2018学年高中数学必修5课件：第2章 数列2.2 第1课时 精品

(2)在等差数列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝18，a3＝6. a2＋a4＝12， a2·a4＝11， 解得aa24＝ ＝111，， 或aa24＝ ＝111，.
当aa24＝＝111，， 时，a1＝16，d＝－5. an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21. 当aa42＝＝111，， 时，a1＝－4，d＝5. an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
10分 12分
(1)在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an
－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝
an＋1＋an－1 2
，从而由等差中项的定
义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的
等差中项．
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d， a，a＋d，公差为d.方法二巧妙地设出了等差数列的前三项， 大大地减少了运算量，为解题带来极大的方便，这种设法称为
结论
{an}是 等差数列
3．已知数列{an}满足a1＝4，an＝
an－1 4an－1＋1
(n>1，n∈N*)，
能否判定数列a1n是等差数列？
解析： ∵an＝4aan－n－ 1＋1 1(n>1，n∈N*)， ∴a1n＝4ana－n1－＋1 1， 即a1n＝4＋an1－1， ∴a1n－an1－1＝4(常数)． 又a11＝14，∴数列a1n是以14为首项，4为公差的等差数列．
所以785<d≤235.故选D.
答案： D
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解析： (1)∵a4＝10，a10＝4， ∴d＝a1100－－a44＝－66＝－1， ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7. (2)∵a2＝12，d＝－2， ∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14， ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20， ∴n＝18.
则aa－－dd＋2＋aa＋2＋a＋a＋dd＝2＝181，16.
① ②
由①得 a＝6，代入②，解得 d＝±2.
所以所求的三个数为 4,6,8 或 8,6,4.
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等差数列的通项公式
已知数列{an}为等差数列，分别根据下列条件写 出它的通项公式．
(1)a5＝11，a8＝5； (2)前三项为a,2a－1,3－a. [思路点拨] 先确定数列的首项a1与公差d，然后代入an＝ a1＋(n－1)d即可．
解得785<d<235.
故选 C. 【错因】 在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开
始比1大”的含义．尤其是“开始”这个词，它不仅表明 “a10>1”，而且还隐含了“a9≤1”这一条件，所对上述两个错 解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．
【正解】
由题意可得aa190≤>11，， 即221155＋＋89dd≤>11，，
解析： ∵由a4＝8，a8＝4， 得aa11＋＋73dd＝＝48，， ∴d＝－1，a1＝8－3d＝11， ∴an＝a1＋(n－1)d ＝11－(n－1)＝12－n.
答案： 12－n
4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方 和为116，求这三个数．
解析： 设这三个数分别为 a－d，a，a＋d，
等差中项
如果a，A，b成_等__差__数列，那么A叫做a与b的等差中项． a＋b
事实上，若a，A，b成等差数列，即A＝___2_____，则A就 a＋b
是a与b的等差中项；若A＝ ____2____ ，即A－a＝b－A，则a，
A，b成等差数列．
2．对等差中项的几点理解 (1)a，A，b成等差数列⇔A－a＝b－A⇔A＝a＋2 b. (2)如果an－an－1＝an＋1－an(n≥2)，则数列{an}为等差数 列，反之亦然．所以2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔数列{an}为等差数 列．这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项 法”． (3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两 项的等差中项．
等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
递推公式 ___a_n－__a_n_－_1__＝d(n≥2)
通项公式 an＝ __a_1＋__(_n_－__1_)_d
3．等差数列通项公式的应用 在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中有4个变量an， a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”．其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而 可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可 判断某数是否为数列中的项及是第几项．
2．2 等差数列
第1课时 等差数列
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1．了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系． 2．理解等差数列的概念． 3．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认 识并能运用．
观察以下这四个数列： 0,5,10,15,20，… 48,53,58,63 18,15.5,13,10.5,8,5.5 10 072,10 144,10 216,10 288,10 360 [问题] 这些数列有什么共同特点呢？ [提示] 以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都 等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的 特点)．
等差数列的定义
如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的_前__一__项___的差 等于_同__一__常__数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个__常__数__ 叫做等差数列的__公__差__，通常用字母__d__表示．
1．等差数列的定义的理解 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件 中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻 且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相 邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等 于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
1 ． 在 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ 2,2an ＋ 1 － 2an ＝ 1 ， 则 a101 的 值 为
()
A．49B．Leabharlann 0C．51D．52
解析： 由题意得an＋1－an＝12， ∴{an}是以2为首项，12为公差的等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－2 1. ∴a101＝2＋1020＝52. 答案： D
等差中项
已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项 的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[思路点拨] 方法一：由前三项的和为18，前三项的积为 66，列关于a1和d的方程，求出a1和d，进而求出an，再令an＝ －34，求n值进行判断即可．
方法二：可以设前三项为a－d，a，a＋d，求出a和d的 值，再求出an，下同方法一．
[规范解答] 方法一：设等差数列{an}的前三项分别为
a1，a2，a3.依题意得aa11·＋a2a·a23＋＝a63＝6，18，
∴a31a·1＋a1＋3dd＝·1a81，＋2d＝66，
2分
解得ad1＝＝－115 或ad1＝＝51.，
6分
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5， ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的项，且为第10项.
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最 基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系
不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是， 要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
1．在等差数列{an}中， (1)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d； (2)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n.
2．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝
()
A．－2
B．－12
C．12
D．2
解析： ∵{an}为等差数列， ∴a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1， 解得a1＝1. 又∵a3＝a1＋2d＝0， ∴d＝－12.
答案： B
3．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an ＝________.
◎一个等差数列的首项为
1 25
，从第10项起开始比1大，则
这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A．d>785
B．d<235
C．785<d<235
D．785<d≤235
【错解一】 由 a10>1，得215＋9d>1，解得 d>785.故选 A.
【错解二】
由aa190<>11，， 得221155＋＋98dd><11，，
[边听边记] (1)设数列{an}的公差为d，由题意知：
a1＋4d＝11， a1＋7d＝5，
解得ad1＝＝－192，，
故an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
(2)∵a,2a－1,3－a是数列的前三项， 又a2－a1＝a3－a2＝d， ∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)，解得a＝54， ∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝14， ∴an＝a1＋(n－1)d＝54＋(n－1)×14＝14n＋1. ∴通项公式为an＝14n＋1.
(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.
判断一个数列是否为等差数列有以下方法：
方法
符号语言
定义法
an－an－1＝d(常数) (n≥2且n∈N*)