－1
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6
uur uuur
由已知 PA·PB＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0. 即 x＋2y－5＝0. ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0.
求轨迹方程的常用方法 （复习课）
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知识系统
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系， 直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据 条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．
(3)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭
5．(2010年上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的 距离相等，则P的轨迹方程为__y_2_＝__8_x_.
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方法技能形成与突破
考点1 利用直接法求轨迹方程 例1：如图 12－4－1 所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1， l2.若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．
圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求．
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(4)相关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而 变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程．
(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也 没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数)表示， 得参数方程，再消去参数得普通方程．
图 D21
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因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大，到 C1 的距离小)． 这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8. 设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1)．