关于淋雨数学建模

淋雨数学建模

摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三

种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹

来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角α满足tan c

a

α<

时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当αsin u v =时，淋雨量最小。 关键词：淋雨 直线行走

一 问题重述

人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少，并用MATLAB 编程实现。

假设跑步距离d=100米，跑步最大速度为m v =5 m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量为w=2cm/h 。

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为θ,问跑步速度v 为多大？淋雨量最少。 二 问题的分析

人在雨中行走时可能出现以下三种情形：

情形一：雨垂直下落，人以速度v 前行，此时降雨淋遍全身（如图1所示）

图 1

情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为θ，此

时后背淋不到雨（如图2所示）

图2

情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示）

图 3

我们知道当人在雨中前行的时候，人和雨相对地面都是运动的，故知人与雨是相对运动的。为此我们选择人作为参考系，再考虑雨的相对速度及其与人体方向（即与人体夹角θ、α）对总淋雨量的影响。

三合理的假设

3.1 将人体看成一个长方体；

3.2 雨速为常数且方向不变；

3.3 降雨量为一定值；

3.4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内；

3.5 符号的假定:

a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚

v: 跑步最大速度d: 跑步距离 v: 跑步速度

m

w: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量

θ: 雨迎面吹来与人的夹角α: 雨背面吹来与人的夹角

s：有效淋雨面积v：以人为参考系时的相对雨速

四模型的建立

我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t内该土地的淋雨量为Q stw

=。若雨速发生变化，则降雨量也会相对发生改变，设雨速从u变为u u

+∆，则降雨量相对变

化为

u u w u +∆，从而可求得此时的淋雨量为 u u

Q stw

u

+∆=。若雨速不变，降雨的方向发生改变，设其与原方向的夹角为θ，那么此时的淋雨量为

cos Q stw θ=。类似我们可以求得在问题分析中出现的三种情况下人体的总淋雨

量如下：

4.1当雨垂直降落时

有效淋雨面积：22s ab ac bc =++ 淋雨时间：d

t v

=

总淋雨量(22)d

Q stw ab ac bc w v

==++ （1） 4.2 当雨迎面吹来时

由假设3.4我们知道，当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为1s ，迎面部分面积为2s ，则12,s bc s ab ==，分别计算其淋雨量如下：

淋雨时间：d

t v

=

雨速垂直分量：θcos u

雨速水平分量：θsin u ，且方向与v 相反，故相对雨速v =v u +θsin 顶部淋雨量：11cos cos d

Q s tw bc w v

θθ== 迎面淋雨量：22sin v d u v Q s tw ab w u v u

θ+== 所以总的淋雨量为：

12cos (sin )cos (sin )

bcduw abdw u v bdw cu a u v Q Q Q uv u v

θθθθ⋅+⋅+++=+=

= （2）

4.3当雨从背面吹来时

同理，当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为3s ，背面部分面积为4s ，则34,s bc s ab ==，分别计算其淋雨量如下：

淋雨时间：d t v

=

雨速垂直分量：αcos u

雨速水平分量：sin u α，方向与v 相同，故相对雨速v =sin u v α- 顶部淋雨量：33cos cos Q s tw bcdw v

α

α== 背面的淋雨量： 44|sin |v abdw u v Q s tw u uv

α-== 总淋雨量为：

()()

34cos (sin )(cos sin ),sin cos (sin )(cos sin ),sin Q Q Q bdw cu a u v bdw u c a av v u a u v u v

bdw cu a v u bdw u c a av v u b u

v u v αααααααααα=+=

+-+-⎧=<⎪⎪⎨

+--+⎪=≥⎪⎩ （3） 五 模型的求解

运用数学分析中求函数最值的知识，对于以上所建的模型我们求解得到不同情况下人的淋雨量Q 与行走速度v 的具体关系如下： 5.1当雨垂直降落时

由（1）式知总淋雨量(22)d

Q stw ab ac bc w v ==++，易知 v 越大，Q 值越

小，故此时跑得越快，所淋到的雨量越少。即：当m v v =时，Q 最小； 5.2当雨迎面吹来时

对（2）式关于v 求导可得：

2cos sin 0Q bdw cu au v u v

θθ

∂+=-<∂，故Ｑ关于v 是单调递减函数，故此种情况下，当m v v =时，Q 最小； 5.3当雨从背面吹来时

对（3）式，分以下两种情况讨论如下：

1︒ sin v u α≤

此时对（a ）式关于v 求导可得

2

cos sin 0Q bdw cu au v u v αα∂+=-<∂ ，可知v 越大，淋雨量Q 越小，又因为sin v u α≤，故知当sin v u α=时，Q 最小； 2︒ sin v u α≥

当0sin cos >-ααa c ，对（b ）关于v 求导

2(cos sin )

0Q bdw u c a v u v

αα∂-=-<∂，故Ｑ关于v 是单调递减函数，同样可得，当m v v =时，Q 最小；