排列与组合典型问题及方法(含答案)

排列与组合——四类典型问题

一、摸球问题

1、袋中装有6只黑球，4只白球，现从中任取4只球

（1）正好2只黑球，2只白球的不同取法共多少种？90

（2）至少有3只黑球的不同取法共有多少种？95

（3）至多有1只黑球的不同取法共有多少种？25

2、从0，1，2，…，9这十个数字中任取五个不同数字

（1）正好两个奇数，三个偶数的不同取法有多少种？100

（2）至多有两个奇数的取法有多少种？126

（3）取出的数中含5但不含3的取法有多少种？70

二、排队问题

1、某排共有七个座位，安排甲乙丙三人就坐

（1）共有多少种不同就坐方法？210

（2）三人相邻（即三个座位相连）的就坐方法有多少种？30

（3）三人不相邻（任意两人中间都有空位）的就坐方法共多少种？60

2、袋中装有5只白球，6只黑球，依次取4只

（1）每次取1只（取后不放回）则共有多少种不同取法？7920

（2）每次取1只（取后放回）则共有多少种不同取法？14641

（3）每次取1只（取后不放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？3600

（4）每次取1只（取后放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？6655

3、由0,1,2,3,4,5,

（1）可组成多少个无重复数字的不同三位偶数？52

（2）可组成多少个不同的三位偶数（允许有重复数字）？90

（3）可组成多少个能被5整除的三位数（允许有重复数字）？60

三、分房问题（n个人生日问题、投信问题）

1、10个人进入8个房间，共有多少种不同的进入方法？810

2、从4名候选人中，评选出1名三好学生，1名优秀干部，1名先进团员，若允许1人同时得几个称号，则不同的评选方案共有多少种？43

四、分组问题

1、分配9个人去完成甲、乙、丙三项任务

（1）甲任务需2人，乙任务需3人，丙任务需4人，则不同的选派方法共有多少种？

C C C （2）甲任务需2人，乙任务需2人，丙任务需5人，则不同的选派方法共有多少种？225

975

（3）甲、乙、丙三项任务各需3人，则不同的选派方法共有多少种？

2、将9个人以下列三种方式分为三个小组，则不同的分组方法各为多少种？

（1）将9个人以2，3，4分为三组.

（2）将9个人以2，2，5分为三组. 2259752!

C C C （3）将9个人以3，3，3分为三组.

3、将将9个人以下列三种方式分为三个小组，去完成三项不同的任务，则不同的分组方法各为多少种？

（1）将9个人以2，3，4分为三组.

（2）将9个人以2，2，5分为三组. 2259753!2!

C C C ⨯ （3）将9个人以3，3，3分为三组.

解题方法

一、正难则反，等价转化

在解决某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂、分类较多时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理，即先求总的排列组合数，再减去不符合要求的排列组合数，从而使问题获得解决办法。

1、从0，1，2，…，9这十个数字中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？

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二、捆绑法——解决相邻问题

在解决某几个元素要求相邻排列的问题时，优先考虑相邻的这几个元素，将其“捆绑”看作一个整体。再在相邻元素之间排列。

2、5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法有多少种？ 4320

三、插空法——解决不相邻问题

对于某几个元素要求不相邻的问题，可先将其他元素排列好，再将不相邻的这些元素在已经排好的元素间隙或者两端中插入。

3、7个人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是多少？

3600

四、除法消序

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个定序元素的全排列数，达到消序的目的。

4、不同的钢笔12支，分3堆，一堆6只，另外两堆各3支，有多少种分法？

9240

五、隔板法

隔板法要求：①元素要相同，②分配对象不同，③每个对象至少分一个。公式为：n 个元素，m 个对象，非空，有11m n C --种；允许空，有1

1m n m C -+-

5、现有10个完全相同的球，分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法？

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六、先整体后局部

对于“小团体”排列问题，可将“小团体”看做一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

6、三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，出场方案共有多少种？

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