矩阵的秩及其应用

山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用杨敏娜姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学11510102班级学号**********指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。

通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。

论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。

第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。

第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。

在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。

最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。

本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。

【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜 指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。

通过对矩阵的秩的探讨，能更好地理解矩阵的有关概念，同时对判别向量组之间的线性相关性，求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基础解系有一定意义。

分析矩阵的秩在线性空间方面的应用，能准确快速地判断空间中直线的位置关系。

另外，在求解一些复杂行列式的值的过程中，将行列式问题转换成矩阵问题，大大简化了计算过程。

深刻地理解矩阵的秩将对今后线性代数方面的学习有很大的帮助。

二、矩阵的秩(一)矩阵的秩的定义介绍矩阵的秩，首先应该了解矩阵的k 阶子式，借助k 阶子式的定义，进一步来了解矩阵秩的概念。

下面对k 阶子式进行简单介绍：1.k 级子式[1]:在一个n 阶行列式D 中任意选取k 行和k 列（k n ≤）。

位于这些行和列的交点上的2k 个元素依照原来的序次构成一个k 阶行列式M ，称为行列式D 的一个k 阶子式。

例如 : 118339512104A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭矩阵A 的第一、三行，第二、三列相交处的元素所构成的二阶子式为183104D ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

当然，矩阵的k 阶子式并不是唯一的。

显然,m n ⨯矩阵A 共有k km nC C 个k 阶子式。

2. 矩阵的秩[1] :设()ij m nA a ⨯=有r 阶子式不为0，任何1r +阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()R A 或秩A 。

矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，同理，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组 的秩。

矩阵的行秩等于矩阵的列秩，所以一般就统称为矩阵的秩。

(二)矩阵的秩的一般性质及求法1.矩阵的秩的一些简单性质我们通常规定零矩阵的秩即为0。

(1).如()R A r =，则A 中最少有一个r 阶子式0r D ≠，其余1r +阶子式全部为0，且更高阶子式为0,此中r 是A 中非零的子式的最高阶数。

(2).初等矩阵均满秩，任何矩阵乘满秩方阵，秩均不变的。

(3).n n ⨯矩阵的行列式为零的充分必要条件是，矩阵A 的秩小于n 。

(4).由行列式的性质知，()()TR A R A =。

(5).()()()}{,,0min ,R A m R A n R A m n <<<<。

(6).如果n n A ⨯，且0A ≠，则()R A n =。

反之，如()R A n =，则0A ≠所以有，方阵A 可逆的充分必要条件是()R A n =。

此时称矩阵A 是满秩的。

(7).A 可逆时，()()R AB R B =；B 可逆时，()()R AB R A =。

2.具体矩阵的秩的求法(1).根据矩阵的秩的定义,求矩阵的非零阶子式的最高的阶数,即为矩阵的秩。

(2).应用等价矩阵有相同秩的结论,利用矩阵的初等变换，先将一般矩阵简化成阶梯形，那么矩阵的秩即为阶梯矩阵中非零的行数，在初等变换中，可以只进行初等行变换，也可以初等行变换或初等列变换混用来对它进行化简。

例一：对如下的矩阵求它的秩012114210A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求法一：由于01211420210A ==≠-，而A 的最高阶数是三阶，所以()3R A =。

求法二：1012114114012210002A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭对它进行初等变换以后, 最后的阶梯矩阵中，非零行数为3，所以该矩阵秩为3,即()3R A =。

注：以上的两种求矩阵秩的方法中，两者各有千秋，运用初等变换的方法求矩阵的秩，一般适用于超过三阶的矩阵，比较快速方便。

因为对于高阶子式来说，其k 级子式的个数较多，计算比较冗长且难度较大。

而对于低阶的矩阵，求k 级子式更直接易理解。

（三）、求抽象矩阵的秩遇到抽象矩阵求秩，用上面的两种方法是不能解决问题的，所以，求抽象矩阵的秩，除了以上介绍矩阵的秩的相关性质外，还需补充一些有关矩阵的秩的有关结果。

结论一：设A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，则A 可以表示成r 个秩是1的矩阵的和。

例二 : 证明0()()0A r r A r B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

证明 设(),()R A r R B s ==,那么肯定有可逆的矩阵11,P Q 与可逆的矩阵22,P Q ，使得11121211122212000000rs E E P ABQ P AQ Q P P BQ Q P ----⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简,A B 为等价标准形,故一定有可逆矩阵112200,00P Q P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使成立111122220000000000000000000000r r E P Q P AQ A P Q P BQ B E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，因为左乘及右乘和原来矩阵的秩仍然相等，最终有00000000()()00000000r r E A r r r s r A r B B E ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==+=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭。

结论二：设A 是n 阶方阵（2n ≥），则有当()R A n =，时，*()R A n =当()1R A n =-时，*()1R A =当()1R A n ≤-时，*()0R A =例题三：已知A 是3阶非奇异矩阵,那么**(())r A =解:从结论二得*****3,()3(())1,()20,()2r A r A r A r A ⎧=⎪==⎨⎪<⎩,又从题知A 为3阶不可逆矩阵,所以()2r A ≤,所以*()1r A =或0,故**(())0r A =结论三[3]：,A B 为n 阶方阵且0AB =时，()()r A r B n +≤。

例四：已知123244812Q t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 为3阶非零矩阵,且还有0PQ =成立,则 ( )A. 6t =时,P 的秩必为1B. 6t =时，P 的秩必为2C. 6t ≠时,P 的秩必为1D. 6t ≠时, P 的秩必为2解：因为0P ≠，所以秩()1r P ≥，又由题知道0PQ =，所以()()3r P r Q +≤。

当6t =时，()1,r Q =故可以得1()2r P ≤≤，当6t ≠时，()2r Q =，又可以得1()321r P ≤≤-=，即肯定有()1r P =。