二阶系统

当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) 1 ，有：
s
1 C (s) (s) , s 1 c (t ) L1[ ( s ) ] s
分析：
1、过阻尼ξ>1的情况
系统闭环特征方程有两个不相等的实根 特征方程为： 1 1 2 2 s 2 wn s wn ( s )( S ) 0 T1 T2
0
2
4
6
8
10
由图可以看出，对 欠阻尼系统，当 0.5≤ξ≤0.8时， 其暂态响应能更快 的达到稳定值，具 有较小的调节时间。 在无振荡的系统中， 临界阻尼比过阻尼 系统的相应时间和 调整时间都短。过 nt 阻尼系统的响应速 12 度最迟缓。 1 2
阻尼比与超调量σ %的关系曲线如下：
σ
ζ
平稳性：
d n
结论：总的来说，要使系统阶跃响应的平稳性好，就要 求阻尼比ξ大，自然频率Wn小。
快速性：
由曲线可以看出，阻尼比ξ过大，系统响应迟钝， 调节时间Ts长，快速性差；ξ过小，虽然响应的起 始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调 节时间也长，快速性差。 • 由误差带的调节时间与阻尼比关系曲线可以 看出当ξ＝0.707时，调节时间最短，即快速性最 好。在二阶系统的单位阶跃响应中，自变量总是与 参数T（T＝Wn-1）结合成t/T出现，h(t)好像是以T 作为时间t的计量单位，因此T具有时间尺度的性质， 如果T增大几倍，则h(t)就在横坐标方向展宽几倍， 反之则压缩几倍。 • 结论： 对于ξ值相同的系统来说，过渡过程经历 的时间长短就正比于时间常数T，反比于Wn。
d n 1 2 决定了指数衰减的快慢，虚部
当ξ＝0.707，以ωnt为横坐标时的单位阶跃响应曲线如下： t=0:0.1:5 x=sqrt(1-0.99^2) h1=1+exp(-0.99*t)/x h2=1-exp(-0.99*t)/x h3=1-(exp(0.99*t)/x).*sin(x*t+acos (0.99)) plot(t,h1,t,h2,t,h3),grid
所以有
2 t p 0, , ,....... d d
tp d n 1 2
由于tp定义为第一次到达峰值的时间，所以应该取：
3、超调量σ %
将t=tp代入代入系统阶跃响应的表达式，且h(∞)=1,

ห้องสมุดไป่ตู้

h (t p ) 1 e
所以
1 2
%
h (t p ) 1 1
误差带5%
ts /T1
由曲线看出，当T1＝T2时，即ζ＝ １的临界阻尼情况ts ＝4.75 T1 ； 当T1＝4T2，即ζ＝１.25时， ts ≈3.3T1；当T1>4T2，即ζ>１.25 时， ts ≈3T1
结论：当一个系统的一个负实 根比另一个大四倍以上，即两 个惯性环节时间常数相差四倍 以上，则系统可以等效为一阶 系统，其时间调节时间可以近 似估算为3 T1。
wn 1 2
0
σ
s2 jw
当0<ξ <1时，系统处于欠阻尼 状态, 有一对实部为负的共轭复 根，系统时间响应应具有振荡 性
s2 s1
wn
0
σ
当ξ＝1时，系统处于临界阻尼 状态, 有一对相等的负实根，系 统时间响应无振荡,单调上升
jw
jw s1
wn
0
当ξ>1时，系统处 于过阻尼状态, 有两 S2 s1 0 σ 个不相等的负实根， 系统时间响应无振荡, 单调上升 当ξ＝0时，系统处于零阻尼状态, 有一对纯虚根，系统时间响应为 持续的等幅振荡 σ
T1 /T2
2、临界阻尼ξ=1的情况
这时系统具有两个相等的负实根，s1,2=-Wn 所以
Wn 2 1 C (s) ( s Wn ) 2 s
则可得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应为：
h (t ) 1 (1 nt )e wnt
3、零阻尼ξ=0的情况
这时系统极点为，s1,2=±jWn 2 n 1 s C (s) 2 2 2 s ( n s 2 ) s s n

T2
1
1 e T1 / T2 1
稳态分量为1，动态分量为两项指数函数，且随着 时间t的增长而衰减为零，最终输出稳态值为1，所以 系统不存在稳态误差。其响应曲线如下图所示： h(t) 1 C(t)
系统有两个衰减指数项， 当ξ》1时，后一项指数 比前一项衰减的快，可以 忽略，近似为一阶系统
对于过阻尼二阶系统，无超调量，无稳态误差只着重讨 论调节时间，下图是取对变量ts/T1及T1/T2经机器结算后绘 制成的曲线：
jw
wn 1 2
结论：当阻尼比ξ一定时，欲使上升时 间tr较短，必须要求系统具有较高得 无阻尼自然频率Wn。
0
σ
s2
2、峰值时间tp
响应曲线到达第一次峰值所需要得时间，将系统的单位 阶跃响应h(t)对时间求导，并令其为零，可得到峰值时间。
dh (t ) n n t p (sin d t p ) e 0 2 dt 1
ξ
eg3－2: 位置随动系统的开环传递函数如下，当给定位置 为单位阶跃时，试计算放大器增益Ka＝200时，输出位置 响应特性的性能指标：峰值时间、调节时间和超调量。如 果将放大器增益增大到Ka＝1500或减小到Ka＝13.5，那 么响应的动态性能有何影响？ 5 Ka
G (s)
解：系统属于单位负反馈，所以它的闭环传递函数为：
稳态精度：
h (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )( 其中， arccos )
系统的单位阶跃响应的稳态分量为1，动态分量均为衰 减的指数函数，因此，当时间t趋于无穷时，动态分量衰减 为零，因此，二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。
三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
n
1.2 由分析知，当ξ＝ 1 0.4～0.8时，调节时 0.8 间和超调量都较小。 0.6 工程上常取ξ＝ 0.4 0.707作为设计依据， 0.2 称为最佳阻尼比。 0


nt
0
2 4 6 8
10
12
5、振荡次数N
由定义可知：
ts 2 (Td 为系统的有阻尼振荡周 期) Td d 2 .25 1－ 2 4 .5 若取 2％误差带， t s＝ , 则 N＝ n N


1 2
e
100 %
σ
ζ
4、调节时间ts
根据定义，可由h(ts)-h(∞)=0.05h(∞)求得ts,但比较困 难，一般当阻尼比ξ＝0.4～0.8时，采用下列近似公式来 计算： 由于ξ通常是根据最 3 .5 3 .5T ts (允许误差范围为 5％) 大超调量的要求来确定 n 的，所以ts主要由wn来 4 .5 4 .5T ts (允许误差范围为 2％) 确定。

1
2
sin d t )
或者
c (t ) 1
e n t 1
2
sin( d t )( 其中， arccos )
极点的负实部 n
是振荡频率。称 d 为阻尼振荡角频率。 系统的稳态分量为1， 动态分量是一个随时间t 的增长而衰减的振荡过程。 振荡角频率Wd取决于阻 尼比ξ及无阻尼自然频率 Wn.单位阶跃响应如右图 所示：
1
n 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
1
s n
c (t ) 1 e n t [cos( 1 2 n t )

1 2
sin( 1 2 n t )] , t 0
c (t ) 1 e n t (cos d t
jw
wn 1 2
s2
s1 σ s2
0
wn
当ξ<0时，系统处 于负阻尼状态, 有一 对实部为正的共轭复 根，系统时间响应为 发散振荡
二阶系统的响应特性完全由ξ和Wn两个参数来描述，所 以， ξ和Wn是系统的重要结构参数。
二、二阶系统的单位阶跃响应
系统的阻尼系数ξ影响系统响应的性质，下 面根据ξ值的条件来讨论对应的阶跃响应。
§3－3 二阶系统分析
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统，许多高阶 系统的在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。
一、二阶系统地数学模型
最简单的二阶微分方程的标准形式是：
d 2r dr 2 T 2T r c 2 C (s) dt dt 经过拉氏变换可得： ( S )
R(s)
当输入信号为单位阶跃时，系统的单位阶跃响应为：
C (s) 1 1 T 1 (T1s 1)(T2 s 1) s s T2 T1
1 c (t ) 1 e T2 / T1 1
t T1
1
1
1 T1 T2 1 (s ) (s ) T1 T2
t T2
s ( s 34 .5)
C (s) 5 Ka (s) 2 R ( s ) s 34 .5 s 5 Ka 将K＝200代入得： ( s ) C ( s ) 2 1000 R ( s ) s 34 .5 s 1000 对照标准形式得： 2 1000 , 31 .6, 34 .5 0.546 n n 2 n 3.14 故峰值时间： t p 0.12 s 2 2 n 1 31 .6 1 0 .546 超调量： 调节时间： 3 .5 3 .5 ts 0 .2 s n 0.546 31 .6 / 1 2 %e 100 % 13 %
由曲线看出，阻尼比ξ越大，超调量越小，相应的 振荡倾向越弱，平稳性越好，反之，则振荡越强，平 稳性越差。当ξ＝0时，零阻尼响应变成具有频率为 Wn的不衰减（等幅）振荡，表达式如下： h (t ) 1 sin( nt 90 0 ) 1 cos nt 由阻尼比和超调量的关系曲线可以看出， 在一定的 阻尼比ξ下，Wn越大，振荡频率Wd也越高，系统响 应的平稳性越差。 1 2
1、上升时间tr
单位阶跃响应曲线第一次达到稳态值的时间就是上升 时间，此时，h(tr)=1,即得：
h (t ) 1 e
n t
(cos d t

解得
1
2
sin d t ) 1
1 2 1 tr arctan( ) wd d
s1
wn
由曲线看出，实际响应曲线比指数曲线的包络线 收敛速度要快，因此可用包络线来估算调节时间。
二阶系统单位阶跃响应的通用曲线如下，可以利用它来 分析系统系统结构参数ξ、Wn对阶跃响应性能的影响。
C(t)
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

2 wn 2 s 2 2 wn s wn
其闭环特征方程为： s 2 2 w s w 2 0 n n
方程的特征根为：
s1, 2 wn wn 2 1
由方程的特征根说明，随着阻尼比的不同，二阶 系统的特征根（闭环极点）也不同，如下所示： s1
wn
jw
c (t ) 1 cos n t , t 0
4、欠阻尼0<ξ<1的情况
系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰 减振荡特性，故又称为振荡环节。一对共轭复根为：
s1, 2 n j n 1 2 j d
阶跃响应为：
2 n s 2 n 1 C (s) 2 2 2 2 s s 2 n s n s s 2 n s n
若取 5％误差带， t s＝ 3 .5
若已知σ ，且



n
, 则 N＝
1 .75 1－ 2

N
4 3 2 1 0
e
1 2
则振荡次数： N
2 .25 ( 2 % 误差带 ) ln 1 .75 N (5 % 误差带 ) ln
2%误差带
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
T 其中： 1 1 wn ( 1 )
2
T2
1 wn ( 2 1 )
则：
且T1>T2, Wn2=1/T1T2
C (s) 1 / T1T2 1 R ( s ) ( S 1 )( S 1 ) (T1S 1)(T2 s 1) T1 T2
因此，过阻尼二阶系统可以看作是两 个时间常数不同的惯性环节的串联