2007年考研数学一真题及答案

2007年考研数学一真题

一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1)当x→0+时，与√x等价的无穷小量是

(A)1−e−√x(B)ln

1−√x

(C)√1+√x−1 (D)1−cos√x

【答案】B。

【解析】

(当x→0+)时

ln

1−√x

=[l n(1+x)−l n(1−√x)]~√x

e√x~−√x √1+√x−1~1

2√x 1−cos√x~1

2

x

几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较

(2)曲线y=1

x

+ln (1+e x)渐近线的条数为

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

【答案】D。

【解析】

由于

lim x→0

y =lim x→01

x

+l n (1+e x )=∞，

则x =0是曲线的垂直渐近线；

又 lim x→−∞

y =lim x→−∞[1

x

+l n (1+e x )]=0

lim x→+∞

y =lim x→+∞[1

x

+l n (1+e x )]=+∞

所以y =0是曲线的水平渐近线；

斜渐近线：由于−∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在+∞一侧。 a =lim

x→+∞y

x

=lim

x→+∞

1

x

+l n (1+e x )x

=lim

x→+∞1

x +lim

x→+∞

l n (1+e x )

x

=0+lim

x→+∞e x

1+e x

=1

b =lim x→+∞

(y −x )=lim x→+∞[1

x

+l n (1+e x )−x] =lim x→+∞[1

x

+l n (1+e x )−lne x ] =lim x→+∞[1

x +l n (1+

1e x

)]=0

则曲线有斜渐近线y =x ，故该曲线有三条渐近线。 综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

(3)如图，连续函数y =f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2,0],[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F (x )=∫f(t)dt x

0,则下列结论正确的是 (A)F (3)=−3

4F(−2)

(B)F (3)=5

4

F(2)

(C)F (−3)=3

4

F(2)

(D)F (−3)=−5

4

F(−2)

【答案】C 。 【解析】 【方法一】

四个选项中出现的F(x)在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定

F (3)=∫f(t)dt 30=∫f(t)dt 2

0+∫f(t)dt 3

2

=π

2

−π

8

=3

8

π F (2)=∫f(t)dt 2

=π

2

F (−2)=∫f(t)dt −20−∫f (t )dt 0−2=−(−π2)=π

2 F (−3)=∫f(t)dt −30=−∫f (t )dt 0

−3

=−[π

8

−π

2

]=3

8

π 则F (−3)=34

F(2) 【方法二】

由定积分几何意义知F (2)>F (3)>0,排除(B)

又由f(x)的图形可知f(x)的奇函数，则F (x )=∫f(t)dt x

0为偶函数，从而

F (−3)=F (3)>0,F (−2)=F (2)>0

显然排除(A)和(D),故选(C)。

-3 -2 -1 0 1 2 3

y =f(x)

x

y

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用

(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误

．．的是

(A)若lim

x→0f(x)

x

存在，则f(0)=0

(B)若lim

x→0f(x)+f(−x)

x

存在，则f(0)=0

(C) 若lim

x→0f(x)

x

存在，则f′(0)存在

(D) 若lim

x→0f(x)−f(−x)

x

存在，则f′(0)存在

【答案】D。【解析】

(A)：若lim

x→0f(x)

x

存在，因为lim

x→0

x=0 ,则lim

x→0

f(x)=0 ,又已知函数

f(x)在x=0处连续，所以lim

x→0

f(x)=f(0),故f(0)=0,(A)正确；

(B)：若lim

x→0f(x)+f(−x)

x

存在，则lim

x→0

[f(x)+f(−x)]=f(0)+f(0)=

0,则f(0)=0，故(B)正确。

(C) lim

x→0f(x)

x

存在，知f(0)=0，则lim

x→0

f(x)

x

=lim

x→0

f(x)−f(0)

x

=f′(0)

则f′(0)存在，故(C)正确

(D) lim

x→0f(x)−f(−x)

x

=lim

x→0

[f(x)−f(0)

x

−f(−x)−f(0)

x

]存在，

不能说明lim

x→0f(x)−f(0)

x

存在

例如f(x)=|x|在x=0处连续，

lim x→0f(x)−f(−x)

x

存在，但是f′(0)不存在，故命题(D)不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念