第二章 行列式补充题参考答案

1
（2）原式
a
i 1
n 1
n i
1
Βιβλιοθήκη Baidu
b1 a1 b2 a2 bn 1 a n 1
(
1
ain
i 1 n 1
b1 n ) a1 b ( 2 )n a2 bn 1 n ( ) a n 1

(
1 j i n 1
(2k ,1,2k 1,2,2k 2,3, , k 1, k )
(1 2 k ) (k 1 k 2 1)
(k 1)k k k 2 ，
显然所给排列的奇偶性与 k 的奇偶性相同。 （2）所给排列的前一部分奇数之间不构成逆序，我们只需讨论后一部分偶数之间的逆 序。 因为 2 前面有 n 1 个较大的数 3,5, ,2n 1 ， 4 前面有 n 2 个较大的数
当 n 2 时，将行列式的第一列乘以 (1) 后，加到其余各列，则
原式
x1 1 1 n 1 x2 1 1 n 1 xn 1 1 n 1
0。
（2）当 n 2 时，
1 2 2 ； 3 4
当 n 2 时，将行列式的第一行乘以 (1) 后，加到其余各行，则
1 2 3 n n n 原式 2n 2n 2n (n 1)n (n 1)n (n 1)n
a1 b1 x
证明 8． （1） a 2 b2 x
n n 2n 0 。 (n 1)n

a1 a3 a1 x b1 a 2 x b2 a3 x b3 b1 x b3 x c1 c2 0 c3 a1 x c1 c3 c1 b1 x b3 x b1 x a1 x b1 a3 x b3 b1 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c 2 b2 x a 2 x b2
, 最后将 n 1 与前面的 k n 1 数自右向左分别作对换 (k n 1 次 ) ，则 n 1 排在排列第 n 1
位，即对排列 i1 , i 2 , , i n 作 k1 k 2 , k n 1 k 次对换变成排列 1,2,3, , n 。 （2）不一定，例如排列 4,1,3,2 的逆序数是 4 ，但是只要用下列 2 次对换就可变成
（2）设所求行列式为 Dn ，将 Dn 按第一列展开得：
Dn xDn 1 (b) n 1 a1 x 2 Dn 2 (b) n 2 a 2 x (b) n 1 a1 x n 2 D2 (b) 2 a n 2 x n 3 (b) n 2 a 2 x (b) n 1 a1 x n 2 ( xa n ba n 1 ) (b) 2 a n 2 x n 3 (b) n 2 a 2 x (b) n 1 a1 a n x n 1 ba n 1 x n 2 (b) 2 a n 2 x n 3 (b) n 2 a 2 x (b) n 1 a1
5,7,,2n 1,, ， 2n 2 前面有 1 个较大的数 2n 1 ， 2n 前面没有较大的数，所以该排
列的逆序数
(1,3,5,,2n 1,2,4,6,,2n)
n 1 n 2 1
于是 当 n 4k ,4k 1 ，因为
n(n 1) ， 2

1 a1 a1 a 2 a1 a 2 a3 (1) n 1 a1 a 2 a n 1 (1) n a1 a 2 a n 。
解 13． （1）原式
0 j i n
[(a i) (a j )] ( j i) 。
0 j i n
0 x 0 0 x 0 0 c1 c2 , c3 c4 x 1 x 0 1 xA21 x 0 0 y 0 0 0 y 1 y 1 y 0 1 y 1 y
xyA32 xy
x 0 x2 y2 。 0 y
解 9． 将 D 中第三行元素换成 5,5,5,3,3 后所得行列式为 D1 ，显然 D1 0 。 又将 D 中第三行元素换成 2,2,2,1,1 后所得行列式为 D2 ，显然 D2 0 。 现将 D1 , D2 分别按第三行展开，得
k k1 k 2 , k n 1 。
现在在在排列 i1 , i 2 , , i n 中，将 1 与前面的 k1 个数自右向左分别作对换 ( k1 次 ) ，则 1 排 在排列第 1 位，再将 2 与前面的 k 2 个数自右向左分别作对换 ( k 2 次 ) ，则 2 排在排列第 2 位，
因为
D 2 (1 x ) 2 x , D1 1 x ，
所以
Dn xDn 1 (1 x) 2 x x(1 x) 1 ，
故
Dn 1 xDn 1 1 x x 2 Dn 2 1 x x 2 x n 1 D1
第二章 行列式补充题参考答案
解 1． （1）因为 1 前面有 1 个较大的数 2k ， 2 前面有 2 个较大的数 2k ,2k 1 ， 3 前面 有 3 个较大的数 2k ,2k 1,2k 2, , k 前面有 k 个较大的数 2k ,2k 1, , k 1 ；k 1 前面 有 k 1 个较大的数 2k ,2k 1, , k 2, ，2k 1 前面有 1 个较大的数 2k ，2k 前面没有较 大的数，所以该排列的逆序数
x a1 , a 2 , , a n 1 时，行列式总有两行相同，从而行列式为零，因为 a1 , a 2 ,, a n 1 是互不
相同的数，所求方程是 n 1 次多项式方程，故所求方程的根为 a1 , a 2 , , a n 1 。 证明 7． （1） 当 n 2 时，
x1 1 x1 2 x1 x 2 ； x2 1 x2 2
3 6 3 0
n 2n 2n n! 。 n
解 12． （1）设所求行列式为 Dn ，将 Dn 按第一列展开，则
0 Dn a (1)
n n 1
0

0
1
a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 n 1
a n (1) n1 (1) n a n2 a n a n2
4
ci
解 11． （1）原式
i 1, 2 ,, n 1

k i 1
ck
n
n(n 1) 2 0 0 0
* 1
* 2

n
0
0
(n 1)
n(n 1)! 。 2 1 2 0 2 ri r1 （2）原式 0 0 i 2 , 3,, n 0 0 (1) n 1
2 2
因子是零，故 D 0 。 4．证明 由行列式定义知
D2

i1i2 , in
(1)
( i1i2 in )
(a1i1 b1i1 )(a 2i2 b 2i2 ) (a nin b n in )
i1i2 , in
(1) (1)
( i1i2 in )
a1 x b1 a 2 x b2 a 3 x b3 c1 a1 a3 c1
2
c1 c3 b1 b2 b3 b1 b3 c1 c3 a1 a2 a3
c2 a2
a3 b3 x a1 a2 a3 a1 x
a2 x c2 a2 a 3 x c3 a1 b1 b2 b3 a1
c 2 b2 x a 2 x c 2 b2 x b2 a3 x c3 b3 x b3
D2 (1) ( n 1 n 21) D (1)
n ( n 1) 2
d。
解 6． （1） 左边行列式的展开式显然是关于 x 的 n 1 次多项式， 而且当 x 1,2, , n 1 时，行列式总有两行相同，从而行列式为零，故所求方程的根为 1,2, , n 1 。 （2）当 a1 0 时，左边的行列式为零多项式，从而任何数都是所求方程的根。 当 a1 0 时，左边行列式的展开式显然是关于 x 的 n 1 次多项式，而且当
5( A31 A32 A33 ) 3( A34 A35 ) 0 ， 2( A31 A32 A33 ) ( A34 A35 ) 0
解得 A31 A32 A33 0 和 A34 A35 0 。 10．答案： （1） 4313100 ； （2） 18 ； （3） 48 ； （4） x ； （5） 20 ； （6） 5 。
0 a2 a3
2
c 2 x b2 c3 b1 b2 b3 c1 c2 。 c3
(1 x ) a 2 a3
（2）
1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
x x 0 0 r1 r2 , r3 r4 1 1 x 1 1 0 0 y y 1 1 1 1 y
ai (b) n i x i 1 。
i 1 n
（3）设所求行列式为 Dn ，将 Dn 按第一行展开得：
Dn (1 x) Dn 1 yzDn 2 (1 x) Dn 1 xDn 2 ，
于是
Dn xDn 1 Dn 1 xDn 2 D2 xD1
(a1i1 a 2i2 a nin )b (1 2 n ) ( i1 i2 in ) a1i1 a 2i2 a nin
( i1i2 in )
i1i2 , in
D1 ，
（ 因为 i1 , i 2 , , i n 是 1,2,3, , n 的一个排列，所以 i1 i 2 i n 1 2 n ） 。 解 5． 将 D1 中最后一行自下而上与上一行逐行交换，共交换 n 1 次，则 D1 变为 D ， 于是
1 x x 2 x n 1 x n 。
（4）设所求行列式为 Dn ，先将 Dn 从第 2 行起每一行都加到第 1 行，然后按第 1 行展 开，得递推公式
Dn a1 Dn 1 1 ，
于是
Dn a1 Dn 1 1 a1 (a 2 Dn 2 1) 1 1 a1 a1 a 2 Dn 2
D1 (1) n 1 D (1) n 1 d 。
将 D2 中最后一行自下而上与上一行逐行交换，共交换 n 1 次，设所得行列式为 A1 ， 再将 A1 中最后一行（即 D2 中倒数第二行）自下而上与上一行逐行交换，共交换 n 2 次， 设所得行列式为 A2 ，如此一直下去，变到 D 为止，于是
1,2,3,4 ： 4,1,3,2 2,1,3,4 1,2,3,4 。
证明 3． 因为 n 阶行列式 D 有 n 个元素， 已知 D 中是零的元素多于 n n 个， 所以 D
2 2
中非零的元素少于 n ( n n) n 个，故 D 的展开式 n! 项代数和中，每一项至少有一个
n(n 1) 为偶数，所以排列是偶排列； 2 n(n 1) 当 n 4k 2,4k 3 ，因为 为奇数，所以排列是奇排列。 2
证明 2． （1）设在排列 i1 , i 2 , , i n 中，比 1 大且排在 1 前面的数有 k1 个，比 2 大且排在 2 前面的数有 k 2 个， , 比 n 1 大且排在 n 1 前面的数有 k n 1 个，则