第三章,复变函数的积分(1)

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第三章复变函数的积分第一节、柯西定理

第三章复变函数的积分(Integration of function of thecomplex variable)第一讲授课题目：§3.1复积分的概念§3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：1-10作业布置：7576板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：§3.1 复积分的概念(The conception of complex integration)一、复变函数的积分的定义（Complex function of theintegral definition ）定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式))((11-=-∑k n k k k z z f ς（1）令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作=⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k nk k k z z f ςλ当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作⎰-C z z f d )(当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C⎰ 定理(Theorem)3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰（2）证明：))((11-=-∑k n k k k z z f ς)]())][(,(),([111k k nk k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ],))(,())(,([))(,())(,(1111111111∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有0|}{|max 11→--≤≤k k n k x x 0|}{|max 11→--≤≤k k nk y y 于是上式右端的极限存在，且有,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰ 二、复变函数积分的计算(Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,即()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.由公式(2)我们有[()()()()()()()()]dtt y t y t x v t x t y t x u y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C '-'=++-=⎰⎰⎰⎰βα,,),(),(),(),()(d d d d d [()()()()()()()()]dt t y t y t x u t x t y t x v i '+'+⎰βα,,即()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3) 或 ()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算dz z C⎰，其中C 是（1）从点1到i 的直线段1C ；（2）从点1到0的直线段2C ，再从点0到i 得直线段3C 所连接成的折线段32C C C +=.解：（1）)()(;1011≤≤+-==t it t t z C C ，有：⎰⎰⎰⎰=+-=+---=101010)12()1)(1(i dt i dt t dt i it t dz z c （2）).10()(:),10(1)(:2312≤≤=≤≤-=t it t z C t t t z C ，有：⎰⎰⎰⎰⎰=+--=+=10100)1(32tdt dt t dz z dz z dz z c c c例2 计算dz z ii I ⎰-=其中C 是 (1)连接i i 到-的直线段；(2)连接i i 到-的单位圆的左半圆(3)连接i i 到-的单位圆的右半圆解： i t i tdt i idt it dz z i i I t it z i =⋅==-=-=≤≤-=-⎰⎰⎰1221201211,11,)1( 于是程为：到i的直线段的参数方 ie de idt e e dz z i i I ，t e z it it it it it 2232232223,)2(223===⋅=-==⎰⎰⎰ππππππππ于是到从方程为单位圆的左半圆的参数 i e e d e dz z I ，t e z it it it i i it 2)(20,)3(2222=====---⎰⎰πππππ到从方程为单位圆的右半圆的参数上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例3()0n Cdz z z -⎰，其中n 为任意整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.解 C 的参数方程为0,02i z z re θθπ=+≤≤，由公式得()22(1)1000221100cos(1)sin(1)2,1,0, 1.i i n n n in n Cn n dz ire i d e d r e r z z i i n d n d r ri n n θππθθππθθθθθθπ-----==-=-+-=⎧=⎨≠⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例4 计算Czdz ⎰，其中C 为从原点到点34i +的直线段. 解：此直线方程可写作3,4,01x t y t t ==≤≤ 或 34,01z t i t t =+≤≤. 在C 上，(34),(34)z i t dz i dt =+=+，于是()()()112220013434342C zdz i tdt i tdt i =+=+=+⎰⎰⎰. 因()()C CC C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy =++=-++⎰⎰⎰⎰易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，所以C zdz ⎰的值，不论是对怎样的连接原点到34i +的曲线，都等于()21342i +. 例5 设C 是圆ρα=-||z ，其中α是一个复数，ρ是一个正数，则按逆时针方向所取的积分i z dz C πα2=-⎰ 证明：令 θραi e z =-，于是 θρθd d i ie z =，从而 i id z dz Cπθαπ220⎰⎰==- 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature)设)(z f 及)(z g 在简单曲线C 上连续，则有（1）是一个复常数其中k z z f k z z kf C C,d )(d )(⎰⎰= （2）;d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰±=±C C C z z g z z f z z g z f（3）⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21其中曲线C 是有光滑的曲线n C C C ,...,,21连接而成；（4）⎰⎰-=-C C z z f z z f d )(d )( 定理3.2（积分估值）如果在曲线C 上，()M z f ≤，而L 是曲线C 的长度，其中M 及L 都是有限的正数，那么有()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(|，（5）证明：因为ML z z M z z f k n k k k n k k k ≤-≤-∑∑-=+-=+|||))((|111111ζ两边取极限即可得：()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(| 例6 试证：⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 证:不妨设1<r ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在r z =上，⎰⎰==-≤+≤+r z r z r r dz z z dz z z 24232312||1|1π上式右端当0→r 时极限为0，故左端极限也为0，所以⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 本节重点掌握：（1）复变函数积分的计算；（2）复变函数积分的基本性质§3.2 柯西积分定理（Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则)(z f 在D 内沿任意一条闭曲线C 的积分0d )(=⎰C z z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy 给出的.1851年Riemann 在)(z f '连续的假设下给出了简单证明如下证明：已知)(z f 在单连通区域D 内解析，所以)(z f '存在，设)(z f '在区域D 内连续，可知u 、v 的一阶偏导数在区域D 内连续，有0d )(=⎰Cz z f ⎰⎰⎰++-=⊂∀C C c udyvdx i vdy udx dz )z (f D C ,，又⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=--=-Dy x c D y x c dxdy v u udy vdx dxdy u v vdy udx Green 0)(,0)(公式由注1: 此定理证明假设“)(z f '在区域D 内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat ）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2: 若C 是区域D 的边界，)(z f 在单连通区域D 内解析，在D 上连续，则定理仍成立.定理(Theorem)3.4若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，1C 、1C 是在D 内连接0z 及z 两点的任意两条简单曲线，则=⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f证明：由柯西积分定理-⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f ()021==⎰+dz z f C C将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n +1条简单闭曲线,,...,,n C C C 1曲线n C C ,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C 内区域，n C C C ,...,,1围成一个有界多连通区域D ，D 及其边界构成一个闭区域D .设f (z )在D 上解析，那么令Γ表示D 的全部边界，我们有0=⎰Γdz z f )(其中积分是沿Γ按关于区域D 的正向取的.即沿C 按逆时针方向，沿n C C ,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C 按所选定取积分的方向一同运动时，区域D 总在它的左侧.因此0 1=+++=⎰⎰⎰⎰--ΓnC C Cdz z f dz z f dz z f dz z f )()()()(即 ⎰⎰⎰++=nC C Cdz z f dz z f dz z f )(...)()(1例7 计算dz z z e zz ⎰-=)1(23,其中C 是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e i e e e i z dzz z e z dz z z e z dz z dz z z e dz z z e dz z z e dz z z e z cz c c zc z c z c z z ππ由柯西积分定理可知：若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则沿着区域D 内的简单闭曲线C 的积分⎰Cd f ςς)(与路径无关，只与起点0z 及终点z 有关，此时也可写成⎰zz d f 0)(ζζ在单连通区域D 内固定0z ，当z 在区域D 内变动时，⎰zz d f 0)(ζζ确定了上限z 的一个函数，记作⎰=z z d f z F 0)()(ζζ定理(Theorem)3.6 设)(z f 是单连通区域D 的解析函数，则⎰=zz d f z F 0)()(ζζ也是区域D 内的解析函数，且)()('z f z F =证明： D z z ∈∆+∀，得⎰zz d f 0)(ζζ与路径无关，则⎰⎰-=-∆+∆+z z zz z d f d f z F z z F 0)()()()(ζζζζ=⎰∆+zz zd f ζζ)(其中积分路径取z 到z z ∆+得直线段，有()()()zz f z z F z z F ∆=-∆-∆+1(())⎰∆+-zz zd x f f ζζ)(因)(z f 在D 内连续，δδε<∆>∃>∀z ,0,0，有()()()ε<-∆-∆+z f zz F z z F即)()('z f z F =定义(Definition)3.2设在是单连通区域D 内，有)()('z f z F =，则称()z F 是)(z f 的原函数.定理(Theorem)3.7若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，()z F 是)(z f 的一个原函数.则⎰=zz dz z f 0)(()z F -()0z F其中D z D z ∈∈,0注3: 此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广. 例8 ( 重要积分)) 试证明:⎩⎨⎧Z ∈≠==-⎰n n n i a z dzc n ,1012)(π 这里 C 表示绕行a 一周的简单闭曲线.证明: 作圆周 1C : |z-a | = ρ, 使得 C 在 1C 的内区域中. 则有=-⎰c n a z dz )(⎰-1)(c n a z dz由例5结果即得证.例9 计算⎰+cdz z )1ln(，其中C 是从-i 到i 的直线段解因为)1ln(z +是在全平面除去负实轴上一段1-≤x 的区域D 内为（单值）解析，又因为区域D 是单连通的，在D 内有[]ii i i i i i i z z i i i i dzzi i i i dzzzz z dz z iii i ii ii c )22ln 2()1ln()1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln()1ln()111()1ln()1ln(1|)1ln()1ln(π++-=--++--++=+---++=+---++=+-+=+----⎰⎰⎰本节重点掌握：1、柯西积分定理 2、柯西积分定理的推广内容小结：1、复变函数的积分的定义2、复变函数积分的计算问题()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα3、复变函数积分的基本性质4、柯西积分定理5、柯西积分定理的推广2 1§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理柯西积分公式解析函数的无穷可微性讲授法多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：11-157576一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑第二讲授课题目：§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.学时安排：2学时教学目标：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理教学重点：柯西积分公式教学难点：解析函数的无穷可微性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：习题三：11-15板书设计：一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）.4、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社.课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑教学过程：§3.3 柯西积分公式（Cauchy integral formula ）柯西积分公式（Cauchy integral formula ）设)(z f 在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，由柯西积分定理0d )(=⎰Cz z f 考虑⎰-C d z f ζζζ)(设D z ∈，显然函数在zf -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析. 以z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC .在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD .在ρD 上，函数)(ζf 以及zf -ζζ)(解析，所以有 ⎰⎰-=-ρζζζζζζC C d z f d z f )()(于是又如下定理定理(Theorem)3.8设)(z f 在在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析在C D D ⋃=上连续，0z 是区域D 内任一点，则有dzz z z f i z f C ⎰-=0)(21)(π （1）其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具. 说明：1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质.推论1（平均值公式）设)(z f 在)(z f R z z C <-|:|0内解析，在R z z C =-|:|0上连续，则π21)(0=z f ⎰+πθθ200)Re (d z f i推论 2 设)(z f 在由简单闭曲线1C 、2C 围成的二连通区域D 内解析，并在曲线1C 、2C 上连续，2C 在1C 的内部，0z 为区域D 内一点，则⎰-=100)(21)(C dz z z z f i z f π⎰--20)(21C dz z z z f i π例1 求下列积分的值（1）()⎰⎰==+-222.))(9(2;sin z z dz i z z zdz zz 解：(1)0|sin 2sin 02====⎰z z z i dz zzπ (2)⎰⎰=-===-=---=+-2122225|92)(9))(9(z z z z z i dz i z z z dz i z z z ππ 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数.定理(Theorem)3.9(最大模原理) 设)(z f 在区域D 内解析，)(z f 不是常数，则在区域D 内()z f 没有最大值. 推论1在区域D 内的解析函数，若其模在区域D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数推论2设)(z f 在有界区域D 内解析，在D 上连续，则()z f 必在区域D 的边界上达到最大值.证明：若)(z f 在区域D 内为常数，显然成立，若)(z f 在区域D 内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证. 本节重点掌握：柯西积分公式§3.4 解析函数的高阶导数(The higher order derivative of analytic function) 一、解析函数的无穷可微性(Analytic functions ofinfinitely differentiable)定理(Theorem)3.10 设函数)(z f 在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析，在D 上连续，则)(z f 的各阶导数均在区域D 内解析，对区域D 内任一点z ，有,...)3,2,1( )()(2!)(1)(=-=⎰+n d z f i n z f C n n ζζζπ,证明：先证明1=n 时的情形.对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.⎰---=Cd z h z f ih ζζζζπ2))(()(2 现在估计上式右边的积分.设以z 为心，以δ2为半径的圆盘完全在D 内，并且在这个圆盘内取h z +，使得δ<<h 0，那么当D ∈ζ时，,||,||δζδζ>-->-h z z设()z f 在C 上的最大值是M ，并且设C 的长度是L ，于是由积分估值定理有,2|||))(()(2|22δπζζζζπMLh d z h z f i hC ⋅≤---⎰ ])()(2)(21)(21[1)()(21)()(22⎰⎰⎰⎰------=---+C C C C d z f i h d z f i d h z f i h d z f i h z f h z f ζζζπζζζπζζζπζζζπ这就证明了当h 趋近于0时，积分⎰---Cd z h z f i hζζζζπ2))(()(2趋于0.即当1=n 时定理成立.设k n =时定理成立.当1+=k n 时，对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.仿1=n 时的证明方法，可推得定理成立.证毕例2 计算下列各积分)())()()⎰⎰⎰>==>=-+-1223221511121cos 1r z z zr z dzz z dzze dzz zπ解：)()()()()⎰>=-==-=-1545121cos !1521cos 1r z i z z i dz z zππππ)()()()()()⎰⎰⎰+-+-+=+>=12222212212CCzzr z zdz i z i z e dz i z i z e dz z e()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41sin 2222πππi i z i z e i z i z e i z z3）被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 和12=z ，都在2=z 内，2)1(1-z 在31=z 内解析，21z在311=-z 内解析，作圆周3113121=-=z c z c ：，：，利用复合围线积分定理， ⎰⎰⎰⎰⎰=-==-==-+--=-+-=-311233132311233123223)1(1)0()1(1)1()1()1(z z z z z dz z z dz z z z z dz z z dz z z dz由高阶导数公式，得()0661!1211!22)1(1302223=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===⎰i i z i z i z z dzz z z ππππ应用上述定理可得出解析函数的无穷可微性定理(Theorem)3.11 设函数)(z f 在区域D 内解析，那么)(z f 在D 内有任意阶导数.并且它们也在区域D 内解析注3: 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchy inequality and Liouville's theorem)柯西不等式（Cauchy inequality ）设函数)(z f 在以R z z <-||0内解析，在以R z z <-||0内()M z f ≤,则,...)2,1,0(!!|)(|0)(=≤n RMn n z fn n 证明：令1R C 是圆)0(||110R R R z z <<=-，)(z f 在以10||R z z ≤-上解析，由高阶导数公式，有,2,1,0!22|)()(2!||)(|1111100)(1==⋅⋅≤-=++⎰n R M n R R M n!dz z z z f in z fnn C n n R πππ令R R →1,得 ,2,1,0!|)(|10)(=≤n R Mn z fn n上述的不等式称为柯西不等式.如果函数)(z f 在整个复平面上解析，那么就称)(z f 为一个整函数，例如z e z z ,cos ,sin 都是整函数.关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：定理3.12（刘维尔Liouvlle 定理）有界整函数一定恒等常数.证明：设)(z f 是有界整函数，即存在),0(+∞∈M ，使得M z f z <∈∀|)(|C,.),0(,C 0+∞∈∀∈∀R z ，)(z f 在R z z <-||0内解析.由柯西公式，有RM z f ≤|)('|0，令+∞→R ， 0)(',C 00=∈∀z f z ，由此可知)(z f 在C 上恒等于常数.三、莫勒拉定理(Mole La Theorem)：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.定理(Theorem)3.13如果函数)(z f 在区域D 内连续，并且对于D 内的任一条简单闭曲线C ，我们有0)(=⎰Cdz z f那么)(z f 在区域D 内解析.本节重点掌握：（1）解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式内容小结： 1、柯西积分公式 2、解析函数的无穷可微性3、柯西不等式与刘维尔定理4、莫勒拉定理5、柯西定理的逆定理。

ch3 复变函数积分

1
z .
z z
z
于是 lim F ( z z ) F ( z ) f ( z ) 0,
z 0
z
即 F ( z ) f ( z ).
[证毕]
工程数学---------复变函数
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定义1 如果在区域 B 内 F '(z) = f (z) ,则称 F(z) 为 f (z)
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dz
y
例2. 计算 C (z z0 )n1
其中 C 为以 z0中心，r为半径
的正向圆周，n为整数.
解 C : z z0 rei 0 2
o
d z
C ( z z0 )n1
2 0
i rei r e n 1 i( n 1)
d
i e 2 i n d
rn 0
处处解析, 则函数
z
F ( z ) f (z ) d z z0
o z0
x
必为B内的一个解析函数, 并且
F '(z) = f (z)
工程数学---------复变函数
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证利用导数的定义来证.
设 z 为 B内任一点, 以 z为中心
作一含于 B内的小圆 K . 取 z 充分
第三章复变函数的积分
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§1 复变函数积分的概念 1. 积分的定义
定义设函数w =f (z)定义在区域D内, C为在区域D内起点
为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 若对0
n k 1
f
( k
)zk
记作
f ( z)d z
C
k zk
1 dz

《复变函数》第三章复变函数的积分

上任意取一点 k ,
y
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C zn1
1 A
2
z1
z2
k zk zk 1
o
x
4
n
n
作和式 Sn f ( k ) (zk zk1 ) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
这里 zk zk zk1, sk zk1zk的长度,
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
情况二 : 若 C 包围点,
由上节例4可知, c (z )ndz 0.
31
四、小结与思考
通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定理:
并注意定理成立的条件.
32
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
33
思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
线的限制, 必须记作 f (z)dz.
C
放映结束，按Esc退出.
24
第二节柯西－古萨基本定理
一、问题的提出二、基本定理三、典型例题四、小结与思考
一、问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关. 观察上节例4, 被积函数当 n 0时为 1 ,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1
由此希望将基本定理推广到多连域中.
38
二、复合闭路定理
1. 闭路变形原理设函数 f (z) 在多连通域内解析,
C 及 C1 为 D内的任意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向), A A

a4第三章复函积分1

4
3、积分存在的条件及其计算法
设光滑曲线C：设光滑曲线：z(t)=x(t)+iy(t)，α≤t≤β，正方向是参数增， β 正方向是参数t增加的方向，C的起点，终点分别为：A=z(α)，B=z(β)，且满加的方向，的起点，终点分别为： α， β，的起点足z′(t)≠0，t∈(α, β)。 ′ ，∈α 。
4) 设C分段光滑 , 由C1 , C 2 连接而成 , 则
∫C f ( z )dz = ∫C1 f ( z )dz + ∫C 2 f ( z )dz ;
5) 设在C上 f ( z ) ≤ M , L为曲线的长度 , 则
∫C f ( z )dz ≤ ∫C f ( z ) ds ≤ ML .
7
举例 1. 计算从点(0,0)到直线段；从点。 ∫ zdz ， C:从点到(3,4) ①直线段；②y=f(x)。
C
y
y=f(x)
解 ①∵C：y=(4/3)x , 0≤x≤3。：。即：z=x+iy=x+i(4/3)x o
3
(3,4)
y=(4/3)x x
4 4 4 23 1 ∴ ∫ zdz = ∫ [x + i x][1 + i ]dx = [1 + i ] ∫ xdx = ( 3 + 4i ) 2 3 3 3 0 2 C 0
证明
记作
∵ F( z ) = ∫
z f ( z )dz z0
=∫
ห้องสมุดไป่ตู้
( x, y ) udx − (x0 ,y 0 )
vdy + i ∫
( x, y ) vdx + udy (x0 ,y 0 )
= P( x, y ) + iQ( x, y )

06第三章复变函数的积分

第三章复变函数的积分复变函数的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质都可以通过积分形式反映出来。

§1.复积分的概念一.复积分的定义与计算1．有向曲线设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C 理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向,2.复积分的概念定义：设C 为z 平面上一条以A 为起点，以B 为终点的简单光滑曲线，复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上有定义.在曲线C 上任. -C 记为取B z z z A n == ,,10将C 分为n 个小弧段，（k k k y i x z +=，k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1）在每个小弧段上任取一点k k k i ηξς+=，作和式(),z f S nk k k n ∑=∆=1ς设,max k z ∆=λ若当0→λ时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及k ς的取法无关，则称此极限值为复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上从A 到B 的复积分，记作()⎰c dz z f ；若曲线方向改为由B 到A ,则积分记作()⎰-c dz z f ；当C 为简单闭曲线时，则此积分记作()⎰c dz z f .（规定逆时针方向为C 的正向）定理3.1设()()()y x v i y x u z f ,,+=在光滑曲线C 上连续，则积分()⎰c dz z f 存在，且为()()()()().,,,,⎰⎰⎰++-=cccdy y x u dx y x v i dyy x v dx y x u dz z f 此式说明，复积分的计算问题可以转化为二元实函数的曲线积分来处理。

（注：上式在形式上可看做函数()v i u z f +=与微分dy i dx dz +=相乘后得到的，这样便于记忆）特别地，若C 的参数方程为：()()()t y i t x t z +=（()()B b z A a z ==,），则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()[]()[]().,,,,,,,,,,dt t z t z f dtt y i t x t y t x v i t y t x u t dy t y t x u t dx t y t x v i t dy t y t x v t dx t y t x u dyy x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f bababab accc'='+'+=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1计算dz z c⎰，其中C 是如图所示：x1i1c 2c 3c （1）从点1到点i 的直线段1c ；（2）从点1到点0的直线段2c ，再从点0到点y的直线段i 的直线段3c 所连接成的折线段c =2c +3c .问题：影响积分的因素有哪些？例2计算()⎰-c nzz dz0，其中n 为任何整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.例3计算⎰czdz 其中C 为从原点到点3+4i 的直线段.二.复积分的基本性质(1)()()[]()()⎰⎰⎰±=±c c c dz z g dz z f dz z g z f ；(2)()()⎰⎰=ccdz z f k dz z kf ；(3)()()⎰⎰--=c cdz z f dz z f ;(4)()()()⎰⎰⎰+=21c c c dz z f dz z f dz z f ,其中21C C C +=；(5)()()⎰⎰≤≤ccML ds z f dz z f .（积分估值）例4设C 为从原点到点3+4i 的直线段，试求积分⎰-ci z dz模的一个上界。

复变函数第三章复变函数的积分第一节复变函数积分的概念

C C
C−
f ( z )dz;
( 2) ∫ kf ( z )dz = k ∫ f ( z )dz; ( k为常数 )
C
( 3) ∫ [ f ( z ) ± g ( z )]dz = ∫ f ( z )dz ± ∫ g ( z )dz;
C C C
估值不
(4) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足等式 f ( z ) ≤ M , 那末 ∫ f ( z )dz ≤ ∫ f ( z ) dS ≤ ML.
又因为
∫C zdz = ∫C ( x + iy )(dx + idy )
13
∫C zdz = ∫C xdx − ydy + i ∫C ydx + xdy
这两个积分都与路线C 这两个积分都与路线无关
所以不论 C 是怎样从原点连接到点 3 + 4i 的曲线,
( 3 + 4i ) 2 ∫C zdz = 2 .
∫C f ( z )dz = ∫C (u + iv )(dx + idy ) = ∫ udx + ivdx + iudy − vdy C
= ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy .
C C
（2）若曲线 C由参数方程给出z = z ( t ) = x ( t ) + i y( t ), ）
在每个弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,L, n) 上任意取一点 ζ k ,
y
ζk z k zk−1
B
C z n−1
A
ζ1 ζ2
z1 z2
o
x
4
作和式 S n = ∑ f (ζ k ) ⋅ ( zk − zk −1 ) = ∑ f (ζ k ) ⋅∆zk ,

复变函数3.1

C
ζ1 ζ2
(2)取介点集取介点集
a = a0 z
z1 z2
ζk z k zk1
zn1
b b = zn

在每个弧段 zk 1 z k ( k = 1, 2, , n)上任意取一点 ζ k ,
o
x
(3)作(Rinmann)和作和
Sn =
∑
n
这里 zk = zk zk 1 , sk = zk 1 zk的长度,
ζ1 ζ2
∫
C
f ( z )dz
即:
∫
C
f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k ) zk .
δ →0
n →∞ k =1
n
①如果C为闭曲线，那末沿此闭曲线的积分记作 f (z)dz.
∫
c
这个积分 ② C : t ∈[a, b], f (z) = u(t), 则C f (z)dz = ∫a u(t)dt, ∫ 定义就是一元实函数定积分的定义. ③ 如果∫ f (z)dz存在一般不能写成∫ f (z)dz.因为 , C a
c c c
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 ∫ zdz 的值无论C是怎样的曲线都等于
c
1 2 (3 + 4i ) 2
1 dz 例4.计算积分 ∫ z 1 | z 1| =1
解由积分路径：z 1|= 1 得： 1 = e (0 ≤ θ ≤ 2π ) | z
iθ
故积分路径方程为：z = z(θ ) = 1+ e ,(0 ≤ θ ≤ 2π )
C2
z1
C1
∫
C
f (z)dz = ∫ f (z)dz
z0
z1

复变函数及积分变换第三章1

变上限函数 F(z) z f ()d为f(z)的一个原函数.
那么函数f(z)的全体原函数z0 可以表示为
(z) F(z) C ,
其中C为任意常数.
定理3.4 若函数f(z)在单连通域D内处处解析， (z)为
f(z)的一个原函数，则
z1
f
(
z)dz

( z1 )

( z0
f (z)dz udx vdy i vdx udy
C
C
C
b
b
a (u(t)x(t) v(t) y(t))dt ia (u(t) y(t) v(t)x(t))dt,
Re( f (z(t))z(t)) u(t)x(t) v(t) y(t),
0i rn
2π
(cos n
0
i sin n )d
0
Ñ dz
2πi, n 0;
zz0 r (z z0 )n1

0,
n 0.
§3.2 柯西-古萨定理(CauchyGoursat)及其推广
1.柯西-古萨定理
假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f'(z) 在D内连续, u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C 为D内任一条简单闭曲线.
Im( f (z(t))z(t)) u(t) y(t) v(t)x(t).
b
f (z)dz a f (z(t))z(t)dt.
C
例3.1 分别沿下列路径计算积分 z2dz 和 Im(z)dz
C
C
(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；
(2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.

复变函数第三章1积分

i
D
(
x
)dxdy y
0
（假设在单连通闭区域D上，柯西黎曼方程成立）
课件
18
假设
u , u , v , v 在闭区域D上连续； x y x y
（单连通闭区域D上，柯西黎曼方程成立）
f (z)在单连通闭区域D上处处可导。
u , u , v , v 在闭区域D上连续； x y x y
f (z)的一阶导数f '(z) u i v 连续 x x
zdz 1 (3 4i)t (3 4i)dt 1 (3 4i)2
c
0 7 12i
2
课件
14
2
例2
计算
c(z
dz z0 )n1
,
C :以z0为中心,以r为半径的圆周，
n为整数.
z
解 C : z-z0 rei , 0 2
z z( ) z0 rei z'( ) riei
dz
c (z z0 )n1
2
0
riei r e n1 i(n1)
d
i
2
(cosn i sin n )d
rn 0
z0
o
2i, n 0
0,
n0
dz 2i,
c z z0
dz c(z z0 )n
0, n
1
注: (1)计算结果与z0 , r无关；
(2)以后证明，结论对于课围件绕z0的任意闭曲线都成15立。
即z z(t), f (z) f (z(t)). 因为z z(t) x(t) iy(t),计算微分dz z'(t)dt
(x'(t) iy'(t))dt
例1 计算

(完整版)第三章复变函数的积分(答案)

复变函数练习题第三章复变函数的积分系专业班姓名学号§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分一．选择题1．设为从原点沿至的弧段，则[]C 2y x =1i +2()Cx iy dz +=⎰（A ）（B ）（C ）（D ）1566i -1566i -+1566i --1566i +2. 设是，从1到2的线段，则 []C (1)z i t =+t arg Czdz =⎰（A ）（B ）（C ）（D ）4π4i π(1)4i π+1i+3．设是从到的直线段，则[]C 012i π+z Cze dz =⎰（A ）（B ）（C ）（D ）12e π-12e π--12ei π+12eiπ-4．设在复平面处处解析且，则积分[]()f z ()2iif z dz i πππ-=⎰()iif z dz ππ--=⎰（A ）（B ）（C ）（D ）不能确定2i π2i π-0二．填空题1．设为沿原点到点的直线段，则2。

C 0z =1z i =+2Czdz =⎰2．设为正向圆周，则C |4|1z -=2232(4)A Cz z dz z -+=-⎰10.i π三．解答题1．计算下列积分。

（1）323262121()02iziiz i i i edzee e ππππππ---==-=⎰（2）22222sin 1cos2sin 2224sin 2.244iiiii i zdzz z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫--=-=-=+⎪⎝⎭⎰⎰（3）110sin (sin cos )sin1cos1.z zdzz z z =-=-⎰（4）20222cos sin 1sin sin().222iiz z dzz i ππππ==⋅=-⎰2．计算积分的值，其中为正向圆周：||C z dz z ⎰A C （1）2200||22,022224.2i i i z Cz e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I =（2）2200||44,024448.4i i i z Cz e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I =3．分别沿与算出积分的值。

复变函数答案钟玉泉第三章习题全解

即 Φ′(x) = 0, Φ( x) = C ,故
f (z) = e x (x cos y − y sin y) + i( xex sin y + e x y cos y + C)
又因 f (0) = 0, 故 f (0) = iC = 0 ⇒ C = 0 ,所以
f (z) = ex ( x cos y − y sin y) + i(xex sin y + e x y cos y)
′(
x)
= 0.
所以ϕ( x) = C ,故
x
y
f (z) = − x2 + y2 + C + i x2 + y2
又因为 f (2) = 0 ,所以 C = 1 ,故 2
x1
y
f (z) = − x2 + y2 + 2 + i x2 + y2
17.证明：设 f (z ) = u + iv ⇒ 4 f ′( z) 2 = 4(ux2 + vy2 )
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πi(2z 2 − z +1) = 4πi
z ≤2 z −1
z =1
(2)可令 f (z) = 2z 2 − z +1,则由导数的积分表达式得
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πif ′(z) = 6πi
z =2 (z − 1) 2
z =1
sin π zdz
∫ v = (xex cos y − e x y sin y + e x coy)dy
∫ = xex sin y + e x sin y − e x y sin ydy

复变函数第6讲

第三章复变函数的积分
§1、复变函数积分的概念及计算方法
1. 积分的定义
有向曲线：规定了正方向的曲线c称为有向曲线。设曲线c的两个端点为A与B，如果把从A到B的方向作为c的正方向，那么从B到A的方向就是c的负方向，即为c—。简单闭曲线的正方向: 是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，临近P点的曲线内部始终位于P点的左方。
则称f (z)在C上可积，上述极限值 I为f (z)沿曲线
C从A B的积分,记作 C f (z)dz.
即有
n
C
f (z)dz lim 0 k 1
f (k )zk .
积分路径被积函数
如果C为闭曲线，那么沿此曲线的积分记作 f (z)dz。 c
2. 积分存在的条件及其计算方法
记：f (z) u(x, y) iv(x, y)，zk xk iyk ,
设c的弧长为L, 函数f (z)在c上满足 f (z) M, 则
c f (z)dz c f (z) ds ML, 其中s表示弧长。
此估计式是这样导出的：
n
n
c
f (z)dz
lim
0 k 1
f (k )zk
lim 0 k 1
f (k )
zk
n
由弧长曲线积分定义
lim 0 k 1
（2）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为
z z1 t(z2 z1),
(0 t 1)
（3）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z z1 t(z2 z1 ),
( t )
（4）以z0为中心,r为半径的正向圆周的参数方程.
z z0 rei ,
0 2 .
3. 积分的性质 1）线性性质

第三章复变函数积分

G
例3.8
计算积分
G
ez dz,
z
其中G 由正向圆周
y
z 2 和负向圆周 z 1 组成.
C1
解显然C1和C2围成一 ez
个圆环域. 函数 f ( z ) z
C2 o1
2x
在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界
构成复合闭路, 所以根据
如果C是闭曲线，经常记作 C f(z)dz.
当C是实轴上的区间 a , b , 方向从a到b, 并且
f ( z ) 为实值函数，那么这个积分就是定积分.
3.1.2 积分存在的条件及积分性质
定理3-1 设C是分段光滑(或可求长)的有向
曲线， f( z ) u ( x ,y ) i v ( x ,y )在C上连续，则
例3.7
计算积分
G
2 z
z
2
1 z
d
z
,
其中G为包含圆周
z 1 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.
解显然函数 2z 1
f (z) z2 z 在复平面有两个奇点0和1, 并且G 包含了这两个奇点.
y
•
o1
•
x
G
在G内作两个互不包含也互不相交的正向
圆周C1和C2, 使得C1只包含奇点0,
奇点1.
li m 0(zz0)zz0.
例3.2
计算积分
C
(z
1 z0 )n1
dz
(n是整数),
其中C是圆周: zz0r(r0)
y
的正向. 解积分路径的参数方程为
z
z0 r
z z 0 rie( 0 2 π ), o
x
C
(z1z0)n1dz

复变函数第三章答案

I1 = ∫
C
� � 构成闭曲线（非简单），此时 C + 3, 2 可分解成两个简单闭曲线 2 MA2 和 3 AN 3 ，类似于上面的情
形，有
��
∫
∫
于是由复积分的曲线可加性
� 2 MA 2
� 3 AN 3
1 dz = 2π i ， z −1 1 dz = 2π i ， z −1
∫
�� C + 3,2
C
综上所述，
I1 = ∫
（ 2）当 n ≠ 1 时，
C
1 。 dz = k ⋅ ( ±2π i ) + ln 2 （ k = 0,1, 2,⋯ ） z −1
1 1 在 ℂ \{1} 内存在单值的原函数 ⋅ ( z − 1)1− n ，所以，由复积分的 n ( z − 1) 1− n
牛顿—莱布尼茨公式，
I = ∫ Im zd z = ∫
C
1 0
( Im a + Im( b − a) ⋅ t )(b − a ) d t
1 ⎛ ⎞ 1 = ( b − a ) ⎜ Im a + Im(b − a ) ⎟ = (b − a ) Im ( a + b ) 。 2 ⎝ ⎠ 2
3. 计算下列积分：
I1 = ∫
∫
在 C + 1, 0 上，所以
��
1 1 1 1 1 dz = ∫ �� ( − )dz = (2π i) = π ， 2 C + 1,0 1+ z 2i z −i z +i 2i 同理如果 C 仅围绕 i 按顺时针转一周，有 1 1 1 1 1 dz = ∫ �� ( − )dz = ( −2π i) = −π ， �� 2 ∫C +1,0 1+ z 2i C +1,0 z − i z + i 2i

复变函数与积分变换第3章复变函数的积分

23
如果将定理3.3的条件加强为“f ′(z)在D内连续”，则定理的证明就变得简单，事实上，设z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由f(z)在D内解析,可得
由f′(z)在D内连续，可知
均在D内连续，进而由Green公式可得
2021/7/30
24
其中是以C为边界的闭区域，再由定理3.1得单连通区域上的Cauchy积分定理还可进一步推广如下：
在闭圆
上连续，则
内解析，
2021/7/30
50
3.3.2解析函数的无穷可微性定理3.11（Cauchy导数公式）在定理3.9的假设条件下，则对任意正整数n和z∈D，有
2021/7/30
51
证只证明n=1的情形，一般情况可用数学归纳法完成．
使得
取Δz≠0,且使得
则由Cauchy积分公式可得
2021/7/30
26
定理3.5对于单连通区域D内解析的函数f(z)，由式(3.4)所定义的F(z)在 D内解析，并且
证明只需证明 z∈D，有F′(z)=f(z)即可．由f(z)在D内的连续性，对
ε>0，可取δ>0充分小，使得
,并且对
，有2021/7/30 Nhomakorabea27
设
，由于积分与路径无关，则
其中从z到z+Δz的积分路径可选择为直线段（图3.7）．
4
图3.1
2021/7/30
5
其中
．记λ为所有小弧段的弧长的最大者，当分点无限增多且λ→0
时，不论对C的分法如何，也不论对ξk的取法如何，和式Sn的极限都存在且等于J，则称f(z)沿C从A到B可积，而称J为f(z)沿C从A到B的积分，记为

第三章第一节复积分的概念及其简单性质

第三章复变函数的积分
第一节复积分的概念及其简单性质
第二节柯西积分定理第三节柯西积分公式及其推论第四节解析函数与调和函数
第九讲
第一节复积分的概念及其简单性质
1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题 3、基本性质
1.实例: 1.实例: 变力沿曲线 L : A → B , 实例所作的功，常力r 常力 r
M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ),L , M n −1 ( xn −1 , yn −1 )把 L分
成 n个有向小弧段 M i −1M i (i = 1, 2,L , n; M 0 = A,
M n = B). 设∆xi = xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 , 点
y
z
∫
=
C
1 dz n ( z − z0 )
⋅ z0
o
θ
r
x
i r
n −1
∫
2π
0
[cos(n − 1)θ − i sin(n − 1)θ ]dθ = 0;
n = 1, n ≠ 1.
2π i, 1 所以 ∫ dz = n +1 ( z − z0 ) 0, z − z0 = r
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
并且 z ′(t ) ≠ 0, α < t < β ,
如果 f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) 在 D 内处处连续,
那么 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 在 D 内均为连续函数,
设 ζ k = ξ k + iη k ,
因为 ∆zk = zk − zk −1 = xk + iyk − ( xk −1 + iyk −1 )

复变函数第三章1资料

线 C 的正向记为 C 或 C ，而负向记为C ．
复积分的定义
定义1 设C是复平面上连接a和b两点的有向曲线，其中a是起点，b是终点．函数f (z )定义在曲线C上,
分割：在C上，我们沿C的方向顺次插入有限个分点
a z0 , z1, z2 ,L zn1, zn b
把曲线C分成有限个小的有向弧段（方向与C的方向一致）（这一过程也称为对曲线的一个有向分割，记为T）．
是 f (z ) 在C上有界；若f (z ) 在曲线上连续，
则沿C可积等等.
根据复积分的定义，不难得到复积分的如下基本性质：设 f (z ) ，g (z )都在简单曲线C上连续，则有
复积分的性质
(1) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz; (k为常数)
详细证明：设复数
k (k ,k ), Δ zk Δ xk i Δ yk , f (z) u(x, y) iv(x, y)
n
n
则 :
f ( k ) Δ zk [u(k ,k ) iv(k ,k )](Δ xk i Δ yk )
k 1
k 1
n
n
[u(k ,k ) Δ xk v(k ,k ) Δ yk ] i [v(k ,k ) Δ xk u(k ,k ) Δ yk ]
k 1
k 1
两边再取极限，即:
C f (z) d z C u d x v d y iC vdx udy
2 化为对参数t的一元函数积分
设：曲线 C, z z(t), t [ , ],
代入积分式 [z(t)]z'(t)dt
此法主要思路是利用曲线的参数表示法，将自变量z 与函数 f 都表成 t. 只对t做积分.详细证明如下：