一元二次方程概念专项练习
一元二次方程专项练习(含答案)
一元二次方程专项练习（含答案）一、选择题（本大题共58小题，共174.0分）1.某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，关于代数式300(1+x)2下列说法正确的是()A. 2007年已有的绿化面积B. 2008年增加的绿化面积C. 2008年已有的绿化面积D. 2007、2008年共增加的绿化面积2.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m−2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为()A. 6B. 5C. 4D. 33.方程2x(x+1)=3(x+1)的根为()A. x=32B. x=−1C. x1=−1,x2=23D. x1=−1,x2=324.已知关于x的方程：(1)ax2+bx+c=0，(2)x2−4x=0，(3)3x2=0，(4)1+(x−1)(x+1)=0中，一元二次方程的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 45.若关于x的方程x2+6x−a=0无实数根，则a的值可以是下列选项中的()A. −10B. −9C. 9D. 106.若关于x的一元二次方程x2+mx+m2−3m+3=0的两根互为倒数，则m的值等于()A. 1或2B. 1C. 2D. 07.如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设AB=x米，则可列方程()A. x(81−4x)=440B. x(78−2x)=440C. x(84−2x)=440D. x(84−4x)=4408.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于()A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm9.若矩形的长和宽是方程x2−7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为()A. 5B. 7C. 8D. 1010.如图，在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个面积相同的小矩形田地作为良种试验田，设道路的宽为x米，要使每小块试验田的面积为135m2，则可列方程为()A. (32−x)(20−x)=135B. 4(32−x)(20−x)=135C. 14(32−x)(20−x)=135 D. (32−x)(20−x)−x2=13511.把方程x(x+2)=5x化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是()．A. 1，3，5B. 1，−3，0C. −1，0，5D. 1，3，012.若α，β是一元二次方程3x2+2x−9=0的两根，则βα+αβ的值是()A. 427B. −427C. −5827D. 582713.若一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第象限.()A. 四B. 三C. 二D. 一14.关于x的方程(a−1)x2+√a+1x+2=0是一元二次方程，则a的取值范围是()A. a≠1B. a≥−1且a≠1C. a>−1且a≠1D. a≠±115.甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为()A. 3：5B. 4：3C. 4：5D. 3：416. 有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．如果不及时控制，第三轮被传染的人数为( )A. 234人B. 264人C. 284人D. 294人17. 若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2−12x +k =0的两个根，则k 的值是( )A. 27B. 36C. 27或36D. 1818. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x 2−3x =4(x −3)的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是( )A. 3B. 4C. 6D. 2.519. 甲、乙两人共同解关于x ，y 的方程组{ax +by =5 ①3x +cy =2 ②，甲正确地解得{x =2y =−1，乙看错了方程②中的系数c ，解得{x =3y =1，则(a +b +c)2的值为( )A. 16B. 25C. 36D. 4920. 下列关于x 的方程是一元二次方程的是( )A. 3x 2−5y +4=0B. 3x 2−2x −1=0 C. 2x 3+3x 2−7=0D. 5x(x −3)=921. 下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A. x +5y =2B. x 2+5=2xC. 3x 2+x −5=3x 2D. 3x +3x =722. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为( )A. 500(1+2x)=7500B. 5000×2(1+x)=7500C. 5000(1+x)2=7500D. 5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=750023. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台其他电脑，由题意列方程应为( )A. 1+2x =100B. x(1+x)=100C. (1+x)2=100D. 1+x +x 2=10024. 已知关于x 的一元二次方程x 2+bx −1=0，则下列关于该方程根的判断，正确的是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数与实数b的取值有关25.已知关于x的一元二次方程x2−2ax+4=0的一个根是2，则a的值为()A. 1B. −1C. 2D. −226.一元二次方程kx2−6x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A. k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠027.若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2−10x+21=0的一根，则这个三角形的周长为()A. 7B. 3或7C. 15D. 11或1528.下列一元二次方程中，没有实数根的是()A. x2−2x=0B. x2+4x−4=0C. (x−2)2−3=0D. 3x2+2=029.某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，则下列方程正确的是()A. 1280(1+x)=1600B. 1280(1+2x)=1600C. 1280(1+x)2=2880D. 1280(1+x)+1280(1+x)2=288030.已知m是方程x2−x−1=0的一个根，则代数式m2−m的值等于(()A. 2B. 1C. 0D. −131.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()+x=3 B. x2+2x−3=0A. 2xC. 4x+3=xD. x2+x+1=x2−2x32.2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为x，可列方程为()A. 50(1+x)2=182B. 50(1+2x)=182C. 182(1−x)2=50D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=18233.如图1，有一张长80cm，宽50cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的无盖纸盒，若纸盘的底面积是2800cm2，设纸盒的高为x(cm)，那么x满足的方程是()A. (80−x)(50−2x)=2800B. (80−x)(50−x)=2800C. (80−2x)(50−x)=2800D. (80−2x)(50−2x)=280034.近几年来安徽省各地区建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某地区在2017年给每个经济困难学生发放的资助金额为800元，2019年发放的资助金额为1250元，则该地区每年发放的资助金额的平均增长率为()A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%35.下列一元二次方程没有实数根的是()A. x2+2x+1=0B. x2+x−2=0C. x2+1=0D. x2−2x−1=036.将方程x2−6x+1=0配方后，原方程变形为()A. (x−3)2=8B. (x−3)2=−8C. (x−3)2=9D. (x−3)2=−937.关于x的一元二次方程x2−2√3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A. m<3B. m>3C. m≤3D. m≥338.直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个39.一个菱形的边长是方程x2−8x+15=0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为()A. 48B. 24C. 24或40D. 48或8040.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为()A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=541.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2−10x+24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长为()A. 16B. 24C. 16或24D. 4842.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定43.当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0的根的情况为()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定44.下列方程中，关于x的一元二次方程是()A. x+2=3B. x+y=1=1C. x2−2x−3=0D. x2+1x45.方程x2+x−3=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于()A. 1B. −1C. 3D. −346.定义新运算：a∗b=a(m−b).若方程x2−mx+4=0有两个相等正实数根，且b∗b=a∗a(其中a≠b)，则a+b的值为()A. −4B. 4C. −2D. 2x2−(k+5)x+k2+2k+25=0的根的情况为47.对于任意实数k，关于x的方程12()A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定48.下列哪个方程是一元二次方程()=3 D. x2=2x−3A. 2x+y=1B. x2+1=2xyC. x2+1x49.下列一元二次方程中，没有实数根的是()A. x2−2x−3=0B. x2+2x+1=0C. x2−x+1=0D. x2=150.下列是一元二次方程的是()A. x2+3=0B. xy+3x−4=0+2x−6=0C. 2x−3+y=0D. 1x51.在下列方程中，以3，−4为根的一元二次方程是()A. x2−x−12=0B. x2+x−12=0C. x2−x+12=0D. x2+x+12=052.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于()A. 4B. 5C. 6D. 753.以x=b±√b2−4c2为根的一元二次方程可能是()A. x2+bx+c=0B. x2+bx−c=0C. x2−bx+c=0D. x2−bx−c=054.方程x2−4x=0的解是()A. x=4B. x1=1，x2=4C. x1=0，x2=4D. x=055.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是()A. x(x+1)=15B. 12x(x+1)=15 C. x(x−1)=15 D. 12x(x−1)=1556.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≤2B. m≥2C. m≤2且m≠1D. m≥−2且m≠157.给出方程甲：x2+p1x+q1=0，方程乙：x2+p2x+q2=0，其中p1，p2，q1，q2均为实数，且满足p1p2=2(q1+q2)，则()A. 甲、乙都必有实根B. 甲、乙都没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否有实根无法确定58.如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……前n行的点数和不能是以下哪个结果()A. 741；B. 600；C. 465；D. 300。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
专题01 一元二次方程(经典基础题7种题型+优选提升题)(原卷版)
专题01 一元二次方程（经典基础题7种题型+优选提升题）一元二次方程的定义1．（2022秋广东珠海九年级校考期中）下面关于x 的方程中：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②3（x ﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x 2＋1x ＋5＝0；④x 2＋5x 3﹣6＝0；⑤3x 2＝3（x ﹣2）2；⑥12x ﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．（2022秋广西柳州九年级统考期中）方程254(1)20m m m x x +---=是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ）A ．1B ．6-C ．6D ．1或6-一元二次方程的解3．（2023春•玄武区期中）若m 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m 2﹣m 的值为 ．4．（2023春•射阳县校级期中）已知a 是方程x 2﹣2020x +4＝0的一个解，则的值为（ ）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020一元二次方程的解法5．（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（）A．±5 B．5C．﹣5 D．以上答案都不对6．（2023春•东台市期中）方程x2+2x＝0的根是．7．（2023春•江阴市期中）解方程：x2﹣4x+1＝0；8．（2023春•无锡期中）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；9．（2023春•锡山区期中）解方程：x2﹣6x+5＝0；10．（2023春•东台市期中）解方程：3x（x﹣4）＝x﹣4．根的判别式11．（2023春•东台市校级期中）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＝﹣1 B．k＞﹣1 C．k＝1 D．k＞112．（2023春•射阳县校级期中）若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．（2023春•灌云县期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．（2023春•海州区校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根，则k的取值范围．15．（2023春•清江浦区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．16．（2023春•东台市期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是．根与系数的关系17．（2023春•鼓楼区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则的值为．18．（2023春•东台市期中）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是．一元二次方程的实际应用19．（2023春•东台市期中）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为．20．（2023春•东台市期中）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：．21．（2023春•东台市校级期中）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为．配方法的应用22．（2023春•江都区期中）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N23．（2023春•仪征市期中）若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（）A．5 B．4 C．3 D．224．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5 25．（2023春•高邮市期中）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为．26．（2023春•江都区期中）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式x2+2x+3的最小值．解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2．（1）在横线上添加一个常数项，使代数式x2+10x+25成为完全平方式；（2）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值；（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长．27．（2023春•赣榆区期中）（1）已知3m＝6，3n＝2，求32m+n﹣1的值；（2）已知a2+b2+2a﹣6b+10＝0，求（a﹣b）﹣3的值．28．（2023春•江阴市期中）【阅读材料】初一上学期我们已学过：由（x+3）2+（y﹣1）2＝0知，x+3＝0，y﹣1＝0，∴x＝﹣3，y＝1．这不禁让人赞叹：精美的包装（数学模型），总可以给人满意的答案．初一下学期：利用完全平方式对上述式子进行变形：由（x+3）2+（y﹣1）2＝0知，（x2+6x+9）+（y2﹣2y+1）＝0，即x2+y2+6x﹣2y+10＝0．反之，若x2+y2+6x﹣2y+10＝0，则有（x2+6x+9）+（y2﹣2y+1）＝0，即（x+3）2+（y﹣1）2＝0，∴x+3＝0，y﹣1＝0，∴x＝﹣3，y＝1．精心挑选，合理搭配，让结果精彩纷呈．【知识应用】（1）若x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求x y的值；（2）若△ABC的三边为a、b、c，且满足4a2+4b2＝4ab+18b﹣27，求最长边c的取值范围．29．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c （a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．30．（2023春•吴江区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣2n+1＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣2n+1＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣2n+1）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣1）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣1）2＝0，∴n＝1，m＝1．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求x、y的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，且△ABC是等腰三角形，求c 的值．一．选择题（共2小题）1．（2022秋•建邺区期中）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx ＝a一定有实数根（）A．2022 B．C．﹣2022 D．﹣2．（2022秋•宿城区期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，参加比赛的球队有x支，则x的值为（）A．8 B．9 C．18 D．10二．填空题（共4小题）3．（2023春•溧阳市期中）已知：x2﹣3x+5＝（x﹣2）2+a（x﹣2）+b，则a+b＝．4．（2022秋•泗洪县期中）如果x满足一元二次方程（x﹣4）（x+5）＝0，则代数式x﹣4的值是．5．（2022秋•泗洪县期中）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是．6．（2022秋•句容市期中）为建设美丽句容，改造老旧小区，我市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求我市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．三．解答题（共14小题）7．（2022秋•太仓市期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．（1）若花园的面积为300米2，求x的值；（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．8．（2022秋•梁溪区校级期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．9．（2022秋•高邮市期中）某剧院可容纳1200人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张．要使门票收入达到47560元，票价应降低多少元？10．（2022秋•邗江区期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）后来举国上下众志成城，全都隔离在家．小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨．香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤．在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？11．（2021秋•邗江区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？（2）在（1）中，△PQB面积能否等于4cm2？请说明理由．12．（2021秋•洪泽区校级期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．（1）若现在按每千克60元销售，则月销售量千克，月销售利润元．（2）针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？13．（2021秋•邗江区校级期中）2021年8月，扬州疫情暴发，口罩供不应求，某药店在疫情前恰好新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个；如果每个口罩的售价每上涨0.5元，则销售量就减少10个．（1）问应将每个口罩涨价多少元，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？（2）店主想要获得每天620元的利润，小红同学认为不可能，你同意小红的说法吗？请说明理由．14．（2022春•泗洪县期中）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：例1．分解因式：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6＝2（x﹣1）2﹣8又∵2（x﹣1）2≥0∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；（2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．15．（2022秋•苏州期中）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？16．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为；（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．17．（2022秋•盱眙县期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0的一个根是0，（1）求m的值．（2）求方程的另一根．18．（2023春•邗江区期中）仔细阅读下列解题过程：若a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0，求a、b的值．解：∵a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0∴a2+2ab+b2+b2﹣6b+9＝0∴（a+b）2+（b﹣3）2＝0∴a+b＝0，b﹣3＝0∴a＝﹣3，b＝3根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0，求a、b的值；（3）若m＝n+4，mn+t2﹣8t+20＝0，求n2m﹣t的值．19．（2020秋•锡山区期中）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟？20．（2021春•工业园区校级期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值；（2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC 的周长；（3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值．。
人教九上：专题一--一元二次方程相关概念及必考题型过关
专题一一元二次方程相关概念及必考题型过关一、单选题1．方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是（）A．4，－1B．4，1C．－4，－1D．－4，12．关于方程x2－6x－15＝0的根，下列说法正确的是（）A．两实数根的和为－6B．两实数根的积为－153456789．一元二次方程−3x+5x2=6化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后，a，b，c的值可以是（ ）A．a=−5，b=−3，c=6B．a=−3，b=5，c=−6C．a=−3，b=5，c=6D．a=5，b=−3，c=−610．一元二次方程7x2−4x+6=0的根的情况为（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根11．设a，b是方程x2+x−2023=0的两个实数根，则b−ab+a的值为（ ）A．1B．−1C．2022D．202312．在一元二次方程x2−5x=2中，二次项系数为1时，常数项是（）A．−5B．5C．2D．−213．一元二次方程x2−3x−4=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根14（15x．161718192021．如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意，可列方程为（）A．12×9−4×9x=70B．12×9−4x2=70C．(12−x)(9−x)=70D．(12−2x)(9−2x)=7022．一元二次方程4x2−6x=−1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4，6，1B．4，6，−1C．4，−6，1D．4，−6，−123．用配方法解方程x2−6x+7=0，配方后的方程是（）A．(x+3)2=7B．(x−3)2=7C．(x−3)2=2D．(x+3)2=224．已知a，b是一元二次方程x2+x−8=0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（）A．7B．8C．9D．1025．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）A．289(1−2x)=256B．256(1+x)2=289C．289(1−x)2=256D．289(1+2x)=25626．将一元二次方程5x2−1=3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A．5，3B．5，−1C．5，−3D．5，027．解一元二次方程x2−4x+3=0，配方后正确的是（）A．(x−2)2=1B．(x+2)2=1C．(x−2)2=7D．(x−4)2=1328．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（）A．6B．7C．8D．929．一元二次方程2x2−x=3化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是（）A．2，3B．2，−3C．−2，−3D．2，−130．用配方法解一元二次方程x2+8x+9=0，此方程可化为（）A．(x+4)2=−9B．(x+4)2=−7C．(x+4)2=25D．(x+4)2=731．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500(1+x)2=3200B．3200(1−x)2=2500C．2500(1+2x)=320032．将一元二次方程x2+1=−6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（）A．1，6B．1，－6C．1，1D．－1，133．判断方程x2−9x+10=0的根的情况是（ ）A．有一个实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．没有实根343536373839404142．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是．43．已知a，b是方程x2−x−2023=0的两个实数根，则a2+b2=．44．参加某商品交易会的每两家公司之间都签订两份合同，所有公司共签订了20份合同，则共有家公司参加了该商品交易会．45．如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，则所列方程是．46．关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)−p2=0判断它的根的情况是．47．如果x=2是方程x2−c=0的一个根，这个方程的另一个根为．48．在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有人．49．若一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．50．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了人．51．已知m，n是方程x2−3x−8=0的两根，则m2−4m−n−3=.52．已知一元二次方程x2−2x−8=0的两根为x1，x2，则x1+x2=．53．如图，在一幅长为60cm，宽为40cm的亚运会吉祥物图画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是3500cm2，则纸边的宽为cm．54．已知x2−8x+18=(x−m)2+2，则m=．55．若x=2是关于x的一元二次方程ax2−bx+2=0的解，则代数式2024+2a−b的值是．56．某口罩厂今年一月份口罩产值达90万元，第一季度总产值达330万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为．∴方程有两个不相等的实数根，且x1+x2=−−61=6，x1·x2=−151=−15，故选：B.【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，掌握根的判别式，根与系数的关系是解题的关键.3．B∴此方程有两个相等的实数根.故选B．4．A【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：1x（x﹣1）＝36，2故选A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 5．B【分析】先化成一般形式，即可得出答案．【详解】解：方程3x2=5x+7转化为一般形式为3x2-5x-7=0，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-5，-7，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．6．B【分析】本题实际上是把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】解：移项得：x2+2x=5配方得：x2+2x+1=5+1，即（x+1）2=6．故选B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程的方法步骤是解题关键．7．A【分析】本题考查的是根的判别式的应用，偶次方非负性的应用，熟练的利用“根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解题关键．【详解】解：∵x2+2=0，∴x2=−2，则方程无解；故A符合题意；∵x2+2x=0，∴Δ=22−4×1×0=4>0，方程有两个不相等是实数根，故B不符合题意；∴Δ=(−2)2−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意；∵x2−2x−1=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(−1)=4+4=8>0，方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意；故选A8．D【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =−a+2023，代入a2+2a+b得到2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=−1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵a是方程x2+x−2023=0的实数根，∴a2+a−2023=0，∴a2=−a+2023，∴a2+2a+b=−a+2023+2a+b=2023+a+b，∵a，b是方程x2+x−2023=0的两个实数根，∴a+b=−1，∴a2+2a+b=2023+(−1)=2022，故选：D．9．D【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程的变形为一般形式即可．【详解】解：一元二次方程−3x+5x2=6的一般形式为：5x2−3x−6=0，故a=5，b=−3，c=−6，故选：D．10．C【分析】根据判别式判断一元二次方程根的情况，能够熟练运用根的判别式是解决本题的关键．【详解】根据根的判别式可知，Δ=(−4)2−4×7×6=−152<0，故方程无实根，故选：C．11．C【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记“若x1、x2是方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则x1+x2=−b，x1x2=c a．”是解题关键．a【详解】解：∵a，b是方程x2+x−2023=0的两个不相等的实数根，∴b−ab+a=−1−(−2023)=−1+2023=2022，故选：C．12．D【分析】把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，即可得到答案．【详解】解：一元二次方程x2−5x=2化为一般形式为x2−5x−2=0，则二次项系数为1，一次项系数为−5，常数项为−2，故选：D13．B【分析】利用判别式计算解答【详解】解：∵a=1,b=−3,c=−4，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−4)=25>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．14．A【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将所有的项都移到方程的左边，方程的右边为0，再得出二次项系数，一次项系数．【详解】解：2x2+1=5x，∴2x2−5x+1=0二次项系数为2，一次项系数为−5．故选：A．15．C【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键．【详解】根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：1+x，第二轮传染后的感染人数为：1+x+x(1+x)，故可列方程为：1+x+x(1+x)=64，故选：C．【分析】把一元二次化为一般形式即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)是解题的关键．【详解】解：一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式为−3x2+6x−1=0或3x2−6x+1=0，故二次项系数、一次项系数和常数项分别为−3，6，−1或3，−6，1，故选：C17．A∴∴∴18，把∴∴19般形式，找出a，b，c的值即可．【详解】解：x(x+2)=5即x2+2x−5=0∴a=1,b=2,c=−5，故选：A．【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解【详解】∵一元二次方程x2+4x−1=0的两根分别为m，n∴m+n=−4、mn=−1∴m+n+mn=−5故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．21．D【分析】设剪去的小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为(12−2x)cm，宽为(9−2x)cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，得出关于x的一元二次方程，从而得到答案．【详解】解：设剪去的小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为(12−2x)cm，宽为(9−2x)cm，∵纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，∴(12−2x)(9−2x)=70，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程解实际问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．C【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：4x2−6x=−1，整理得4x2−6x+1=0，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，−6，1，故答案为：C．23．C【分析】先把7移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式．【详解】解：x2−6x+7=0x2−6x=−7x2−6x+9=−7+9(x−3)2=2故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．24．A【分析】结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可．∴a∴a∴a0) 25：=260)，将【详解】解：∵将一元二次方程5x2−1=3x化成一般形式为：5x2−3x−1=0，∴二次项系数和一次项系数分别是5，−3，故选：C．27．A【分析】按照完全平方公式对原方程进行配方可得解．此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【详解】解：x2−4x+3=0，移项，得：x2−4x=−3，x2−4x+4=−3+4，(x−2)2=1，故选：A．28．C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有x人参加聚会，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意，x(x−1)=28，得12解得：x1=8,x2=−7（舍去）∴有8人参加聚会故选：C．29．B【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，把原方程根据移项法则化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．【详解】解：2x2−x=3，移项得，2x2−x−3=0，则二次项系数、常数项分别为2、−3，故选：B．30．D【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项9移项后，在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：把方程x2+8x+9=0的常数项移到等号的右边，得到x2+8x=−9，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+8x+16=−9+16，故(x+4)2=7．故选：D．31．B【分析】设平均每月降低的百分率为x，则四月份的售价为3200(1−x)元，则五月份的售价为3200 (1−x)2，据此列出方程即可．【详解】解：设平均每月降低的百分率为x，由题意得，3200(1−x)2=2500，故选B．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．32．A【分析】先将原方程化为一般式，再找出二次项系数和一次项系数即可.∴, bx33∴34∴把y=1代入y=x2−4x得，x2−4x−1=0，∵函数y=x2−4x的图象上有两点A(m，1)和B(n，1)，∴m，n是方程x2−4x=1的两个根，∴mn=−1，m+n=4，∴m=−1，n+5n∴2m2+3n=2m2−3m+5n=2(m2−4m)+5(m+n)=2×1+5×4=22．故选：A．35．D【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：4x2+5x=81化成一元二次方程一般形式是4x2+5x−81=0，它的二次项系数是4，常数项是-81．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．36．B【分析】题考查了一元二次方程根的情况，利用Δ=b2−4ac的值进行快速判断方程根的个数是解题的关键．【详解】解：Δ=(−6)2−4×4×(−3)=84>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．37．B【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简．根据根与系数的关系得到a+b=−5，ab=2，可知a<0，b<0，然后化简代入求值是解题的关键．【详解】解：∵a，b是一元二次方程x2+5x+2=0的两根，∴a+b=−5，ab=2，∴a<0，b<0，∴a ba +b ab=−(−a)ba−(−b)ab=−ab−ab=−2ab=−22，故选B．38．C【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．【详解】解：A．x2+1x+5=0，该方程不是整式方程，故本选项不合题意；B．x2+3x+y=0，该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；C．x2+x−1=0，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；D．ax2+bx+c=0，当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意．故选：C．39．C【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．本题方程两边都加上1，这样方程左边就为完全平方式，从而得到答案．【详解】解：x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，(x+1)2=4，∴m=1，n=4，故选：C．40．B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．【详解】解：设每个支干长出x根小分支，根据题意可得：1+x+x2=73，解得x=8或x=−9（不符合题意，舍去），∴每个支干长出8根小分支，故选：B．41．8【详解】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则：1+x+（1+x）x=81，(1+x)2=81，∴x1=8,x2=−10（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了8人．考点：一元二次方程的应用.42．50+50(1+x)+50 (1+x)2=196【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，三个月之和即为总产量.【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为：50+50（1+x）+50（1+x）2=196．【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和. 43．4047【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=1，ab=−2023，再利用完全平方公式求值即可得．【详解】解：∵a,b是方程x2−x−2023=0的两个实数根，∴a+b=−−11=1，ab=−20231=−2023，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=12−2×(−2023)=4047，故答案为：4047．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．44．5【分析】考查了一元二次方程的应用，甲乙之间都签订两份合同，算两份，本题属于重复记数问题．解答中注意舍去不符合题意的解．【详解】解：设共有x家公司参加了该商品交易会，则列方程得x(x−1)=20解得：x1=5，x2=−4（舍去），故答案为：5．45．(15−3x)(10−2x)=96【分析】设人行通道的宽度为x米，利用“平移法”将两块矩形绿地合在一起，则长为(15−3x)m，宽为(10−2x)m，即可列出方程．审清题意，根据面积正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：若设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为(15−3x)m，宽为(10−2x) m，由已知得：(15−3x)(10−2x)=96．故答案为：(15−3x)(10−2x)=9646．方程有两个不相等的实数根【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先把方程化为一般形式，再利用根的判别式计算得出Δ=1+4p2>0，从而可判断方程根的情况．【详解】解：∵(x−3)(x−2)−p2=0，∴x2−5x+6−p2=0，∴Δ=(−5)2−4×1×6−p2=1+4p2>0，∴原方程有两个不相等的实数根；故答案为：方程有两个不相等的实数根．47．x=-2【分析】设方程的另一个根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2=0，即可求出另一个根.【详解】设方程的另一个根为x2，则2+x2=0，解得x2=-2，故答案为：x=-2.【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系式，熟记两个关系式并运用解决问题是解题的关键. 48．11【分析】设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x-1）件礼品，根据晚会上共送出礼物110件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼品，依题意，得：x（x﹣1）＝110，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．49．：k＜1．【详解】∵一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为k＜1．50．10【分析】如果设每轮传染中平均每人传染了x人，那么第一轮传染中有x人被传染，第二轮则有x （x+1）人被传染，已知“共有121人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可．【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮则有x(x+1)人被传染，又知：共有121人患了流感，∴可列方程：1+x+x(x+1)=121，解得，x1=10.x2=−12（不符合题意，舍去）∴每轮传染中平均一个人传染了10个人.故答案为10.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系.51．2【分析】此题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，由此得到m2−3m=8，m+n=3，整体代入所求式子计算即可得到答案，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵m，n是方程x2−3x−8=0的两根，∴m2−3m−8=0，m+n=3，∴m2−3m=8∴m2−4m−n−3=m2−3m−(m+n)−3=8−3−3=2故答案为：2．52．2【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−8=0的两根为x1,x2∴x1+x2=2，故答案为：2．53．5【分析】本题考查一元二次方程的应用．设纸边的宽为x cm，则挂图的长为(60+2x)cm，宽为(40+2x) cm，由矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设纸边的宽为x cm，则挂图的长为(60+2x)cm，宽为(40+2x)cm，由题意得：(60+2x)(40+2x)=3500，整理得：x2+50x−275=0，解得：x1=5，x2=−55（不合题意，舍去），故答案为：5．54．4【分析】本题考查了配方法，正确配方是解题的关键，先将x2−8x+18配方，再对应相等即可得到答案．【详解】x2−8x+18=(x−4)2+2=(x−m)2+2，解得m=4，故答案为：4．55．2023【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键．【详解】∵x=2是关于x的一元二次方程ax2−bx+2=0的解，∴4a−2b+2=0，∴2a−b=−1，∴2024+2a−b=2024−1=2023故答案为：2023．56．90+90(1+x)+90(1+x)2=330【分析】由增长率公式求出二月份和三月份的产值，根据题意可列等量关系式：一月份的产值+二月份的产值+三月份的产值=330，把相关数值代入即可．【详解】解：∵一月份的产值为90万元，增长率为x，∴二月份产值为：90(1+x)，三月份产值为：90(1+x)2，∵第一季度产值共为330万元，∴90+90(1+x)+90(1+x)2=330，故答案为：90+90(1+x)+90(1+x)2=330．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过2次变化后的数量关系为a(1±x)2=b，列到第一季度产值的等量关系是解决本题的关键．。
一元二次方程20道题
一元二次方程20道题一、基础型题目1. 有一个一元二次方程，你能找出这个方程的两个根吗？就像找藏在树洞里的小松鼠一样哦。
2. 方程，这就像一个神秘的小盒子，你得打开它找到里面的答案（也就是方程的根）呢。
3. 对于一元二次方程，先把它化简一下，再求根呀，就像给小宠物梳理毛发一样，先整理好再找问题的关键。
4. 一元二次方程，这个方程看起来很简洁呢，快把它的根找出来，就像从简单的迷宫里找到出口一样容易。
5. 看这个方程，你可以先提取公因式，然后再求解，就像拆礼物一样，一层一层来。
6. 方程，想象你是一个小侦探，要找到让这个方程成立的那些数字（根）哦。
7. 一元二次方程，这个方程就像一个等待被解开的小谜题，你能解开它求出根吗？8. 对于，你得想办法把这个方程破解了，找到那两个能让等式成立的神秘数字（根）呀。
9. 方程，它在向你求救呢，快用你的数学魔法把它的根找出来吧。
10. 一元二次方程，就像走在一条有宝藏（根）的小路上，你要找到那些宝藏哦。
二、稍复杂型题目（含系数不是1的二次项或者配方相关）11. 看这个有点难的一元二次方程，你要像超级英雄一样克服困难求出它的根哦。
12. 方程，这就像一个复杂的拼图，你得把每一块（通过求根的步骤）都放对位置呢。
13. 对于一元二次方程，这个方程可是可以用配方的方法轻松求解的哦，就像给蛋糕做漂亮的装饰（配方）然后再享用（求出根）。
14. 一元二次方程，这个方程看起来有点棘手，不过你要是掌握了配方或者求根公式就没问题啦，就像掌握了魔法咒语一样。
15. 方程，你要想办法把这个方程的根找出来，就像在茂密的森林里找到特定的花朵一样。
16. 对于，先把方程化简一下再求根，就像给杂乱的房间先收拾一下再找东西一样。
17. 一元二次方程，这个方程很适合用配方来求解呢，就像给小机器人调整零件（配方）让它正常运转（求出根）。
18. 方程，你得动动脑筋，是用求根公式还是先化简再求根呢？就像选择走哪条路去远方（求出根）。
一元二次方程训练题50道
一元二次方程训练题50道理解一元二次方程是解决数学问题的基础，因此训练题对于加深理解和掌握解题方法非常重要。
以下是50道一元二次方程的训练题：1. 解方程，x^2 4x + 4 = 0。
2. 解方程，2x^2 7x + 3 = 0。
3. 解方程，3x^2 + 5x 2 = 0。
4. 解方程，4x^2 12x + 9 = 0。
5. 解方程，x^2 + 6x + 9 = 0。
6. 解方程，2x^2 + 3x 2 = 0。
7. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。
8. 解方程，3x^2 8x 3 = 0。
9. 解方程，4x^2 + 4x + 1 = 0。
10. 解方程，x^2 3x 10 = 0。
11. 解方程，2x^2 11x + 5 = 0。
12. 解方程，3x^2 + 7x 6 = 0。
13. 解方程，x^2 9 = 0。
14. 解方程，2x^2 18 = 0。
15. 解方程，3x^2 27 = 0。
16. 解方程，x^2 2x + 1 = 0。
17. 解方程，2x^2 8x + 8 = 0。
18. 解方程，3x^2 + 6x + 3 = 0。
19. 解方程，x^2 7x + 10 = 0。
20. 解方程，2x^2 5x 3 = 0。
21. 解方程，3x^2 + 4x 4 = 0。
22. 解方程，x^2 4 = 0。
23. 解方程，2x^2 8 = 0。
24. 解方程，3x^2 12 = 0。
25. 解方程，x^2 6x + 9 = 0。
26. 解方程，2x^2 + 2x 4 = 0。
27. 解方程，3x^2 3x 6 = 0。
28. 解方程，x^2 8x + 16 = 0。
29. 解方程，2x^2 12x + 18 = 0。
30. 解方程，3x^2 + 9x + 6 = 0。
31. 解方程，x^2 5 = 0。
32. 解方程，2x^2 20 = 0。
33. 解方程，3x^2 45 = 0。
34. 解方程，x^2 5x + 6 = 0。
2.1 认识一元二次方程(分层练习,5种题型)(解析版)
2.1认识一元二次方程分层练习考查题型一判断一元二次方程考查题型二一元二次方程的一般形式1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0【详解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故选：B．2．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10【详解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，（3）将2821x x -=化为一般形式为：28210x x -+=则：二次项系数为1，一次项系数为8-，常数项为21；（4）将()()112x x x +-=化为一般形式为：2210x x --=则：二次项系数为1，一次项系数为2-，常数项为1-；（5）将()()4152x x x -=+化为一般形式为：249100x x --=则：二次项系数为4，一次项系数为9-，常数项为10-；（6）将()22264x x -=+化为一般形式为：2540x x +=则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．考查题型三一元二次方程的解∴22112210,10x x x x +-=+-=，∴()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．考查题型四一元二次方程的解的估算A ．解的整数部分是3，十分位是1B ．解的整数部分是3，十分位是2C ．解的整数部分是3，十分位是3D ．解的整数部分是3，十分位是4【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．考查题型五已知一元二次方程求未知数的值解得x＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．3．若方程(m－2)2-2m x+(3－m)x－2=0是关于x的一元二次方程，试求代数式m2+2m－4的值．【详解】解：根据题意，得m2－2=2且m－2≠0，解得m=±2且m≠2，所以m=－2，m2+2m－4=(－2)2+2×(－2)－4=4－4－4=－4．。
《一元二次方程》专项练习和中考真题(含答案解析及点睛)
《一元二次方程》专项练习1．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.【解析】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=，10a -≠，则a 的值为：1a =-．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 2．用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0 【答案】A 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解． 【解析】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ． 【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3．如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．94k …B ．94k -…且0k ≠C ．94k …且0k ≠D ．94k -… 【答案】C【分析】根据关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤94且k≠0，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ）A ．1B ．3C ．1+D ．3【答案】C【分析】先求得2=+1x x ，代入4323x x x -+即可得出答案．【解析】∵210x x --=，∴2=+1x x ，x == ∴4323x x x -+=()()21213x+-x x++x =2221223x +x+-x -x+x =231-x +x+=()131-x++x+=2x ，∵x =，且0x >，∴x =，∴原式=2，故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．5．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：12x （x ﹣1）＝36， 化简，得x 2﹣x ﹣72＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 6．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为( )A ．()5000127500x +=B ．()5000217500x ⨯+=C ．()2500017500x +=D ．()()2500050001500017500x x ++++=【答案】C【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元即2019年我国快递业务收入为7500亿元，∴可列方程：()2 500017500x +=，故选C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．7．如图是一张长12cm ，宽10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积224cm 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm ．【答案】2【分析】根据题意设出未知数,列出三组等【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为解得a =10－2x ,b =6－x ,代入ab =24中得:整理得:2x 2－11x +18=0．解得x =2或x 【点睛】本题考查一元二次方程的应用8．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个A ．2023B ．2021 【答案】A【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1解.【解析】a ，b 是方程230x x +-=的两∴222201932019a b a b -+=-++【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数9．一个三角形的两边长分别为2和5，【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8周长可求．【解析】解：∵x 2-8x +12=0，∴()x -∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式10．若关于x 的一元二次方程22x x ﹣A ．1m ＜ B ．1m £三组等式解出即可．边长为x,由题意得:2()1221024x b a x ab +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,(10－2x )(6－x )=24,=9(舍去)．故答案为2．,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程的两个实数根，则22019a b -+的值是( )C ．2020D ．2019，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，ab9()2220161620162023a b ab =+-+=++=；与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形x +12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的()260x -=，∴x 1=2，x 2=6，三边长是方程x 2-8x +12=0的根，当x =2时，2+2＜5形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性0m +＝有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C ．1m ＞D ．m 1≥出方程．019=（a+b ）2-2ab+2016即可求-3b =， 3；故选A ． 子进行化简代入是解题的关键．三角形的周长为_______． 三边的长，则该三角形的 ，不符合题意，相关性质及定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式0≥V ，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．【解析】Q 关于x 的一元二次方程220x x m +﹣＝有实数根，2240m ∴=≥-V （-），解得： 1m ≤．故选B ． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0≥V 时，方程有实数根”是解题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【答案】A【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【解析】解：∵△＝b 2﹣4×（﹣1）＝b 2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ） A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】通过根与系数之间的关系得到22m αβ+=-+，2m m αβ=-，由()2222αβαβαβ+=+-可求出m 的值，通过方程有实数根可得到[]()222(1)40m m m --≥-，从而得到m 的取值范围，确定m 的值． 【解析】解：∵方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，∴()21221m m αβ-+=-=-+，221m m m m αβ-==-， ∵()2222αβαβαβ+=+-，2212αβ+=∴()()2222212m m m -+-=-， 整理得，2340m m --=，解得，11m =-，24m =，若使222(1)0x m x m m +-+-=有实数根，则[]()222(1)40m m m --≥-， 解得，1m £，所以1m =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．13．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．【答案】1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【解析】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．14．已知1x ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，则12(4)(4)x x ++的值是_____．【答案】16【分析】由根与系数的关系可得121x x =+， 124x x =-，然后把所求式子利用多项式乘法法则展开后代入进行计算即可.【解析】1x Q ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，121x x ∴+=， 124x x =-，12(4)(4)x x ∴++12124416x x x x =+++12124()16x x x x =+++44116=-+⨯+4416=-++16=， 故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 15．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【解析】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 16．已知12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是_________．【答案】2【分析】由已知结合根与系数的关系可得：12x x +=4，12x x ⋅= -7，2211224x x x x ++=()212122x x x x ++，代入可得答案.【解析】解：∵12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，∴12x x +=4，12x x ⋅= -7，∴2211224x x x x ++=()212122x x x x ++=()2427+⨯-=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题17．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A．12x（x+1）＝110 B．12x（x﹣1【答案】D【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足【解析】解：设有x个队参赛，则x（x 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为___【答案】x＝2或x＝﹣或x＝﹣1【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣于x的方程求解可得．【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用19．若菱形ABCD的一条对角线长为8，A．16 B．24【答案】B【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABC【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次键．）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比﹣1）＝110．故选：D．的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．_____．．x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形C．16或24 D．48分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成的周长．BCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，+4＝8，不能构成三角形；ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌110共要比赛110场，可列出方程．的关键．：）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．x2+nx﹣1＝0，1]＝0，据此得到两个关1）＝0，或x＝﹣1．方法．该菱形ABCD的周长为（ ）能构成三角形；②当AB＝AD＝熟练掌握并灵活运用是解题的关21．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于_______． 【答案】2. 【分析】根据“关于x 的一元二次方程ax 2+2x+2﹣c ＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a 和c 的等式，整理后即可得到的答案．【解析】解：根据题意得：△＝4﹣4a （2﹣c ）＝0，整理得：4ac ﹣8a ＝﹣4，4a （c ﹣2）＝﹣4，∵方程ax 2+2x+2﹣c ＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a 得：12c a -=-，则12c a+=，故答案为2． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．22．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为____________．【答案】x(x+12)=864【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．【解析】因为宽为x ，且宽比长少12，所以长为x+12，故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．23． 1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b =（ ）A ．2-B ．3-C ．4D ．6-【答案】A【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键24．已知1x ，2x 是方程2320x x --=的两根，则2212x x +的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．13【答案】D 【分析】先利用完全平方公式，得到2212x x +21212)2x x x x =+-（，再利用一元二次方程根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=即可求解．【解析】解：2212x x +()221212)232213x x x x =+-=-⨯-=（故选：D ． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．25．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．【答案】2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x 12-4x 1=2020，x 1+x 2=4，代入原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2（x 1+x 2）计算可得．【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 12﹣4x 1﹣2020＝0，即x 12﹣4x 1＝2020，则原式＝x 12﹣4x 1+2x 1+2x 2＝x 12﹣4x 1+2（x 1+x 2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 26．解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.27．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．【解析】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴2(2)4(2)0k ∆=--+…解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-，∴1212222x x k x x k +==-+即(2)(2)2k k +-=，解得k =．又由（1）知：1k ≤-，∴k =【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 28．已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.【答案】（1）2m ≤.（2）1m =.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．29．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1. 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m=2代入原方程可得：x 2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥解得134m ≤ （2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 30． 2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x 元，每个月的销量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？【答案】（1）y ＝220﹣2x ；（2）当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【分析】（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得；（2）月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．【解析】（1）由题意得，月销售量y ＝100﹣2（x ﹣60）＝220﹣2x （60≤x ≤110，且x 为正整数）答：y 与x 之间的函数关系式为y ＝220﹣2x ．（2）由题意得：（220﹣2x ）（x ﹣40）＝2250化简得：x 2﹣150x +5525＝0解得x 1＝65，x 2＝85答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．（3）设每个月获得利润w 元，由（2）知w ＝（220﹣2x ）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800∴w ＝﹣2（x ﹣75）2+2450 ∴当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程. 31．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x （元），日销量为y （件），日销售利润为w （元）．（1）求y 与x 的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w （元）与销售单价x （元）的函数关系式，当x 为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）10280y x =-+；（2）10元；（3）x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意得到()()()26128010171210w x x x =--+=--+，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】解：（1）根据题意得，()20010810280y x x =--=-+，故y 与x 的函数关系式为10280y x =-+；（2）根据题意得，()()610280720x x --+=，解得：110x =，224x =（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；（3）根据题意得，()()()261028010171210w x x x =--+=--+， 100-<Q ，∴当17x <时，w 随x 的增大而增大，当12x =时，960w =最大，答：当x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元．【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．32．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元，由题意得到1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，则可得到答案. 【解析】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出3005200[]x +-（）个， 依题意，得：1003005200[32000]x x -+-（）（）＝， 整理，得：2360324000x x +﹣＝，解得：12180x x ＝＝．180200＜，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.《一元二次方程》中考真题1．已知2是关于x 的一元二次方程240x x m -+=的一个实数根，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．1C ．−3D ．−1【答案】B【分析】把x ＝2+代入方程就得到一个关于m 的方程，就可以求出m 的值．【解析】解：根据题意得2(24(20m -⨯++=，解得1m =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．只有一个实数根 【答案】A【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【解析】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-Q ()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=， 解得： 17x =-（舍去），26x =．故选C ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程4．关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解析】△=(k-3)2-4(1-k)=k 2-6k+9-4+4k=k 2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m≤2 C ．m ＜2且m≠1 D ．m≤2且m≠1【答案】D【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解析】解：因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m －1)x 2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综合知，m 的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．6．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x 【答案】B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的180万只，4月份的利润将达到461万只【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应7．关于x 的一元二次方程22x mx +A ．2m =- B ．3m = 【答案】A【分析】设1x ，2x 是2220x mx m ++再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可【解析】设1x ，2x 是222x mx m ++∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴1x +∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅4=∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的8．已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣A ．﹣7 B ．7【答案】A【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解析】解：设另一个根为x ，则x +2【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系9．设1x ，2x 是方程2234x x +-=的两）2=461 C ．368（1﹣x ）2=442 D ．368（1+x 增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增万只”，即可得出方程．厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方实际应用，理解题意是解题关键．20m m ++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值C ．3m =或2m =- D ．3m =-或m =m +=的两个实数根，由根与系数的关系得12x x +=入即可. 0m +=的两个实数根，22x m =-，212x x m m ⋅=+，222222212m m m m m --=-=，A ．系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式m ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） C ．3D ．﹣3出答案．＝﹣5，解得x ＝﹣7．故选：A ．根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的0的两个实数根，则1211+x x 的值为______． ）2=442 设这个增长率为x ，根据“2月份可得方程：180（1+x ）2=461，的值为（ ） 22m -，212x x m m ⋅=+，方公式是解题的关键． 系数的关系是解题关键．【答案】34【分析】由韦达定理可分别求出1x +【解析】解：由方程2234x x +-=12121231132·24x x x x x x -++===-．故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的10．如图，在一块长15m 、宽10m 的矩形空面积为126m 2，则修建的路宽应为_____【答案】1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形式列方程求解即可．【解析】解：设道路的宽为x m ，根据题意解得：x 1＝1，x 2＝24（不合题意，舍去【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应本题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程2x 【答案】1【分析】利用因式分解法求出x 1,x 2，再根【解析】解22430(0)x mx m m -+=解得x 1=3m,x 2=m ，∴3m-m=2解得m=1【点睛】此题主要考查解一元二次方程，12．一元二次方程()()32x x --=的根【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-【解析】解：30x -=或20x -=，所以2x 与12x x g 的值，再化简要求的式子，代入即可得解0可知1232x x +=-，124·22x x -==- 案为：34 系数的关系，利用韦达定理可简便运算．矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，___米． 到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方据题意得：（10﹣x ）（15﹣x ）＝126， ），则道路的宽应为1米；故答案为：1．程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地2430(0)mx m m -+=>的一个根比另一个根大2，再根据根的关系即可求解．> （x-3m ）（x-m ）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 =1故答案为：1． ，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 0的根是_____． -3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可． 所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．可得解． ，剩余分栽种花草，要使绿化个长方形，根据长方形的面积公矩形地面的最上边和最左边是做，则m 的值为_____．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程28120x x -+=的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17【分析】先利用因式分解法求解得出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【解析】解：解方程28120x x -+=得x 1=2，x 2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.故答案为：17．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____． 【答案】x （x ﹣12）＝864．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵长为x 步，宽比长少12步，∴宽为（x ﹣12）步．依题意，得：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．【答案】1x 2x ． 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x-34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 【解析】原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝，29x x 172﹣＝，298181x x 1721616-++，29353x 416-（＝，9x 4-±＝，所以12x ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．。
一元二次方程认识练习题
一元二次方程认识练习题一、选择题1. 下列哪个方程是一元二次方程？（）A. x^2 + 3x + 2 = 0B. 2x + 3y = 5C. 3x^3 4x^2 + 2x 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^22. 一元二次方程的解是（）A. 两个实数根B. 两个虚数根C. 两个实数根或一个实数根D. 一个实数根或两个虚数根3. 已知一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式是（）A. b^2 4acB. a^2 4acC. a^2 4abD. a^2 4b^2二、填空题1. 一元二次方程的标准形式是______，其中a、b、c是常数，且______不等于0。
2. 已知一元二次方程 x^2 5x + 6 = 0，其两个根分别是______和______。
3. 一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式是______，当判别式大于0时，方程有两个______根。
三、解答题1. 解一元二次方程 x^2 3x 4 = 0。
2. 已知一元二次方程 2x^2 4x + 1 = 0，求其两个根。
3. 某商店进了一批商品，若按原价出售，每件商品可赚40元。
若按原价的8折出售，每件商品可赚15元。
求原价。
4. 一块长方形菜地，面积为400平方米，长比宽多5米，求菜地的长和宽。
5. 一辆汽车从甲地出发，以60km/h的速度行驶，另一辆汽车从乙地出发，以80km/h的速度行驶，两车相向而行，经过2小时相遇。
求甲、乙两地之间的距离。
6. 已知一元二次方程 x^2 (2m + 1)x + m^2 = 0 有两个相等的实数根，求m的值。
7. 已知一元二次方程 x^2 5x + n = 0 的两个根分别是 x1 和x2，且 x1 + x2 = 5，x1 x2 = n，求n的值。
8. 已知一元二次方程 x^2 (k + 3)x + k^2 5 = 0 的两个根分别是 x1 和 x2，且 x1 x2 = 6，求k的值。
一元二次方程的概念练习
17.1一元二次方程的概念练习(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一元二次方程的概念练习1.判断下列哪些是整式方程：z y x y x x x xx x x x x =+=+=++==-=+21)6(;121)5(;1)4(52)3(;53)2(;1).1(2 2.判断下列方程哪些是一元二次方程：153).11(;13).10(;1).9(;4)2()15()8()1(2)1).(7(;521).6();13(32).5(0).4(;14)3(;032)2(;362).1(222222222=+=+=+++=-+=+=++=+=-=-=-=+x x x x x x x x x x x x x x x x x y x xx x x3.把下列一元二次方程化为一般式，并写出各项与各项系数2)12()1)(1).(7(;661).6(;1)3)(14).(5(129)4(;32).3(;03)15).(2(;0123).1(222222++=-+==+-+===--=--x x x x x x x x x x x x x4.关于x 的一元二次方程的解相同和014,0)1()1(22=-+=+-+-x x c x b x a(1).能否肯定a=1;（2）求a:b:c为何值时；1322+-=-mx x x mx 是一元二次方程为何值时；05)1()1)(3(2=+-+-+x m x m m 是一元二次方程何时是一元一次方程7.方程05)3()2(852=+-+-+-x m x m m m（1）.m 为何值时是一元二次方程；（2）m 为何值时是一元一次方程8.判断下列解是否是方程的解03)32(2,23,1).2(0123,2,1).1(22=----=-==-+=-=a x a x x x x x x x 是关于x 的方程0432=--x x 的一个根，求)3(-m m10.哪些方程根为0或1或-10523)6(;056).5(;07136).4(032).3(;05).2(;023).1(222222=--=++=+-=-+=+=-x x x x x x x x x x x x11.关于x 的一元二次方程013)1(22=-+-+k x x k ，有一个根为0，则K12.关于x 的一元二次方程m x mx x m 求,1,075)12(2-==-++=1,是方程012=+-mx x 的根，求：222196m m m m +--+- .一元二次方程02=++c bx ax ，有两个解1和-1，求c b a ++；c b a +-；5++c a。
一元二次方程的概念练习题
一元二次方程的概念练习题1.选B。
因为B是形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程。
2.选C。
将方程整理得到-25x^2+30x+15=0，再将其除以-5即可得到x^2-(6/5)x-(3/5)=0，即选C。
3.选C。
将方程变形得到3x^2-2x+1=0，与一般形式ax^2+bx+c=0对比，可知二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项系数为1，故选C。
4.选D。
将(x+2)(x-3)=4展开得到x^2-x-10=0，即选D。
5.选B。
将方程合并同类项得到x^2+2x+1=0，再将其化简得到(x+1)^2=0，即x=-1，故一次项系数为-1，选B。
6.选A。
要使分式的值为0，分母应该为0，即x-4=0或x-5=0，故x=4或x=5，选A。
7.选A。
设2x+1=p，2x-1=q，则p和q互为倒数，即pq=1，解得p=1/2，q=-2，故2x+1=1/2，解得x=-3/4，满足±1/2和±3/4，选A。
8.选B。
将ax^2+b+c=0化简得到(a-1)x^2-x=0，当a=0时不是一元二次方程，故无论a取何值，选B。
9.选B。
第一次降价后价格为0.8m，第二次降价后价格为0.8*0.8m=0.64m，即0.64m=m*(1-0.2)^2，解得m=1.2m/(0.8*0.8)=1.5m，故原价为1.5m，选B。
10.选C。
由已知可得a=(a+b+c)-(a-b+c)-2b=2c，将ax^2+bx+c=0代入得到2cx^2+bx+c=0，由于a≠0，故c≠0，故方程的根为1和-1，选C。
11.选B。
将方程移项得到ax^2-5x+3=0，由于a≠0，故x的取值不影响方程为一元二次方程，将不等式化简得到a>-2/3，故选B。
12.选C。
方程x^2=0的解只有一个x=0，故选C。
13.选A。
只有①、②、③是一元二次方程，故选A。
一次项系数和常数项。
14.若方程（m^2-1）x^2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）。
一元二次方程大题
一元二次方程大题一、利用一元二次方程的定义求解参数1. 已知方程(m - 1)x^2+3x - 1=0是关于x的一元二次方程，求m的取值范围。
- 解析：- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 在方程(m - 1)x^2+3x - 1=0中，要使其为一元二次方程，则二次项系数不能为0，即m - 1≠0。
- 解得m≠1。
2. 若方程ax^2+x - 1 = 0是一元二次方程，则a的取值范围是多少？- 解析：- 因为一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 对于方程ax^2+x - 1 = 0，这里a为二次项系数，只要a≠0，该方程就是一元二次方程。
二、直接开平方法解方程3. 解方程(x - 2)^2=9。
- 解析：- 根据直接开平方法，对于方程(x - 2)^2=9。
- 则x - 2=±√(9)=±3。
- 当x - 2 = 3时，x=3 + 2=5；当x - 2=-3时，x=-3+2=-1。
- 所以方程的解为x_{1}=5,x_{2}=-1。
4. 求解方程4(x + 1)^2-25 = 0。
- 解析：- 首先将方程变形为(x + 1)^2=(25)/(4)。
- 然后开平方得x + 1=±(5)/(2)。
- 当x + 1=(5)/(2)时，x=(5)/(2)-1=(3)/(2)；当x + 1=-(5)/(2)时，x=-(5)/(2)-1=-(7)/(2)。
- 所以方程的解为x_{1}=(3)/(2),x_{2}=-(7)/(2)。
三、配方法解方程5. 用配方法解方程x^2+6x - 7 = 0。
- 解析：- 移项得x^2+6x=7。
- 然后在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+6x + 9=7 + 9。
- 配方得(x + 3)^2=16。
- 开平方得x+3=±4。
- 当x + 3 = 4时，x = 1；当x+3=-4时，x=-7。
人教版九年级数学上册《一元二次方程的概念》专项练习题-附带答案
人教版九年级数学上册《一元二次方程的概念》专项练习题-附带答案【思维导图】◎题型1：一元二次方程的定义【技巧】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的方程 叫做一元二次方程。
例．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）下列方程中 是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2214x x +=B ．20ax bx c ++=C ．()1(3)4x x -+=D ．2470x xy -+=【答案】C【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．【详解】解：A 、该方程属于分式方程 故本选项错误；B 、该方程中 当a ＝0时 它不是关于x 的一元二次方程 故本选项错误；C 、()1(3)4x x -+=化简得：2270x x +-=符合一元二次方程的定义 故本选项正确；D 、该方程中含有2个未知数 它不是关于x 的一元二次方程 故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 变式1．（2020·四川·攀枝花第二初级中学九年级期中）若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程 则（ ）A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠± 【答案】B【解析】【分析】 根据一元二次方程的定义可得2,20m m ①②从而可得答案． 【详解】解：∵方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程 ∵2,20m m ①② 由∵得：2,m =±由∵得：2,m解得：2,m =故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．掌握定义是解本题的关键．变式2．（2022·江苏·九年级专题练习）方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程 则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠±1B ．m ≥-1且m ≠1C ．m ≥-1D ．m ＞-1且m ≠1【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．【详解】解：∵方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程∵210m -≠解得1m ≠±10m +≥解得：1m ≥-∵1m >-且1m ≠故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念 判断一个方程是否是一元二次方程 首先要看是否是整式方程 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．变式3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x ++=D ．22(3)4x x -+=【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义逐项分析即可求解．【详解】解：A. 211x x+= 是分式方程 不是一元二次方程 不合题意； B. 20ax bx c ++= 当a≠0时 是一元二次方程 当a =0 b ≠0时 是一元一次方程 不合题意；C. (1)(2)1x x ++= 原方程整理得2310x x ++= 是一元二次方程 符合题意；D. 22(3)4x x -+= 原方程整理得6130x -+= 不是一元二次方程 不合题意．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的概念 判断一个方程是否是一元二次方程 首先要看是否是整式方程 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．◎题型2：一元二次方程的一般形式【技巧】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c ＝0（a b c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项 bx 叫一次项 c 是常数项．其中a b c 分别叫二次项系数 一次项系数 常数项．例．（2021·广西南宁·九年级期中）把一元二次方程(x -3)2 ＝5化为一般形式后 二次项系数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax 2+bx +c =0 再找出二次项的系数即可．【详解】解：∵（x -3）2=5化为一般形式为x 2-6x +4=0∵二次项系数为1 故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式 解题的关键是将方程（x -3）2=5化为一般形式．变式1．（2021·河南周口·九年级期中）把方程22(3)x x =-化成一般式20x mx n ++= 则正确的是（ ）A ．2m = 6n =B ．2m = 6n =-C ．2m =- 6n =D ．2m =- 6n =-【答案】C【解析】【分析】将方程进行去括号、移项整理成一般式 同类项对应的系数相等即可得出答案．【详解】将22(3)x x =-去括号得226=-x x ；移项得2260=－＋x x∵2m =- 6n =故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念 一元二次方程的一般式 难点是一元二次方程的一般式的概念． 变式2．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0C．只有当k＝0时方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程D．当m取所有实数时关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0 故选项错误；B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）故选项错误；C、当k﹣1≠0 即k≠1时方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程故选项错误；D、当m取所有实数时关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式则a b c的值分别为（）A．2 4 7B．2 4 ﹣7C．2 ﹣4 7D．2 ﹣4 ﹣7【答案】C【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项a叫做二次项系数；bx叫做一次项b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．【详解】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0 它的二次项系数一次项系数和常数项分别为2 ﹣4 7故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式关键是要掌握二次项系数一次项系数和常数项的定义先把一元二次方程化成一般形式．◎题型3：一元二次方程的解【技巧】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解 解决此类问题 通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.例．（2022·湖北宜昌·九年级期末）若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0 则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【答案】C【解析】【分析】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中 求出a 的值 再根据30a -≠ 即可确定a 的值．【详解】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中210a -=解得1a =±∵这是关于x 的一元二次方程∵30a -≠解得3a ≠故1a =±故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解 掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键． 变式1．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．﹣1C ．﹣2或1D ．1【答案】B【解析】【分析】把1x =代入一元二次方程22240m x x m -+-=（）中即可得到关于m 的方程 解此方程即可求出m 的值．由20,m -≠即2,m ≠得到11,m =-从而得到答案．【详解】解：1x =是一元二次方程22240m x x m -+-=（）的一个根()2240m m ∴-+-=121,2,m m ∴=-=20,m -≠2,m ∴≠1 1.m ∴=-故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值 就是方程的解是解题的关键．变式2．（2022·四川乐山·九年级期末）m 是方程220x x +-=的根 则代数式2222022m m +-的值是( ) A ．-2018B ．2018C ．-2026D ．2026【答案】A【解析】【分析】把x m =代入220x x +-=得到22m m += 进而得到2224m m += 代入2222022m m +-进行计算即可求解．【详解】解：∵m 是方程220x x +-=的根∵220m m +-=∵22m m +=∵2224m m +=∵2222022m m +- 42022=-2018=-．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题．变式3．（2022·广西贵港·中考真题）若2x=-是一元二次方程220x x m++=的一个根则方程的另一个根及m的值分别是（）A．0 2-B．0 0C．2-2-D．2-0【答案】B【解析】【分析】直接把2x=-代入方程可求出m的值再解方程即可求出另一个根．【详解】解：根据题意∵2x=-是一元二次方程220x x m++=的一个根把2x=-代入220x x m++=则2(2)2(2)0m-+⨯-+=解得：0m=；∵220x x+=∵(2)0x x+=∵12x=-0x=∵方程的另一个根是0x=；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程方程的解解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．。
一元二次方程知识题100道
一元二次方程知识题100道一元二次方程百题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.$4x-1=0$，解得$x=\dfrac{1}{4}$。
2.$(x-3)^2=2\times3$，展开得$x^2-6x+7=0$，解得$x=1$或$x=7$。
3.$(x-1)^2=25$，解得$x=-4$或$x=6$。
4.$(x-2)^2=16$，解得$x=-2$或$x=6$。
5.$x^2=225$，解得$x=-15$或$x=15$。
6.$(x-1)^2=9$，解得$x=-2$或$x=4$。
7.$(6x-1)^2=25$，展开得$36x^2-12x-24=0$，解得$x=\dfrac{1}{2}$或$x=\dfrac{2}{3}$。
8.$81(x-2)^2=16$，解得$x=\dfrac{5}{3}$或$x=\dfrac{7}{3}$。
9.$5(2y-1)^2=180$，解得$y=\dfrac{1}{2}$或$y=\dfrac{5}{2}$。
10.$(3x+1)^2=64$，解得$x=-\dfrac{7}{3}$或$x=\dfrac{5}{3}$。
11.$6(x+2)^2=4$，解得$x=-2\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
二、用配方法解下列一元二次方程。
12.$x^2-4x=96$，移项得$x^2-4x-96=0$，配方法得$(x-12)(x+8)=0$，解得$x=-8$或$x=12$。
13.$(ax-c)^2=b$，展开得$a^2x^2-2acx+c^2-b=0$，配方法得$(ax-(c+\sqrt{b}))(ax-(c-\sqrt{b}))=0$，解得$x=\dfrac{c+\sqrt{b}}{a}$或$x=\dfrac{c-\sqrt{b}}{a}$。
14.$(3x+1)^2=64$，展开得$9x^2+6x-63=0$，配方法得$(3x-7)(3x+9)=0$，解得$x=-\dfrac{9}{3}$或$x=\dfrac{7}{3}$。
一元二次方程习题精选
一元二次方程习题精选（1）一．一元二次方程的概念1.若方程)0(02≠=++a c bx ax 中，c b a ,,满足0c b a =++和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） （A ）1,0 （B ）-1,1 （C ）1，-1 （D ）无法确定2.若一个三角形的三边的长均满足方程0862=+-x x ，则该三角形的周长为3.若代数式6232+-x x 的值为12，则代数式1232+-x x 的值为 4.关于x 的方程01)(222=-++-a ax x a a ，当 时，方程是一元一次方程；当 时，方程是一元二次方程；若方程有两个实根且其中一根为0，则a 的值为5.若2,3是方程02=++q px x 的两实根,则q px x +-2可以分解为6.直角三角形两边长分别是6和8,第三边的长是方程060162=+-x x 的一个实根,则该三角形的面积是7.若方程013)2(=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m=8.等腰三角形的底和腰是方程0862=+-x x 的两根，则这个三角形的周长是9.已知m,n 是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值为10.在关于x 的方程(m －5)x m －7+(m+3)x －3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。
11.已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为12.若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为13.方程x 2－4│x │+3=0的解是 ( )A.x=±1或x=±3B.x=1和x=3C.x=－1或x=－3D.无实数根14.关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则以下正确的是（ ）（A ）0,0==n m （B ）0,0≠=n m （C ）0,0=≠n m （D ）0,0≠≠n m15.以2，－3为根的一元二次方程是 ( )A.x 2+x+6=0B.x 2+x －6=0C.x 2－x+6=0D.x 2－x －6=0二．根的判别式1.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是( )（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不等实数根 （C ）有两个实根（D ）没有实数根2.若关于x 的方程0142=+-x ax 有实数根，则a 的最大整数值为( )（A ）0 （B ）0或4 （C ）4 （D ）33.如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是4.如果关于x 的方程01)12(22=++-x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是5.已知x 2－（a ＋2）x ＋a －2b ＝0的判别式等于0，且x ＝12是方程的根，则a ＋b 的值为 ______________.6.关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不等实根，则m 的取值范围是7.关于x 的一元二次方程mx 2－(3m －1)x+2m －1=0,其根的判别式的值为1,则m 的值为8.如果关于x 的方程01)12(22=++-x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的的取值范围是三．韦达定理1.已知βααββαββαα++≠=-+=-+，则且01,0122的值为（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）-1 （D ）02.一元二次方程0301422=+-=+-x x x x 和的所有实数根之和为（ ）（A ）2 （B ）-4 （C ）4 （D ）33.已知21,x x 是一元二次方程的两个实数根，则2221213x x x x ++的值为4. 已知21,x x 是方程022=+-m x x 的两个实数根，且3321=+x x ，则m 的值为5.已知菱形ABCD 的边长是5,两条对角线相交于O,且AO,BO 的长分别是方程03)12(22=++-+m x m x 的根,则m 的值为6.如果方程0162=++-k x x 的两个实数根是21,x x ,且242221=+x x ,则k 的值为7.已知βα,为方程0242=++x x 的两实根，则50143++βα= 8.用一条长为24cm 的铁丝围成一个斜边是10cm 的直角三角形，则直角边长分别为9.已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m•的值为_______.10.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么11x +21x = ；︱x 1－x 2︱= .11.已知x 1、x 2是关于x 的方程(a －1)x 2+x+a 2－1=0的两个实数根,且x 1+x 2=13,则x 1·x 2= .12.已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_________.13.若方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是14.m 取什么值时，方程. (1) 有两个实根； (2)有一个根为零； (3)两根异号； (4)有两个正数根.15.已知关于x 的方程0122=++mx x 的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数m 的取值范围是16.已知方程02)12(22=-+++k x k x 的两实数根的平方和等于11，求k 的值。
一元二次方程50道题
一元二次方程50道题一、基础形式类（1 - 10题）1. 解方程x^2+3x + 2 = 0。
这个方程就像是一个小迷宫，我们得找到让这个等式成立的x的值哦。
2. 求解方程x^2-5x + 6 = 0。
这就好比是给x找一个合适的家，让这个等式舒舒服服的。
3. 解一元二次方程x^2+x - 6 = 0。
这个方程像是一个小谜题，x是那个神秘的答案呢。
4. 求方程x^2-3x - 4 = 0的解。
感觉就像在数字的森林里找宝藏，宝藏就是x的值。
5. 解方程x^2+2x - 3 = 0。
这个方程是一个等待我们破解的小密码，密码就是x 的正确数值。
6. 求解x^2-4x + 3 = 0。
这就像是一场数字的捉迷藏，x躲在某个地方，我们要把它找出来。
7. 解一元二次方程x^2+4x + 3 = 0。
这个方程像是一个数字的小盒子，我们要打开它找到x。
8. 求方程x^2-2x - 8 = 0的解。
就像是在数字的海洋里捞针，针就是x的值。
9. 解方程x^2+5x - 14 = 0。
这个方程是一个数字的小挑战，看我们能不能征服它找到x。
10. 求解x^2-6x + 8 = 0。
这就像给x安排一个合适的位置，让这个等式完美成立。
二、含系数类（11 - 20题）11. 解2x^2+3x - 2 = 0。
这个方程里2就像是x的一个小跟班，我们要一起找到合适的x。
12. 求解3x^2-5x + 2 = 0。
3在这儿可有点小威风，不过我们可不怕，照样能找到x。
13. 解一元二次方程 - x^2+2x + 3 = 0。
这个负号就像个小捣蛋鬼，但我们能搞定它找到x。
14. 求方程4x^2-4x + 1 = 0的解。
4这个家伙让方程看起来有点复杂，不过没关系。
15. 解方程 - 2x^2-3x + 1 = 0。
这个负2就像个小乌云，我们要拨开乌云见x。
16. 求解5x^2+2x - 3 = 0。
5在这里就像个大力士，不过我们要指挥它来找到x。
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一元二次方程概念专项练习
知识梳理：
1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0)
2.一元二次方程的特点：
①整式方程
②a不为0
③只含有一个未知数
④未知数的最高次数为2
3.重点：一元二次方程的识别与判断
4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论
一、选择题
1、在下列方程中是一元二次方程的是（）
A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =0
2、下列方程为一元二次方程的是 ( )
A. B. C. D.
3、下列方程中，一元二次方程个数（）
①、；②、；③、；④、；⑤、.
A、5个
B、4个
C、3个
D、2个
4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）
A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
5、以1，-2为根的一元二次方程是
A.x2+x-2=0
B.x2-x+2=0
C.x2-x-2=0
D.x2+x+2=0
6、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（）
A．0 B．1 C．- 1 D．
7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
8、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于
A．1 B．2 C．1或2 D．0
9、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知
是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
10、若为方程的解，则的值为（）
A.12
B.6
C.9
D.16
二、填空题
11、如果,则一元二次方程必有一个根是.
12、已知是方程的解，则代数式的值为 .
13、已知，则的值是 .
14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。
15、若实数a满足，则3___________．
三、简答题
16、关于的方程是否一定是一元二次方程？请证明你的结论.
17、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？
18、已知关于x的方程．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
19、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学。
一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法：这
个方程在实数范围内无解，如果存在一个数使，那么方程可以变为，则，从而
是方程的两个根．小明还发现具有如下性质：
……
请你观察上述等式，根据发现的规律填空：，，，（为自然数）．
20、已知a,b是一元二次方程x2－x－1=0的两个根,求代数式3a2+2b2－3a－2b的值．
21、设a是方程的一个根，求代数式的值．
22、已知关于x的方程
（1）当a为何值时，方程是一元一次方程；
（2）当a为何值时，方程是一元二次方程；
（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．
23、已知x是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，求△=b²-4ac与M=(2ax0+b)2的大小关系．
参考答案
一、选择题
1、C
2、A
3、C
4、B
5、A
提示：以x1、x2为根的一元二次方程为(x-x1)(x-x2)=0.
6、B
7、 B；提示：由c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，得c2+bc+c=0,因为c≠0,∴c+b+1=0, ∴b+c=-1
8、B
9、A 解析：依题意,得联立得,∴,∴.故选．
10、B 解析:因为a为方程的解，则，所以,从而.
二、填空题
11、
12、2012
13、4或－1；
14、x（x-1）=182.
15、8
三、简答题
16、解：是.因为≠0，即方程中二次项的系数不为0，所以该方程一定是一元二次方程.
17、解:由题意得即时，的常数项为
18、分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.
解：（1）由题意得，即时，
方程是一元一次方程.
（2）由题意得，，即时，方程是一元二次方程.此方程的二次项
系数是、一次项系数是、常数项是.
19、【解】i －1 －i 1；
20、∵ a，b是方程x2－x－1=0的两个根∴ a= a2－1 ，b= b2－1
∴ 3a2+2b2－3a－2b=3a2+2b2－3（a2－1）－2（b2－1）=5．
21、-1．
22、（1）a=1
（2）a≠1且a≠0
（3）a=－1
23、∵x0是ax2+bx+c=0的根，
∴ax02+bx0+c=0，ax02+bx0=-c，
M=4a(ax02+bx0)+b2=-4ac+b2=b2-4ac=△，
∴M与△的大小关系为M=△．。