2017年上海高三一模汇编——函数

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上海市闵行区2017年高考数学一模试卷(解析版)

上海市闵行区2017年高考数学一模试卷(解析版)一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为．4．函数的反函数是．5．6展开式中x3项的系数为（用数字作答）6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法（用数字作答）8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}=（用列举法表示）9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是．10．已知x、y满足曲线方程，则x2+y2的取值范围是．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数+1次，则满足要求的b1的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）18．（14分）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．19．（14分）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．20．（16分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（18分）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，﹣1设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；﹣1（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．2017年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据对数概念求解．【解答】解：∵lg（3x+4）=1，∴3x+4=10，x=2，∵故答案为：2．【点评】本题简单的考查了对数的概念，关键是把对数式化为指数式子，属于简单题目．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=5．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出a，b的值，从而求出a+b即可．【解答】解：若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a=1，b=4或a=4，b=1，则a+b=5，故答案为：5．【点评】本题考查了不等式的解集问题，是一道基础题．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为a n=2n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】根据题意和公式，化简后求出数列的通项公式【解答】解：当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，又21﹣1=1，所以a n=2n﹣1，故答案为：a n=2n﹣1．【点评】本题考查了a n、S n的关系式：的应用，注意验证n=1是否成立．4．函数的反函数是f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥0）．【考点】反函数．【分析】根据反函数的定义，求出x关系y的函数，把x与y互换，可得反函数的解析式．【解答】解：函数，其定义域为{x|x≥0}．解得：x=（y﹣1）2．把x与y互换可得y=（x﹣1）2．∴函数的反函数位：f﹣1（x）=（x﹣1）2．故答案为：f﹣1（x）=（x﹣1）2．（x≥0）【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．（1+2x）6展开式中x3项的系数为160（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用通项公式即可得出．==2r，令r=3，【解答】解：通项公式T r+1可得：（1+2x）6展开式中x3项的系数==160．故答案为：160．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出△DED1的面积，然后利用等体积法求得三棱锥D1﹣ADE的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2，E为棱CC1的中点，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有240种排法（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，有C53A44种结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，C53A44=240，即含有“a”的共有240种．故答案为240．【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是看出要选出三个字母同所给的字母进行排列，本题是一个基础题．8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， } （用列举法表示）【考点】三角方程．【分析】由已知得，或，由此能求出结果．【解答】解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=﹣，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， }．故答案为：{， }．【点评】本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是[，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合图形，将代入进行数量积的运算，并代入∠BOP=60°﹣∠AOP 进行化简即可得出，这样，根据0°≤∠AOP ≤60°即可求出sin （∠AOP ﹣30°）的范围，即求出的取值范围．【解答】解：==cos ∠BOP ﹣cos ∠AOP=cos （60°﹣∠AOP ）﹣cos ∠AOP===sin （∠AOP ﹣30°）； 0°≤∠AOP ≤60°；∴﹣30°≤∠AOP ﹣30°≤30°；∴；∴的取值范围为．故答案为：[]．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，两角和差的正余弦公式，以及不等式的性质，熟悉正弦函数的图象．10．已知x 、y 满足曲线方程，则x 2+y 2的取值范围是 [，+∞）．【考点】基本不等式．【分析】先求出y 2的范围，再令y 2=t ，t ≥，则f （t ）=2+t ﹣，根据函数的单调性即可求出范围．【解答】解：，则x 2+y 2=2﹣+y 2，∵∴y2≥设y2=t，t≥，则f（t）=2+t﹣，∴f′（t）=1+＞0，∴f（t）在[，+∞）为增函数，∴f（t）≥f（）=2+﹣2=，故则x2+y2的取值范围是为[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于中档题．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意即可求出S的所有可能的取值，然后根据不等式a2+b2≥2ab及数量积的计算公式即可比较这些值的大小，从而找出最小值．【解答】解：根据条件得，S所有可能取值为：，，∴S的所有可能取值中的最小值为．故答案为：．【点评】考查数量积的计算公式，余弦函数的值域，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=∴b n+1﹣b n=a n=，∴b2n+2﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，…，=b4n﹣2，，∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由＞1，解得：0＜a＜1，故“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．15．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】对a讨论，分a≤0，a＞0，可得a＞0成立，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由≥1，即可得到所求范围．【解答】解：若a≤0，则f（x）=x2﹣a，f（x）在[﹣1，1]的最大值为1﹣a，即有1﹣a=a，可得a=，不成立；则a＞0，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由图象结合在区间[﹣1，1]上的最大值是a，可得≥1，解得a≥．故选：C．【点评】本题考查函数的最值的判断，考查分类讨论思想方法，数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据两个曲线的图象特征，可得这两个曲线一定有一个交点是原点，但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．【解答】解：由于圆C2：x2+（y+r﹣）2=r2（r＞0）．圆心为（0，﹣r），在横轴上，半径等于r，正弦曲线C1：y=sinx也过原点，故这两个曲线一定有交点．但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．故选D．【点评】本题主要考查圆的标准方程、正弦函数的图象，属于基础题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）（2017•闵行区一模）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）由圆锥的侧面积S侧=πrl，能求出结果．（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，由此能求出直线CD与平面BOC所成角的大小．【解答】解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，4×π=8π．∴圆锥的侧面积S侧=πrl=2×（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，在Rt△DEC中，CE=，DE=，tan=，∴．∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（14分）（2017•闵行区一模）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由即可求出向量的坐标，从而得出的值；（2）进行数量积的坐标运算并化简即可得出，从而看出A=时，取最大值，这样在△ABC中，根据正弦定理即可求出边BC的长．【解答】解：（1）时，；∴；（2）==；取最大值时，；又；∴在△ABC中，由正弦定理得：；即；∴．【点评】考查三角函数求值，根据向量坐标求向量长度的方法，数量积的坐标运算，以及二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，正弦定理．19．（14分）（2017•闵行区一模）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件直接求解在城镇A和城镇B单独建厂，共需总费用．（2）列出函数的解析式，利用平方，转化通过二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）分别单独建厂，共需总费用：y1=25×30.7+25×50.7≈131.1万元．（2）联合建厂，共需总费用y=25×（3+5）0.7+（0≤x≤20）令h（x）=（0≤x≤20），可得h2（x）=20+2=20+2∈[20，40]，121.5≈25×≤y≤≈127.4，y的取值范围：[121.5，127.4]．【点评】本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（16分）（2017•闵行区一模）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）求由题意，a=1，c=，b=2，即可双曲线Γ的方程；（2）y M==在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）求出k OM+k BP=0，可得直线BP与OM关于直线x=对称【解答】解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，∴双曲线Γ的方程=1；（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，）∴y M==在（0，2）上单调递增，∴y M∈（0，1）（3）由题意，k AP•k BP==4，同理k AP•k OM=﹣4，∴k OM+k BP=0，设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，∵k OM+k BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．21．（18分）（2017•闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，﹣1记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k﹣1，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）由已知得|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，，由此能示出P1的坐标．（2）求出p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，能求出n．（3）y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2 +△x n，由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值．△x n﹣1【解答】解：（1）∵x k∈Z，y k∈Z，∴△x k，△y k∈Z，又∵|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，∴，∴x1=x0+△x1=0+1=1，y1=y0+△y1=1+2=3，∴P1的坐标为（1，3）．（2）∵，∴x n=x0+△x1+△x2+…+△x n=n，又|△x k|•|△y k|=2，△x k=1，∴△y k=±2，（k∈N*，k≤n），∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，{y k}（k∈N，k≤n）是增数列，∴，∴y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n=1+2n，∴p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，解得n=9．（3）∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△x n）=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n，﹣1∵n=2016是偶数，n＞100，T n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，﹣1当△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，△y101=﹣1，…，△y n﹣1=1，△y n=﹣1，△x1=△x2=△x3=…=△x n=2时，（取法不唯一）（T n）max=n2+n，∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查实数值的求法，考查数列的前2017项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及构造法的合理运用．。

07.2017年上海高三数学一模分类汇编：解析几何

2（2017徐汇一模）. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为4（2017青浦一模）. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB =，则该双曲线的实轴长等于4（2017崇明一模）. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为4（2017宝山一模）. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5（2017普陀一模）. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是6（2017浦东一模）. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =6（2017金山一模）. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 6（2017奉贤一模）. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =7（2017虹口一模）. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为线焦距等于8（2017普陀一模）. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是9（2017浦东一模）. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为9（2017金山一模）. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通方程）9（2017杨浦一模）. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为10（2017松江一模）. 设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为10（2017闵行一模）. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的取值范围是10（2017杨浦一模）. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为11（2017虹口一模）. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于11（2017杨浦一模）.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是12（2017虹口一模）. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是12（2017金山一模）. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称；③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是13（2017奉贤一模）. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2017静安一模）. 已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为（）A.1 B. 1 C. 1 D. 215（2017崇明一模）. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y +=16（2017杨浦一模）. 若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b+≥16（2017闵行一模）. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过201716（2017徐汇一模）. 如图，两个椭圆221259y x +=、221259y x+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称（3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17（20172017静安一模）. 设双曲线22:123x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点；（1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ⋅的取值范围；（2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程； 18（2017普陀一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12arccos 9PF F ∠=，12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值，并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；18（2017宝山一模）. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB =试求直线l 的倾斜角；18（2017杨浦一模）. 如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在1l 上，且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN ===；（1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离；19（2017青浦一模）. 如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=；（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；19（2017浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F 的周长为4+，且长轴长与短轴长；（1）求椭圆C 的方程；（2）若12||||F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程；19（2017金山一模）. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；19（2017崇明一模）. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；19（2017杨浦一模）. 如图所示，椭圆22:14x C y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ∥2l ；（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值；20（2017闵行一模）. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点；（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；20（2017奉贤一模）. 过双曲线2214y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 的方程；（3）求证：||||OA OB ⋅是一个定值；20（2017虹口一模）. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出12k k +的取值范围；20（2017松江一模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；20（2017徐汇一模）. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ；（1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；。

2017年上海市普陀区高考数学一模试卷

2017年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）若集合A={x|y2=x，y∈R}，B={y|y=sinx，x∈R}，A∩B=．2．（4分）若﹣＜a＜，sinα=，则cot2α=．3．（4分）函数f（x）=1+log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）=．4．（4分）若（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=．5．（4分）设k∈R，若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是．6．（4分）设m∈R，若函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是．7．（5分）方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）的解为．8．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0（k∈R）和定点P（1，﹣1），若过P点可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A1C与平面B1BCC1所成的角为，则三棱锥A1﹣ABC的体积为．10．（5分）掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）11．（5分）设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为πR，则A、B之间的球面距离是（结果用含有R的代数式表示）12．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且﹣1≤x＜1时，f（x）=1﹣x2；函数g（x）=，若F（x）=f（x）﹣g（x），则x ∈[﹣5，10]，函数F（x）零点的个数是．二、选择题（共4小题，满分20分）13．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．a D．a2＞b214．（5分）设无穷等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，则“a1+q=1”=1”成立（）是“SA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行16．（5分）设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|+t|的最小值为1，则下列判断正确的是（）A．若||确定，则θ唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则||唯一确定三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知a∈R，函数f（x）=a+（1）当a=1时，解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，求实数a的取值范围．18．（14分）已知椭圆Г：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，且|F1F2|=6，∠PF1F2=arccos，△PF1F2的面积为3．（1）求椭圆Г的方程；（2）若M是椭圆上的动点，求|MQ|的最大值．并求出|MQ|取得最大值时M 的坐标．19．（14分）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.8g/cm3，总重量为5.8kg，其中一个螺帽的三视图如图所示，（单位毫米）（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对于上述螺帽做防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）20．（16分）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数f（x）的“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡“数对．（1）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡“函数，并说明理由；（2）若a∈R，a≠0，当a变化时，求证f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同．（3）若m1、m2∈R，且（m1，）（m2，）均为函数，f（x）=cos2x（0）的“平衡”数对，求m12+m22的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）若集合A={x|y2=x，y∈R}，B={y|y=sinx，x∈R}，A∩B={x|0≤x≤1} ．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|y2=x，y∈R}={x|x≥0}，B={y|y=sinx}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}，故答案为：{x|0≤x≤1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若﹣＜a＜，sinα=，则cot2α=．【分析】根据α的取值范围求得cosα=，由同角三角函数关系得到tanα=，结合倍角公式进行解答．【解答】解：∵﹣＜a＜，sinα=，∴cosα=，∴tanα=，∴tan2α===，∴cot2α==．故答案是：．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角的应用，属于基本知识的考查．3．（4分）函数f（x）=1+log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）=2x﹣1（x≥1）．【分析】由x≥1，可得y=1+log2x≥1，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，把x与y互换即可得出反函数．【解答】解：∵x≥1，∴y=1+log2x≥1，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，故f﹣1（x）=2x﹣1（x≥1）．故答案为：2x﹣1（x≥1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题．4．（4分）若（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=31．【分析】依题意，分别令x=0（可求得a0=1）与x=1，即可求得a1+a2+…+a5的值．【解答】解：∵（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，∴当x=0时，a0=1；当x=1时，（1+1）5=a0+a1+a2+…+a5=32，∴a1+a2+…+a5=32﹣1=31．故答案为：31．【点评】本题考查二项式定理的应用，突出考查赋值法的运用，属于中档题．5．（4分）设k∈R，若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是（，+∞）．【分析】利用双曲线的焦点坐标的位置，列出不等式组求解k，然后求解半焦距的取值范围即可．【解答】解：若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，可得，可得k＞2，半焦距c==．则半焦距的取值范围是：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（4分）设m∈R，若函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是[0，+∞）．【分析】由题意函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则mx=0，可得m=0，可得f（x）=x+1，可求单调递增区间．【解答】解：由题意：函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则mx=0，故得m=0，那么：f（x）=x+1，根据幂函数的性质可知：函数f（x）的单点增区间为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查了幂函数的图象及性质的运用．属于基础题．7．（5分）方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）的解为1．【分析】可先将2+log2（3x﹣2）化为对数，利用对数的性质，即可将问题转化为一元二次方程问题，求出方程的解，注意验证解得x的值．【解答】解：由题意可知：方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）化为：log2（9x﹣5）=log24（3x﹣2）即9x﹣5=4×3x﹣8解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1．故答案为1．【点评】本题考查的是对数方程问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想注意，解方程的思想．注意隐含条件的利用，值得同学们体会和反思．8．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0（k∈R）和定点P（1，﹣1），若过P点可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．．【分析】把圆的方程化为标准方程后，由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=1，由过定点（1，﹣1）可作圆的2条切线可知点（1，﹣1）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：（1+k）2+（﹣1+1）2＞1∴k＞0或k＜﹣2，则实数k的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．故答案为（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【点评】此题考查了点与圆的位置关系，一元二次不等式的解法．理解过已知点总利用作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A1C与平面B1BCC1所成的角为，则三棱锥A1﹣ABC的体积为．【分析】由已知可得A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，求解直角三角形得到BB1，再由棱锥体积公式求得三棱锥A1﹣ABC的体积．【解答】解：如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠ABC=90°，A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，∵A 1B1=AB=1，∴，又BC=1，∴．∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查直角三角形的解法，是中档题．10．（5分）掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）【分析】掷两颗骰子得两个数，共有36种情况，d=﹣2，有4种情况，d=﹣1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况，即可求出d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值．【解答】解：掷两颗骰子得两个数，共有36种情况，d=﹣2，有4种情况，d=﹣1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况，∴d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为=．故答案为．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为πR，则A、B之间的球面距离是R（结果用含有R的代数式表示）【分析】求出北纬45°圈的纬度圈半径，利用两地所在纬度圈上的弧长为πR，求出球心角，即可求出球面距离．【解答】解：北纬45°圈上两点A、B，设纬度圈半径为r，∴r=R•cos45°．∵两地所在纬度圈上的弧长为πR，∴|α|=∴|AB|==R，∴∠AOB=∴A、B两点间的球面距离为R．故答案为：R．【点评】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．12．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且﹣1≤x＜1时，f（x）=1﹣x2；函数g（x）=，若F（x）=f（x）﹣g（x），则x ∈[﹣5，10]，函数F（x）零点的个数是15．【分析】由题意可得f（x）的周期为2，令F（x）=0，即f（x）=g（x），分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，找出在[﹣5，10]的交点个数，即可得到函数F （x）零点的个数．【解答】解：定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），可得f（x）的周期为2，F（x）=f（x）﹣g（x），则令F（x）=0，即f（x）=g（x），分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，观察图象在[﹣5，10]的交点个数为15．则函数F（x）零点的个数是15．故答案为：15．【点评】本题考查函数零点个数的求法，注意运用数形结合的思想方法，同时考查函数的周期的运用，属于中档题．二、选择题（共4小题，满分20分）13．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．a D．a2＞b2【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可【解答】解：对于A：a＜b＜0，两边同除以ab可得，＞，故A正确，对于B：a＜b＜0，即a﹣b＞a，则两边同除以a（a﹣b）可得＜，故B错误，对于C，根据幂函数的单调性可知，C正确，对于D，a＜b＜0，则a2＞b2，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．14．（5分）设无穷等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，则“a1+q=1”=1”成立（）是“SA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据充要条件的定义，结合无穷缩减数列和的极限值公式，可得答案．【解答】解：当a 1＜0时，q＞1，则S n=﹣∞≠1，故“a 1+q=1”是“S n=1”不充分条件，若“S=1”，则a1=1﹣q，即“a1+q=1”，故“a 1+q=1”是“S n=1”必要条件，综上可得：“a 1+q=1”是“S n=1”成立必要非充分条件，故选：B．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，无穷缩减数列和的极限值公式，难度中档．15．（5分）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】利用空间中线线间的位置关系求解．【解答】解：∵α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，也有可能平行．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．16．（5分）设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|+t|的最小值为1，则下列判断正确的是（）A．若||确定，则θ唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则||唯一确定【分析】令g（t）==+2t+，可得△≤0，恒成立．当且仅当t=﹣=﹣时，g（t）取得最小值1，代入即可得出．【解答】解：令g（t）==+2t+，∴△=4﹣4≤0，恒成立．当且仅当t=﹣=﹣时，g（t）取得最小值1，∴﹣2×+=1，化为：sin2θ=1．∴θ确定，则||唯一确定．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知a∈R，函数f（x）=a+（1）当a=1时，解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，分类讨论解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，即a=2x﹣在区间[﹣2，﹣1]上有解，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤2x，即1+≤2x，x＞0，可化为2x2﹣x﹣1≥0，解得x≥1；x＜0，可化为2x2﹣x+1≤0，无解，综上所述，不等式的解集为{x|x≥1}；（2）关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，即a=2x﹣在区间[﹣2，﹣1]上有解，∴a=2x+在区间[﹣2，﹣1]上单调递增，∴﹣≤a≤﹣3．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查方程解的问题，正确转化是关键．18．（14分）已知椭圆Г：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，且|F1F2|=6，∠PF1F2=arccos，△PF1F2的面积为3．（1）求椭圆Г的方程；（2）若M是椭圆上的动点，求|MQ|的最大值．并求出|MQ|取得最大值时M 的坐标．【分析】由【解答】解：（1）由△PF1F2的面积为3，|F1F2|=6，得，∴，又∠PF1F2=arccos，∴，则由，解得．∴，解得：．∴2a=4，a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3．∴椭圆Г的方程为；（2）由（1）知，，代入，可得x p=2，∴Q（2，0），设M（x0，y0），则，∴．∴|MQ|===．∵，∴当时，．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，19．（14分）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.8g/cm3，总重量为5.8kg，其中一个螺帽的三视图如图所示，（单位毫米）（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对于上述螺帽做防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）【分析】（1）一个六角螺帽毛坯的体积为，再利用螺帽的个数=5.8×1000÷（7.8n）即可得出．（2）求出正六棱柱型金属螺帽毛坯的表面积，即可得出结论．【解答】解：（1）由三视图可得，正六棱柱型金属螺帽毛坯的底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．一个六角螺帽毛坯的体积=≈2.956（cm3）．∴螺帽的个数=5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252（个）．（2）正六棱柱型金属螺帽毛坯的表面积是6××2+6×12×10﹣π•52•2+2π•5•10≈1625.224（mm3）．∵每平方米需要耗材0.11千克，∴0.001625224×0.11×252≈0.05千克．【点评】本题考查了六棱柱与圆柱的体积、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．（16分）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4an（a n+1），可得a n+12=，又数列{a n}的各项均为正数，可得a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），即可证明．（2）b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．由n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．可得c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）即可得出．（3）d n===，可得数列{d n}的前n项和为T n=．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，解出即可判断出结论．【解答】（1）证明：∵对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4an（a n+1），∴a n+12=，又数列{an}的各项均为正数，∴a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），∴{1+a n}是等比数列，公比为2，首项为2，∴1+a n=2n，即a n=2n﹣1．（2）解：b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．∵n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．∴c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）=﹣+7=11449﹣256+9=11202．（3）解：d n===，∴数列{d n}的前n项和为T n=+…+==．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，即2m2﹣4m﹣1＜0，解得1﹣＜m＜1+．∵m是正整数且m＞1，∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、T m、T n成等比数列．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数f（x）的“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡“数对．（1）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡“函数，并说明理由；（2）若a∈R，a≠0，当a变化时，求证f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同．（3）若m1、m2∈R，且（m1，）（m2，）均为函数，f（x）=cos2x（0）的“平衡”数对，求m12+m22的取值范围．【分析】（1）当m=1时，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，求出k=2nπ±，n ∈Z，可得结论；（2）证明（2，0）分别是函数f（x）=x2与g（x）=a+2x的“平衡“数对，可得结论；（3）假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则mcos2x=cos2（x+k）+cos2（x﹣k）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]，得出m12+m22的函数，即可求m12+m22的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，∴sinx=sin（x+k）+sin（x﹣k）=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk﹣cosxsink=2sinxcosk，∴sinx（1﹣2cosk）=0，∵对于定义域内的任意实数x，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，∴1﹣2cosk=0，即cosk=，∴k=2nπ±，n∈Z，∴f（x）=sinx是“可平衡“函数；（2）∵f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f （x﹣k）成立，则mx2=（x+k）2+（x﹣k）2=2x2+2k2，即（m﹣2）x2=2k2，由于上式对于任意实数x都成立，∴，解得m=2，k=0，∴（2，0）是函数f（x）=x2的“平衡“数对，∵g（x）=a+2x，∴m（a+2x）=a+2x+k+a+2x﹣k，∴，解得m=2，k=0，∴（2，0）是函数g（x）=a+2x的“平衡“数对，∴f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同（3）假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则mcos2x=cos2（x+k）+cos2（x﹣k）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]∴m（1+cos2x）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]∴m+mcos2x=1+cos2xcos2k﹣sin2xsin2k+1+cos2xcos2k+sin2xsin2k，∴m（1+cos2x）=2+2cos2xcos2k，∵（m1，）（m2，）均为函数，∴m1（1+cos2x）=2+2cos2xcosπ=2﹣2co2x，m2（1+cos2x）=2+2cos2xcos=2，∵0，∴0＜2x≤，∴0＜cos2x≤1，∴m1====2tan2x，m2==∴m12+m22=4tan4x+，设h（x）=4tan4x+，（0）∴h（0）≤h（x）≤h（），即1≤h（x）≤8∴m12+m22的取范围为[1，8]【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，考查运算能力，属于难题．。

上海市崇明县2017届高三第一次模拟考试数学试题含答案

崇明县2016学年第一次高考模拟考试试卷数学一、填空题（本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7—12题每题5分)【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分,否则一律得零分。

】1．复数(2)i i +的虚部为．2．设函数2log ,0()4,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则((1))f f -= ． 3．已知{}12,M xx x R =-∈≤，10,2x P xx R x -⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭≥,则M P ∩等于．4．抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标为． 5．已知无穷数列{}na 满足1*1()2n n aa n N +=∈，且21a=，记nS 为数列{}na 的前n项和，则lim n n S →∞=．6．已知,x y R +∈,且21x y +=,则x y ⋅的最大值为．7．已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α=︒，则圆锥的表面积为． 8．若21(2)(*)n x n N x+∈的二项展开式中的第9项是常数项,则n =．9．已知A ，B 分别是函数2sin )(0()f x x ωω>=在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点,且是．10．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是．11．在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数．已知函数：①2y x =;②2sin y x =； ③1xy π=-；④cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确论断的序号都填上）12．已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点．若()f AP AB λλ=-()R λ∈的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为43，则线段AB 的长度为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析

2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果．【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。

上海市各区2017届高三一模数学试卷

3．已知 M x
1 x P x ≥ 0, x R ， x 1 ≤ 2, x R ，则 M ∩P 等于 x 2
．
．
4．抛物线 y x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标为 5．已知无穷数列 {an } 满足 an 1
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分. 在一个特定时段内，以点 D 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域．点 D 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B 处，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 （其
你认为正确论断的序号都填上）
（注：把
12．已知 AB 为单位圆 O 的一条弦，P 为单位圆 O 上的点．若 f ( ) AP AB ( R) 的
最小值为 m ，当点 P 在单位圆上运动时， m 的最大值为为．
4 ，则线段 AB 的长度 3
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）
x 1 0 的解集为 x2 x 5cos 4. 椭圆（为参数）的焦距为 y 4sin
3. 不等式 5. 设复数 z 满足 z 2 z 3 i （ i 为虚数单位），则 z 6. 若函数 y
cos x sin x
sin x cos x
n
求实数 x 的取值集合；
21. 设集合 A 、 B 均为实数集 R 的子集，记： A B {a b | a A, b B} ；（1）已知 A {0,1, 2} ， B {1,3} ，试用列举法表示 A B ；

上海市普陀区2017届高三一模数学试卷Word版含答案

上海市普陀区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若集合2{|,}A x y x y R ==∈，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A B =2. 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 3. 函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()f x -=4. 若550125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=5. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ∈，若23()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是7. 方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解x =8. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒， 1AB BC ==，若1AC 与平面11B BCC 所成的角为6π，则三棱锥1A ABC -的体积为 10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为4R ，则A 、B 之间的球面距离是（结果用含有R 的代数式表示） 12. 已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是（）A. 11a b> B. 11a b a >- C. 1133a b < D. 22a b >14. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是 “lim 1n n S →∞=”成立的（）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要15. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则（）A. a 与b 可能垂直，但不可能平行B. a 与b 可能垂直，也可能平行C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t ，||a tb + 的最小值为1，则下列判断正确的是（）A. 若||a 确定，则θ唯一确定B. 若||b 确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则||b 唯一确定D. 若θ确定，则||a 唯一确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知a R ∈，函数1()||f x a x =+；（1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[2,1]--上有解，求实数a 的取值范围；18. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12PF F ∠=，12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值，并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.83/g cm ，总重量为5.8kg ，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）；（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+；（3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得 1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；21. 已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2x g x a =+的“平衡”数对相同；（3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π<≤）的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围；参考答案一. 填空题1. [0,1]2. 7243. 12x -(1)x ≥4. 315. )+∞6. [0,)+∞7. 1x =8. 2k <-或0k >9.6 10. 23 11.3R π 12. 13二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）[1,)+∞；（2）9[,3]2--；18.（1）221123x y +=；（2）(M -，max ||2MQ =+ 19.（1）252个；（2）0.05千克；20.（1）21n n a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；21.（1）是；（2）平衡数对(2,0)；（3）(1,8]。

2017年上海市静安区高考一模数学

2017年上海市静安区高考一模数学一、填空题(50分)本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.“x ＜0”是“x ＜a ”的充分非必要条件，则a 的取值范围是_____. 解析：若“x ＜0”是“x ＜a ”的充分非必要条件，则a 的取值范围是(0，+∞). 答案：(0，+∞).2.函数f(x)=1-3sin 2(x+4π)的最小正周期为_____. 解析：利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f(x)的最小正周期. 答案：π.3.若复数z 为纯虚数，且满足(2-i)z=a+i(i 为虚数单位)，则实数a 的值为_____.解析：由(2-i)z=a+i ，得z=2a ii+-，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，由复数z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案. 答案：12.4.二项式(x 2+1x)5展开式中x 的系数为_____. 解析：利用二项式(x 2+1x)5展开式的通项公式即可求得答案.答案：10.5.用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为_____立方米. 解析：由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案.答案：24.6.已知α为锐角，且cos(α+4π)=35，则sin α=_____. 解析：由α为锐角求出α+4π的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin(α+4π)的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值.答案：10.7.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式p=p0·e rx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过_____小时方可驾车.(精确到小时)解析：先求出e r89·e xr＜20，即可得出结论.答案：8.8.已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，满足f(x7)+f(x8)=0，则x2017的值为_____.解析：设x7=x，则x8=x+2，则f(x)+f(x+2)=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f(x+1)=0=f(0)，x7=-1.设数列{x n}通项x n=x7+2(n-7).得到通项x n=2n-15.由此能求出x2011的值.答案：4019.9.直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则AB·AM 的最大值为_____.解析：建立坐标系，设M (32+52cosα，2+52sinα)，则AM=(32+52cosα，2+52sinα)，AB=(3，0)，AB·AM=92+152cosα≤12.答案：12.10.已知f(x)=a x-b((a＞0且且a≠1，b∈R)，g(x)=x+1，若对任意实数x均有f(x)·g(x)≤0，则14a b+的最小值为_____.解析：根据对任意实数x均有f(x)·g(x)≤0，求出a，b的关系，可求14a b+的最小值.答案：4.二、选择题(25分)本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11.若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c( )A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交、是异面直线都有可能解析：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行.从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面. 答案：D.12.在无穷等比数列{a n}中，limn (a1+a2+…+a n)=12，则a1的取值范围是( )A.(0，12)B.(12，1)C.(0，1)D.(0，12)∪(12，1)解析：利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围.答案：D.13.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.336种B.320种C.192种D.144种解析：根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案.答案：A.14.已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为( )C.1D.2解析：由表可知：抛物线C 2焦点在x 轴的正半轴，设抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)，则有2y x=2p(x≠0)，将(3，，(4，-4)在C 2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C 1：2222x y a b +=1(a ＞b ＞0)，把点(-2，0)，)，即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得C 1的左焦点到C 2的准线之间的距离.答案：B.15.已知y=g(x)与y=h(x)都是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x ＞0时，g(x)=()20111x x g x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩，＜，＞，h(x)=klog 2x(x ＞0)，若y=g(x)-h(x)恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是( )A.[12，1] B.(12，1]C.(12，log 32]D.[12，log 32]解析：问题转化为g(x)和h(x)有4个交点，画出函数g(x)，h(x)的图象，结合图象得到关于k 的不等式组，解出即可. 答案：C. 三、解答题(本题满分75分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.16.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，AB=a ，AA 1=2a ，E ，F 分别是棱AD ，CD 的中点. (1)求异面直线BC 1与EF 所成角的大小； (2)求四面体CA 1EF 的体积.解析：(1)连接A 1C 1，由E ，F 分别是棱AD ，CD 的中点，可得EF ∥AC ，进一步得到EF ∥A 1C 1，可知∠A 1C 1B 为异面直线BC 1与EF 所成角.然后求解直角三角形得答案；(2)直接利用等体积法把四面体CA 1EF 的体积转化为三棱锥A 1-EFC 的体积求解. 答案：(1)连接A 1C 1，∵E ，F 分别是棱AD ，CD 的中点，∴EF ∥AC ，则EF ∥A 1C 1， ∴∠A 1C 1B 为异面直线BC 1与EF 所成角.在△A 1C 1B 中，由AB=a ，AA 1=2a ，得C 1B=A 1B=5a ，A 1C 1=2a ，∴cos ∠A 1C 110=， ∴异面直线BC 1与EF 所成角的大小为arccos10； (2)11311 (2322212)C A EF A EFC a a a V V a --===.17.设双曲线C ：2223x y -=1，F 1，F 2为其左右两个焦点. (1)设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1·OM F M 的取值范围； (2)若动点P 与双曲线C 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为-19，求动点P 的轨迹方程.解析：(1)设M(x ，y)，xF 10)，通过1·OM F M =(x ，y)·y)利用二次函数的性质求出对称轴1·OM F M 的取值范围. (2)写出P 点轨迹为椭圆2222x y a b+=1，利用|F 1F 2|PF 1|+|PF 2|=2a ，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可.答案：(1)设M(x ，y)，xF 10)，1·OM F M =(x ，y)·y)=x 2+2=x 2232x-3=2x 2)对称轴x=-5，1·OM F M ∈[2++∞)(2)由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆2222x y a b +=1，|F 1F 2|PF 1|+|PF 2|=2acos ∠F 1PF 2=221212202PF PF PF PF +⋅-=2121242202a PF PF PF PF -⋅-⋅=21242021a PF PF -⋅- 由基本不等式得2a=|PF 1|+|PF 2|≥当且仅当|PF 1|=|PF 2|时等号成立|PF 1|·|PF 2|≤a 2⇒cos ∠F 1PF 2≥2242012a a --=-19⇒a 2=9，b 2=4所求动点P 的轨迹方程为2294x y +=1.18.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A(看做一点)的东偏南θ角方向(cos θ=10)，300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大.(1)问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2)城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？解析：(1)建立直角坐标系，，则城市A(0，0)，当前台风中心)，设t 小时后台风中心P 的坐标为(x ，y)，由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.(2)t 小时后台风侵袭的范围可视为以，为圆心，60+10t 为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果. 答案：(1)如图建立直角坐标系，则城市A(0，0)，当前台风中心，，设t 小时后台风中心P 的坐标为(x ，y)，则x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为60+10t ， 10小时后，|PA|≈184.4km ，台风的半径为r=160km ， ∵r ＜|PA|，∴10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.(2)由(1)知t 小时后台风侵袭的范围可视为以t ，t)为圆心，60+10t 为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，(60+10t)，∴300t 2-10800t+86400≤0，即t 2-36t+288≤0，解得12≤t ≤24∴该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.19.设集合M a ={f(x)|存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有f(x+a)＞f(x)}.(1)若f(x)=2x -x 2，试判断f(x)是否为M 1中的元素，并说明理由；(2)若g(x)=x 3-14x+3，且g(x)∈Ma ，求a 的取值范围； (3)若h(x)=log 3(x+kx)， x ∈[1，+∞)(k ∈R)，且h(x)∈M 2，求h(x)的最小值.解析：(1)利用f(1)=f(0)=1，判断f(x)∉M 1.(2)f(x+a)-f(x)＞0，化简，通过判别式小于0，求出a 的范围即可. (3)由f(x+a)-f(x)＞0，推出h(x+2)-h(x)=log 3[(x+2)+2k x +]-log 3(x+kx )＞0，得到x+2+2k x +＞x+kx ＞0对任意x ∈[1，+∞)都成立，然后分离变量，通过当-1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可.答案：(1)∵f(1)=f(0)=1，∴f(x)∉M 1.(2)由g(x+a)-g(x)=(x+a)3-x 3-14(x+a)+14x=3ax 2+3a 2x+a 3-14a ＞0 ∴△=9a 4-12a(a 3-14a)＜0，故 a ＞1. (3)由h(x+2)-h(x)=log 3[(x+2)+2k x +]-log 3(x+kx )＞0，即：log 3[(x+2)+2k x +]＞log 3(x+kx )∴x+2+2k x +＞x+kx ＞0对任意x ∈[1，+∞)都成立∴()2231k x x k k k x⎧+⎧⎪⇒⇒⎨⎨--⎩⎪⎩＜＜＞＞-1＜k ＜3当-1＜k ≤0时，h(x)min =h(1)=log 3(1+k)；当0＜k ＜1时，h(x)min =h(1)=log 3(1+k)；当1≤k ＜3时，h(x)min3综上：h(x)min =()(3311113log k k log k +-⎧⎪⎨≤⎪⎩，＜＜，＜.20.由n(n ≥2)个不同的数构成的数列a 1，a 2，…a n 中，若1≤i ＜j ≤n 时，a j ＜a i (即后面的项a j 小于前面项a i )，则称a i 与a j 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数.如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列1，-12，14，-18的逆序数为4. (1)计算数列a n =-2n+19(1≤n ≤100，n ∈N *)的逆序数；(2)计算数列a n =131nn n n n ⎛⎫ ⎪⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎝⎭⎩，奇，偶为数为数(1≤n ≤k ，n ∈N *)的逆序数；(3)已知数列a 1，a 2，…a n 的逆序数为a ，求a n ，a n-1，…a 1的逆序数.解析：(1)由{a n }为单调递减数列，可得逆序数为99+98+ (1)(2)当n 为奇数时，a 1＞a 3＞…＞a 2n-1＞0.当n 为偶数时：0＞a 2＞a 4＞…＞a 2n .可得逆序数. (3)在数列a 1，a 2，…a n 中，若a 1与后面n-1个数构成p 1个逆序对，则有(n-1)-p 1不构成逆序对，可得在数列a n ，a n-1，…a 1中，逆序数为(n-1)-p 1+(n-2)-p 2+…+(n-n)-p n . 答案：(1)∵{a n }为单调递减数列，∴逆序数为99+98+…+1=()991992+⨯=4950.(2)当n 为奇数时，a 1＞a 3＞…＞a 2n-1＞0. 当n 为偶数时：a n -a n-2=211n n n n --++-(n ≥4)=221n --=()()211n n -+-＜0∴0＞a2＞a4＞…＞a2n.当k为奇数时，逆序数为(k-1)+(k-3)+ (2)32k-+52k-+ (1)23418k k-+；当k为偶数时，逆序数为(k-1)+(k-3)+ (1)22k-+42k-+ (1)2328k k-.(3)在数列a1，a2，…a n中，若a1与后面n-1个数构成p1个逆序对，则有(n-1)-p1不构成逆序对，所以在数列a n，a n-1，…a1中，逆序数为(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-p n=()12n n--a.。

2017年上海数学一模专题汇编——三角函数

1、（静安一模）函数2()13sin 4f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最小正周期为 . 2、（静安一模）已知α为锐角，且3cos(),45πα+=则sin α= . 3、（黄浦一模）已知1sin()23πα+=，(,0)2πα∈-，则tan α的值为 4、（长宁嘉定一模）函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=5、（金山一模）如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 6、（金山一模）函数cos sin ()sin cos x x f x x x=的最小正周期是7、（闵行一模）集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）8、（浦东一模）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为 9、（普陀一模）若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 10、（松江一模）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为11、（虹口一模）设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =12、（虹口一模）已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“sin A =”的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）13、（杨浦一模）若ABC ∆中，4a b +=，o30C ∠=，则ABC ∆面积的最大值是。

14、（宝山一模）若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为。

15、（崇明一模）已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是。

16、（奉贤一模）已知函数()sin cos f x x x ωω=+(0)ω>，x R ∈，若函数()f x 在区间 (,)ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为。

2017年上海高考数学一模卷(分类汇编--三角H

2017年高考数学一模分类汇编--三角一、填空题汇编：（第1--6题4分/题；第7--12题5分/题）1、（17年普陀一模2）若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α=2、（17年浦东一模8）函数()3cos 3sin )f x x x x x =+-的最小正周期为3、（17年长宁/嘉定一模2）函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=4、（17年长宁/嘉定一模9）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为5、（17年杨浦一模4）若ABC ∆中，4=+b a ，︒=∠30C ，则ABC ∆面积的最大值是 .6、（17年松江一模5）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为7、（17年闵行一模1）集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈=_____________ ．（用列举法表示）8（17年松江一模）如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅的取值范围是_____________．9、（17年静安一模2）．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为．10、（17年静安一模6）．已知为锐角，且，则________ ．11、（17年静安一模9）．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为___________．12、（17年金山一模3）．如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 13、（17年金山一模4）．函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是14、（17年虹口一模3）．设函数()sin cos f x x x =-，且()1f α=，则sin2α= ． 15、（17年虹口一模6）．已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin A =的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．16、（17年奉贤一模11）．参数方程[)πθθθθ2,0,sin 12cos2sin ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 表示的曲线的普通方程是_________.3cos()45πα+=sin α=17、（17年奉贤一模12）．已知函数()()sin cos 0,f x wx wx w x R =+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为____________.18、（17年崇明一模9）．已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是19、（17年崇明一模11）．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =； ③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确的序号都填上）20、（17年宝山一模6）．若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为二、选择题汇编：（5分/题） 1、（17年徐汇一模13）、“4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要2、（17年青浦一模13）、已知()sin3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（）.A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种3、（17年浦东一模13）将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=- 4、（17年长宁/嘉定一模15）给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2x π=-是函数sin y x =图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5、（17年长宁/嘉定一模16）如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. 4(,]3-∞ B. [3,)+∞ C. [- D. [3,3]-6、（17年杨浦一模13）若直线1=+bya x 通过点()θθsin ,c os P ，则下列不等式正确的是（）（A ）122≤+b a （B ）122≥+b a （C ）11122≤+b a （D ）11122≥+ba7、（17年松江一模16）解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-8、（17年虹口一模14）．已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[]0,a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（）．.A 02a <≤π.B 012a π<≤.C ,12a k k N ππ*=+∈ .D 22,12k a k k N <≤+∈πππ9、（17年奉贤一模15）．已知函数22sin ,()cos(),x x f x x x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<([0,2)απ∈是奇函数，则α=（）A ．0 B ．2πC ．πD ．23π10、（17年崇明一模13）．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =三、解答题汇编1、（17年徐汇一模18）、已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若()2Af =4a =，5b c +=，求△ABC 的面积；2、（17年青浦一模18）、本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知函数()()221cos 42f x x x x π⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭R .（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）在ABC ∆中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BCAB的值.3、（17年浦东一模13）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =ABC 的面积S =a c +的值；（2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；4、（17年长宁/嘉定一模18）（14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin 2cos 272B C A +-=；（1）求角A 的大小；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值；5、（17年杨浦一模17）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题6分. 如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中︒=∠60BAC . （1）求半径PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）.6、（17年松江一模19）松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=，过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米）（2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）60° A B PC7、（17年松江一模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知()23,1m =，2cos ,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角．（1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.8、（17年静安一模18）．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向2cos θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？9、（17年金山一模18）．已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅；（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；10、（17年虹口一模18）．（本题满分14分）如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30︒方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1︒，速度精确到0.1海里/小时)．A11、（17年奉贤一模19）．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔在一直线上，并与航线成角α()0900<<α．轮船沿航线前进b 米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东β()0900<<α方向，0090αβ<+<．求．（结果用,,b αβ的表达式表示）．12、（17年崇明一模18）．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A相距B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒︒<<）且与点A相距海里的位置C 处；（1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由；P A B ，C A 45︒B CB。

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷(解析汇报版)

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．若集合A={x||x ﹣1|＜2，x ∈R}，则A ∩Z= ． 2．抛物线y 2=2x 的准线方程是．3．若复数z 满足（i 为虚数单位），则z= ．4．已知sin （α+）=，α∈（﹣，0），则tan α= ．5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是．6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x 4的项的系数是．7．已知向量（x ，y ∈R ），，若x 2+y 2=1，则的最大值为．8．已知函数y=f （x ）是奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=log 2（x+1）．若函数y=g （x ）是y=f （x ）的反函数，则g （﹣3）= ．9．在数列{a n }中，若对一切n ∈N*都有a n =﹣3a n+1，且=，则a 1的值为．10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有．11．已知点O ，A ，B ，F 分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作OB 的平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若，则实数λ的值为．12．已知为常数），，且当x 1，x 2∈[1，4]时，总有f （x 1）≤g （x 2），则实数a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α15．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan ∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．16．若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H函数”；②函数是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①和②均为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．19．现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．20．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．21．已知数列{an }，{bn}满足bn=an+1﹣an（n=1，2，3，…）．（1）若bn =10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若cn =an+2an+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{an}为等差数列”的充分必要条件是“数列{cn }为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”．2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z= {0，1，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩Z即可．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2，x∈R}={x|﹣1＜x＜3，x∈R}，则A∩Z={0，1，2}．故答案为{0，1，2}．2．抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣3．若复数z满足（i为虚数单位），则z= 1+2i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα= ﹣2．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=18 ．【考点】圆的切线方程．【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程．【解答】解：将直线x+y=7化为x+y﹣7=0，圆的半径r==3，所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=18．故答案为（x﹣2）2+（y+1）2=18．6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是10 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据题意求得n=5，再在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：∵二项式的展开式共有6项，故n=5，=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=4，∴r=2，则此展开式的通项公式为 Tr+1中含x4的项的系数=10，故答案为：10．7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为+1 ．【考点】向量的模．【分析】利用≤+r即可得出．【解答】解：设O（0，0），P（1，2）．=≤+r=+1=+1．∴的最大值为+1．故答案为：．（x+1）．若函数y=g 8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）= ﹣7 ．【考点】反函数．【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，（x+1）=3，∴log2解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．在数列{a n }中，若对一切n ∈N*都有a n =﹣3a n+1，且=，则a 1的值为 ﹣12 ．【考点】数列的极限．【分析】由题意可得数列{a n }为公比为﹣的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求．【解答】解：在数列{a n }中，若对一切n ∈N*都有a n =﹣3a n+1，可得数列{a n }为公比为﹣的等比数列，=，可得====，可得a 1=﹣12．故答案为：﹣12．10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有 200 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，甲、乙所选的课程中至多有1门相同，其包含两种情况：①甲乙所选的课程全不相同，②甲乙所选的课程有1门相同；分别计算每种情况下的选法数目，相加可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲乙所选的课程全不相同，有C 63×C 33=20种情况， ②甲乙所选的课程有1门相同，有C 61×C 52×C 32=180种情况，则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20=200种情况；故答案为：200．11．已知点O ，A ，B ，F 分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作OB 的平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若，则实数λ的值为．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，求出的坐标，代入，结合隐含条件求得实数λ的值．【解答】解：如图，A （﹣a ，0），B （0，b ），F （c ，0），则P （c ，），∴，，由，得，即b=c ，∴a 2=b 2+c 2=2b 2，．则．故答案为：．12．已知为常数），，且当x 1，x 2∈[1，4]时，总有f （x 1）≤g （x 2），则实数a 的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意可知，当x 1，x 2∈[1，4]时，f （x 1）max ≤g （x 2）min ，利用对勾函数的单调性质可求g（x2）min=g（1）=3；再对f（x）=2ax2+2x中的二次项系数a分a=0、a＞0、a＜0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f（x）在区间[1，4]上的最大值，解f（x）max≤3即可求得实数a的取值范围．【解答】解：依题意知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，由“对勾'函数单调性知， =2x+=2（x+）在区间[1，4]上单调递增，∴g（x2）min=g（1）=3；∵=2ax2+2x，当a=0时，f（x）=2x在区间[1，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a≠0；∴f（x）=2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=﹣，当a＞0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=8≤3不成立，故a＞0不成立；当a＜0时，1°若﹣≤1，即a≤﹣时，f（x）在区间[1，4]上单调递减，f（x）max=f（1）=2a+2≤3恒成立，即a≤﹣时满足题意；2°若1＜﹣＜4，即﹣＜a＜﹣时，f（x）max=f（﹣）=﹣≤3，解得：﹣＜a≤﹣；3°若﹣≥4，即﹣≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max=f（4）=32a+8≤3，解得a≤﹣∉（﹣，0），故不成立，综合1°2°3°知，实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣]．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1 （如 x=﹣1时），故x＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：A．14．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l与m平行或异面；在B中，l与m相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．【解答】解：由直线l，m及平面α，β，知：在A中，若l∥α，α∩β=m，则l与m平行或异面，故A错误；在B中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质定理得l⊥m，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥l，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．15．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan ∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A．B．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】设P （x ，y ），则由题意，（m ≠0），化简可得结论．【解答】解：设P （x ，y ），则由题意，（m ≠0），化简可得，故选C ．16．若函数y=f （x ）在区间I 上是增函数，且函数在区间I 上是减函数，则称函数f （x ）是区间I 上的“H 函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H 函数”；②函数是（0，1）上的“H 函数”．下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对函数，G （x ）=在（0，1）上的单调性进行判断，得命题①是真命题．对函数=，H （x ）=在（0，1）上单调性进行判断，得命题②是假命题．【解答】解：对于命题①：令t=，函数=﹣t 2+2t ，∵t=在（0，1）上是增函数，函数y=﹣t 2+2t 在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上是增函数；G （x ）=在（0，1）上是减函数，∴函数是（0，1）上的“H 函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数=是（0，1）上的增函数，H（x）=是（0，1）上的增函数，故命题②是假命题；故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）在Rt△PAB中计算PA，再代入棱锥的体积公式计算；（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，分别求出△PMN的三边长，利用余弦定理计算cos∠PMN即可．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又AB=6，∴，∴．（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，∵M，N分别是棱BC，AC的中点，∴MN∥BA，∴∠PMN为异面直线PM与AB所成的角．∵PA⊥平面ABC，所以PA⊥AM，PA⊥AN，又，AN=AC=3，BM=BC=3，∴AM==3，，，所以，故异面直线PM与AB所成的角为．18．已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的标准方程．【分析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直线方程．【解答】解：（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c，则c=2，，a=1，…所以b2=c2﹣a2=3，故双曲线C 的方程为． …双曲线C 的渐近线方程为． …（2）设直线l 的方程为y=x+t ，将其代入方程，可得2x 2﹣2tx ﹣t 2﹣3=0（*） …△=4t 2+8（t 2+3）=12t 2+24＞0，若设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1，x 2是方程（*）的两个根，所以，又由，可知x 1x 2+y 1y 2=0，…即x 1x 2+（x 1+t ）（x 2+t ）=0，可得，故﹣（t 2+3）+t 2+t 2=0，解得，所以直线l 方程为． …19．现有半径为R 、圆心角（∠AOB ）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF ，如图所示．其中E ，F 分别在OA ，OB 上，C ，D 在上，且OE=OF ，EC=FD ，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF 的面积为S ．（1）试求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设M 是CD 中点，连OM ，推出∠COM=∠DOM=，MD=Rsinθ，利用△CEO ≌△DFO ，转化求解∠DFO=，在△DFO 中，利用正弦定理，求解S=S △COD +S ODF +S OCE =S △COD +2S ODF 的解析式即可．（2）利用S 的解析式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：（1）设M 是CD 中点，连OM ，由OC=OD ，可知OM ⊥CD ，∠COM=∠DOM=，，MD=Rsin θ，又OE=OF ，EC=FD ，OC=OD ，可得△CEO ≌△DFO ，故∠EOC=∠DOF ，可知，…又DF ⊥CD ，OM ⊥CD ，所以MO ∥DF ，故∠DFO=，在△DFO 中，有，可得…所以S=S △COD +S ODF +S OCE =S △COD +2S ODF ==…（2）…=（其中） …当，即时，sin （2θ+φ）取最大值1．又，所以S 的最大值为． …20．已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：在定义域内存在实数t ，使得f （t+2）=f （t ）+f （2）．（1）判断f （x ）=3x+2是否属于集合M ，并说明理由；（2）若属于集合M ，求实数a 的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用f（x）=3x+2，通过f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）=3x+2不属于集合M．（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，若a=6时，若a≠6时，利用判断式求解即可．（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx﹣4=0，令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．【解答】解：（1）当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）⇔3t+8=3t+10…此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），故f（x）=3x+2不属于集合M．…（2）由属于集合M，可得方程有实解⇔a[（x+2）2+2]=6（x2+2）有实解⇔（a ﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，…若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2﹣24（a﹣6）（a﹣2）≥0，解得，故所求a的取值范围是．…（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔2x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b ⇔3×2x+4bx﹣4=0，…令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，g（0）=﹣1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b＜0时，g（0）=﹣1＜0，，故g（x）在内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b ，都有f （x ）∈M ． …21．已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1﹣a n （n=1，2，3，…）．（1）若b n =10﹣n ，求a 16﹣a 5的值；（2）若且a 1=1，则数列{a 2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n =a n +2a n+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{a n }为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）”．【考点】数列与函数的综合；数列的应用；数列递推式．【分析】（1）判断{b n }是等差数列．然后化简a 16﹣a 5=（a 16﹣a 15）+（a 15﹣a 14）+（a 14﹣a 13）+…+（a 6﹣a 5）利用等差数列的性质求和即可．（2）利用a 2n+3﹣a 2n+1=22n+1﹣231﹣2n ，判断a 2n+3＜a 2n+1，求出n ＜7.5，a 2n+3＞a 2n+1求出n ＞7.5，带带数列{a 2n+1}中a 17最小，即第8项最小．．法二：化简，求出a 2n+1=a 1+b 1+b 2+b 3+…+b 2n =，利用基本不等式求出最小值得到数列{a 2n+1}中的第8项最小．（3）若数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，说明数列{c n }为等差数列．由b n =a n+1﹣a n =d （n=1，2，3，…），推出b n ≤b n+1，若数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n }的公差为D ，转化推出b n+1=b n （n=1，2，3，…），说明数列{a n }为等差数列．得到结果．【解答】解：（1）由b n =10﹣n ，可得b n+1﹣b n =（9﹣n ）﹣（10﹣n ）=﹣1，故{b n }是等差数列．所以a 16﹣a 5=（a 16﹣a 15）+（a 15﹣a 14）+（a 14﹣a 13）+…+（a 6﹣a 5）=…（2）a 2n+3﹣a 2n+1=（a 2n+3﹣a 2n+2）+（a 2n+2﹣a 2n+1）=b 2n+2+b 2n+1=（22n+2+231﹣2n ）﹣（22n+1+232﹣2n）=22n+1﹣231﹣2n …由a 2n+3＜a 2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n ＜0⇔n ＜7.5，a 2n+3＞a 2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n ＞0⇔n ＞7.5，… 故有a 3＞a 5＞a 7＞…＞a 15＞a 17＜a 19＜a 20＜…，所以数列{a 2n+1}中a 17最小，即第8项最小． …法二：由，…可知a 2n+1=a 1+b 1+b 2+b 3+…+b 2n ==…（当且仅当22n+1=233﹣2n ，即n=8时取等号）所以数列{a 2n+1}中的第8项最小． … （3）若数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，则c n+1﹣c n =（a n+1﹣a n ）+2（a n+2﹣a n+1）=d+2d=3d 为常数，所以数列{c n }为等差数列． …由b n =a n+1﹣a n =d （n=1，2，3，…），可知b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）． … 若数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…），设{c n }的公差为D ，则c n+1﹣c n =（a n+1﹣a n ）+2（a n+2﹣a n+1）=b n +2b n+1=D （n=1，2，3，…），… 又b n+1+2b n+2=D ，故（b n+1﹣b n ）+2（b n+2﹣b n+1）=D ﹣D=0，又b n+1﹣b n ≥0，b n+2﹣b n+1≥0，故b n+1﹣b n =b n+2﹣b n+1=0（n=1，2，3，…），… 所以b n+1=b n （n=1，2，3，…），故有b n =b 1，所以a n+1﹣a n =b 1为常数．故数列{a n }为等差数列．综上可得，“数列{a n }为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n }为等差数列且b n ≤b n+1（n=1，2，3，…）”． …2017年2月18日。

2017上海高三数学一模汇总(普陀、奉贤)

普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研2016.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．若集合{}R,|2∈==y x y x A ，{}R ,sin |∈==x x y y B ，则=B A I .2. 若22παπ<<-，53sin =α，则=α2cot . 3. 函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f.4. 若5522105)1(x a x a x a a x ++++=+Λ，则=+++521a a a Λ .5. 设∈k R ，若1222=--k x k y 表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值围是 .6. 设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .7. 方程()()23log 259log 22-+=-xx 的解=x .8. 已知圆C :022222=++++k y kx y x （R k ∈）和定点()1,1-P ，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值围是 .9. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1==BC AB ，若CA 1与平面11BCCB 所成的角为6π，则三棱锥ABC A -1的体积为 . 10.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{}2,1,0,1,2--∈d 出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）.11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬︒45，且两地所在纬度圈上的弧长为R π42，则A 、B 之间的球面距离是（结果用含有R 的代数式表示）.12. 已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.若b a <0<，则下列不等关系中，不能成立．．．．的是………………………………………（）.)A (ba 11>()B ab a 11>- ()C 3131b a <()D 22b a >14.设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S .则“11=+q a ”是“1lim =∞→n n S ”成立的…………………………………………………（）.)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设βα--l 是直二面角，直线a 在平面α，直线b 在平面β，且a 、b 与l 均不垂直，则……………………………………………………………（）. )A (a 与b 可能垂直，但不可能平行 ()B a 与b 可能垂直，也可能平行()C a 与b 不可能垂直，但可能平行 ()D a 与b 不可能垂直，也不可能平行16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t +的最小值为1，则下列判断正确的是……………………………………………………………（）.)A (θ唯一确定 ()B 确定，则θ唯一确定()C 若θ ()D 若θ三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，数a 的取值围.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限的点，x PQ ⊥轴，垂足为Q ,且621=F F ，935arccos21=∠F PF ，△21F PF 的面积为23.（1）求椭圆的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求MQ 的最大值,并求出MQ 取得最大值时M 的坐标.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为8.73/cm g ，总重量为8.5kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）.（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料（结果精确到01.0）20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，对于任意的*N n ∈，均有()14121+⋅=-+n n n a a a ， =n b ()11log 22-+n a .（1）求证：{}n a +1是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求10021c c c +++Λ；（3）设11+⋅=n n n b b d ，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m（n m <<1），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数)(x f y =,若存在实数m 、k （0≠m ），使得对于定义域的任意实数x ，均有)()()(k x f k x f x f m -++=⋅成立，则称函数)(x f 为“可平衡”函数，有序数对()k m ,称为函数)(x f 的“平衡”数对.（1）若1=m ，判断x x f sin )(=是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若∈a R ，0≠a ，当a 变化时，求证：2)(x x f =与xa x g 2)(+=的“平衡”数对相同；（3）若1m 、2m ∈R ，且⎪⎭⎫⎝⎛2,1πm 、⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πm 均为函数x x f 2cos )(=的“平衡”数对. 当40π≤<x 时，求2221m m +的取值围.普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1-6:：4分；7-12：5分。

上海高三一模汇编——函数

2017届高三一模汇编——函数一、填空题1、（宝山2017一模7）若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为______________ 【参考答案】12x -2、（崇明2017一模2）设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=【参考答案】2-3、（崇明2017一模11）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1x y π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为___________（注：把你认为正确的序号都填上）【参考答案】②③4、（虹口2017一模10）设函数6 , 1()2 1 , 1x x f x x x ⎧≤=⎨--≤-⎩，则当 1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是. 【参考答案】605、（闵行2017一模1）方程lg(34)1x +=的解x = 【参考答案】26、（闵行2017一模4）函数()1f x =的反函数是【参考答案】12()(1)f x x -=-(1)x ≥7、（普陀2017一模3）函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()f x -= 【参考答案】12x -(1)x ≥8、（普陀2017一模6）设m R ∈，若23()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是【参考答案】[0,)+∞9、（普陀2017一模7）方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解x = 【参考答案】1x =10、（普陀2017一模12）已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是【参考答案】1511、（松江2017一模3）已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -= 【参考答案】212、（松江2017一模11）已知函数13()28,3x x f x x ≤≤=->⎪⎩，若()()F x f x kx=-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈【参考答案】(0,313、（徐汇2017一模7）若函数22,0(),0x x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(,1]-∞，则实数m 的取值范围是____________【参考答案】01m <≤14、（徐汇2017一模9）定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为个【参考答案】415、（杨浦2017一模5）若函数()2log 1x af x x -=+的反函数的图像过点()2,3-，则a =_______ 【参考答案】216、（杨浦2017一模12）函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x L 满足120n x x x ≤<<<L ，且()()()()()()122312016n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=L ，则n n x +最小值为【参考答案】151317、（长宁、嘉定2017一模4）若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点()1,4，则实数____=a 【参考答案】318、（长宁、嘉定2017一模10）有以下命题：（1）若函数)(x f 既是奇函数，又是偶函数，则)(x f 的值域为}0{；（2）若函数)(x f 是偶函数，则)(|)(|x f x f =；（3）若函数)(x f 在其定义域内不是单调函数，则)(x f 不存在反函数；（4）若函数)(x f 存在反函数)(1x f -，且)(1x f -与)(x f 不完全相同，则)(x f 与)(1x f -图像的公共点必在直线x y =上；其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）【参考答案】①②19、（金山2017一模5）函数m x f x +=2)(的反函数为)(1x f y -=，且)(1x f y -=的图像过点)2,5(Q ，那么_______=m【参考答案】120、（静安2017一模7）根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾驶.假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rx p p e =⋅（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2小时后，测得其血液中酒精含量为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车. 【参考答案】821、（静安2017一模8）已知奇函数()f x 为定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足78()()0,f x f x +=则2017x 的值为. 【参考答案】401922、（静安2017一模10）已知()(01,),()1,x f x a b a a b R g x x =->≠∈=+且若对任意实数x 均有()()0,f x g x ⋅≤则14ab+的最小值为【参考答案】423、（青浦2017一模11）若定义域均为D 的三个函数()()(),,f x g x h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),,x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”。

【上海中学年】2017学年高考模拟数学年试题(一)答案

上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）一、填空题1．定义在R 上的奇函数()f x 以2为周期，则(1)f =________．2．如果复数1i 1ib ++(b ∈R )的实部和虚部互为相反数，则b 等于________． 3．若12x n +()展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的8倍，则正整数n =________．4．(文)若126x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为________．5．已知0a <，则关于x 的不等式31a x a>+的解集为________． 6．点P 是椭圆2212516x y +=上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △的内切圆半径为1，当P 在第一象限内时，P 点的纵坐标为________．7．数列{}n a 满足：1213nn nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数.，它的前n 项和记为n S ，则lim n n S →∞=________． 8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A 被选中的概率为________．92kx -仅有一个实数根，则k 的取值范围是________．10．在ABC △中，已知||2AB =，22||1||2BC CA =，则ABC △面积的最大值为________． 11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，6SD PD ==，CR SC =，AQ AP =，点S ，D ，A ，Q 及P ，D ，C ，R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．12．若函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象分别交于点A 、B ，若||AB =则a 约等于________（精确到0.1）．13．老师告诉学生小明说，“若O 为ABC △所在平面上的任意一点，且有等式c o s C c o s B ()||||AB AC OP OA AB AC =++，则P 点的轨迹必过ABC △的垂心”，小明进一步思考何时P 点的轨迹会通过ABC △的外心，得到的条件等式应为OP =________．（用O ，A ，B ，C 四个点所构成的向量和角A ，B ，C 的三角函数以及表示）二、选择题14．若函数cos2y x =与函数()sin y x =+在区间π[0]2，上的单调性相同，则的一个值是（） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π215．△ABC 中，π3A =，3BC =，则△ABC 的周长为（）A ．π)33B ++ B ．π)36B ++C ．π6sin()33B ++ D ．π6sin()36B ++ 16．若点1(,)M a b和1(,)N b c 都在直线l ：1x y +=上，则点1(,)P c a ，1()Q b c ，和l 的关系是（） A ．P 和Q 都在l 上 B ．P 和Q 都不在l 上 C ．P 在l 上，Q 不在l 上 D ．P 不在l 上，Q 在l 上 17．数列{}n a 满足：114a =，215a =，且1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+对任何的正整数n 都成立，则1297111...a a a +++的值为（） A ．5 032B ．5 044C ．5 048D ．5 050三、解答题 18．已知函数2cos cos 3()()2f x x x x x =-+∈∈R R ，的最小正周期为π，且当π6x =时，函数有最小值．（1）求()f x 的解析式；（2）作出()f x 在[0,π]范围内的大致图象．19．设虚数z 满足|215|10|z z +=+．（1）计算||z 的值；（2）是否存在实数a ，使z a a z+∈R ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 20．如图所示，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为π3，且侧面ABB 1A 1垂直于底面．（1）判断B 1C 与C 1A 是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B ﹣ACC 1A 1的体积．21．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n 年该公司付给职工工资总额y (万元)表示成年限n 的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p %，求p 的最小值．22．已知函数||2()()f x x b c =+-，函数()g x x m =+．（1）当2b =，4m =-时，()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）当3c =-，2m =-时，方程()()f x g x =有四个不同的解，求实数b 的取值范围．23．若给定椭圆C ：221ax by +=（0a >，0b >，a b ≠）和点00()N x y ，，则称直线l ：001ax x by y +=为椭圆C 的“伴随直线”．（1）若00()N x y ，在椭圆C 上，判断椭圆C 与它的“伴随直线”的位置关系）当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点00()N x y ，在椭圆C 的外部，则直线l 与椭圆C 必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若00()N x y ，在椭圆C 的内部，过N 点任意作一条直线，交椭圆C 于A 、B ，交l 于M 点（异于A 、B ），设1MA AN =，2MB BN =，问12+是否为定值？说明理由．。

高考数学《函数》专题复习

函数一、17届一模一、填空、选择题1、（宝山区2017届高三上学期期末）若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为2、（崇明县2017届高三第一次模拟）设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则((1))f f -= ．3、（虹口区2017届高三一模）定义{}()f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{}2.13=，{}44=．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）．①(2)2()f x f x =； ②若12()()f x f x =，则121x x -<； ③任意12,x x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=．.A ①② .B ①③ .C ②③ .D ②④4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知函数()y f x =是奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+．若函数()y g x =是()y f x =的反函数，则(3)g -= ．5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是【】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）函数()1f x =的反函数是_____________．7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则()()20171999f f -=____________．8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f .9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<，不考虑树的粗细．现用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ．设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()u f a =（单位2m ）的图像大致是……………………（）.A ．B ．C ．D ．10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=▲ ．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞，则实数m 的取值范围是____________12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________．13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________．14、（崇明县2017届高三第一次模拟）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．tan y x =B ．3xy =C ．13y x =D ．lg y x =15、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像（）． A ．关于y 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称16、（普陀区2017届高三上学期质量调研）设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .17、（普陀区2017届高三上学期质量调研）方程()()23log 259log 22-+=-x x 的解=x .18、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是 .19、（奉贤区2017届高三上学期期末）方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________ 20、（金山区2017届高三上学期期末）函数()2xf x m =+的反函数为1()y fx -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =二、解答题1、（崇明县2017届高三第一次模拟）设12()2x x af x b+-+=+（,a b 为实常数）．（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．2、（虹口区2017届高三一模）已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域．3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)f t +()(2)f t f =+．（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由；（2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围；（3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x-=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．5、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.6、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值.7、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) ．（1）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围.8、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？参考答案：一、填空、选择题1、解析：1＋log 8a ＝4，log 8a ＝3，化为指数：3a ＝8，所以，a ＝221log y x =+，即：12y x -=，所以反函数为12x y -=2、－23、C4、－75、C6、()()211(1)fx x x -=-≥ 7、548、【解析】∵x ≥1，∴y=1+2log x ≥1，由y=1+2log x ，解得x=2y ﹣1，故f ﹣1（x ）=2x ﹣1（x ≥1）．故答案为：2x ﹣1（x ≥1）． 9、B 10、211、01m <≤ 12、2a =13、【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点（4，1），即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点（1，4）， ∴4=log 2（1+1）+a ∴4=1+a ， a=3．故答案为：3． 14、C 15、D16、【解析】由题意：函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则mx=0，故得m=0，那么：f （x ）=23x +1，根据幂函数的性质可知：函数f （x ）的单点增区间为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）． 17、【解析】由题意可知：方程log 2（9x ﹣5）=2+log 2（3x ﹣2）化为：log 2（9x ﹣5）=log 24（3x ﹣2）即9x ﹣5=4×3x ﹣8 解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1．故答案为1． 18、【解析】定义域为R 的函数y=f （x ）满足f （x +2）=f （x ），可得f （x ）的周期为2， F （x ）=f （x ）﹣g （x ），则令F （x ）=0，即f （x ）=g （x ），分别作出y=f （x ）和y=g （x ）的图象，观察图象在[﹣5，10]的交点个数为14．x ＝0时，函数值均为1，则函数F （x ）零点的个数是15．故答案为：15．19、5 20、1二、解答题1、解：（1）证明：511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意........................................8分（2）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x ，所以112>+x ，11210<+<x，所以21)(21<<-x f .......................................10分而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x （，所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f .............14分1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x 得：75log 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分2、解：（1）由二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，得0a >且41604ac a-=，解得4ac =．……………………2分(1)4f a c =+-，(1)4f a c -=++，0a >且0c >，从而(1)(1)f f -≠，(1)(1)f f -≠-，∴此函数是非奇非偶函数．……………………6分（2）函数的单调递增区间是2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．设1x 、2x 是满足212x x a >≥的任意两个数，从而有21220x x a a->-≥，∴222122()()x x a a ->-．又0a >，∴222122()()a x a x a a ->-，从而22212424()()a x c a x c a a a a-+->-+-，即22221144ax x c ax x c -+>-+，从而21()()f x f x >，∴函数在2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增．……………………10分（3）2()4f x ax x c =-+，又0a >，02x a=，[)1,x ∈+∞ 当021x a =≥，即02a <≤时，最小值0()()0g a f x == 当021x a =<，即2a >时，最小值4()(1)44g a f a c a a==+-=+-综上，最小值002()442a g a a a a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩……………………14分当02a <≤时，最小值()0g a = 当2a >时，最小值4()4(0,)g a a a=+-∈+∞ 综上()y g a =的值域为[0,)+∞……………………16分3、解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ ……2分此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+，故()32f x x =+不属于集合M ． ……………………………4分（2）由2()lg2af x x =+属于集合M ，可得方程22lg lg lg (2)226a a ax x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，………7分若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤+故所求a的取值范围是[1212-+． ……………………………10分（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔+2222(2)244x x b x bx b ++=+++⇔32440x bx ⨯+-=， ………………12分令()3244x g x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点；当0b <时，(0)10g =-<，11()320bg b =⨯>，故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点；故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解，所以对任意实数b ，都有()f x M ∈． ………………………16分 4、解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分即：)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33min k k k k x h ……………………………1分5、【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f +=，所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……（*） ①若0>x ，则（*）变为，0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ，所以1≥x ；②若0<x ，则（*）变为，0122≥+-xx x 0>⇔x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。

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2017届高三一模汇编——函数一、填空题1、（宝山2017一模7）若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为______________ 【参考答案】12x -2、（崇明2017一模2）设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=【参考答案】2-3、（崇明2017一模11）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1x y π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为___________（注：把你认为正确的序号都填上）【参考答案】②③4、（虹口2017一模10）设函数6 , 1()2 1 , 1x x f x x x ⎧≤=⎨--≤-⎩，则当 1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是.【参考答案】605、（闵行2017一模1）方程lg(34)1x +=的解x = 【参考答案】26、（闵行2017一模4）函数()1f x =的反函数是【参考答案】12()(1)fx x -=-(1)x ≥7、（普陀2017一模3）函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()f x -=【参考答案】12x -(1)x ≥8、（普陀2017一模6）设m R ∈，若23()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是【参考答案】[0,)+∞9、（普陀2017一模7）方程22log (95)2log (32)x x-=+-的解x =【参考答案】1x =10、（普陀2017一模12）已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是【参考答案】1511、（松江2017一模3）已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=【参考答案】212、（松江2017一模11）已知函数13()28,3xx f x x ≤≤=->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈【参考答案】 13、（徐汇2017一模7）若函数22,0(),0x x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(,1]-∞，则实数m 的取值范围是____________ 【参考答案】01m <≤14、（徐汇2017一模9）定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为个【参考答案】415、（杨浦2017一模5）若函数()2log 1x af x x -=+的反函数的图像过点()2,3-，则a =_______ 【参考答案】216、（杨浦2017一模12）函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x 满足120n x x x ≤<<<，且()()()()()()122312016n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n n x +最小值为【参考答案】151317、（长宁、嘉定2017一模4）若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点()1,4，则实数____=a 【参考答案】318、（长宁、嘉定2017一模10）有以下命题：（1）若函数)(x f 既是奇函数，又是偶函数，则)(x f 的值域为}0{；（2）若函数)(x f 是偶函数，则)(|)(|x f x f =；（3）若函数)(x f 在其定义域内不是单调函数，则)(x f 不存在反函数；（4）若函数)(x f 存在反函数)(1x f-，且)(1x f -与)(x f 不完全相同，则)(x f 与)(1x f -图像的公共点必在直线x y =上；其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）【参考答案】①②19、（金山2017一模5）函数m x f x+=2)(的反函数为)(1x fy -=，且)(1x f y -=的图像过点)2,5(Q ，那么_______=m【参考答案】120、（静安2017一模7）根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾驶.假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rxp p e =⋅（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2小时后，测得其血液中酒精含量为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车. 【参考答案】821、（静安2017一模8）已知奇函数()f x 为定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足78()()0,f x f x +=则2017x 的值为 . 【参考答案】401922、（静安2017一模10）已知()(01,),()1,xf x a b a a b Rg x x =->≠∈=+且若对任意实数x 均有()()0,f x g x ⋅≤则14a b+的最小值为【参考答案】423、（青浦2017一模11）若定义域均为D 的三个函数()()(),,f x g x h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),,x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”。

已知()()2,f x x b g x =+=()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且恒成立，则实数b 的取值范围是【参考答案】[)∞+，5 24、（奉贤2017一模3）方程lg(3)lg 1x x -+=的解x = 【参考答案】525、（奉贤2017一模4）已知()log a f x x =(0,1)a a >≠，且1(1)2f --=，则1()f x -=【参考答案】1()2x26、（奉贤2017一模5）若对任意正实数x ，不等式21x a ≤+恒成立，则实数a 的最小值为【参考答案】2527、（浦东新区2017一模10）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0,1]内恒成立，则实数m 的范围【参考答案】3(,2)228、（浦东新区2017一模12）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=【参考答案】54二、选择题1、（宝山2017一模16）在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（）A.72 B. 3 C. 52D.2 【参考答案】D2、（崇明2017一模13）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（） A. tan y x = B. 3xy = C. 13y x = D.lg ||y x = 【参考答案】C3、（虹口2017一模16）定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（） ①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D.②④ 【参考答案】C4、（闵行2017一模15）函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（）A. [0,)+∞B. 1[,1]2C. 1[,)2+∞ D.[1,)+∞ 【参考答案】 C5、（松江2017一模16）解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D.(1,0)- 【参考答案】A6、（徐汇2017一模15）已知函数f (x )为R 上的单调函数，f -1(x )是它的反函数，点A (-1,3)和点B (1,1)均在函数f (x )的图像上，则不等式1|(2)|1xf -<的解集为（）A. (1,1)-B. (1,3)C. 2(0,log 3)D. 2(1,log 3) 【参考答案】C7、（长宁、嘉定2017一模16）如果以一切正实数y x ,，不等式yx a x y 9sin cos 42-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. ]34,(-∞ B. ),3[+∞ C. ]22,22[-； D. ]3,3[-【参考答案】D8、（金山2017一模16）已知函数()()()2433,0log 11,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩，（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）（A ）20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦（B ）23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（D ）123,334⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【参考答案】C9、（静安2017一模15）已知()y f x =与()y h x =都是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，()()()()22,01,log 01,1x x g x h x k x x g x x ⎧<≤⎪==>⎨->⎪⎩，若()()y g x h x =-恰好有4个零点，则正实数k 的取值范围是（）A.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B 112⎛⎤ ⎥⎝⎦，. C. 31log 22⎛⎤ ⎥⎝⎦， D. 31log 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【参考答案】C10、（青浦2017一模15）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若p 处有一颗树与两墙角的距离分别是4m 和am （0<a<12）,不考虑树的粗细，现用16m 长的篱笆，借助墙角围城一个矩形花圃ABCD 。