工程力学 弯曲内力.
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工程力学 第8章弯曲内力
A
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2
q
Me
B
纵
向
对称面
x
FAy
y
FBy
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁 的纵向对称平面内，梁轴线也在该 平面内弯成一条曲线。
第一节
F
弯曲内力的概念
Me
B
纵 向 对称面
q
A
x
FAy FBy
y
二、单跨静定梁的基本形式：
第二节
剪力图与弯矩图
一、梁的内力——剪力和弯矩
图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平 衡状态。 求距离支座A为x的横截面m-m上的内力。
x 0, M 0
x l, M 0
1 1 x l , M ql 2 2 8
Qmax
ql 2
M max pl
四.内力图的一般规律
1. M、Q图规律：
外力情况 剪力图 上的特征 有荷载段 q<0 (向下) ↘(向下斜直线) 无荷载段 水平线 集中力F 作用处 有突变， 突变值为F 集中力偶M 作用处 不变
二．用方程法绘制梁的内力图 第二节 剪力图和弯矩图
例题2. 简支梁受集 中力作用如图 所示，求梁的 剪力方程和弯 矩方程，画出 Q、M图并确定 最大剪力和最 大弯矩。
例题分析2.简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方程， 画Q、M图，确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
剪力图和弯矩图
二.剪力图和弯矩图的作法： 取平行于梁轴的轴线表示截面位置 规定：正值的剪力画轴上侧， 正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁： 当x=o, Q(x)=-P, x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=0 M(x)=-Pl-ql2/2
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
工程力学弯曲内力)
•1．求支座反力；
•2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；
•3．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图 和弯矩图；
•4．确定
和
。
•例 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关
系校核图示的剪力图和弯矩图。
•Me =3qa2•q
•A
•B
•a •C
•x
•3a
•FS
•5qa/ 3
•8a/3
•M •5qa2/ 3
•可动 铰支座
•2、常见静定梁
• 悬臂梁：一端固定、 另一端自由的梁
• 简支梁：一端固定铰支 、另一端可动铰支的梁
• 外伸梁：具有一个或
•F
两个外伸部分的简支梁
•F •F
•F
•基本形式梁的约束反
力•(1)悬臂梁
•FR•xMR
•FR
•(2)简支梁
y
•FRx •FRy
•(3)外伸梁
1
•FRx
•FRy
•m
•B
•称为弯矩
•剪力和弯矩的符号规则：
•剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
•弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
•截面法求剪力和弯矩的步骤: •(1)所求内力处截开截面,取一部分来研究; •(2)将该截面上内力设为正值; •(3)由平衡方程求解内力;
•例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4
•例：利用微积分关系画剪力弯矩图
•qa/
•q
•A •B2 •C
•a/ •a/
•a
22
•5qa/
•F 8 •5qa/
•F S •+ 8 •qa/8
S •A •B •C
•-
•M
•3qa2/
工程力学第10章弯曲内力
例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
工力041章弯曲内力
RA l 2 l 2 RB
AC 段
RA
M(x)
x Q(x)
CB
AC程
段 y 0, RA Q(x) 0,
RA Q(x) P 2 ,
x (0, l ) 2
M 0, RA x M 0,
M RA x Px 2,
x [0, l ] 2
段M(x)
CB
Q(x) l x RB
段Q(x) RB P 2,
M
o
Q lx
RB
例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力
P 8kN q 2kN m （1）求支反力RA、RB
1
2
M A 0,
A
B RB 4 2 23 81 0
1m 1m
2m
RA 1.5m 1
3m
2
P 8kN
M1
RB 5kN
RB
∑Y=0,
RA–8–2 2 + RB =0
RA= 7kN
M 弯矩
o
(Bending moment)
x Q 剪力(shear
force)
•利用梁弯曲后的形状可以快速判断梁内弯矩的符号. 例如
梁弯曲后的形状
P A
D
B
C
P
a
2a
a
+M
-M
M
Pa 2
Pa 2
取左侧位研究对象：
IP
Y 0: Q RA 0
x Il
Q RA
RA
RB
剪力Q — 截面一侧所有竖向分力的代数和;
2
M x ql x qx x, x [0,l]
22
q
RA
RA x
Q ql / 2
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
工程力学-弯曲内力
如：桥梁下的辊轴支座等。
4. 三种形式的简单梁 ①简支梁
②悬臂梁
M — 集中力偶 q(x)— 分布力
③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力平衡方程可求出全部的支反力，如上述 三种形式的简单梁。
超静定梁：梁的支反力数目多于独立静力平衡方程数目， 仅由静力平衡方程不能求出全部支反力。
根据上述两点规律，便可直接由截面左侧或右侧梁段 上的外力计算该截面上的剪力、弯矩。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程： 若以坐标 x 表示横截面沿梁轴线的位置，则
Q Q(x) M M (x) 2. 剪力图和弯矩图：
剪力方程 弯矩方程
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 梁上的载荷为作用于梁纵向对称平面内的平面力系，有
三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
①固定端 A
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， MA
木桩下端的支座等。
XA YA
②固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座等。
③可动铰支座 1个约束，2个自由度。
§4.1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念 1. 弯曲:直杆在纵向平面内受外力偶或受垂直于杆轴线的横向 外力的作用时,杆轴线变成了曲线，同时任意两个横截面绕 垂直于杆纵向平面的轴作相对转动，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 杆件称为梁。
3. 对称弯曲：梁的横截面具有对称轴，从而梁具有纵向对称 平面，且外力（合力）作用在纵向对称平面内，则杆轴线 变形后成为纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称对称 弯曲。
4. 三种形式的简单梁 ①简支梁
②悬臂梁
M — 集中力偶 q(x)— 分布力
③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力平衡方程可求出全部的支反力，如上述 三种形式的简单梁。
超静定梁：梁的支反力数目多于独立静力平衡方程数目， 仅由静力平衡方程不能求出全部支反力。
根据上述两点规律，便可直接由截面左侧或右侧梁段 上的外力计算该截面上的剪力、弯矩。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程： 若以坐标 x 表示横截面沿梁轴线的位置，则
Q Q(x) M M (x) 2. 剪力图和弯矩图：
剪力方程 弯矩方程
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 梁上的载荷为作用于梁纵向对称平面内的平面力系，有
三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
①固定端 A
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， MA
木桩下端的支座等。
XA YA
②固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座等。
③可动铰支座 1个约束，2个自由度。
§4.1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念 1. 弯曲:直杆在纵向平面内受外力偶或受垂直于杆轴线的横向 外力的作用时,杆轴线变成了曲线，同时任意两个横截面绕 垂直于杆纵向平面的轴作相对转动，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 杆件称为梁。
3. 对称弯曲：梁的横截面具有对称轴，从而梁具有纵向对称 平面，且外力（合力）作用在纵向对称平面内，则杆轴线 变形后成为纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称对称 弯曲。
工程力学-弯曲内力)
横截面上的剪力和弯矩。
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
解：支反力为
M A 0 FB 2a 3Fa F a 0
Fy 0
FB 2F () FB FA F FA 3F ()
y
F
1A2
12 a
FA
Me =3Fa
34 34
a 2a
B x
FB
截面1—1
F
例：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。
MA FAy F=50kN q=20kN/m
Me=5kN·m
FAx
AE
1m
CD
1m
3m
K
1m
B FBy
0.5m
已知： FAy 81kN
FBy 29kN() M A 96.5kN m (逆时针)
MA FAy F=50kN q=20kN/m
Me=5kN·m
称为弯矩
x
x
0 F
l
m
a l
x
FB B
剪力和弯矩的符号规则：
剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
截面法求剪力和弯矩的步骤: (1)所求内力处截开截面,取一部分来研究; (2)将该截面上内力设为正值; (3)由平衡方程求解内力;
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4
8a/3
qa/3 x
处无突变，故
FSC
FA
5 qa 3
FSB FSC q(2a)
1 3
q
MC
x-a
FSC
工程力学 第10章.弯曲内力
M (x)
FS (x)
FS ( x) dFS
M ( x) dM
M
C
0
dx M ( x) FS ( x)dx q( x)dx [ M ( x) dM ( x)] 0 2
dM ( x ) dx2 Fs ( x ) 略去二阶微量 q ( x) ，得： dx 2
弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力 FS。 弯矩图上某点切线斜率等于该点的剪力值。
面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§10-2 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
E 3
x=3.1m
3.8
3.8
1.41
M
(kN· m) 3 2.2
[例6] 已知F图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。 F(kN) 2 1
+
1m 3 – 2m
+
1m
x
5kN
1kN
q=2kN/m
M(kN· m) 1 + 1.25 x
–
1
练习
P211:10-5
作业
P211:10-5 (b),(d),(f)
例题10 梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。
x
A a C l
F B b
解： 1、求支反力
FA Fb Fa , FB l l
工程力学-9(1)弯曲内力
0 x l
FQ
O
M x Fx
0 x l
x -F
M
O
x
Fl
18
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图
例2：悬臂梁长度为l，受均布载荷集度为q。 求：梁的内力及内力图。 y
工 程 力 学
l
解：取x截面左段梁为研究对象。
Fy 0 : FQ x qx 0
30
x
工 程 力 学
1 FQ x1 F 3
0 x1 l
x3
2 FQ x2 F 3
l x1 3l
FQ
F/3
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图 A
l
F
x1 x2
l
l
M0 B FB
在集中力偶作用面： FQ（x）图连续。 M（x）图线发生突变；突变 值等于该力偶矩值。
取x1截面左段梁为研究对象。
Fy 0 :
FA FQ x1 0
1 FQ x1 F 3
0 x1 l
A FA
C1 FQ（x1） M（x1）
M C1 F 0 :
M x1
M x1 FA x1 0
F x1 3
0 x1 l
F 2
l ( x2 l ) 2
l M x FA x2 F ( x2 ) FA 2 Fl F l x2 ( x2 l ) 2 2 2
FB
FQ（x） M（x）
FA
22
§9(1). 弯曲内力
内力与内力图
x2 F
x1
3、画出剪力图和弯矩图
工程力学 第五章 弯曲内力(FS)
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
(Internal Forces in Beams) 二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P M
q
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 RA 三、平面弯曲的概念：
NB
(Internal Forces in Beams) F1 q
A
a m l m x
F
B
F
x
0,
XA 0
Fa M A 0 , RB l F (l a ) Fy 0 , YA l
XA A
YA
F
B
RB
(Internal Forces in Beams) 求内力——截面法 F (l a ) Fy 0 , FS YA l m XA=0A F (l a ) M C 0 , M YA x l x m YA 1、 剪力(Shear force) FS x 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力. FS 2、弯矩(Bending moment )M M C 构件受弯时，横截面上其作用面垂直 YA 于截面的内力偶矩. M 剪力 C 弯曲构件内力 Fs 弯矩
m （受拉）
m
按变形：当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下 半部受压）时，横截面m-m 上的弯矩为负 注：横截面上的弯矩：
-
m
“左顺右逆”为正；反之为负 按受力：“上压下拉”为正，反之为负
（受压）
(Internal Forces in Beams) 例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩. RA F2 RB F1 a 解: (1)求支反力 R 和 R
工程力学4第四章弯曲内力
M=±ΣM(Fi)左或右
例1： 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3
截面上的内力。
y MA FA
1 1 2m 2 2
q
3
1m 31m
x
1-1 截面：FS = 2×2 = 4 kN，M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m
2-2 截面：FS = 2×2 = 4 kN， M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 3-3 截面：FS = 2×1 = 2 kN， M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m
第四章 弯曲内力
主讲:符春生
§4-1 概述
一、平面弯曲
外力特点:外力是垂直于杆轴线的 力,或作用在包含轴线在 内的平面内力偶。
变形特点:轴线弯成曲线。横截面 轴线
绕垂直于轴线的轴作相 对转动。
轴线
以弯曲为主要变形的杆——梁。
若外力或外力偶作用在纵向对称
面内，杆的轴线在此平面内弯成一平
面曲线——平面弯曲（对称弯曲）。
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
M
§4－4剪力、弯矩与荷载集度之间的关系
FS=－FB+F2 ＝ΣFi右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
工程力学第10章弯曲内力
1.剪力
FQ Fy左侧外力
的代数和。
如取左侧段梁，则向上的 力为正，向下的力为负； 如取右侧段梁，则向上的 力为负，向下的力为正。
或FQ Fy右侧外力
即：某截面的剪力等于该截面以左（或右）所有横向外力
左上右下为正
22
2.弯矩
M M C左侧外力
形心的力矩之和。
或M M C右侧外力
m
F
B
m
FB
FQ M
FAy
19
二、剪力和弯矩的符号规定
+
m
FQ
剪力FQ：左上右下为正，或使微段顺时针转 动为正.
m
FQ
dx
左下右上为负，或使微段逆时针转动为负.
-
m
FQ
m dx
20
+
弯矩M：左顺右逆为正，反之为负；或使微 段下凸为正，上凸为负
M m
M
m
（受拉）
-
m
m
21 （受压）
三、计算规律★★★
A
F
FB
B b
C a l
FB
Fa l
因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方 程和弯矩方程.
34
将坐标原点取在梁的左端 AC段:
FA
F
FB
B b x
Fb FQ ( x ) FA (0 x a ) (1) A l Fb M ( x ) FA x x ( 0 x a ) ( 2) l
a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
上的剪力和弯矩. F1=F
C
FA
FB
工程力学--弯曲内力
基础篇之五第5章梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bemding）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种剪力和弯矩。
在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。
对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。
弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。
研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用。
5－1 工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的。
例如，图5－1a所示桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。
在起吊重量（集中力F P）及大梁自身重量（均布载荷q）的作用下，大梁图5－1 可以简化为简支梁的吊车大梁将发生弯曲，如图5－1b中虚线所示。
石油、化工设备中各种直立式反应塔（图5－2a），底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。
在风力载荷作用下，反应塔的变形如图5－2b所示。
火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。
由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人、货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴的受力和变形如图5－3所示。
5－2 梁的内力及其与外力的相互关系5－2－1 梁的内力与梁上外力的变化有关应用截面法和平衡的概念，不难证明，当梁上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数或变化的图线。
工程力学第15讲 弯曲内力：某个截面上的内力 内力方程 内力图
3、根据方程画内力图
29
A
2kN C D
1kN/m B x3 FBY
解：1、支反力 Y 0 FAY FBY 2 1 2 0
x1
FAY 1m
x2 1m 2m
M
B
0 1 2 1 2 3 FAY 4 0 FBY 2(kN )
FAY 2(kN );
M(x)
x
③根据方程画内力图 x –FL
25
解：1、支反力（省略） 2、写出内力方程
q
Fs ( x) qx
1 2 M ( x) qx 2
(0 x l ) (0 x l )
A
x
L
B
Fs(x) x M(x) – qL x
3、根据方程画内力图
qL2 26 2
F a A C l b B X2 FBY
Fs 2 q( x2 a L)
qL
图（a） B M2 x2 Fs2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
1 M2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
18
[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。 Fa F 1 2 解：（1）确定支座反力 A a B FBY a FCY 1.3a 1 C a 2 D
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
8
六、梁、荷载及支座的简化 （一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化： 1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。 2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。 （四）、支座的简化： 1、固定端——有三个约束反力。 FAX FAY MA
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23
3. 画剪力与弯矩图
剪力图:
FS1
bF l
FS2
aF l
弯矩图:
M1
bF l
x1
最大值:
M2
aF l
x2
FS,max
bF l
（b a 时）
4. 讨论
在 F 作用处，左右横截面上 的弯矩相同，剪力值突变
M max
Fab l
FS右 FS左 F
单辉祖：材料力学Ⅰ
解：1. 形状判断 2. FS 与 M 计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
斜线
sl/8
sl/8 -3sl/8
0 sl2/16 sl2/16 0
34
3. 画FS与M图
单辉祖：材料力学Ⅰ
9sl2/128
xD 3
l 2
xD
1
xD
3l 8
MD
3ql 8
3l 8
q 2
3l 8
2
9ql 2 128
Fy 0, FS qdx (FS dFS ) 0 (a)
MC 0,
M
dM
qdx
dx 2
FSdx
M
0
(b)
dFS q dx
dM dx
FS
d2M dx 2
q
梁微分平衡方程
注意： s 向上为正 x 向右为正
单辉祖：材料力学Ⅰ
29
利用微分关系画 FS 与M 图
10
常见静定梁
梁的类型
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁 外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁
静不定梁 约束反力数超过有效平衡方程数的梁
单辉祖：材料力学Ⅰ
11
§3 剪力与弯矩
剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
任一截面的弯矩
等于截面左侧（右侧）所有外力
对截面形心矩的代数和
不论取左 取右
朝上的外力产生正的弯矩
反之为负
单辉祖：材料力学Ⅰ
16
计算方法与步骤
假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正
由 S Fy = 0 计算 FS 由 S MC = 0 计算 M，C 为截面形心
水平线
斜直线
q(x) = q = 常量
dFQ(x) dx
=
q
q>0
q<0
斜直线
斜直线
d
2M(x) dx 2
=
q
q>0
q<0
极大值
极小值
抛物线
抛物线
31
应用 利用微分关系画梁的剪力与弯矩图
1. 问题分析
s=0，FS 图－水平直线，M 图－直线
求 FSA+ 画 FS 图
求 MA+ 与 MB- 画 M 图
)
F
1
2
l
0
l
2
Mmax
M
l 2
Fl 4
单辉祖：材料力学Ⅰ
27
§5 载荷集度、剪力与弯矩间 的微分关系
FS , M 与 s 间的微分关系 利用微分关系画 FS 与 M 图 例题 微分关系法要点
单辉祖：材料力学Ⅰ
28
FS ，M 与 s 间的微分关系
24
例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
2. 建立剪力与弯矩方程 AB 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
单辉祖：材料力学Ⅰ
(0 x1 a) (0 x1 a)
FCy qa,
MC
qa2 2
BC 段
FS2 qa (0 x2 a)
单辉祖：材料力学Ⅰ
8
§2 梁的约束与类型
约束形式与反力 梁的类型
单辉祖：材料力学Ⅰ
9
约束形式与反力
主要约束形式与反力
可动铰支座：垂直于支承平面的支反力 FR 固定铰支座：支反力 FRx 与 FRy 固定端：支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶
单辉祖：材料力学Ⅰ
2qa
FS
qa
qa
qa
qa
qa
M
qa2
qa2
0.5qa2
qa2
单辉祖：材料力学Ⅰ
37
例 5-4 画组合梁的剪力与弯矩图
解：1. 问题分析
组合梁,需拆开,以分析梁的受力 承受集中载荷, FS 与 M 图由直线构成
2. 受力分析
FAy
FCy
F 2
FDy
3F 2
MD
3Fa 2
单辉祖：材料力学Ⅰ
单辉祖：材料力学Ⅰ
17
例题
例 3-1 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
FAy 2F FBy 3F
FSD ? MD ?
解： FSE FAy 2F
FSA FAy 2F
ME
Me
FAy
l 2
Fl
2F
l 2
0
M A Me FAy Fl 2F 0 Fl
2. 计算支反力、剪力与弯矩
FAy
FBy
Me l
FSA
FAy
Me l
M A Me
MB 0
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32
3. 画剪力图
FS 图－水平直线
FSA
Me l
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4. 画弯矩图 M 图－斜直线
M A Me MB 0
33
例题
例 5-1 画剪力与弯矩图
35
例5-2 外伸梁AB承受载荷如图所示，作该梁的Fs— M图。
F=3kN
q=2kN/m
Me=6kN·m 解：1)求支反力：
C
A
1 1m2 3
D
B
4m 4 5 1m 6
FAy 7.2kN ，FBy 3.8kN
2)判断各段F、M图形状：
FAy
4.2
(kN)
Fs
_
+
E
_
3 x=3.1m 3.8
画剪力图
FS
ql 2
qx
－直线
FS
(0)
ql 2
,
FS
(l
)
ql 2
画弯矩图
M ql x q x2 22
－二次抛物线
土建等类技术部门画法
单辉祖：材料力学Ⅰ
22
例题
例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FAy
bF l
,
FBy
aF l
12
剪力与弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
单辉祖：材料力学Ⅰ
13
正负符号规定
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
剪力与弯矩计算
FS－剪力
M－弯矩
Fy 0, FAy F1 FS 0
第十章
弯曲内力
第 10 章 弯曲内力
本章主要研究: 直梁弯曲内力 载荷与弯曲内力间的微分关系
单辉祖：材料力学Ⅰ
2
§1 引言 §2 梁的约束与类型 §3 剪力与弯矩 §4 剪力、弯矩方程与图 §5 FS , M 与 s 间的微分关系
单辉祖：材料力学Ⅰ
3
§1 引 言
弯曲实例 弯曲及其特征
M
FAy
x
qx
x 2
M ql x q x2 (0 x l) 22
FS , M 沿杆轴（x轴）变化的解析表达式 FS FS ( x) －剪力方程 M M( x)－弯矩方程
单辉祖：材料力学Ⅰ
21
剪力与弯矩图
表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况 的图线，分别称为剪力图与弯矩图
M2
4.5FAy
3F
q1.52 2
30kN
m
4)也可取右段研究，结论相同。
单辉祖：材料力学Ⅰ
19
§4 剪力、弯矩方程与图
剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
20
剪力与弯矩方程
FAy
FBy
ql 2
FS FAy qx
FS
ql 2
qx
(0 x l)
FSD F MD F 0 0
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18
例3-2 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
解：1)求支反力：
A 2m
1.5m
1 1
1.5m
2 2 1.5m
3m
B MB 0：