梅涅劳斯定理的应用练习1

平面几何问题：

1.梅涅劳斯定理

一直线分别截△ABC 的边BC 、CA 、AB （或其延长线）于D 、E 、F ，则1FB

AF

EA CE DC BD =⋅⋅。

背景简介：梅涅劳斯（Menelaus ）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 证明：

说明：

（1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。 （2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式。 （3）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。

梅涅劳斯定理的逆定理：如果有三点F 、D 、E 分别在△ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足

1EA

CE DC BD FB AF =⋅⋅，那么F 、D 、E 三点共线。

利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线。

梅涅劳斯定理练习

1．设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求证：

FB

AF

2ED AE =

。

2．过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 延长线于D 。求证：

1FA

CF

EA BE =+。

3.在△ABC 中，点D 在BC 上，31DC BD =，分别在AB ，AD 上，32EB AE =，2

1

GD AG =，EG 交AC 于点F ，求

FC

AF

。

4.在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与CE 相交于G ，AF 与DE 交于H ，求AH:HG:GF

5.设D 为等腰Rt △ABC （∠C=90°）的直角边BC 的中点，E 在AB 上,且AE ：EB=2:1， 求证：CE ⊥AD

6.在△ABC 中，点M 和N 顺次三等分AC ，点X 和Y 顺次三等分BC ，AY 与BM ，BN 分别交于点S ，R ，求四边形SRNM 与△ABC 的面积之比。