概率论及其应用

(a):
1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + 1/16 + 1/32 + 1/32 = 15/16.
(b): 无穷级数
S=2
∞
1 22i
=
2
∗
(1/4)/(1
−
1/4)
=
2/3.
i=1
5. 在1.5节例(b)的样本空间中，我们对(*)中恰巧包含k个字母的样本点
赋以概率1/2k。(a)：证明(*)中的样本点的概率之和为1，(**)中之两个样本
2. 在1.2节 例(a)的 样 本 空 间 中 ， 给 全 部27个 点 以 相 同 的 概 率 。 利 用1.4节例(d)的符号，对事件A1 = S1, A2 = S2 来验证公式(7.4)。S1S2包含 多少样本点？ 解：易知事件S1包含12个样本点，事件S2包含12个样本点，事件S1 ∪ S2包 含18个样本点，事件S1S2包含6个样本点。由公式(7.4)
10. 在例1.2节例(g)中,试叙述下列事件的意义: (a)ABC, (b)A−AB, (c)AB C. 解: (a): 丈夫年龄比妻子大,且夫妇两人年龄都大于40岁. (b): 丈夫年龄大于40岁,但年龄不比妻子大. (c): 和(b)一样.
11. 在例1.2节例(g)中,试验证: AC ⊂ B. 证明: 因为AC 中的样本满足丈夫年龄大于40岁,妻子年龄不大于40岁,所以 必有丈夫年龄大于妻子年龄,所以是B 中的样本,得证.
13. 在上题中,试验证 (a) S3 ⊂ S2; (b) S3W2 = 0; (c) N2S1E1W1 = 0; (d) N2S2 ⊂ W1; (e) (N2 ∪ S2)W3 = 0; (f ) W4 = N1S1E1. 解: (a) 在事件S3中,南家至少有3个爱司,则南家至少有2个爱司,所以S3中的事件 同时也是S2中的事件,所以S3 ⊂ S2. (b) 在一共只有4个爱司,不可能出现南家至少有3个爱司并且西家至少有2个 爱司的情况,所以满足条件的事件数为0,所以S3W2 = 0. (c) 理由同(b),不可能同时出现至少5个爱司的情形,所以为0. (d) 事件N2S2中的样本都是北家和南家各2个爱司,所以西家连1个爱司也没 有, 所以有N2S2 ⊂ W1. (e) (N2 ∪ S2)W3 = N2W3 ∪ S2W3, (b)中已经说明N2W3 = S2W3 = 0, 所以 得证. (f) 事件N1S1E1 中的样本,北家南家和东家都没有爱司,所以4张爱司都在西 家手中,所以有W4 ⊃ N1S1E1,当西家手中有4张爱司的时候,其余人手中必定 没有爱司,所以W4 ⊂ N1S1E1,由左右包含关系得证.
3
Hale Waihona Puke Baidu
12. 在桥牌游戏中,令Nk为北家至少有k个爱司的事件,以Sk, Ek, Wk 分别 表示南,东,四各家至少有k个爱司. 在事件(a)W1; (b)N2S2; (c)N1S1E1; (d)W2− W3; (e)N1S1E1W1; (f )N3W1; (g)(N2 ∪ S2)E2 中,试问西家有几个爱司? 解: (a) : 0, (b) : 0, (c) : 4, (d) : 2, (e) : 1, (f ) : 1, (g) : 0.
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(a) I(A∪B) = 1 − (IA + IB − IAB) = (1 − IA)(1 − IB) = IA B . (b) I(A∪B)−B = IA +IB −IAB −IB = IA −IAB = IA−AB = IA(1−IB) = IAB . (c) IAA = IA = IA∪A. 因为IA的”0-1”函数性质决定了等式的成立。 (d) I(A−AB)∪B = IA − IAB + IB − IA−ABIB = IA − IAB + IB − IAB + IAIBIB. 因 为IAIA = IA, IAIBIB = IAB, ⇒ IA − IAB + IB − IAB + IAIBIB = IA + IB − IAB = IA∪B. (e) I(A∪B)−AB = IA + IB − IAB = IA + IB − IAB − IAB = IA + IB − 2IAB. IAB ∪A B = IA(1 − IB) + IB(1 − IA) − IA(1 − IB)IB(1 − IA) = IA + IB − 2IAB − (IAB − IAIBIA − IAIBIB + IAIBIBIA) = IA + IB − 2IAB. (f) IA ∪B = (1 − IA) + (1 − IB) − (1 − IA)(1 − IB) = 1 − IAB = I(AB) . (g) I(A∪B)C = (IA + IB − IAIB)IC = IAIC + IBIC − IAIBIC = IAIC + IBIC − IAIC ∗ IBIC = IAB∪BC .
16.试述下列关系中哪些是正确的,哪些是错误的: (a) (A ∪ B) − C = A ∪ (B − C); (b) ABC = AB(C ∪ B); (c) A ∪ B ∪ C = A ∪ (B − AB) ∪ (C − AC); (d) A ∪ B = (A − AB) ∪ B; (e) (AB ∪ BC ∪ CA) ⊃ ABC; (f ) (AB ∪ BC ∪ CA) ⊂ (A ∪ B ∪ C); (g) (A ∪ B) − A = B;
9. 掷两颗筛子，令A为点数的和是奇数的事件，B为至少出现一个幺点 的事件．试描述事件AB, A ∪ B, AB ．如果假定全部３６个样本点都具有相 同的概率，试求AB, A ∪ B, AB 的概率． 解：事件AB：A的点数的和为奇数且B中至少出现一个幺点, 事件A ∪ B： 点数的和是奇数或至少出现一个幺点，事件AB ：点数的和是奇数且没有出 现一个幺点。 A事件中和为奇数，就是第一个奇第二个偶加上第一个偶第二个奇的情况， 概率为1/4 + 1/4 = 1/2，B的概率为1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36，事件AB的 概率为1/6, 事件A ∪ B 的概率是1/2 + 11/36 − 1/6 = 23/36, 事件AB 的概 率为P {A} − P {A − AB} = 1/2 − 1/6 = 1/3.
2
解：1/2k−1, 样本空间为: a, b, ac, bc, acb, bca, acba, bcab, · · ·, 长度为k的字符 串概率为1/2k.
7. 在习题３中，证明：A1A2A3 ⊂ A4 和A1A2A3 ⊂ A4. 证 明 ： 满 足A1A2A3 的 事 件 只 有 一 种 可 能 ， 即1234 排 列 ， 满 足A4， 所 以A1A2A3 ⊂ A4．满足A1A2A3 的事件只有1243 排列，满足A4，所以得 证．
P {A1 ∪ A2} = P {A1} + P {A2} − P {A1A2}
可以得到事件A1 ∪ A2 包含6 + 6 − 2 = 10个样本点。其他情况同理，验证完
1
毕。
4. 扔一枚硬币，直到它出现连续地两次相同的结果为止。设扔n次的每 一个可能结果都具有相同的概率1/2n−1。试描述这个样本空间，并求出下 列事件的概率：(a) 实验在扔第6次之前结束；(b) 偶数次结束。 解：不妨记正面为”+”，反面为”-”, 则样本空间中含有++，−−，概率 为1/4，含有− + +，+ − −，概率为1/8，以此类推。
14. 试验证下列关系式: (a) (A ∪ B) = A B . (b) (A ∪ B) − B = A − AB = AB . (c) AA = A ∪ A = A. (d) (A − AB) ∪ B = A ∪ B. (e) (A ∪ B) − AB = AB ∪ A B. (f ) A ∪ B = (AB) . (g) (A ∪ B)C = AC ∪ BC. 证明:用indicator方法
8. 利用1.4节中例d的符号证明(a)S1S2D3 = 0, (b)S1D2 ⊂ E3, (c)E3 − D2S1 ⊃ S2D1. 证明： (a)：由于S1S2 ⊂ S3 且S3, D3互斥，所以S3D3 = 0，所以S1S2D3 = 0. (b)：因为E3 = S1D2 ∪ S2D1 ∪ T1E2 ∪ E1T2, 而且两两交为空, 得证S1D2 ⊂ E3. (c)：由(b)易得．
P {A1 ∪ A2} = P {A1} + P {A2} − P {A1A2}
可以得到事件S1S2 包含12 + 12 − 18 = 6个样本点。验证完毕。
3. 考虑数字1，2，3，4的24种可能的排列，并且对每一个排列都赋以 概率1/24。令Ai为数字i出现在第i个位置（其中i = 1, 2, 3, 4）的事件。验证 公式(7.4). 解：以事件A1, A2为例，事件A1包含6个样本点，事件A2包含6个样本点， 事件A1A2包含2个样本点，事件A1 ∪ A2包含10个样本点。由公式(7.4)
S=2
∞
1 2k
= 2 ∗ 1/2 = 1.
k=2
(**)中的样本点为acbacbacbacb . . . , bcabcabcabca . . .,只有两个，所以
S
=
2 lim
k→∞
1 2k
=
0.
(b): 注意到在样本点中，每3组中有一次a无法获胜，所以a获胜的概率是
S = 1/2 −
∞
1 8i
= 1/2 − 1/7 = 5/14.
点的概率为0。(b)：证明a胜的概率为5/14，b胜的概率也是5/14，c胜的概
率为2/7。(c): 在第k局或在第k局前无法判断谁胜谁负的概率为1/2k−1.
解：(a): (*)中的样本点为aa, bb, acc, bcc, acbb, bcaa, acbaa, bcabb . . .，概率之
和为
i=1
b的概率同理可得，其余都是c获胜的情况，所以概率为1 − 5/14 − 5/14 = 2/7。 (c): 即用1减去在第k局前能够判断胜负的概率: 1 − 1/2 − 1/4 − 1/8 · · · − 1/2k−1 = 1/2k−1.
6. 变更1.5节例(b)，计算每一局中不分胜负的可能性，给出适当的样本 空间。你将如何定义概率？
概率论及其应用
—第一章的作业
毕竞烨 F0603028 5060309065
September 16, 2007
1. 在1，2，3，4，5五个数字中先任意抽取一个，然后在剩下的四个中 再抽取一个。假定全部20个可能的抽取结果都具有相同的概率，试求有一 个奇数在如下情况的概率。(a) 第一次被抽出；(b) 在第二次被抽出；(c) 两 次都被抽到。 解： (a): 3/5*100=60% (b): 60%*50%+40%*75%=60% (c): 60%*50%=30%.
15.化简： (a) (A ∪ B)(A ∪ B ); (b) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B ); (c) (A ∪ B)(B ∪ C). 解： (a) (IA + IB − IAB)(IA + 1 − IB − IA + IAB) = IA + IA − IAB − IA + IAB + IAB + IB − IB − IAB + IAB − IAB − IAB + IAB + IAB − IAB = IA, 所 以(A ∪ B)(A ∪ B ) = A. (b) (IA + IB − IAB)(1 − IA + IB − IB + IAB)(IA + 1 − IB − IA + IAB) = (IA + IB − IAB)(1 − IA + IAB)(1 − IB + IAB) = (IA − IA + IAB + IB − IAB + IAB + IAB + IAB − IAB)(1 − IB + IAB) = IB − IB + IAB = IAB, 所 以(A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B ) = AB. (c) (IA+IB −IAB)(IB +IC −IBC ) = IAB +IAC −IABC +IB +IBC −IBC −IAB − IABC + IABC = IAC − IABC + IB = IB∪AC . 所以(A ∪ B)(B ∪ C) = B ∪ AC.