二阶系统
二阶系统案例
二阶系统案例
二阶系统案例包括弹簧阻尼系统、一维物块的运动、二阶熵、二阶控制系统的性能等。
1. 弹簧阻尼系统是一个典型的二阶系统，其中k为弹簧系数，B为阻尼系数。
通过分析其方程，可以得到系统的动态响应性能，如响应的快速性和逼近预期响应的程度。
2. 一维物块的运动是另一个二阶系统的实例，其中物块的位置和速度作为状态变量。
通过设计滑模控制器，可以将物块控制到原点。
3. 二阶熵是一个用于描述系统混乱程度的概念，可以用来描述人工智能系统的混乱程度。
4. 二阶控制系统的性能方面包括单位脉冲函数的输入和阶跃响应等，这些性能可以通过计算相关参数如上升时间、峰值时间和超调量等来衡量。
综上所述，二阶系统在多个领域中都有广泛应用，可以通过分析其方程和性能参数来深入了解其动态行为和性能。
二阶系统
3－4 二阶系统用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。
它在控制系统中应用极为广泛。
例如，R L C --网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。
此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。
因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。
以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。
这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。
图中i K K K K m 21=，系统闭环传递函数为Ks s T K s R s C m ++=2)()( （3-9） 为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或标准形式或 2222)()(nn n s s s R s C ωξωω++= （3-10）图3-9(b)为二阶系统的一般结构图形式。
式中K T T m n ==ω1；K T 12=ξ；mKT 21=ξ 可见，二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比ξ和自然频率n ω (或时间常数T )两个参数确定。
一般形式的闭环特征方程为方程的特征根(系统闭环极点)为当阻尼比较小，即10<<ξ时，方程有一对实部为负的共轭复根系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。
当1=ξ时，系统有一对相等的负实根系统时间响应开始失去振荡特性，或者说，处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态。
当阻尼比较大，即1>ξ时，系统有两个不相等的负实根这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。
当0=ξ时，系统有一对纯虚根，即n j s ω±=2,1，称为无阻尼状态。
系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。
上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。
下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。
一、 二阶系统的阶跃响应1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。
由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。
3.3 二阶系统的时间响应
由传递函数
1 s
2 X o s n Gs 2 2 X i S s 2n s n
得
2 2 n n 1 X o s Gs X i S 2 2 2 2 s 2n s n s ss 2n s n
下面根据阻尼比的不同取值情况来分析二阶系统的单位阶跃响应。
2 n n 1 1 X o s 2 s s n 2 s n ss n
对其进行拉氏反变换得二阶系统在临界阻尼系统状态下的单位阶跃响应为
t 0 xo t 1 e nt 1 nt ，
其响应曲线如图所示，既无超调，也无振荡。
2s 1 ，试求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 s 2 2s 1
当输入信号是单位阶跃信号时，x1i t 1t ，X 1i s 1 ，则系统在单位阶跃信号作用
下的输出拉氏变换为
s
X 1o s G s X 1i s
故系统的单位阶跃响应为
2s 1 1 1 1 s s 2 2s 1 s s 12 s 1
2
式中
d n 1 2
称为阻尼自然频率。
当ζ=1时，二阶系统称为临界阻尼系统，其特征方程的根是两个相等的负实根，即
s1, 2 n
3.3.1 二阶系统的数学模型（3）
当ζ＞1时，二阶系统称为过阻尼系统，其特征方程的根是两个不相等的负实根，即
s1, 2 n n 2 1
当输入信号是单位阶跃信号时则系统在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为故系统的单位阶跃响应为当输入信号为单位脉冲信号时根据线性定常系统的性质可得系统的单位脉冲响应tedt
3.3 二阶系统的时间响应
第三章二阶系统
n C ( s) ( s) 2 R( s) s 2n s n 2
2
（3-18）
S n n 1 S (S n ) 2 d 2 (S n ) 2 d 2
nt
d
n n d d d n 1 2 1 2
2 ω 二阶系统单位 n 2 Φ(s)= 2 s +2ξωns+ωn2 阶跃响应定性分析
＞ 1 ξξ ＞ 1
j 2- 1 ± √ ξ Tξω T ω ξ＝1 S1,2= n n 0
1 1
2 1
j
j
e = -ωh(t)= 1 -(1+ω t) 0 e过阻尼 -ωnt ξ ω S = e ξ＝ 1 n n h(t)= 1+ 1,2 n + T T 1 1
对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
h(t ) 1 e
1 1
[cos d t
1
2
sin d t ]
t 0
1
稳态分量
1 2
e nt sin( d t )
瞬态分量
1 2
arctg
1 2
arccos
d n 1 2 －阻尼振荡频率
A1 1
衰减快
慢
jω
A2
1
S2
S1
0
σ
S n ( 2 1)
A3
1 2 2 1( 2 1)
ξ
基 本 上 由 S1决 定
图 3-10二 阶 系 统 的 实 极 点
h(t ) 1
1 2 1( 1)
一阶系统和二阶系统区分方法
一阶系统和二阶系统是控制系统中常见的两种类型，它们可以通过以下几个方面进行区分： 1. 数学模型形式：一阶系统的数学模型通常由一个一阶微分方程描述，例如 RC 电路。而二 阶系统的数学模型则由一个二阶微分方程描述，例如振动系统或者 RLC 电路。
2. 阶数：一阶系统的阶数为1，即系统的最高导数为一阶导数。而二阶系统的阶数为2，即 系统的最高导数为二阶导数。
3. 动态响应：一阶系统的动态响应相对简单，通常具有指数衰减的特点。例如，一阶惯性 系统的响应可以用指数函数来描述。而二阶系统的动态响应则更加复杂，通常具有振荡、超调 和稳定性等特点。
一阶系统和二阶系统区分方法
4. 频率响应：一阶系统的频率响应通常是单调递减的，即随着频率的增加，系统的增益逐 渐减小。而二阶系统的频率响应则可能具有共振现象，即在某个特定频率处，系统的增益达 到最大值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5. 控制器设计：由于其较简单的动态特性，一阶系统的控制器设计相对简单。而二阶系统 的控制器设计则需要考虑更多的因素，例如稳定性、超调和振荡等。
通过对以上方面的观察和分析，可以较为准确地区分一阶系统和二阶系统。但需要注意的 是，实际系统可能具有更复杂的特性，可能不严格符合一阶或二阶系统的定义，因此在实际 应用中需要综合考虑多种因素。
自动控制理论时域分析2--二阶系统
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
4 第四讲 二阶系统
ω= n
2
1 L C
ω= n
1 LC
2ζ ω = n
R L
ζ=
R 2
C L
闭环传递函数为:
R
ω s +2ζ ω s +ω
n 2 n
2
C
2 n
图.4.14 一般的闭环传递函数
闭环传递函数：
R
ω s +2ζ ω s +ω
n 2 n
2
C
2 n
图.4.14 一般闭环传递函数
开环传递函数：
R(s)
-
s(s + 2ζωn )
ω
C(s)
2 n
→ 永磁直流电机位置控制系统
该系统的方框图为： v + v θ K
d
K
l
p
_
K
a
m
ω 1 ω 1
m
l
θ
l
a
R(C + Js)
N
K
p
s
图.4.13 位置控制系统的方框图
θ
d
K
+ _
v
l
p
K
v
aaBiblioteka R(C + Js)
K
m
ω 1 ω 1
m
l
θ
l
N
p
s
K
1. 电机励磁绕组的电路
di va = iR + L dt
n 2 n
2
C
2 n
图.4.14 一般闭环传递函数
◆ 阶跃响应
当阶跃输入作用于二阶系统时，
ω C(s) = S (s +2ζ ω s +ω)
3.3二阶系统
tp d 1 2 n
(6)最大超调量的计算：
p
c(t p ) c() c ( )
n t p
100%
1 2
2
e
e
(cos d t p
sin d t p ) 100%
n t p
(cos
1
sin ) 100%
dc(t ) / dt 0
则
故
n e
nt p
sin(d t p ) d e
tan(d t p )
nt p
cos(d t p ) 0
2
1
tan
到达第一个峰值时应有
d t p 0, , 2 ,3
d t p
s1 , s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
三、二阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
r (t ) 1(t )
1 R( s) s
于是
2 n 1 C ( s) 2 2 s 2n s n s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
c(t ) L1[C ( s)] 下面按阻尼比分别讨论。
欠阻尼系统单位阶跃响应为
c(t ) 1 e nt cos d t
n t e sin d t d
n
1 e nt (cos d t
1
2
sin d t )
(t 0)
或写为
c(t ) 1 e nt 1
2
( 1
解得 t 1/ n 。 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的 95% 所经历的时 间做为调整时间，则
二阶系统参数与根轨迹
二阶系统是控制系统中的一种重要模型，其数学表达式为dy/dt = c*y + u，其中c为二阶系统的阻尼系数，u为输入。
根轨迹图是二阶系统的一个重要特性，它展示了系统参数c与系统稳定性和性能之间的关系。
参数c决定了系统的阻尼程度和周期性。
当c>0时，系统是稳定的，且随着c的增加，系统的阻尼会减小，周期性也会减小，即系统的性能会变好。
当c<0时，系统是不稳定的，且随着c的减小，系统的周期性会增加，即系统的性能会变差。
根轨迹图是二阶系统的动态特性在s平面上的投影。
通过观察根轨迹图，可以了解系统的稳定性和性能。
根轨迹图的形状和位置取决于系统的参数c。
当c增加时，根轨迹图向-1/s轴移动，这意味着系统的阻尼和周期性减小，性能变好。
当c减少时，根轨迹图向虚轴移动，这意味着系统的稳定性受到影响，周期性增加，性能变差。
通过分析根轨迹图，可以确定控制系统设计的最佳参数。
例如，可以通过控制输入信号的频率和幅度来优化系统的性能。
在控制系统设计中，根轨迹图还可以用于确定反馈控制器的参数，以实现系统的稳定性和性能优化。
总之，二阶系统的根轨迹图是系统动态特性的重要表示，它提供了关于系统稳定性和性能的直观信息。
通过理解根轨迹图的形成和特点，可以更好地设计和优化控制系统，从而实现更好的动态性能和稳定性。
因此，对根轨迹图的理解和分析对于控制系统设计具有重要意义。
自控原理 二阶系统
自控原理二阶系统自控原理是控制工程的基础知识之一，其中的二阶系统更是控制工程中的重要组成部分。
二阶系统通常由两个一阶系统级联或串联而成，具有比一阶系统更高的动态性能和控制精度。
在现实生活中，我们常常可以遇到二阶系统的例子。
比如，我们乘坐的汽车通常都是由发动机和传动系统来控制车辆的速度和行驶方向，这就是一个典型的二阶系统。
在这个系统中，发动机和传动系统分别起到加速和减速的作用，通过调节二者之间的协调关系来实现对汽车行驶状态的控制。
二阶系统的特点之一是具有振荡性。
在控制工程中，我们常常会遇到振荡现象，就好比一个摆动的钟摆。
这种振荡现象往往会对系统的稳定性产生负面影响，因此在设计二阶系统时需要注意对振荡进行控制。
控制二阶系统的一种常用方法是PID控制器，即比例-积分-微分控制器。
PID控制器通过对系统进行反馈调节，根据系统输出与期望输出之间的差异进行比例、积分和微分运算，从而实现对系统的精确调节和控制。
除了PID控制器，还有许多其他的控制方法可以应用于二阶系统。
例如，模糊控制和神经网络控制等，这些方法能够通过建立适当的数学模型来实现对二阶系统的控制。
在实际应用中，二阶系统广泛应用于各个领域，如航空航天、工业自动化、医疗仪器等等。
在飞行器中，二阶系统可以用来控制飞机的姿态和高度；在工业领域中，二阶系统可以用于控制机器人的运动和精确定位；在医疗仪器中，二阶系统可以用来控制心脏起搏器的工作频率和波形等。
总之，二阶系统作为自控原理中的重要组成部分，具备振荡性和动态性能较高的特点。
通过合理设计和选择控制方法，我们可以对二阶系统进行精确的调节和控制，从而实现对系统的稳定性和性能的优化。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适当的控制方法，以满足系统的要求，提高生产效率和工作质量。
二阶系统课程设计
二阶系统课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握二阶系统的理论知识，能够运用二阶系统解决实际问题。
具体分为以下三个部分：1.知识目标：学生需要掌握二阶系统的定义、特点和应用；了解二阶系统的求解方法和相关理论。
2.技能目标：学生能够运用二阶系统的理论知识分析和解决实际问题；能够熟练使用相关软件工具进行二阶系统的分析和设计。
3.情感态度价值观目标：培养学生对科学研究的兴趣和热情，提高学生的问题解决能力和创新意识。
二、教学内容根据课程目标，本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.二阶系统的定义和特点：介绍二阶系统的定义、特点和应用领域，使学生了解二阶系统的基本概念。
2.二阶系统的求解方法：讲解二阶系统的求解方法，包括解析法和数值法，让学生学会求解二阶系统的方法。
3.二阶系统的分析和设计：介绍二阶系统的分析和设计方法，使学生能够运用二阶系统解决实际问题。
4.相关软件工具的使用：教授相关软件工具的使用方法，让学生能够熟练使用工具进行二阶系统的分析和设计。
三、教学方法为了实现课程目标，本课程将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：通过讲解二阶系统的理论知识，使学生掌握基本概念和理论。
2.讨论法：学生进行小组讨论，引导学生主动思考和探索，提高问题解决能力。
3.案例分析法：分析实际案例，让学生学会将理论知识应用于实际问题的分析和设计中。
4.实验法：让学生动手进行实验，培养学生的实践能力和创新意识。
四、教学资源为了支持课程内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统的理论知识学习。
2.参考书：提供相关领域的参考书，丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料：制作精美的多媒体课件，提高学生的学习兴趣和效果。
4.实验设备：准备实验所需的设备，让学生能够进行实践活动，提高实践能力。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等多个方面，以全面、客观、公正地评价学生的学习成果。
二阶欠阻尼系统冲激响应曲线
二阶欠阻尼系统冲激响应曲线二阶欠阻尼系统冲激响应曲线一、引言在探讨二阶欠阻尼系统冲激响应曲线之前，我们首先需要了解什么是二阶系统，欠阻尼系统以及冲激响应曲线。
在工程控制系统中，二阶系统是一种常见的动态系统，而欠阻尼系统则是指系统的阻尼比较小的情况。
冲激响应曲线则是描述系统对冲激信号的输出响应情况。
通过本文的深入探讨，我们将更好地理解二阶欠阻尼系统冲激响应曲线的特性和意义。
二、二阶系统的基本特性1. 二阶系统的定义在控制工程中，二阶系统是指系统的传递函数具有二次项的动态系统。
它可以用以下的微分方程表示：\[M\ddot{x} + C\dot{x} + Kx = F(t)\]其中，\(M\)、\(C\)、\(K\)分别表示系统的质量、阻尼和刚度，\(F(t)\)表示外部输入信号。
传递函数通常可以表示为：\[G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{1}{Ms^2 + Cs + K}\]2. 二阶系统的特性二阶系统具有的特性包括：共振频率、阻尼比以及自然频率。
在理解二阶系统的基本特性后，我们可以更好地探讨欠阻尼系统对其冲激响应曲线的影响。
三、欠阻尼系统的特性1. 欠阻尼系统的定义欠阻尼系统是指系统的阻尼比较小的情况，通常表现为振荡幅值较大、持续时间较长的特点。
在二阶系统中，欠阻尼将对系统的响应产生重要影响。
2. 欠阻尼系统的影响欠阻尼系统对系统响应的影响主要表现在振荡频率、振荡幅值以及响应持续时间上。
在冲激响应曲线中，我们将看到欠阻尼系统的特殊表现。
四、冲激响应曲线的特性1. 冲激响应曲线的定义冲激响应曲线是描述系统对冲激信号的响应情况的曲线。
通过冲激响应曲线，我们可以了解系统的动态特性和稳定性。
2. 冲激响应曲线的特性冲激响应曲线的特性包括：初始值、幅值、振荡频率以及响应持续时间。
在二阶欠阻尼系统中，冲激响应曲线将表现出特殊的形态和特征。
五、二阶欠阻尼系统冲激响应曲线的特点分析1. 冲激响应曲线的形态在二阶欠阻尼系统中，冲激响应曲线将呈现出振荡幅值较大、持续时间较长的特点。
自动控制原理第三章二阶系统
1. ζ >1 过阻尼
1 T
e-t/T
c(t)=1-e-t/T
r(t)=t
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
自动控制原理第三章二阶系统
第二节 一阶系统性能分析
设例ФKk(若=s一 调 t)=s1要=阶 节000CR求系 时.1((ss:sK统 间))，=H的t=求1s+0结（反t1.11s0构0±=馈000•如/5K.系S1%HR图/s(数Ss）)，。；=试(_E如0(求.则s0果)11系://K要KKS统HkH求)的S+C1(s) 解Ф：(系s)统=t s=闭CR3((T环ss=))传=3×1递+K01H1函.000=010数0•/./0K3S.1H/=SK0k .=K1HT0.s=11S00K+.0H11/KH
有性任何着 能=二对 指S2阶应 标+GR系(的 与sS1)/=统/L关 其L+CUU的1系 参rc(/(ssL动))C数。=态L间求C=性S的出2能S+2关标R+1指C2系准Sζω标+ω形，1n。2n 式S便+ω的可n动求2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
态 得
2ζ ω n=R/L
得：
ω
2 n
=
1/LC
ω n=1/ LC
ζ=
RC 2L
一阶系统ts =单3位T 阶跃响应:
(±R5%(s))=
1 S
C(s)= tФs =(s4)•TS1
=
1 TS+1
•
1S(=±1S2%- S)+11/T
二阶系统
σ
持续的等幅振荡
jw
wn 1 2
s1
wn
0
σ
s2
当ξ<0时，系统处 于负阻尼状态, 有一 对实部为正的共轭复 根，系统时间响应为 发散振荡
二阶系统的响应特性完全由ξ和Wn两个参数来描述，所 以， ξ和Wn是系统的重要结构参数。
二、二阶系统的单位阶跃响应
系统的阻尼系数ξ影响系统响应的性质，下 面根据ξ值的条件来讨论对应的阶跃响应。
减的指数函数，因此，当时间t趋于无穷时，动态分量衰减 为零，因此，二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。
三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
1、上升时间tr
单位阶跃响应曲线第一次达到稳态值的时间就是上升
时间，此时，h(tr)=1,即得：
h(t) 1 ent (cosdt
1
§3－3 二阶系统分析
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统，许多高阶 系统的在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。
一、二阶系统地数学模型
最简单的二阶微分方程的标准形式是：
T
2
d 2r dt2
2T
dr dt
经过拉氏变换可得：
r c (S)
C(s) R(s)
s2
wn2
2wns
2 n
1 s 2 n
s
s2
2
ns
2 n
s
s2
2 ns
2 n
1 s
s2
s n
2
n
s
2 n
s2
二阶系统的概念
二阶系统的概念
二阶系统是指系统的动态特性可以由二阶（second-order）微分方程描述的系统。
这种系统的动态行为通常包括惯性和阻尼，可以在控制系统、信号处理、电气工程等领域中找到。
在控制系统中，二阶系统通常通过其阻尼比（damping ratio）和自然频率（natural frequency）来描述。
阻尼比反映了系统振荡的衰减程度，而自然频率则表示系统的固有振荡频率。
二阶系统的响应可以分为三种情况：过阻尼（overdamped）、临界阻尼（critically damped）和欠阻尼（underdamped）。
这些特性影响着系统的稳定性、响应速度和振荡行为。
在信号处理中，二阶系统也经常用于建模滤波器的动态行为。
二阶滤波器可以有不同的频率响应和阻尼特性，适用于各种信号处理应用。
总体而言，二阶系统是一类常见的动态系统，通过数学建模和分析，可以更好地理解和设计控制系统、滤波器以及其他工程应用。
阶系统与二阶系统
参Hale Waihona Puke 优化根据系统性能指标，对系统参数进行优化， 以获得最佳性能。
系统仿真与验证
通过仿真软件或实验平台对系统进行仿真或 验证，确保系统性能满足要求。
二阶系统的设计方法
确定系统参数
根据系统性能要求，确定系统 的固有频率、阻尼比等参数。
建立数学模型
动态性能比较
阶系统
阶系统的动态性能主要取决于其 阶数，阶数越高，系统的动态响 应速度越快，但同时也会增加系 统的复杂性。
二阶系统
二阶系统相对于一阶系统，具有 更复杂的动态性能，其响应速度 和稳定性都可能受到影响。
比较
阶系统和二阶系统的动态性能各 有特点，需要根据实际应用需求 进行选择。
稳定性比较
THANKS
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二阶系统
二阶系统的控制策略除了PID控制和状态反馈控制外，还可以采用 一些特殊的控制策略，如滑模控制、鲁棒控制等。
比较
阶系统和二阶系统的控制策略各有特点，需要根据实际应用需求进 行选择。
04
阶系统与二阶系统的设计方法
阶系统的设计方法
确定系统阶数
根据系统需求和性能要求，确定系统的阶数。
建立数学模型
二阶系统的应用场景
物理系统
01
二阶系统广泛应用于物理领域，如振荡器、弹簧-质量-阻尼器
系统等。
工程领域
02
在控制工程、航空航天、机械工程等领域，二阶系统被用于描
述各种动态过程。
生物医学领域
03
在生物医学领域，二阶系统也被用于描述生理系统的动态行为，
如心脏电生理、神经元网络等。
03
二阶系统的时间响应
3）K = 13.5时
n=8.22rad/s，=2.1 ，系统工作于过阻尼状态，
传递函数可以改写为：
G(s)
s2
67.5 34.5s
67.5
(0.481s
1 1)(0.0308s
1)
即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组
成，其中 T1=0.481s,T2=0.0308s
对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可
K=8.9/0.03=297N/m
又由图b)知：
M p e
1 2 100% 0.0029 100% 9.7% 0.03
解得： = 0.6
又由： t p
n
2 12
代入，可得n=1.96rad/s
根据 n
K , C
M 2 KM
解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s
✓ 例题2
单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo (t) 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
G(s)
X o (s) Xi (s)
X o (s)
L[xo (t)]
L[7 5e6t ]
7 5 2s 42 s s 6 s(s 6)
➢ 例2
已知系统传递函数：
G(s)
2s 1 (s 1)2
1.5 1 2 , 0.05
则
N ts Td
2
12
,
0.02
N 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。 越大，N越小，系统平稳性越好。
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结论
0
二阶系统的动态性能由n和决定。
二阶系统的实验原理
二阶系统的实验原理二阶系统是指系统的传递函数具有二阶的形式，一般表示为：G(s) = \frac{{K}}{{(s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2)}}其中，K表示系统的增益，\zeta表示阻尼比，\omega_n表示自然频率，s表示复变量。
二阶系统的实验原理是通过对系统的输入和输出进行实验测量，从而确定系统的传递函数和参数。
实验原理包括以下几个方面：1. 设计实验输入：为了确定系统的传递函数，需要设计适当的实验输入信号。
常见的输入信号包括阶跃信号、脉冲信号、正弦信号等。
通过对输入信号的变化，可以得到系统在不同频率下的响应特性。
2. 实验测量输出：实验测量系统的输出响应，一般使用传感器或仪器来测量。
根据所测量到的输出信号，可以得到系统在不同频率下的幅频特性和相频特性。
3. 建立传递函数模型：根据实验测量到的输入输出数据，可以通过系统辨识方法建立系统的传递函数模型。
4. 确定系统参数：通过实验测量和传递函数模型的拟合，可以确定二阶系统的参数，包括增益K、阻尼比\zeta和自然频率\omega_n。
5. 分析系统性能：通过系统参数的确定，可以对系统的性能进行分析。
例如，阻尼比\zeta决定系统的阻尼特性，自然频率\omega_n决定系统的振荡频率。
可以通过调节参数来改变系统的响应特性，以满足具体的控制要求。
6. 进行闭环控制：根据实验测量得到的二阶系统的传递函数和参数，可以设计闭环控制器。
闭环控制器将根据系统的输入和输出信号进行反馈调节，使得系统的响应更加稳定和准确。
总结：二阶系统的实验原理主要是通过对系统的输入和输出进行实验测量，通过实验测量得到系统的传递函数和参数，从而分析系统的性能和设计闭环控制器。
通过实验原理的应用，可以提高系统的控制性能和稳定性，满足实际应用的要求。
二阶系统的标准形式
二阶系统的标准形式
二阶系统的标准形式可以被描述为以下形式的微分方程：
$$\frac{d^2y}{dt^2}+2\zeta\omega_n\frac{dy}{dt}+\omega_n ^2y=u(t)$$
其中，$y$表示系统的输出，$u(t)$表示系统的输入，$\zeta$和$\omega_n$分别表示系统的阻尼比和自然频率。
该方程代表了一个二阶系统的动态行为，其中
$2\zeta\omega_n\frac{dy}{dt}$表示系统的阻尼项，
$\omega_n^2y$表示系统的惯性项。
阻尼比$\zeta$决定了系统的阻尼程度，自然频率$\omega_n$则决定了系统的振荡频率。
二阶系统可以根据其阻尼比$\zeta$的不同取值分为三种情况：欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
欠阻尼情况下，系统会发生振荡；临界阻尼情况下，系统会逐渐回到平衡位置；过阻尼情况下，系统会更快地回到平衡位置。
通过研究二阶系统的标准形式，我们可以更好地理解和分析系统的动态行为，以及调整系统的参数和结构，以满足特定的控制需求。
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由曲线看出，实际响应曲线比指数曲线的包络线 收敛速度要快，因此可用包络线来估算调节时间。
二阶系统单位阶跃响应的通用曲线如下，可以利用它来 分析系统系统结构参数ξ、Wn对阶跃响应性能的影响。
C(t)
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
2 wn 2 s 2 2 wn s wn
其闭环特征方程为： s 2 2 w s w 2 0 n n
方程的特征根为：
s1, 2 wn wn 2 1
由方程的特征根说明，随着阻尼比的不同，二阶 系统的特征根（闭环极点）也不同，如下所示： s1
wn
jw
d n 1 2 决定了指数衰减的快慢，虚部
当ξ＝0.707，以ωnt为横坐标时的单位阶跃响应曲线如下： t=0:0.1:5 x=sqrt(1-0.99^2) h1=1+exp(-0.99*t)/x h2=1-exp(-0.99*t)/x h3=1-(exp(0.99*t)/x).*sin(x*t+acos (0.99)) plot(t,h1,t,h2,t,h3),grid
当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) 1 ，有：
s
1 C (s) (s) , s 1 c (t ) L1[ ( s ) ] s
分析：
1、过阻尼ξ>1的情况
系统闭环特征方程有两个不相等的实根 特征方程为： 1 1 2 2 s 2 wn s wn ( s )( S ) 0 T1 T2
1 2
e
100 %
σ
ζ
4、调节时间ts
根据定义，可由h(ts)-h(∞)=0.05h(∞)求得ts,但比较困 难，一般当阻尼比ξ＝0.4～0.8时，采用下列近似公式来 计算： 由于ξ通常是根据最 3 .5 3 .5T ts (允许误差范围为 5％) 大超调量的要求来确定 n 的，所以ts主要由wn来 4 .5 4 .5T ts (允许误差范围为 2％) 确定。
1、上升时间tr
单位阶跃响应曲线第一次达到稳态值的时间就是上升 时间，此时，h(tr)=1,即得：
h (t ) 1 e
n t
(cos d t
解得
1
2
sin d t ) 1
1 2 1 tr arctan( ) wd d
s1
wn
T1 /T2
2、临界阻尼ξ=1的情况
这时系统具有两个相等的负实根，s1,2=-Wn 所以
Wn 2 1 C (s) ( s Wn ) 2 s
则可得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应为：
h (t ) 1 (1 nt )e wnt
3、零阻尼ξ=0的情况
这时系统极点为，s1,2=±jWn 2 n 1 s C (s) 2 2 2 s ( n s 2 ) s s n
wn 1 2
0
σ
s2 jw
当0<ξ <1时，系统处于欠阻尼 状态, 有一对实部为负的Biblioteka 轭复 根，系统时间响应应具有振荡 性
s2 s1
wn
0
σ
当ξ＝1时，系统处于临界阻尼 状态, 有一对相等的负实根，系 统时间响应无振荡,单调上升
jw
jw s1
wn
0
当ξ>1时，系统处 于过阻尼状态, 有两 S2 s1 0 σ 个不相等的负实根， 系统时间响应无振荡, 单调上升 当ξ＝0时，系统处于零阻尼状态, 有一对纯虚根，系统时间响应为 持续的等幅振荡 σ
0
2
4
6
8
10
由图可以看出，对 欠阻尼系统，当 0.5≤ξ≤0.8时， 其暂态响应能更快 的达到稳定值，具 有较小的调节时间。 在无振荡的系统中， 临界阻尼比过阻尼 系统的相应时间和 调整时间都短。过 nt 阻尼系统的响应速 12 度最迟缓。 1 2
阻尼比与超调量σ %的关系曲线如下：
σ
ζ
平稳性：
所以有
2 t p 0, , ,....... d d
tp d n 1 2
由于tp定义为第一次到达峰值的时间，所以应该取：
3、超调量σ %
将t=tp代入代入系统阶跃响应的表达式，且h(∞)=1,
h (t p ) 1 e
所以
1 2
%
h (t p ) 1 1
ξ
eg3－2: 位置随动系统的开环传递函数如下，当给定位置 为单位阶跃时，试计算放大器增益Ka＝200时，输出位置 响应特性的性能指标：峰值时间、调节时间和超调量。如 果将放大器增益增大到Ka＝1500或减小到Ka＝13.5，那 么响应的动态性能有何影响？ 5 Ka
G (s)
解：系统属于单位负反馈，所以它的闭环传递函数为：
由曲线看出，阻尼比ξ越大，超调量越小，相应的 振荡倾向越弱，平稳性越好，反之，则振荡越强，平 稳性越差。当ξ＝0时，零阻尼响应变成具有频率为 Wn的不衰减（等幅）振荡，表达式如下： h (t ) 1 sin( nt 90 0 ) 1 cos nt 由阻尼比和超调量的关系曲线可以看出， 在一定的 阻尼比ξ下，Wn越大，振荡频率Wd也越高，系统响 应的平稳性越差。 1 2
jw
wn 1 2
结论：当阻尼比ξ一定时，欲使上升时 间tr较短，必须要求系统具有较高得 无阻尼自然频率Wn。
0
σ
s2
2、峰值时间tp
响应曲线到达第一次峰值所需要得时间，将系统的单位 阶跃响应h(t)对时间求导，并令其为零，可得到峰值时间。
dh (t ) n n t p (sin d t p ) e 0 2 dt 1
T2
1
1 e T1 / T2 1
稳态分量为1，动态分量为两项指数函数，且随着 时间t的增长而衰减为零，最终输出稳态值为1，所以 系统不存在稳态误差。其响应曲线如下图所示： h(t) 1 C(t)
系统有两个衰减指数项， 当ξ》1时，后一项指数 比前一项衰减的快，可以 忽略，近似为一阶系统
对于过阻尼二阶系统，无超调量，无稳态误差只着重讨 论调节时间，下图是取对变量ts/T1及T1/T2经机器结算后绘 制成的曲线：
当输入信号为单位阶跃时，系统的单位阶跃响应为：
C (s) 1 1 T 1 (T1s 1)(T2 s 1) s s T2 T1
1 c (t ) 1 e T2 / T1 1
t T1
1
1
1 T1 T2 1 (s ) (s ) T1 T2
t T2
d n
结论：总的来说，要使系统阶跃响应的平稳性好，就要 求阻尼比ξ大，自然频率Wn小。
快速性：
由曲线可以看出，阻尼比ξ过大，系统响应迟钝， 调节时间Ts长，快速性差；ξ过小，虽然响应的起 始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调 节时间也长，快速性差。 • 由误差带的调节时间与阻尼比关系曲线可以 看出当ξ＝0.707时，调节时间最短，即快速性最 好。在二阶系统的单位阶跃响应中，自变量总是与 参数T（T＝Wn-1）结合成t/T出现，h(t)好像是以T 作为时间t的计量单位，因此T具有时间尺度的性质， 如果T增大几倍，则h(t)就在横坐标方向展宽几倍， 反之则压缩几倍。 • 结论： 对于ξ值相同的系统来说，过渡过程经历 的时间长短就正比于时间常数T，反比于Wn。
jw
wn 1 2
s2
s1 σ s2
0
wn
当ξ<0时，系统处 于负阻尼状态, 有一 对实部为正的共轭复 根，系统时间响应为 发散振荡
二阶系统的响应特性完全由ξ和Wn两个参数来描述，所 以， ξ和Wn是系统的重要结构参数。
二、二阶系统的单位阶跃响应
系统的阻尼系数ξ影响系统响应的性质，下 面根据ξ值的条件来讨论对应的阶跃响应。
误差带5%
ts /T1
由曲线看出，当T1＝T2时，即ζ＝ １的临界阻尼情况ts ＝4.75 T1 ； 当T1＝4T2，即ζ＝１.25时， ts ≈3.3T1；当T1>4T2，即ζ>１.25 时， ts ≈3T1
结论：当一个系统的一个负实 根比另一个大四倍以上，即两 个惯性环节时间常数相差四倍 以上，则系统可以等效为一阶 系统，其时间调节时间可以近 似估算为3 T1。
1
n 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
1
s n
c (t ) 1 e n t [cos( 1 2 n t )
1 2
sin( 1 2 n t )] , t 0
c (t ) 1 e n t (cos d t
n
1.2 由分析知，当ξ＝ 1 0.4～0.8时，调节时 0.8 间和超调量都较小。 0.6 工程上常取ξ＝ 0.4 0.707作为设计依据， 0.2 称为最佳阻尼比。 0
nt
0
2 4 6 8
10
12
5、振荡次数N
由定义可知：
ts 2 (Td 为系统的有阻尼振荡周 期) Td d 2 .25 1－ 2 4 .5 若取 2％误差带， t s＝ , 则 N＝ n N
§3－3 二阶系统分析
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统，许多高阶 系统的在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。
一、二阶系统地数学模型
最简单的二阶微分方程的标准形式是：
d 2r dr 2 T 2T r c 2 C (s) dt dt 经过拉氏变换可得： ( S )
R(s)
T 其中： 1 1 wn ( 1 )