近世代数证明
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11.10 设G是群, 则G中阶大于2的元素有偶数个.
证: 11.10 设G是群, 则G中阶大于2的元素有偶数个.
证: 首先由定理11.4 , 对?a ∈G, 有
a &su; = e ? |a| = 1 或|a|=2 (1)
其次来证明a &su;= e ? a = (2)
事实上, 若a &su;= e. 则
反之, 若 a = , 则
a &su; = a a = a = e.
故(2)式得证。由(1)和(2)可知: a = ? |a| = 1 或|a|=2.
因此, G中阶大于2的任何元素a, 必有 a ≠. 又因|a|=||, 故G中阶大于2的元素必定成对出现, 从而G中阶大于2的元素必有偶数个(若G中无阶大于2的元素,则为0个, 也是偶数).
11.设G是非交换群，则G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba’
证明：设存在|b|=k k>1
b^k=a^-1 b^k a =(a^-1 b a)^k
当k>2时|b^-1|=|b|=k 且b^-1 =!b (否则b^2=b b^-1=e，k=2，矛盾)，所以b^-1
b =b b^-1=e
否则所有k<=2，由例题可指G是交换群,矛盾，所以G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba 由定理11.4 , 对?a ∈G, 有
a &su; = e ? |a| = 1 或|a|=2 (1)
其次来证明a &su;= e ? a = (2)
事实上, 若a &su;= e. 则
反之, 若 a = , 则
a &su; = a a = a = e.
故(2)式得证。由(1)和(2)可知: a = ? |a| = 1 或|a|=2.
因此, G中阶大于2的任何元素a, 必有 a ≠. 又因|a|=||, 故G中阶大于2的元素必定成对出现, 从而G中阶大于2的元素必有偶数个(若G中无阶大于2的元素,则为0个, 也是偶数).
11.设G是非交换群，则G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba’
证明：设存在|b|=k k>1
b^k=a^-1 b^k a =(a^-1 b a)^k
当k>2时|b^-1|=|b|=k 且b^-1 =!b (否则b^2=b b^-1=e，k=2，矛盾)，所以b^-1
b =b b^-1=e
否则所有k<=2，由例题可指G是交换群,矛盾，所以G中存在非单位元a和b，a=!b且ab=ba