2007年考研数学一真题及答案

2007年考研数学一真题一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)当x→0+时，与√x等价的无穷小量是(A)1−e−√x(B)ln1−√x(C)√1+√x−1 (D)1−cos√x【答案】B。

【解析】(当x→0+)时ln1−√x=[l n(1+x)−l n(1−√x)]~√xe√x~−√x √1+√x−1~12√x 1−cos√x~12x几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线y=1x+ln (1+e x)渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。

【解析】由于lim x→0y =lim x→01x+l n (1+e x )=∞，则x =0是曲线的垂直渐近线；又 lim x→−∞y =lim x→−∞[1x+l n (1+e x )]=0lim x→+∞y =lim x→+∞[1x+l n (1+e x )]=+∞所以y =0是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于−∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在+∞一侧。

a =limx→+∞yx=limx→+∞1x+l n (1+e x )x=limx→+∞1x +limx→+∞l n (1+e x )x=0+limx→+∞e x1+e x=1b =lim x→+∞(y −x )=lim x→+∞[1x+l n (1+e x )−x] =lim x→+∞[1x+l n (1+e x )−lne x ] =lim x→+∞[1x +l n (1+1e x)]=0则曲线有斜渐近线y =x ，故该曲线有三条渐近线。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数y =f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2,0],[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F (x )=∫f(t)dt x0,则下列结论正确的是 (A)F (3)=−34F(−2)(B)F (3)=54F(2)(C)F (−3)=34F(2)(D)F (−3)=−54F(−2)【答案】C 。

【解析】 【方法一】四个选项中出现的F(x)在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定F (3)=∫f(t)dt 30=∫f(t)dt 20+∫f(t)dt 32=π2−π8=38π F (2)=∫f(t)dt 2=π2F (−2)=∫f(t)dt −20−∫f (t )dt 0−2=−(−π2)=π2 F (−3)=∫f(t)dt −30=−∫f (t )dt 0−3=−[π8−π2]=38π 则F (−3)=34F(2) 【方法二】由定积分几何意义知F (2)>F (3)>0,排除(B)又由f(x)的图形可知f(x)的奇函数，则F (x )=∫f(t)dt x0为偶函数，从而F (−3)=F (3)>0,F (−2)=F (2)>0显然排除(A)和(D),故选(C)。

-3 -2 -1 0 1 2 3y =f(x)xy综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误．．的是(A)若limx→0f(x)x存在，则f(0)=0(B)若limx→0f(x)+f(−x)x存在，则f(0)=0(C) 若limx→0f(x)x存在，则f′(0)存在(D) 若limx→0f(x)−f(−x)x存在，则f′(0)存在【答案】D。

【解析】(A)：若limx→0f(x)x存在，因为limx→0x=0 ,则limx→0f(x)=0 ,又已知函数f(x)在x=0处连续，所以limx→0f(x)=f(0),故f(0)=0,(A)正确；(B)：若limx→0f(x)+f(−x)x存在，则limx→0[f(x)+f(−x)]=f(0)+f(0)=0,则f(0)=0，故(B)正确。

(C) limx→0f(x)x存在，知f(0)=0，则limx→0f(x)x=limx→0f(x)−f(0)x=f′(0)则f′(0)存在，故(C)正确(D) limx→0f(x)−f(−x)x=limx→0[f(x)−f(0)x−f(−x)−f(0)x]存在，不能说明limx→0f(x)−f(0)x存在例如f(x)=|x|在x=0处连续，lim x→0f(x)−f(−x)x存在，但是f′(0)不存在，故命题(D)不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数f(x)在(0,+∞)内具有二阶导数，且f ′′(x )>0 ,令u n =f(n)(n =1,2,⋯),则下列结论正确的是(A)若u 1>u 2,则{u n }必收敛 (B)若u 1>u 2,则{u n }必发散 (C)若u 1<u 2,则{u n }必收敛 (D)若u 1<u 2,则{u n }必发散 【答案】D 。

【解析】 【方法一】图示法：由f ′′(x )>0，知曲线y =f(x)是凹的，显然，图1排除选项(A)，其中u n =f (n )→−∞；图2排除选项(B)；图3排除选项(C),其中u n =f (n )→+∞；故应选(D)。

图1 图2 【方法二】排除法：取f (x )=(x −2)2,显然在(0,+∞)，f ′′(x )=2>0,f (1)=1>f (2)=0,但u n =f (n )=(n −2)2→+∞，排除A ； 取f (x )=1x,在(0,+∞)上，f ′′(x )>0,且f (1)=1>f (2)=12,但u n =f (n )=1n→0,排除B ；取f (x )=e x , 在(0,+∞)上，f ′′(x )>0，且f (1)=e <f (2)=e 2,但u n =f (n )=e n →+∞，排除(C),故应选(D)。

yu 1 u 2xO 1 2yu 1 u 2xO 1 2yu 1 u 2xO 1 2【方法三】由拉格朗日中值定理知u2−u1=f(2)−f(1)=f′(c)>0,(1<c<2)当n>2时，f(n)=f(n)−f(2)+f(2)=f′(ξ)(n−2)+f(2) (2<ξ<n)由于f′′(x)>0，且ξ>c,则f′(ξ)>f′(c)>0从而有f(n)>f′(c)(n−2)+f(2)→+∞则有u n=f(n)→+∞综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6)设曲线L:f(x,y)=1 (f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A)∫f(x,y)dxΓ(B) ∫f(x,y)dyΓ(C)∫f(x,y)dsΓ(D)∫f′x(x,y)dx+f′y(x,y)dy Γ【答案】B。

【解析】设M,N的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2)，则由题设可得x1<x2,y1>y2因为∫f(x,y)dx Γ=∫dxΓ=x2−x1>0,∫f(x,y)dy Γ=∫dyΓ=y2−y1<0；∫f(x,y)ds Γ=∫dsΓ=T的弧长>0；∫f′x (x,y)dx+f′y(x,y)dyΓ=∫0dx+0dyΓ=0综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算(7)设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关．．．．的是(A)α1−α2,α2−α3,α3−α1(B)α1+α2,α2+α3,α3+α1(C)α1−2α2,α2−2α3,α3−2α1(D)α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1【答案】A。

【解析】(A)：因为(α1−α2)+ (α2−α3)+(α3−α1)=0,所以向量组α1−α2,α2−α3,α3−α1线性相关；(B)：(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2,α3)[101 110 011]C=[101 110 011]因为α1,α2,α3线性无关，所以判断α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关⇔|C|≠0由于|101110011|=2≠0,故知α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关； (C)：(α1−2α2,α2−2α3,α3−2α1)=(α1,α2,α3)[10−2−2100−21]|10−2−2100−21|=−7≠0，同理α1−2α2,α2−2α3,α3−2α1线性无关； (D)：(α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1)=(α1,α2,α3)[102210021]|102210021|=9≠0，同理α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1线性无关；综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关 (8)设矩阵A =[2−1−1−12−1−1−12],B =[100010000],则A 与B (A)合同，且相似 (B)合同，但不相似 (C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 【答案】B 。

【解析】根据相似的必要条件:∑a ii =∑b ii ，易得A 和B 肯定不相似， 合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。

由|λE−A|=|λ−2111λ−2111λ−2|=|λλλ1λ−2111λ−2|=λ(λ−3)2知矩阵A的特征值3,3,0 故二次型x T Ax的正惯性指数p=2 ,负惯性指数q=0,而二次型x T Bx也是正惯性指数p=2,负惯性指数q=0，所以A和B合同综上所述，本题正确答案是B。

【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)3p(1−p)3(B)6p(1−p)3(C)3p2(1−p)2(D)6p2(1−p)2【答案】C。

【解析】根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功和2次失败，其概率为C31p(1−p)2,第4次试验成功，其概率为p，所以此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为C31p(1−p)2∙p=3p2(1−p)2综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验(10)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，f X (x ),f Y (y)分别表示X,Y 的概率密度，则在Y =y 的条件下，X 的条件概率密度f X|Y (x|y )为(A)f X (x ) (B)f Y (y) (C)f X (x )f Y (y) (D)f X (x )f Y (y)【答案】A 。