波动方程求解法1

令 t′ = t −τ 并记 ω (x,t′;τ ) = ω(x,t′ + τ ;τ )
则定解问题(3)可化为以下的形式：
⎪⎧ ∂ 2ω
⎨ ∂t 2
=
a2
∂ 2ω
∂x 2
(t′ > 0)，
⎪⎩ω (x,0;τ ) = 0，ωt (x,0;τ ) = f (x,τ ).
由达朗贝尔公式知其解为
∫ ω (x,t′;τ ) = 1 x+at′ f (ξ ,τ )dξ 2a x−at′
∂u
∂ξ
=
f (ξ )
再对ξ 积分一次可得，
u = ∫ f (ξ )dξ + G(η) = F (ξ ) + G(η).
回到原来的变量x及t，Байду номын сангаас即得到泛定方程的解的一 般形式，即其通解为
u(x,t) = F (x − at) + G(x + at)
其中F及G为任意的单变量的二阶连续可微函数。 由上式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形
(2.1) (2.2)
14
∂2u ∂t 2
−
a2
∂ 2u ∂x 2
=
0
该方程的特征方程为
dx2 − a2dt 2 = 0,
作如下变换，
⎧ξ = x − at ⎨⎩η = x + at
则方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：
∂2u = 0
∂ξ∂η
15
∂
∂η
⎜⎜⎝⎛
∂u
∂ξ
⎟⎟⎠⎞
=
0
将方程先对η积分一次可得，
=
(t > 0, −∞ < x < ∞) sin x (−∞ < x <
∞)
由达朗贝尔公式可得其解为：
∫ u(x,t) = 1 ((x − t) + (x + t)) + 1
x+t
sin
ξdξ
2
2 x−t
= x + (− 1 cosξ x+t ) = x + sin x sin t
2
x−t
23
定理4.3 若 ϕ ∈ C2 (−∞, ∞),ψ ∈ C1(−∞, ∞),
得到
c1+c2=0.
21
最后我们可得
u(x,t) = 1 (ϕ(x − at) + ϕ(x + at))
2
∫ + 1 x+atψ (ξ )dξ. 2a x−at
这个公式称为达朗贝尔公式。
22
举例，求解弦振动方程的柯西问题
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩u
(
∂2u ∂t 2
−
∂2u ∂x2
=
0
x, 0) = x, ∂u(x, 0) ∂t
的解(其中 τ 为参数),
∫ 则 u(x,t) = t ω(x,t;τ )dτ 0
(4)
就是定解问题(2)的解.
利用含参变量积分的求导公式：
⎛ β (x)
⎞′ β (x)
∫ ∫ ⎜⎜⎝ α (x)
f (x, y)dy ⎟⎟⎠
=
α (x)
f ′(x, y)dy +
f (x, y)β ′(x) −
f (x, y)α ′(x).
θ
2
(
x)
−
x
3/
2θ
′
2
(
x)
=
ψ
(
x).
(2.16)
对（2.1θ5）1′(关x于) +x微2分1可x θ得2 (x) + xθ2′(x) = ϕ′(x).
用-x乘以上式再与(2.16)相加
由此可得
θ 2′ ( x)
=
1 2x
ϕ ′( x)
−
1 2
−
x
3
2ψ
( x).
∫ ∫ θ2
(x)
=
1 2
x ϕ '(τ )dτ − 1
(
II
)
⎪⎪⎧,u1
=
∂ 2u1 ∂t 2
−
a2
⎨⎪u1(x, 0) = ϕ(x),
∂ 2u1 ∂x2
=
0
⎪⎩u1t (x, 0) =ψ (x),
(t > 0,
− ∞ < x < ∞),
(
III
)
⎪⎪⎧,u2
=
∂2u2 ∂t 2
−
⎨⎪u2 (x, 0) = 0,
a
2
∂2u2 ∂x2
=
f
( x, t )
∫ ∫ u(x, y) = ϕ(xy) +
xy 2
x/ y ϕ '(τ )dτ − xy τ
xy 2
x/ xy
y
ψ τ
(3τ/2)dτ
.
29
依赖区域、决定区域和影响区域
问题1：Cauchy 问题(2.1)(2.2)的解u(x,t)在点(x,t)的值与x 轴上的哪些点的初始条件有关？
从达朗贝尔公式可看出，解u(x,t)在点(x,t)的值依赖于x轴 上区间[x-at, x+at]上的初始条件，而与其他点上的初始 条件无关。
2 x−(t −τ ) 0
13
第2节 一维波动方程的达朗贝尔 解法(行波法)
一、一维波动方程的达朗贝尔解：考虑无界弦的 自由振动问题：
⎧ ∂ 2u ⎪⎪ ∂t2
=
a2
∂2u ∂x2
,
⎨⎪u(x, 0) = ϕ(x),
⎪⎩ut (x, 0) =ψ (x),
−∞ < x < +∞,t > 0 −∞ < x < +∞
xy 2
x/ y ϕ '(τ )dτ − xy τ
xy 2
x/ xy
y
ψ τ
(3τ/2)dτ
.
28
再将 θ2 (x)表达式代入(2.15) 可得
∫ ∫ θ1 (x) = ϕ(x) −
x 2
x ϕ '(τ )dτ + τ x0
x 2
x ψ (τ )dτ − c τ x0 3/2
x.
于是Cauchy问题(2.10)的解为
非齐次波动方程的求解
∫ u(x,t) = 1 (ϕ(x − at) + ϕ(x + at)) + 1 x+atψ (ξ )dξ
2
2a x−at
∫ ∫ + 1 t 2a 0
x+a(t−τ ) f (ξ ,τ )dξ dτ .
x−a(t −τ )
12
举例：求解下列初值问题
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩u
(
∂2u ∂t 2
x∈R
x∈R
时，则与之相对应的Cauchy问题的解 u(x, t), u (x, t),满足
sup | u(x,t)-u (x,t) |< ε.
x∈R ,0≤t ≤T
24
例1，求解柯西问题
⎧ ⎪⎪
x2 ∂2u − y2 ∂2u = 0
∂x2
∂y 2
(x > 0, y > 1)
⎨ ⎪⎪⎩u ( x,1)
⎪⎩u2t (x, 0) = 0,
(t > 0,
− ∞ < x < ∞),
定解问题解u为： u = u1 + u2.
齐次化原理
本小节先考虑如何求解非齐次的自由振动问题：
⎪⎪⎪⎨⎧u∂∂(t2xu2 ,0=)
a2
∂2u ∂x 2
= 0,
+
f
( x, t )
(t > 0,
− ∞ < x < ∞),
(2)
=
ϕ
( x),
∂u ( x,1) ∂y
=ψ
(
x)
(x ≥ 0)
(2.10)
解： 上述方程的特征线为 xy = c1,
做自变量变换 ξ = xy,η = x ,
x y
=
c2
y
标准型为
uξη
−
1
2ξ
uη
=
0.
(2.11)
令
ω = uη . (2.12)
25
则
ωξ
−
1
2ξ
ω
=
0.
(2.13)
其通解为 ω = ξθ (η).
19
下用初始条件来确定通解中的F和 G。 代入初始条件，可得
F (x) + G(x) = ϕ (x), − aF '(x) + aG'(x) =ψ (x).
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
F '(x) + G'(x) = ϕ '(x).
由（2）、（3）两式，解得
F '(x) = 1 (aϕ'(x) −ψ (x)),
2a
G'(x) = 1 (aϕ'(x) +ψ (x)).
2a
（1） （2） （3）
20
再将以上两式关于x 积分一次就得到
∫ F (x) = 1 ϕ(x) − 1
2
2a
xψ
0
(ξ
)dξ
+
c1,
∫ G(x) = 1 ϕ(x) + 1
2
2a
xψ
0
(ξ
)dξ
+
c2.
其中c1与c2是常数。由 F (x) + G(x) = ϕ(x),
问题2： 在区间 [x1, x2 ] 上给定初始数据, 它能决定平
⎝0
⎠0
t
∫=
a
ω2 xx
(
x,
t;τ
)dτ
+
f
( x, t )
0
= a2uxx (x, t) + f (x, t)
0
u(x, 0) = ∫ω(x,t;τ )dτ = 0， 0
∫⎛ t
⎞
ut (x, 0) = ⎜ ωt (x,t;τ )dτ + ω(x,t;t) ⎟
= 0.
⎝0
⎠t =0
∫ 则 u(x,t) = t ω(x,t;τ )dτ 0 就是定解问题(2)的解.
如F(x-at)与G(x+at)的两个函数之和。
16
方程的形如u=F(x-at)或u=G(x+at)的解称为行波。 其中 u=F(x-at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波 形，以速度a>0向右（即x轴正向）传播，而波形保持 不变，它称为右传播波； u=G(x+at)则表示以速度a向左传播的波，称为左传播波。
所以由 ω (x,t;t) = 0，
⎛t
⎞′ t
ut (x,t) = ⎜ ∫ω(x,t;τ )dτ ⎟ = ∫ωt (x,t;τ )dτ + ω (x,t;t)
⎝0
⎠0
t
= ∫ωt (x,t;τ )dτ 0
⎛t
⎞′ t
∫ ∫ utt (x,t) = ⎜ ωt (x,t;τ )dτ ⎟ = ωtt (x,t;τ )dτ + ωt (x,t;t)
x, 0)
− =
∂2u ∂x2
sin
= 2x x, ∂u(x,
∂t
(t > 0) = x
0,
−∞ < x < ∞) (−∞ < x < ∞)
由刚才的公式可得其解为：
∫ u(x,t) = 1 (sin(x − t) + sin(x + t)) + 1 x+t α dα
2
2 x−t
∫ ∫ + 1 t x+(t−τ ) 2ξ dξ dτ = sin x cos t + xt + xt2.
右传播波 F ( x − at)
左传播波 G( x + at)
17
u1
t=0
G(x)
0
x
x
(a)
u1
t=t1
G(x+at1)
0
at1
x
(b)
图1.1 一维左行波
x
18
弦振动方程的通解表达式说明: 弦上的任意扰动总是以行波的形式向左
右两个方向传播出去。
下面我们看到，通过把方程的解表示为右 传播波和左传播波的迭加，可用来求定解问题 的解。这个方法称为行波法。
换回原变量, 则得
∫ ω(x,t;τ ) = 1 x+a(t−τ ) f (ξ ,τ )dξ
2a x−a(t −τ )
再代入(4)式就得到定解问题(2)的解为
∫ ∫ u(x,t) = 1 t x+a(t−τ ) f (ξ ,τ )dξdτ 2a 0 x−a(t −τ )
⎪⎧ ∂ 2u ⎨ ∂t 2
将此表达式代入（2.12）
可得
uη = ξθ (η).
积分可得
u(ξ ,η) = ξθ1(η) +θ1(ξ ).
进一步可得到通解为
u(x, y) =
xyθ
2
(
x y
)
+
θ1
(
xy).
(2.14)
26
下面利用初始条件可得
θ1(x) + xθ2 (x) = ϕ(x), (2.15)
xθ1′(x) +
x 2
τ x0
2
x ψ (τ )dτ + c. τ x0 3/2
27
再将 θ2 (x)表达式代入(2.15) 可得
∫ ∫ θ1 (x) = ϕ(x) −
x 2
x ϕ '(τ )dτ + τ x0
x 2
x ψ (τ )dτ − c τ x0 3/2
x.
于是Cauchy问题(2.10)的解为
∫ ∫ u(x, y) = ϕ(xy) +
区间[x-at, x+at]称为点(x,t)的依赖区域。它的求法是过点 (x,t)作斜率为1/a,-1/a的两条直线与x轴交截而得的区间。
t
t
(x, t)
x‐at
x+at
x1
x
0
x2
x
0
x1
x2 x
a)点(x,t)的依赖区间
b)区间[x1,x2]的决定区域
图1.2 依赖区间、决定区域及影响区域
c)区间[x1,x2]的影响区域
⎪⎩ut (x,0) = 0,
齐次化原理, 其基本思想是把非齐次方程的求解问题 转化为相应的齐次方程的情况来处理, 从而可以直接 利用前面有关齐次方程的结果来求解.
若 ω(x,t;τ ) 是定解问题
⎧ ∂ 2ω
⎪ ⎨
∂t
2
=
a2
∂2ω
∂x2
(t > τ ),
(3)
⎪⎩ω(x,τ ;τ ) = 0，ωt (x,τ ;τ ) = f (x,τ ),
则由达朗贝尔公式表示的u(x,t)是下面Cauchy问题 (2.1),(2.2)的解.
定理4.4 假设对任意给定 ε > 0， 总可找到 δ > 0,
当初始数据 ϕ(x),ψ (x),ϕ (x),ψ (x),满足不等式
sup | ϕ(x) −ϕ (x) |< δ ,sup |ψ (x) −ψ (x) |< δ
=
a2
∂2u ， ∂x2
⎪⎩u(x,0) = ϕ(x)，ut (x,0) =ψ (x)
上面定解问题的解（达朗贝尔公式）：
∫ u ( x, t ) = 1 (ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )) + 1 ψ x+at (ξ )dξ .
2
2a x−at
所以由达朗贝尔公式和齐次化原理可得定解问题(1) 的解为
第四章 双曲型方程
第1节 Duhamel 原理
1.1 Cauchy 问题
考虑如何求解下面的初值问题：
⎪⎪⎧,u
=
∂2u ∂t 2
− a2
∂2u ∂x2
=
f
( x, t )
(t > 0,
− ∞ < x < ∞),
(1)
⎨⎪u(x, 0) = ϕ(x),
⎪⎩ut (x, 0) =ψ (x),
上面的定解问题可分解为如下两个定解问题：