2020年1月浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷及答案
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试题AWord版含解析
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题 A · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2]1．【答案】B【解析】由交集定义可得：{}1,2MN =，故选B ．2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|12}x x -<< C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或2．【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式(1)(2)0x x +-≤的解是12x ≤≤－，故选A ． 3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79C ．79-D ．89-3．【答案】B【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=，故选B ． 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．【答案】A【解析】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)，在第一象限，故选A ．5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．，0)B ．0)C ．0)D ．0)5．【答案】C【解析】由2222211121x y x y ⇒－＝－＝，可得21a =，212b =，由22213+1=22c a b =+=，得c =，所以左焦点坐标为0).故选C ． 6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b，||+=a b ⋅=a b A ．12B ．1 CD ．26．【答案】A【解析】由||+=a b 2()6+=a b ，即2226+⋅+=a a b b ，又||1=a ，||2=b ，则12⋅=a b .所以本题答案为A ．7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．57．【答案】B【解析】如图，先根据约束条件画出可行域，当直线z =2x +y 过点A （2，﹣1）时，z 最大，最大值是3，故选B ．8．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是 A ．相交 B ．平行C ．异面D ．相交或异面8．【答案】D【解析】当A b ∈时，a 与b 相交；当A b ∉时，a 与b 异面.故答案为D. 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为A ．20x y +-=B ．20x y --=C ．20x y ++=D ．20x y -+=9．【答案】A【解析】由0x y -=可得直线斜率11k =，根据两直线垂直的关系得121k k ⋅=-，求得21k =-，再利用点斜式，可求得直线方程为1(0)2y x =--+，化简得20x y +-=，故选A. 10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．【答案】B【解析】由函数32()log (||1)f x x =-，可知函数()f x 是偶函数，排除C ，D ；定义域满足：10x ->，可得1x <-或1x >．当1x >时，32()log (||1)f x x =-是递增函数，排除A.故选B ．11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．【答案】B【解析】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件.若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如133a b ==，，从而333a b >>不成立.故选B ． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3C ．32π3D ．16π12．【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故22141148π32ππ()4π()48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=，故选C ． 13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．913．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，611||||a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d <>=-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C ． 14．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 14．【答案】B【解析】将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x = 2ππcos(2)sin 236x x =+-=-的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故A 错误，B 正确；令2πx k =，k ∈Z ，得π2k x =，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于点π(,0)2k ，k ∈Z 对称，故C 错误； 令π2π2x k =+，k ∈Z ，得ππ24k x =+，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于直线ππ24k x =+，k ∈Z 对称，故D 错误. 故选B ．15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13B C ．23D【解析】如图所示，取PC 中点为D ，连接,AD BD ，因为过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，所以α即为平面ABD.又因为PA AC =，所以PC AD ⊥，又PB BC =，所以PC BD ⊥，且AD BD D =，所以PC ⊥平面ABD ，所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠，因为2PC =，所以1PD =，所以1sin 3PD PAD PA ∠==，所以cos 3PAD ∠==，故选D ． 16．已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为 A ．13B ．23CD16．【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，∵点,A B 在椭圆22221x y a b +=上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，∴20122012y y y b x x x a -⋅=--，即22OM AB b k k a⋅=-，∴221tan1503b a==-=-，∴2213b a =，∴椭圆C的离心率为3e ===．故选D ． 17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a =A ．17B ．37C ．57D ．67【解析】数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a =，21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=，202067331167a a a ⨯+∴===．故选D ． 18．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4D．18．【答案】B【解析】设BD x =，BF y =，其中,(0,6)x y ∈，由题易得666x y -=， 所以6x y +=，则所求几何体的表面积为：212π6π62π2S xy =⨯⨯⨯⨯+236π2π36π2π()54π2x y xy +=++≤++⨯=+，当且仅当3x y ==，即3BD =时等号成立.故选B.非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________. 19．【答案】−1【解析】由两直线平行，得1a =－，在直线1:10l x y -+=上任取一点（0，1），到直线2:30l x y -+=的距离为d=.故答案为−1.20．函数0()(2)f x x =-的定义域为________.20．【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩，所以02x x ≥⎧⎨≠⎩，则定义域为[)()0,22,+∞，故答案为[)()0,22,+∞.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里． 21．【答案】84【解析】由题意画出图象：且AB =13里，BC =14里，AC =15里，在△ABC 中，由余弦定理得，cos B =2222AB BC AC AB BC +-⋅=22213141521314+-⨯⨯=513， 所以sin B=1213， 则该沙田的面积即△ABC 的面积S =12AB •BC •sin B =1121314213⨯⨯⨯=84．故答案为84． 22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则实数a 的值为________.22．【答案】13-【解析】不等式12|()|()f x g x ≤可化为：()()()212g x f x g x -≤≤，若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则min minmax max [()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩，当[]23x ∈，时，()21g x x =-的最大值为()22221g ==-； 当[]03x ∈，时，()223f x x x a =-+的最大值为()23323333f a a =-⨯+=+，最小值为()21121313f a a =-⨯+=-+，所以min min max max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩可化为231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩，解得1133a -≤≤-.故13a =-.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7())a b c a b c bc -++-=， （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若5a =，求b . 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由3(7( ))a b c a b c bc -++-=，可得22222()327a b c a b c bc bc ----+=＝，即222117a b c bc =+-，即222117b c a bc +-=，（3分） 由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式，可得sin A ==7分） 在ABC △中，由正弦定理可得sin sin b a B A =，所以5sin 275sin a B b A ===.（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过焦点(,0)2pF ，设直线AB 的方程为2p x my =+， 将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=， 所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程为24y x =.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，则直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程得2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-， 则有1113m k y =+，2213m k y =+，（6分） 因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.（9分） 因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92.（10分） 25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x x x f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）． 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数， 所以()()()2max 2211g x g m ==-+=，解得0m =．（2分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()12f x x x=+-， 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.（3分） 令31log t x =，因为[]3,9x ∈，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.（4分）令()221s t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()min 10s t s ==，所以20k ≤，即0k ≤，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．（6分） （Ⅲ）因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=，令e 1xq =-，由题意可知[0,)q ∈+∞，令()()23221H q q k q k =-+++，[0,)q ∈+∞，（7分）则函数()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点，（8分）当0q =时12k =-，此时方程()100,2H q q q =⇒==，此时关于x 的方程有三个零点，符合题意； 当0q ≠时，记方程()0H q =的两根为1q ，2q ，且12q q <，101q <<，21q ≥，所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩，解得0k >.综上，实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-．（11分）。
浙江省2020年1月普通高等学校招生全国统一考试(附答案)
2020年1月普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)英语选择题部分第一部分听力（共两节, 满分30分）做题时,先将答案标在试卷上。
录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节（共5小题; 每小题1.5分, 满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where does the conversation probably take place?A. At a zoo.B. In a library.C. In a drugstore.2. What will the man do next?A. Change some money.B. Take the food home.C. Sit and eat his meal.3. What does the woman suggest?A. Buying a computerB. Hiring an assistant.C. Starting a business.4. What are the speakers talking about?A. The weather.B. The scenery.C. The traffic.5. When did the man see the film?A. On Wednesday.B. On Thursday.C. On Saturday.第二节（共15小题; 每小题1.5分, 满分22.5分）听下面5段对话或独白每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题, 每小题5秒钟;听完后,各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A(附解析)
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A （附解析）选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2] 2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|12}x x -<<C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或 3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．(−2，0) B ．(−2，0) C ．(−20) D ．0)6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，||+=a b ⋅=a bA ．12B ．1 CD ．2 7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．58．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是 A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．相交或异面 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为A ．20x y +-=B ．20x y --=C ．20x y ++=D ．20x y -+= 10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3 C ．32π3D ．16π 13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．914．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13 B C ．23 D16．已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为A ．13 B ．23 CD17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a = A ．17 B ．37 C ．57 D ．6718．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4 D．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________.20．函数0()(2)f x x =-的定义域为________.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里．22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得1|()|f x ≤2()g x 成立，则实数a 的值为________. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7( ))a b c a b c bc -++-=，（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若5a =，求b .24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）．2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真卷A （解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2] 1．【答案】B【解析】由交集定义可得：{}1,2MN =，故选B ．2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A ．{|12}x x -≤≤B ．{|12}x x -<<C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或 2．【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式(1)(2)0x x +-≤的解是12x ≤≤－，故选A ．3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 3．【答案】B【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=，故选B ． 4．圆224210x y x y +--+=的圆心在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．【答案】A【解析】化简224210x y x y +--+=得到22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)，在第一象限，故选A ．5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．，0)B ．，0)C ．0)D ．0) 5．【答案】C【解析】由2222211121x y x y ⇒－＝－＝，可得21a =，212b =，由22213+1=22c a b =+=，得c =0).故选C ．6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，||+=a b ，则⋅=a bA ．12B ．1 CD ．2 6．【答案】A【解析】由||+=a b 2()6+=a b ，即2226+⋅+=a a b b ，又||1=a ，||2=b ，则12⋅=a b .所以本题答案为A ． 7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．5 7．【答案】B【解析】如图，先根据约束条件画出可行域，当直线z =2x +y 过点A （2，﹣1）时，z 最大，最大值是3，故选B ． 8．若平面α和直线a ，b 满足aA α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面 8．【答案】D【解析】当A b ∈时，a 与b 相交；当A b ∉时，a 与b 异面.故答案为D. 9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++= D ．20x y -+= 9．【答案】A【解析】由0x y -=可得直线斜率11k =，根据两直线垂直的关系得121k k ⋅=-，求得21k =-，再利用点斜式，可求得直线方程为1(0)2y x =--+，化简得20x y +-=，故选A.10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．【答案】B【解析】由函数32()log (||1)f x x =-，可知函数()f x 是偶函数，排除C ，D ；定义域满足：10x ->，可得1x <-或1x >．当1x >时，32()log (||1)f x x =-是递增函数，排除A.故选B ．11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．【答案】B【解析】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件.若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如133a b ==，，从而333a b >>不成立.故选B ．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3 C ．32π3D ．16π 12．【答案】C【解析】该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体，故22141148π32ππ()4π()48π2223233V =⋅⨯+⨯⋅⨯=+=，故选C ． 13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．9 13．【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，611||||a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d <>=-=-，有2[(8)64]2n dS n =--，所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C ． 14．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 14．【答案】B【解析】将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x = 2ππcos(2)sin 236x x =+-=-的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故A 错误，B 正确；令2πx k =，k ∈Z ，得π2k x =，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于点π(,0)2k ，k ∈Z 对称，故C 错误；令π2π2x k =+，k ∈Z ，得ππ24k x =+，k ∈Z ，则函数()g x 的图象关于直线ππ24k x =+，k ∈Z 对称，故D 错误.故选B ．15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13 B C ．23 D 15．【答案】D【解析】如图所示，取PC 中点为D ，连接,AD BD ，因为过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，所以α即为平面ABD .又因为PA AC =，所以PC AD ⊥，又PB BC =，所以PC BD ⊥，且ADBD D =，所以PC ⊥平面ABD ，所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠，因为2PC =，所以1PD =，所以1sin 3PD PAD PA ∠==，所以cos PAD ∠==D ．16．已知直线10x -+=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为A ．13 B ．23 CD16．【答案】D【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，∵点,A B 在椭圆22221x y a b +=上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，∴20122012y y y b x x x a -⋅=--，即22OM AB b k k a⋅=-，∴221tan1503b a ==-=-，∴2213b a =，∴椭圆C的离心率为e ===D ． 17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a =A ．17 B ．37 C ．57 D ．6717．【答案】D【解析】数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a =，21324653362121,21,2,77777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=，202067331167a a a ⨯+∴===．故选D ．18．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4D ．18．【答案】B【解析】设BD x =，BF y =，其中,(0,6)x y ∈，由题易得666x y -=，所以6x y +=，则所求几何体的表面积为：212π6π62π2S xy =⨯⨯⨯+⨯+236π2π36π2π()54π2x y xy +=++≤++⨯=+，当且仅当3x y ==，即3BD =时等号成立.故选B.非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________.19．【答案】−1【解析】由两直线平行，得1a =－，在直线1:10l x y -+=上任取一点（0，1），到直线2:30l x y -+=的距离为.故答案为−1.20．函数0()(2)f x x =+-的定义域为________. 20．【答案】[)()0,22,+∞【解析】因为21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩，所以02x x ≥⎧⎨≠⎩，则定义域为[)()0,22,+∞，故答案为[)()0,22,+∞.21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里． 21．【答案】84【解析】由题意画出图象：且AB =13里，BC =14里，AC =15里，在△ABC 中，由余弦定理得，cos B =2222AB BC AC AB BC +-⋅=22213141521314+-⨯⨯=513，所以sin B =1213，则该沙田的面积即△ABC 的面积S =12AB •BC •sin B =1121314213⨯⨯⨯=84．故答案为84．22．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则实数a 的值为________.22．【答案】13-【解析】不等式12|()|()f x g x ≤可化为：()()()212g x f x g x -≤≤，若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则min minmax max [()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩， 当[]23x ∈，时，()21g x x =-的最大值为()22221g ==-； 当[]03x ∈，时，()223f x x x a =-+的最大值为()23323333f a a =-⨯+=+，最小值为()21121313f a a =-⨯+=-+，所以min min max max[()]()()()g x f x f x g x -≤⎧⎨≤⎩可化为231332a a -≤-⎧⎨+≤⎩，解得1133a -≤≤-.故13a =-.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7( ))a b c a b c bc -++-=，（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若5a =，求b . 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由3(7())a b c a b c bc -++-=，可得22222()327a b c a b c bc bc ----+=＝，即222117a b c bc =+-，即222117b c a bc +-=，（3分） 由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式，可得sin A ==7分）在ABC △中，由正弦定理可得sin sin b a B A =，所以sin 7sin a B b A ===.（10分）24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过焦点(,0)2p F ，设直线AB 的方程为2p x my =+， 将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程为24y x =.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，则直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程得2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+，（6分） 因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.（9分）因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92.（10分） 25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x xx f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）． 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数，所以()()()2max 2211g x g m ==-+=，解得0m =．（2分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()12f x x x=+-， 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.（3分） 令31log t x =，因为[]3,9x ∈，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.（4分）令()221s t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()min 10s t s ==， 所以20k ≤，即0k ≤，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．（6分）（Ⅲ）因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=， 令e 1x q =-，由题意可知[0,)q ∈+∞，令()()23221H q q k q k =-+++，[0,)q ∈+∞，（7分）则函数()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点，（8分） 当0q =时12k =-，此时方程()100,2H q q q =⇒==，此时关于x 的方程有三个零点，符合题意；当0q ≠时，记方程()0H q =的两根为1q ，2q ，且12q q <，101q <<，21q ≥，所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩，解得0k >. 综上，实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-．（11分）。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试卷B 含答案
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题B · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则A B =I A ．{|13}x x << B ．{|03}x x << C ．{3} D ．{1,2,3}1．【答案】C【解析】易得{}{}2602,3B x x x =--==-，{}{}*05,1,2,3,4A x x x =<<∈=N ，所以{}{}{}1,2,3,42,33A B =-=I I .故选C ． 2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件2．【答案】B【解析】当1a =，5b =时，5a b +>，但不满足23a b >⎧⎨>⎩，故不是充分条件； 由不等式的性质可知， 由23a b >⎧⎨>⎩可得235a b +>+=，故是必要条件.故选B ．3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -=A ．−1B ．0C ．1D ．33．【答案】B【解析】因为()()111f -=--=，所以()()()110f f f -===，故选B ．4．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4B ．C ．D ．4．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为24a =.故选A.5．若函数π()sin()6f x xω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω=A．5 B．10 C．15 D．205．【答案】B【解析】根据周期公式2π||Tω=以及0>ω得2π10π5ω==，故选B．6．设120202019a=，2019log2020b=，20201log2019c=，则A．c b a>>B．b c a>>C．a b c>>D．a c b>>6．【答案】C【解析】120200201901912a>==Q，20192019log2020log201910b<<==，202020201log log102019c=<=，∴a b c>>，故选C．7．满足|1||1|1x y-+-≤的图形面积为A．1B．2C．2D．47．【答案】C【解析】由题意，可得3,1,11,1,11111,1,11,1,1x y x yx y x yx yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥<⎪-+-≤⇒⎨+≥<<⎪⎪-≥-<≥⎩，画出对应的平面区域，如图所示，其中四边形ABCD为正方形，因为2AB=222ABCDS=四边形，即111x y-+-≤所表示的图形的面积为2.故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6B ．4π3C ．2πD ．13π68．【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥，所以该几何体的体积为22111π7ππ12π11π22366V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选A ． 9．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11C ．−6D ．−59．【答案】C【解析】因为数列1{}1n a +是等差数列，所以公差4111111412541310a a d -===---++，所以111114111010()115105d a a =+=+⨯-=-++，解得116a =-，故选C ． 10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bA 7B ．22C ．3D 1010．【答案】D【解析】由题得()3,0,1+=-a b ，则22230(1)+=++-a b 10D ．11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a b ∥，则下列结论不可能成立的是A ．b β⊄，且b α∥B ．b α⊄，且b β∥C ．b α∥，且b β∥D ．b 与α、β都相交11．【答案】D【解析】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，令平面ABCD 为平面α，平面11D DCC 为平面β，则CD 为直线a ，a b Q ∥，∴不妨设11A B 为直线b ，11,A B AB AB ⊂Q ∥平面11,ABCD A B ⊄平面ABCD ，11A B ∴∥平面ABCD ，b β∴⊄且b α∥，即A项成立；同理满足b α⊄，且b β∥，即B 项成立；111111,A B C D C D ⊂Q ∥平面11CDD C ，11A B ⊄平面11CDD C ，11A B ∴∥平面11CDD C ，即b β∥，b α∴∥，且b β∥成立，即C 选项成立.故排除A ，B ，C ．对于D ，若a b ∥，且a αβ=I ，则b α∥或b α⊂， 所以b 不可能与α相交，同理，b 不可能与β相交，故D 不可能成立. 故选D ．12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为27C 的方程为A ．22(2)9x y ++=B ．22(2)9x y -+=C ．22(1)6x y ++=D ．22(1)6x y -+=12．【答案】B【解析】由题意，设圆心坐标为(,0)C a （0a >），因为5)M 在圆C 上，所以圆的半径为25r a +，又圆心(,0)C a 到直线y x =的距离为0222a d a -==，且圆C 被直线y x =截得的弦长为7222221175522r d a a a =-=+-=+，解得2a =，所以253r a =+=，因此，所求圆的方程为22(2)9x y -+=.故选B ．13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π 13．【答案】C【解析】由||||2||+=-=a b a b a 得：|0|||+=-⇒⋅=a b a b a b ，又||2||+=a b a ，所以向量+a b与a 的夹角θ满足2222()+||1cos ==||||2||2||2θ+⋅⋅==+⋅a b a a a b a a b a a a ，解得π3θ=，故选C ．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为 A ．2 B ．3C ．4D ．514．【答案】C【解析】由sin cos 3sin cos A C C A =，及正弦定理得cos 3cos a C c A =，由余弦定理得，222222322a b cb c a a c ab bc+-+-⋅=⋅，即2222223()a b c b c a +-=+-， 又222a c b -=，所以2223(2)b b b b +=-，即24b b =，又0b >，所以4b =.故选C ．15．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．1215．【答案】C【解析】画出254y x x =-+与y kx =的图象如下图所示：()()[]22254,,14,5454,1,4x x x y x x x x x ⎧-+∈-∞+∞⎪=-+=⎨-+-∈⎪⎩U ， 由()254f x x x kx =-+-有三个零点，得当[]1,4x ∈时方程2540x x kx -+--=在区间[]1,4内有两个相等的实根，所以()25160k ∆=--=，得9k =或1k =， 若9k =，2x =-，舍去；若1k =，2x =满足条件，所以22x =；当()(),14,x ∈-∞+∞U 时，2540x x kx -+-=的两根之积为4，所以134x x =， 所以1238x x x =，故选C ．16．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是A ．1(,][2,)3-∞-+∞U B ．11(,][,)34-∞-+∞U C ．11(,][,)49-∞+∞U D ．19(,][,)34-∞-+∞U16．【答案】D【解析】问题条件的反面为“若存在实数a ，对任意实数2[]1,2x ∈使得不等式()f x x <成立”，即1[,2],1 1.2bx x a x∀∈-<++<只要()=b g x x x +在2[]1,2x ∈上的最大值与最小值之差小于2即可. 当4b ≥时，1()(2)2,2g g -<得b ∈∅；当144b <<时,g(2)21()22g ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，得1944b <<；当1111(2)()2,4234b g g b ≤-<-<≤时，得.所以1934b -<<. 综上可得，所求实数b 的取值范围是19(,][,)34-∞-+∞U ，故选D ．17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，||||FA FB -=u u u r u u u r ，则FA FB ⋅u u u r u u u r 为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-17．【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ==， 由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r 得22121212124,4,44y y x x y y y y +=-⋅+=-221212128,444y y y y x x ∴=-=⋅=，因为FA FB -=u u u r u u u r=结合2114y x =，2224y x =，得1212(1)(1)x x x x +-+=-=因此2212121212()()4481664,8x x x x x x x x +=-+=+=∴+=，从而1122121212(1,)(1,)()1488111FA FB x y x y x x y y x x =-⋅-=+-++=-⋅-+=-u u u r u u u r，故选A ．18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥18．【答案】B【解析】如图，DEF △绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，πE FK EFE ∠=-∠''，πE OE α=-∠'，当180α≠o 且0α≠o 时，OEE '△与等腰FEE '△中，EE '为公共边，且FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠''，E FK α∴∠'>.当180α=o 时，E FK α∠'=， 当0α=o 时，E FK α∠'>， 综上，E FK α∠'≥，即EFK α∠≥.C 、D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，由图可知即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证：当0α=o 时，E DK α∠'>，当180α=o 时，E DK α∠'<，∴C 、D 都不正确. 故选B ．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______. 19．【答案】12;45【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=，22tan 14sin 211tan 514a a a ===++，所以1tan 2a =，4sin 25a =.20．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______. 20．【答案】1或−3【解析】因为l 1⊥l 2，所以k ·（k ﹣1）+（1﹣k ）·（2k +3）＝0，解得 k ＝1或k ＝﹣3，故答案为1或﹣3. 21．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______. 21．【答案】92【解析】∵∥a b ，∴420n m --=，即24n m +=，∵0m >，0n >，∴18118(2)4n m m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭116104n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19(1042≥+=，当且仅当843n m ==时取等号， ∴18m n +的最小值是92．故答案为92． 22．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______. 22．【答案】8【解析】对1340n n a a ++-=变形得：13(1)(1)n n a a +-=--，即11113n n a a +-=--，故可以分析得到数列{1}n a -是首项为12，公比为13-的等比数列.所以11112()3n n a --=⨯-，1112()13n n a -=⨯-+，所以112[1()]1399()131()3n n n S n n --=+=-⨯-+--，故119|9()|31000nn S n --=-⨯->，解得最大正整数8n =. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为5sin 7sin c B a C =，所以5757cb ac b a =⇒=， 又2b c a +=，所以73,255b ac a b a ==-=.（3分） 所以22222237()()155cos 32225a a a a cb B a aca +-+-===-⋅⋅.（5分）（Ⅱ）因为0πB <<，1cos 2B =-，所以2π3B =.（6分） 所以1()sin()22π3f x x =+≥23ππ5π2π2π,66k x k k ⇒+≤+≤+∈Z ，（8分） 解得x ∈ππ[2π,2π]26k k -+，k ∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距为4，所以c ＝2，则左焦点为F 1（﹣2，0），右焦点为F 2（2，0），所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，所以2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝5+3＝8，即4a =，（2分） 所以b 2=a 2−c 2=12，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（4分）（Ⅱ）设PA ：1(2)3y k x =-+，则r =，所以2221(4)0r k r -+=；设PB ：2(2)3y k x =-+，则r =2222(4)0r k r -+=，所以1k ，2k 为方程222(4)0r k r -+=的两根，即120k k +=．（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立122(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()()2222111113416241648120k x k k x k k +--+--=，2111211624234k k x k -+=+，221111122111624824623434k k k k x k k ---=-=++．同理联立222(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：211221824634k k x k +-=+，（8分） 则()121121211121212124434148234ABk k x k y k k x x x y k k x x -++-+====--+．故直线AB 的斜率是定值，且定值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）当1a =时，()21log (1)f x x=+， 因为[1,)x ∈+∞，所以(]111,2x +∈，则()(]21log (1)0,1f x x=+∈， 所以()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域为(]0,1.（3分） （Ⅱ）依题意对任意[]2,4t ∈，[]1,1x t t ∈-+，10a x+>恒成立， 所以101a t +>+在[]2,4t ∈时恒成立，则15a >-.（5分） 对任意[]2,4t ∈，函数()f x 在区间[]1,1t t -+上单调递减， 由已知[]12,1,1x x t t ∈-+，均有()()122f x f x -≤， 所以2211log ()log ()211a a t t +-+≤-+在[]2,4t ∈时恒成立，即214533111t a t t t -≥-=-+-在[]2,4t ∈时恒成立.（7分） ①当0a ≥，[]2,4t ∈时，25301t t -<-，则0a ≥符合题意.（8分） ②当105a -<<时，25331t a t -≥-在[]2,4t ∈时恒成立，则215(1)03t t a a+-+≤在[]2,4t ∈时恒成立， 令()215(1)3g t t t a a =+-+，所以()()1230,374150,310,5g a g a a ⎧=+≤⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩则109a -≤<.（10分） 由①、②可得a 的取值范围为19a ≥-.（11分）。
浙江省2020年1月普通高校招生学业水平考试数学试题(5页)
浙江省2020年1月普通高校招生学业水平考试数学试题数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1.已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =U （ ） A. {}4B. {}1,6C. {}2,4D. {}1,2,4,62.()tan a π-=（ ） A. tan a -B. tan aC. tan a ±D.1tan a3.66log 2log 3+=（ ） A. 0B. 1C. 6log 5D. 12log 54.圆22280x y x ++-=的半径是（ ）A 2 B. 3 C. 6 D. 95.不等式12x -<（ ） A. {}13x x -<<B. {}13x x <<C. {1x x <-或}3x >D. {1x x <或}3x >6.椭圆221259x y +=的焦点坐标是（ ）A. ()5,0-，()5,0B. ()0,5-，()0,5C. ()4,0-，()4,0D. ()0,4-，()0,47.若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48.直线平面，，那么过点且平行于直线a 的直线 （ ）A. 只有一条，不平面内B. 有无数条，不一定在内C. 只有一条，且在平面内D. 有无数条，一定在内9.过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（ ） A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 270x y -+=D. 270x y --=10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（ ） A. 1B. C. 2D.11.函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（ ） A.B.CD.12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 13B. 23C. 1D. 213.设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.14.设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率是（ ）15.点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A.B. C.D.16.设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（ ） A. 7B. 9C. 12D. 1417.设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2xy =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅u u u r u u u r ，2I BP BA =⋅u u u r u u u r.（ ） A 若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u rB. 若12I I =，则AP BQ =u u u r u u u rC. 若()PQ AB R λλ=∈u u u r u u u r，则12I I =D. 若AP BQ =u u u r u u u r，则12I I =18.如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O e 上的动点，BB '是O e 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ）的.A.56π B.23π C. 2πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若22a =，34a =，则1a =______，4S =______.20.设u r，v r 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-r ，()2,4,v m =--r .若a β∥，则实数m =______.21.在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.22.已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R（Ⅰ）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.24.如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）；（Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试题C 解析版
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题C · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,4,6}A =，{4,5}B =，则()UA B =A ．{4}B ．{5}C ．{3,5}D ．{3,4,5}1．【答案】D 【解析】由已知得={35}UA ，，所以()={345}U A B ，，，故选D ．2．函数ln(1)()x f x x+=的定义域为 A ．（–1，+∞） B ．（–1，0）C ．（0，+∞）D ．（–1，0）∪（0，+∞）2．【答案】D【解析】由题可知100x x +>⎧⎨≠⎩，1x x >-⎧∴⎨≠⎩，()()1,00,x ∴∈-+∞，故选D.3．已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，若λ=a b （λ∈R ），则m = A ．−2 B ．12-C ．12D ．23．【答案】C【解析】∵向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，λ=a b （λ∈R ），∴()12-，＝λ()1m -，，∴12m λλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，故选C ．4．在等比数列{}n a 中，1352,12a a a =+＝，则7a = A ．8 B ．10 C ．14 D ．164．【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，由3512a a +=，可得241112a q a q +=，又12a =，所以4260q q +-=，化简得22(3)(2)0q q +-=，所以22q =，所以671a a q =32216=⨯=.故选D.5．函数22()1xf x x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．5．【答案】A【解析】∵函数f （x ）221xx=-，∴当x (01)∈，时，f （x ）>0，故D 错误； x >1时，f （x ）<0恒成立，故B 和C 错误． 由排除法得正确选项是A ．6．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为 A ．1- B ．4C ．4或16-D ．16-6．【答案】C【解析】两条平行线之间的距离为22662534a a d ----===+，故4a =或16a =-，故选C ．7．若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．0B ．2C ．4D ．67．【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ． 8．若7sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ= A ．2425 B ．1225 C ．2425± D ．2425-8．【答案】B【解析】由7sin cos 5θθ+=两边平方得2249sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即4912sin cos 25θθ+=，解得12sin cos 25θθ=.故选B ． 9．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>分别过点(2,0)A 和(0,1)B -，则该椭圆的焦距为A B ．C D ．9．【答案】B【解析】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c ==2c =故选B. 10．已知两条不同的直线a ，b 和一个平面α，则使得“a b ∥”成立的一个必要条件是A ．a α∥且b α∥B ．a α∥且b α⊂C ．a α⊥且b α⊥D ．a ，b 与α所成角相同10．【答案】D【解析】若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故A 错误； 若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故B 错误； 若a b ∥，a α⊥且b α⊥不一定成立，故C 错误； 若a b ∥，则a ，b 与α所成角相同，故D 正确. 故选D ．11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若π4A =，a =，b =，则ABC △的面积等于A ．12或32B ．12C ．2D ．3211．【答案】D【解析】利用余弦定理得到：22222cos ,522,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去），∴13sin 22ABC S bc A ==△.故选D. 12．在正三棱锥P ABC -中，4,PA AB ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为A ．14BC ．18D12．【答案】B【解析】连接P 与底面正△ABC 的中心O ，因为P ABC -是正三棱锥，所以PO ⊥平面ABC ，所以PAO ∠为侧棱PA 与底面ABC 所成角，因为4,PA AB ==2132cos 44AO PAO PA ∠===，所以sin PAO ∠=，故选B ．13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30︒的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为(0,)b ，则该双曲线的离心率为ABCD13．【答案】A【解析】由题意设直线l的方程为)y x c =+，令0x =，得y =b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，所以2e ==.故选A. 14．设函数21()lg ||1f x x x=-+，则使得5(log )0f m ≥成立的m 的取值范围是 A ．1[,5]5B ．1(0,][5,)5+∞ C ．1(,][5,)5-∞+∞ D ．1(,0][,5)5-∞14．【答案】B【解析】由函数()f x 的解析式可得：函数()f x 的定义域为{|0},x x ≠又()()f x f x =-，则函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()lg 1f x x x=-+，易得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又(1)0f =，所以5(log )0f m ≥等价于5(|log |)(1)f m f ≥，即5log 1m ≥，即1(0,][5,)5m ∈+∞，故选B ．15．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是A ．2π(3)4a - B ．2π(6)2a -C ．2π(6)4a -D ．23π(6)4a -15．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为22222π1π334π(6)4()84a S a a a a =+-+⨯=-.故选C.16．等差数列{}n a 中，公差0d ≠，当1()n n *>∈N 时，下列关系式正确的是A ．112n n a a a a +>B ．112n n a a a a +<C ．112n n a a a a +=D ．112n n a a a a +≥16．【答案】B【解析】设()11n a a n d +-=，因为()2111111n a a a a nd a na d +=+=+，()()()()222111111n a a a d a n d a na d n d =++-=++-，所以()21121n n a a a a n d +-=--，又因为1,0n d >≠，所以1120n n a a a a +-<，所以112n n a a a a +<.故选B ． 17．若函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，则实数a 的取值范围是A ．332a -≤< B ．31a -≤< C ．332a a ≥<-或 D ．13a a ≥<-或 17．【答案】A【解析】因为函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，所以方程|2||21|x x ax -+-=无实根，即函数()|2 |21g x x x =-+-与()h x ax =的图象无交点，如图所示，则()h x 的斜率a 应满足332a -≤<，故选A.18．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，四面体11M B C N -的体积为V ，则 A ．32V a =B ．32V a >C ．32V a =D ．32V a <18．【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，如图所示：点1B 到平面1MNC 的距离1112d B D =2，且MN a =，所以1211122MNC S MN CC a =⋅=△，所以三棱锥11B C MN -的体积11B C NM V -＝12311122332MNC a S d a ⨯⨯=⨯=△，利用等体积法得11113212M B C N B C NM V V a --==.故选C ． 非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知||2=a ，||4=b ，a 与b 的夹角为120︒，则⋅=a b _________，||+=a b ________. 19．【答案】4-；23【解析】由题得24cos1204⋅=⨯⨯=-a b ；+===a b故答案为4-；20．若22log log1m n+=，那么m n+的最小值是________.20．【答案】【解析】22log log1m n+=，即2log1mn=，2mn∴=，由基本不等式可得m n+≥=m n==时，等号成立，故m n+的最小值是21．已知0a>且1a≠，设函数2,3()2log,3ax xf xx x-≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a的取值范围是________. 21．【答案】1[,1)3【解析】由题意知，函数()y f x=在(],3-∞上单调递增，且()31f=，由于函数()2,32log,3ax xf xx x-≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()2log af x x=+在()3,+∞上单调递减且2log31a+≤，则有012log31aa<<⎧⎨+≤⎩，即01log31aa<<⎧⎨≤-⎩，解得113a≤<，因此，实数a的取值范围是1[,1)3，故答案为1[,1)3.22．在数列{}n a中，已知11a=，2211n n n nn a S n a S---=-*(2,)n n≥∈N，记2nnabn=，nT为数列{}nb的前n项和，则2021T=________.22．【答案】20211011【解析】由22*11(2,)n n n nn a S n a S n n---=-≥∈N得()2211n n n nn a S S n a----=，∴()2211n nn a n a--=，∴111n na a nn n n-=⨯-+，令nnacn=，则11n nnc cn-=⨯+，∴11nnc nc n-=+，由累乘法得121ncc n=+，∴21ncn=+，∴21nan n=+，∴21nnan=+，∴22112(1)1nnabn n n n n⎛⎫===⨯-⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数2()22cos 1f x x x =+-． （Ⅰ）求5π()12f 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调增区间． 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-，所以25π5π5π())2cos ()1121212f =⨯+- 5π5π)cos(2)1212=⨯+⨯（3分） 5π5πcos 66=+0=.（5分）（Ⅱ）2()22cos 12cos π2sin 62(2)f x x x x x x =+++=-=，（7分）所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（8分） 令πππ2π22π+()262k x k k -≤+≤∈Z ，解得ππππ+()36k x k k -≤≤∈Z ， 所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k -∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，求sin QMN ∠的最小值. 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意得抛物线的准线方程为2py =-， 点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3，232p∴+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（3分）（Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+， 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x ky --=，（5分） 所以124x x k +=，124x x ⋅=-， 所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()22,21k k +，（7分）因为21244AB y y p k =++=+， 所以圆Q 的半径为222r k =+.（8分）在等腰QMN △中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号. 所以sin QMN ∠的最小值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知关于x 的函数2()2f x x kx =--，x ∈R . （Ⅰ）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数k 的值；（Ⅱ）若函数()(21)x g x f =-，当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若函数2()()|1|2h x f x x =+-+，且函数()h x 在(0,2)上有两个不同的零点1x ，2x ，求证：12114x x +<. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，即2222x kx x kx +-=--对x ∈R 都成立，0k ∴=.（2分）（Ⅱ）当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈，()()2212120xx k ∴----≤在2(]0,x ∈时恒成立等价于2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，（4分） 又227333u u -≤-=，73k ∴≥， k ∴的取值范围是7[,)3+∞.（6分）（Ⅲ）不妨设1202x x <<<， 因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩所以()f x 在()0,1上至多有一个零点， 若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾. 因此12012x x <<≤<；（8分） 由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<.（11分）。
2020年1月浙江省普通高校招生学业水平考试数学试题
四、解答题
23．已知函数 ，
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最小正周期；
（Ⅲ）求 在 上的值域.
24．如图，设抛物线 与 的公共点 的横坐标为 ，过 且与 相切的直线交 于另一点 ，过 且与 相切的直线交 于另一点 ，记 为 的面积.
因而当经过点 时,目标函数的截距最大
此时
所以 的最大值是
故选:D
【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题.
8．B
【分析】
通过假设过点 且平行于 的直线有两条 与 ，由平行公理可得 ，这与 矛盾..
【详解】
假设过点P且平行于 的直线有两条 与 ，∴ 且 ，
由平行公理得 ，这与两条直线 与 相交与点 相矛盾.
A． B． C． D．
16．设数列 满足 ， ， ， ，则满足 的 的最大值是（）
A．7B．9C．12D．14
17．设点 ， 的坐标分别为 ， ， ， 分别是曲线 和 上的动点，记 ， .（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
18．如图，在圆锥 中， ， 是 上的动点， 是 的直径， ， 是 的两个三等分点， ，记二面角 ， 的平面角分别为 ， ，若 ，则 的最大值是（）
11．A
【分析】
根据函数的奇偶性及特殊值，可判断函数的图象．
【详解】
对于 ，
因为 为偶函数， 为奇函数，所以 为奇函数，
所以排除C，D，
当 时， ， ，
所以 ，所以排除B选项．
故选：A.
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，利用函数的奇偶性、单调性和特殊值，可排除选项，属于基础题．
2020年浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷(1月份) (解析版)
2020年普通高校招生学业水平考试数学试卷一、选择题（共18小题）.1．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{4}B．{1，6}C．{2，4}D．{1，2，4，6} 2．tan（π﹣α）＝（）A．﹣tanαB．tanαC．±tanαD．3．log62+log63＝（）A．0B．1C．log65D．log1254．圆x2+y2+2x﹣8＝0的半径是（）A．2B．3C．6D．95．不等式|x﹣1|＜2的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|x＜1或x＞3}6．椭圆+＝1的焦点坐标是（）A．（﹣5，0），（5，0）B．（0，﹣5），（0，5）C．（﹣4，0），（4，0）D．（0，﹣4），（0，4）7．若实数x，y满足不等式组则x+2y的最大值是（）A．1B．2C．3D．48．已知直线l∥平面α，点P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（）A．只有一条，且在α内B．有无数条，一定在α内C．只有一条，不在α内D．有无数条，一定不在α内9．过点A（3，﹣1）且与直线x+2y﹣3＝0垂直的直线方程是（）A．x+2y+1＝0B．x+2y﹣1＝0C．2x﹣y+7＝0D．2x﹣y﹣7＝0 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝（）A．1B．C．2D．11．函数f（x）＝|x|•sin x的图象大致是（）A．B．C．D．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．1D．213．设a，b∈R，则“a+b＞0”是“a3+b3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点．若双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝4|PF2|，且∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．15．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，点O、P的距离（y）与点P走过的路程（x）的函数关系如图所示．那么点P所走过的图形是图中的（）A．B．C．D．16．设数列{a n}满足a1＝1，a2n＝a2n﹣1+2，a2n+1＝a2n﹣1，n∈N*，则满足|a n﹣n|≤4的n的最大值是（）A．7B．9C．12D．1417．设点A，B的坐标分别为（0，1），（1，0），P，Q分别是曲线y＝2x和y＝log2x上的动点，记I1＝•，I2＝•（）A．若I1＝I2，则＝λ（λ∈R）B．若I1＝I2，则||＝||C．若＝（λ∈R），则I1＝I2D．若||＝||，则I1＝I218．如图，在圆锥SO中，A，B是⊙O上的动点，BB'是⊙O的直径，M，N是SB的两个三等分点，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），记二面角N﹣OA﹣B，M﹣AB'﹣B的平面角分别为α，β，若α≤β，则θ的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），若a2＝2，a3＝4，则a1＝，S4＝．20．设，分别是平面α，β的法向量，＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，m）．若α∥β，则实数m＝．21．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角△ABC中，AD为斜边BC上的高，AB＝3，AC＝4，现将△ABD 沿AD翻折△AB'D，使得四面体AB'CD为一个鳖臑，则直线B'D与平面ADC所成角的余弦值是．22．已知函数f（x）＝|x2+ax﹣2|﹣6．若存在a∈R，使得f（x）在[2，b]上恰有两个零点，则实数b的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共31分。
2020年普通高等学校招生统一考试数学真题(浙江卷)(含详解答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（ ） A. {|12}x x <≤ B. {|23}x x << C. {|34}x x ≤<D. {|14}<<x x2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A. 1B. –1C. 2D. –23.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =2x +y 的取值范围是（ ）A. (,4]-∞B. [4,)+∞C. [5,)+∞D. (,)-∞+∞4.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A.73B.143C. 3D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知等差数列{a n }前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a 4=a 2+a 6B. 2b 4=b 2+b 6C. 2428a a a = D. 2428b b b =8.已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y=则|OP |=（ ）A.B.C.D.9.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ） A. a <0B. a >0C. b <0D. b >010.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确是（ ）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.11.已知数列{a n }满足(1)=2n n n a +，则S 3=________． 12.设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________． 13.已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______．14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．15.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．17.设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．的三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c，且2sin b A =． （I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 取值范围．19.如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与a n 的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+．的的21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22.已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．参考答案1.B 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B2.C 【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C3.B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B4.A 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；.且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.5.A 【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A6.B 【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线， 当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B7.D 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D8.D 【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.9.C 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C10.A 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排的除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .11.10【详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 12. (1). 80 (2). 122【详解】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；122 13. (1).35 (2). 13【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-14.1【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：115. (1).3(2). 3- 【详解】由题意，12,C C1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得33k b ==-.16.(1).13(2). 1 【详解】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：1;13.17.2829【详解】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤， 1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 18.【详解】（I ）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.19.【详解】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ． ∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥． ∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥．由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角． 作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ， 因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅===，∴sin3HG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC20.【详解】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q >，所以解得12q =，所以112n n b -=.所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=. 所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c bc b ++=， 所以111n n n n c b c b --+=()*2,n n N ≥∈， 故13211221n n n n n c c c c c c c c c c ---=⋅⋅⋅⋅⋅1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ 121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即1211n c c c d++⋯+<+，*n N ∈. 21.【详解】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==时，p取到最大值为40.22.【详解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点； （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10xg x e x x =---≤， 因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--，令22()4(2)(1)(1),(12)a s a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0a a s a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a ≥--.。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试卷B Word版含答案
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题B · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则A B =I A ．{|13}x x << B ．{|03}x x << C ．{3} D ．{1,2,3}1．【答案】C【解析】易得{}{}2602,3B x x x =--==-，{}{}*05,1,2,3,4A x x x =<<∈=N ，所以{}{}{}1,2,3,42,33A B =-=I I .故选C ． 2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件2．【答案】B【解析】当1a =，5b =时，5a b +>，但不满足23a b >⎧⎨>⎩，故不是充分条件； 由不等式的性质可知， 由23a b >⎧⎨>⎩可得235a b +>+=，故是必要条件.故选B ．3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -= A ．−1 B ．0C ．1D ．33．【答案】B【解析】因为()()111f -=--=，所以()()()110f f f -===，故选B ．4．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4B ．C ．D ．4．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为24a =.故选A.5．若函数π()sin()6f x xω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω=A．5 B．10 C．15 D．205．【答案】B【解析】根据周期公式2π||Tω=以及0>ω得2π10π5ω==，故选B．6．设120202019a=，2019log2020b=，20201log2019c=，则A．c b a>>B．b c a>>C．a b c>>D．a c b>>6．【答案】C【解析】120200201901912a>==Q，20192019log2020log201910b<<==，202020201log log102019c=<=，∴a b c>>，故选C．7．满足|1||1|1x y-+-≤的图形面积为A．1B．2C．2D．47．【答案】C【解析】由题意，可得3,1,11,1,11111,1,11,1,1x y x yx y x yx yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥<⎪-+-≤⇒⎨+≥<<⎪⎪-≥-<≥⎩，画出对应的平面区域，如图所示，其中四边形ABCD为正方形，因为2AB=222ABCDS=四边形，即111x y-+-≤所表示的图形的面积为2.故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6B ．4π3C ．2πD ．13π68．【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥，所以该几何体的体积为22111π7ππ12π11π22366V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选A ． 9．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11C ．−6D ．−59．【答案】C【解析】因为数列1{}1n a +是等差数列，所以公差4111111412541310a a d -===---++，所以111114111010()115105d a a =+=+⨯-=-++，解得116a =-，故选C ． 10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bA 7B ．2C ．3D 1010．【答案】D【解析】由题得()3,0,1+=-a b ，则22230(1)+=++-a b 10D ．11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a b ∥，则下列结论不可能成立的是A ．b β⊄，且b α∥B ．b α⊄，且b β∥C ．b α∥，且b β∥D ．b 与α、β都相交11．【答案】D【解析】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，令平面ABCD 为平面α，平面11D DCC 为平面β，则CD 为直线a ，a b Q ∥，∴不妨设11A B 为直线b ，11,A B AB AB ⊂Q ∥平面11,ABCD A B ⊄平面ABCD ，11A B ∴∥平面ABCD ，b β∴⊄且b α∥，即A项成立；同理满足b α⊄，且b β∥，即B 项成立；111111,A B C D C D ⊂Q ∥平面11CDD C ，11A B ⊄平面11CDD C ，11A B ∴∥平面11CDD C ，即b β∥，b α∴∥，且b β∥成立，即C 选项成立.故排除A ，B ，C ．对于D ，若a b ∥，且a αβ=I ，则b α∥或b α⊂， 所以b 不可能与α相交，同理，b 不可能与β相交，故D 不可能成立. 故选D ．12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为27C 的方程为A ．22(2)9x y ++=B ．22(2)9x y -+=C ．22(1)6x y ++=D ．22(1)6x y -+=12．【答案】B【解析】由题意，设圆心坐标为(,0)C a （0a >），因为5)M 在圆C 上，所以圆的半径为25r a +，又圆心(,0)C a 到直线y x =的距离为0222a d a -==，且圆C 被直线y x =截得的弦长为7222221175522r d a a a =-=+-=+，解得2a =，所以253r a =+=，因此，所求圆的方程为22(2)9x y -+=.故选B ．13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π 13．【答案】C【解析】由||||2||+=-=a b a b a 得：|0|||+=-⇒⋅=a b a b a b ，又||2||+=a b a ，所以向量+a b与a 的夹角θ满足2222()+||1cos ==||||2||2||2θ+⋅⋅==+⋅a b a a a b a a b a a a ，解得π3θ=，故选C ．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为 A ．2 B ．3C ．4D ．514．【答案】C【解析】由sin cos 3sin cos A C C A =，及正弦定理得cos 3cos a C c A =，由余弦定理得，222222322a b cb c a a c ab bc+-+-⋅=⋅，即2222223()a b c b c a +-=+-， 又222a c b -=，所以2223(2)b b b b +=-，即24b b =，又0b >，所以4b =.故选C ．15．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．1215．【答案】C【解析】画出254y x x =-+与y kx =的图象如下图所示：()()[]22254,,14,5454,1,4x x x y x x x x x ⎧-+∈-∞+∞⎪=-+=⎨-+-∈⎪⎩U ， 由()254f x x x kx =-+-有三个零点，得当[]1,4x ∈时方程2540x x kx -+--=在区间[]1,4内有两个相等的实根，所以()25160k ∆=--=，得9k =或1k =， 若9k =，2x =-，舍去；若1k =，2x =满足条件，所以22x =；当()(),14,x ∈-∞+∞U 时，2540x x kx -+-=的两根之积为4，所以134x x =， 所以1238x x x =，故选C ．16．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是A ．1(,][2,)3-∞-+∞U B ．11(,][,)34-∞-+∞U C ．11(,][,)49-∞+∞U D ．19(,][,)34-∞-+∞U16．【答案】D【解析】问题条件的反面为“若存在实数a ，对任意实数2[]1,2x ∈使得不等式()f x x <成立”，即1[,2],1 1.2bx x a x∀∈-<++<只要()=b g x x x +在2[]1,2x ∈上的最大值与最小值之差小于2即可. 当4b ≥时，1()(2)2,2g g -<得b ∈∅；当144b <<时,g(2)21()22g ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，得1944b <<；当1111(2)()2,4234b g g b ≤-<-<≤时，得.所以1934b -<<. 综上可得，所求实数b 的取值范围是19(,][,)34-∞-+∞U ，故选D ．17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，||||FA FB -=u u u r u u u r ，则FA FB ⋅u u u r u u u r 为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-17．【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ==， 由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r 得22121212124,4,44y y x x y y y y +=-⋅+=-221212128,444y y y y x x ∴=-=⋅=，因为FA FB -=u u u r u u u r=结合2114y x =，2224y x =，得1212(1)(1)x x x x +-+=-=因此2212121212()()4481664,8x x x x x x x x +=-+=+=∴+=，从而1122121212(1,)(1,)()1488111FA FB x y x y x x y y x x =-⋅-=+-++=-⋅-+=-u u u r u u u r，故选A ．18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥18．【答案】B【解析】如图，DEF △绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，πE FK EFE ∠=-∠''，πE OE α=-∠'，当180α≠o 且0α≠o 时，OEE '△与等腰FEE '△中，EE '为公共边，且FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠''，E FK α∴∠'>.当180α=o 时，E FK α∠'=， 当0α=o 时，E FK α∠'>， 综上，E FK α∠'≥，即EFK α∠≥.C 、D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，由图可知即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证：当0α=o 时，E DK α∠'>，当180α=o 时，E DK α∠'<，∴C 、D 都不正确. 故选B ．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______. 19．【答案】12;45【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=， 22tan 14sin 211tan 514a a a ===++，所以1tan 2a =，4sin 25a =.20．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______. 20．【答案】1或−3【解析】因为l 1⊥l 2，所以k ·（k ﹣1）+（1﹣k ）·（2k +3）＝0，解得 k ＝1或k ＝﹣3，故答案为1或﹣3.21．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______. 21．【答案】92【解析】∵∥a b ，∴420n m --=，即24n m +=， ∵0m >，0n >，∴18118(2)4n m m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭116104n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19(1042≥+=，当且仅当843n m ==时取等号， ∴18m n +的最小值是92．故答案为92． 22．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______. 22．【答案】8【解析】对1340n n a a ++-=变形得：13(1)(1)n n a a +-=--，即11113n n a a +-=--，故可以分析得到数列{1}n a -是首项为12，公比为13-的等比数列.所以11112()3n n a --=⨯-，1112()13n n a -=⨯-+，所以112[1()]1399()131()3n n n S n n --=+=-⨯-+--，故119|9()|31000nn S n --=-⨯->，解得最大正整数8n =. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为5sin 7sin c B a C =，所以5757cb ac b a =⇒=， 又2b c a +=，所以73,255b ac a b a ==-=.（3分） 所以22222237()()155cos 32225a a a a cb B a aca +-+-===-⋅⋅.（5分）（Ⅱ）因为0πB <<，1cos 2B =-，所以2π3B =.（6分） 所以1()sin()22π3f x x =+≥23ππ5π2π2π,66k x k k ⇒+≤+≤+∈Z ，（8分） 解得x ∈ππ[2π,2π]26k k -+，k ∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距为4，所以c ＝2，则左焦点为F 1（﹣2，0），右焦点为F 2（2，0）， 所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，所以2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝5+3＝8，即4a =，（2分） 所以b 2=a 2−c 2=12，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（4分）（Ⅱ）设PA ：1(2)3y k x =-+，则r =，所以2221(4)0r k r -+=；设PB ：2(2)3y k x =-+，则r =2222(4)0r k r -+=，所以1k ，2k 为方程222(4)0r k r -+=的两根，即120k k +=．（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立122(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()()2222111113416241648120k x k k x k k +--+--=，2111211624234k k x k -+=+，221111122111624824623434k k k k x k k ---=-=++．同理联立222(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：211221824634k k x k +-=+，（8分） 则()121121211121212124434148234ABk k x k y k k x x x y k k x x -++-+====--+．故直线AB 的斜率是定值，且定值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）当1a =时，()21log (1)f x x=+， 因为[1,)x ∈+∞，所以(]111,2x +∈，则()(]21log (1)0,1f x x=+∈， 所以()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域为(]0,1.（3分） （Ⅱ）依题意对任意[]2,4t ∈，[]1,1x t t ∈-+，10a x+>恒成立， 所以101a t +>+在[]2,4t ∈时恒成立，则15a >-.（5分） 对任意[]2,4t ∈，函数()f x 在区间[]1,1t t -+上单调递减， 由已知[]12,1,1x x t t ∈-+，均有()()122f x f x -≤， 所以2211log ()log ()211a a t t +-+≤-+在[]2,4t ∈时恒成立，即214533111t a t t t -≥-=-+-在[]2,4t ∈时恒成立.（7分） ①当0a ≥，[]2,4t ∈时，25301t t -<-，则0a ≥符合题意.（8分） ②当105a -<<时，25331t a t -≥-在[]2,4t ∈时恒成立，则215(1)03t t a a+-+≤在[]2,4t ∈时恒成立， 令()215(1)3g t t t a a =+-+，所以()()1230,374150,310,5g ag a a ⎧=+≤⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩则109a -≤<.（10分） 由①、②可得a 的取值范围为19a ≥-.（11分）。
2023年浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷(1月份)+答案解析(附后)
2020年浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷（1月份）一、单选题（本大题共18小题，共54分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.( )A. B. C. D.3.( )A. 0B. 1C.D.4.圆的半径是( )A. 2B. 3C. 6D. 95.不等式的解集是( )A. B.C. 或D. 或6.椭圆的焦点坐标是( )A. ，B. ，C. ，D. ，7.若实数x，y满足不等式组则的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48.已知直线平面，，那么过点P且平行于l的直线( )A. 只有一条，不在平面内B. 只有一条，在平面内C. 有两条，不一定都在平面内D. 有无数条，不一定都在平面内9.过点且与直线垂直的直线方程是( )A. B. C. D.10.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则( )A. 1B.C. 2D.11.函数的图象大致是( )A.B.C.D.12.某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积单位：是( )A.B.C. 1D. 213.设a，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.设点、分别是双曲线、的左、右焦点．若双曲线上存在一点P，使得，且，则该双曲线的离心率是( )A. B. C. D.15.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是( )A. B. C. D.16.设数列满足，，，，则满足的n 的最大值是( )A. 7B. 9C. 12D. 1417.设点A ，B 的坐标分别为，，P ，Q 分别是曲线和上的动点，记，，( )A. 若，则B. 若，则C.若，则D. 若，则18.如图，在圆锥SO 中，点A 、B 是上的动点，是的直径，点M 、N 是线段SB 的两个三等分点，，记二面角、的平面角分别为、，若，则的最大值是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共15分）19.设等比数列的前n 项和为，若，，则__________，__________.20.设，分别是平面，的法向量，，若，则实数__________.21.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑ēnà是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折至的位置，使得四面体为一个鳖臑，则直线与平面ADC所成角的余弦值是__________.22.已知函数若存在，使得在上恰有两个零点，则实数b的最小值是__________.三、解答题（本大题共3小题，共31分。
2020届浙江省普通高校招生学业水平考试(1月)数学试题(解析版)
10g 6 2 3第1页共19页2020届浙江省普通高校招生学业水平考试(1月)数学试题一、单选题1 .已知集合 A 1,2,4 , B 2,4,6 ，则 AUB ( )A. 4B. 1,6C. 2,4D. 1,2,4,6【答案】D根据集合的并集运算，即可求解. 解：因为集合A 1,2,4 , B 2,4,6 由集合的并集定义可知 AUB 1,2,4,6故选:D本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2 . tan a ( )1A. tanaB. tanaC. tanaD. -----tana【答案】A根据诱导公式，化简即可求解. 解：由诱导公式可知tan atana故选:A本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.3 . log 6 2 log 6 3 ()A. 0B. 1C. log 6 5D. log 12 5【答案】B根据对数的运算及常数对数的值即可求解 .解：根据对数的运算性质可知10g 6 2 log 6310g6 6 1故选：B本题考查了对数的运算性质的简单应用，属于基础题.4.圆x2 y2 2x 8 0的半径是（）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】B将圆的一般方程化为标准方程，即可求得圆的半径.解：因为圆x2 y2 2x 8 0化为标准方程可得x 1 2 y2 9所以圆的半径为3故选:B本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，圆的标准方程的性质，属于基础题.5.不等式x 1 2（）A. x 1 x 3B. x 1 x 3C. x x 1 或X3D. xx1 或x 3【答案】A根据绝对值不等式，分类讨论解不等式即可求解.解：不等式x 1 2当x 1时，不等式可化为x 1 2,即x 3.所以1 x 3当x 1时，不等式可化为1 x 2，即1 x.所以1 x 1综上可知，不等式的解集为-1<x<3,即x 1 x 3故选:A本题考查了绝对值不等式的解法，分类讨论解绝对值不等式，属于基础题. 2 26.椭圆工L 1的焦点坐标是（）25 9A, 5,0 , 5,0 B. 0, 5 , 0,5 C, 4,0 , 4,0 D. 0, 4 , 0,4 【答案】C根据椭圆的标准方程，先判断出焦点位置并求得a,b.再根据椭圆中a、b c的关系即可求得焦点坐标.2 2解：椭圆士匕125 9所以为焦点在x轴上，且a2 25,b2 9由椭圆中a2 b2 c2可得c2 a2 b2 25 9 16因而c 4所以焦点坐标为4,0 , 4,0故选:C,属于本题考查了椭圆的标准方程及简单性质，椭圆中a、b c的关系及焦点坐标求法基础题.x 0,7.若实数x, y满足不等式组x y 0,,则x 2y的最大值是（）x y 2,A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D根据不等式组，画出可行域，由可行域即可求得线性目标函数的最大值.此时z x 2y 0 2 2 4所以x 2y的最大值是4故选:D本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数的最值求法，属于基础题第3页共19页8.已知直线l和平面，若l// , P ,则过点P且平行于l的直线（A.只有一条，不在平面内B.只有一条，且在平面内C.有无数条，一定在平面内D.有无数条，不一定在平面内【答案】B假设m是过点P且平行于l的直线，n也是过点P且平行于l的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案.解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n,则m//1且n// l由平行公理得m// n,这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条，又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内.故选B本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行.9.过点A 3, 1且与直线x 2y 3 0垂直的直线方程是（）A. x 2y 1 0B. x 2y 1 0C. 2x y 7 0D. 2x y 7 0【答案】D根据直线垂直时的斜率关系，先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程，进而化为一般式可得解.1 3解：因为直线x 2y 3 0可化为y — x —2 2当直线垂直时的斜率乘积为1,所以k 2因为经过点A 3, 1由点斜式可知直线方程为y 1 2 x 3化简可得2x y 7 0故选:D本题考查了垂直直线的斜率关系，点斜式方程的用法，将方程化为一般式的方法，属于基础题.10.在ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,若A 60 , B 45 ,a 3则b （）A. 1B.3C. 2D. ,6根据正弦定理，即可求得b 的值.解：在 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别是a ,b ,c解：因为 f x x sinx排除C,D.选项，属于基础题.若 A 60 , B45 , a 3由正弦定理可知sinA sinB一口 3 代人可得 ------- -sin60ob sin45o解得b 6故选：D本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.根据函数的奇偶性及特殊值，可判断函数的图像.x 为偶函数，hx sinx 为奇函数，所以f x x sin x 为奇函数，所以当 x 0.001 时，g 0.001 0.001 0.001 0, h 0.001 sinO.001 0,所以f 0.001故选:A 0.001 sin0.001 0,所以排除B 选项.本题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、 单调性和特殊值，可排除12.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积（单位：cm3）是11.函数f x 乂 sinx 的图象大致是（根据三视图，还原出空间几何体，即可求得该几何体的体积解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，其空间结构体如下图所示则V P ABC故选:B,根据三视图还原空间几何体，棱锥的体积求法，属于基础13.设a,b R,则“a b 0” 是“ a3 b30”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件根据立方和公式，结合充分必要条件的判断即可得解解：因为a3 b3 a b a2 ab b22 2, b 3b2 a b a 2 4C. 1D. 2本题考查了三视图的简单应用当a b 0时，a 3b240，所以a3 b30.即“a b 0”是“a3 b30”的充分条件.0时，由于3b240成立，所以a b 0,即“a b 0” 是0”的必要条件综上可知，“a b 0” 是b30”的充要条件故选:C本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.14 .设E, F2分别是双曲线a, b 0的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ,使得PE 4 PF2 , F1PF2 60,则该双曲线的离心率是（B . ,133C.根据双曲线的定义及PF i 4 PF2 ,用a表示出弦定理求得a、c的关系，进而求得离心率.解:2xF1, F2分别是双曲线彳a2L 1 b2a, b 0PF i 4 PF2所以PF1PF1PF24 PF22a,解得PF i8a因为F1PF2 60 , F1F2 2c 所以在三角形F1F2 PF1 PF232a3F1PF2中由余弦定理可得PF2 2 PF1 PF2PF1、PF2 ,再在三角形F1PF2中由余的左、右焦点，且双曲线上的点P满足cos F1PF2,代入可得4c264 2一a98a32a3化简可得9c213a2,即e2c2a2139所以e -13 3 故选：B本题考查了双曲线的定义 ，利用余弦定理解三角形，双曲线离心率的求法，属于基础题一区匕口也0 —巨【答案】C解：易知,选项（A ）、（B ）的图像是若干条线段组成的折线 ；选项（D ）中当点P 走过的路 程为X 1时，OP 不是最大值（过点P 作OP 的垂线交椭圆于点 P',显然，OP >OP ）； 2 、“一 一， l x选项（C ）中y -sin —,其图像如图.选C. 冗 l16 .设数列 a n 满足 a i 1, a 2n a ?n 1 2, a ?n 1 a 2n 1, n N ，则满足a n n 4的n 的最大值是（A. 7B. 9 【答案】C根据数列 a n 满足的条件，讨论n 的奇偶性，即可求得解析式 式即可求得满足条件的 n 的最大值.a 2 3则 a 2n 1 a 2n 11… 一，， n 1 则当n 奇数时，a n n —2_ ,n 1.一 j ，、一 所以a n n 4,代入可得—n 4 ,解不等式可得 7 n 915 .点P 从O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程（x ）的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的C. 12D. 14根据解析式解绝对值不等解：数列 a n 满足a 11, a 2n a 2n 12, a 2n 1 a 2n 1().而n N ,所以此时n 的最大值是9 则当n 偶数时，a n 2 !2所以若a n n 4,代入可得2 n n 4,解不等式可得 4 n 12而n N *,所以此时n 的最大值是12 综上可知，n 的最大值是12 故选:C本题考查了等差数列的通项公式求法 ，对奇偶项分类讨论数列的性质 ，绝对值不等式的解法，属于中档题.P, Q 分别是曲线y 2x 和y log 2 x 上)uuu. uuurB .若 I i "则 Ap BQ uuu uuir D.若 AP BQ ,则 I I I 2【答案】C根据题意，由向量数量积和投影的定义，结合平面向量共线的T 质即可判断选项 .解：根据题意，在直线AB 上取P',Q',且AP' BQ'.过P',Q'分别作直线AB 的垂 线，交曲线y 2x于P,P 2和交y log 2x 于Q I ,Q 2.在曲线y 2x 上取点P 3,使17.设点A, B 的坐标分别为 0,1 , 1,0 ,uuir uuu uuu urn的动点，记 I 1 AQ AB, I 2 BP BA .( uur uuuA.若 I 1 I 2,则 PQ AB R uur uurC.若 PQ AB R ,则 I 1 I 2uur uuu 11 AQ AB uuu uur 12 BP BA uur AQ uu rBP uuu AB cos uin BA cos uuuu uur QAB AQ' AB uuir uur PBA BP' BA AP | AP 3 .如下图所示若 AP' BQ',则|AQ' BP'若I i I 2,则|AQ' I BP'即可.此时P 可以与P i 重合，Q 与Q 2重合，满足题意，但是ULLT uur uuur uuu对于C,若PQ AB R ,则PQ//AB,此时必有P ,与Q 对应（或B 与Q 2）,所以满足I i I 2,所以C 正确;对于D,对于点F 3,满足AP 1AP 3，但此时F 3在直线AB 上的投影不在P'处，因而不满足AQ' |BP],即I i I 2,所以D 错误 综上可知,C 为正确选项 故选:C强，较为复杂，属于又t 题.z 轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B 与M AB B 夹角的余弦值.结合即可求得 的取值范围，即可得的最大值.uuir uuu PQ AB uuu R 不成立，且AP uuurBQ 所以A 、B 错误;本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质，综合性18.如图，在圆锥SO 中,A, B 是e O 上的动点，BB 是e O 的直径,的两个三等分点，AOB，记二面角N OA B , M AB B 的平的最大值是（A. 56B. C.一 2D.设底面圆的半径为 r , OS a ,以B'B 所在直线为x 轴，以垂直于B'B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为 面角分别为 fl,,若解：设底面圆的半径为r , OS a,以B'B所在直线为x轴，以垂直于B'B所在直线为可得O 0,0,0 , B r,0,0 ,S 0,0, a , A r cos ,rsin ,0 ,B' M , N是SB的两个三等分点r 2a 2r a则M ,0, —, N — ,0,-3 3 3 3uuu LUIT 2r a所以OA r cos , r sin ,0 , ON 一,0,-3 3ur设平面NOA的法向量为m x1, y1, z1x i r cos y〔rsin 0化简可得2x1r az10 3 3cos 2r令X 1,解得y1 ---- , z1 一sin a所以m i, ”，红sin ar平面OAB的法向量为n 0,0,1面角满足r,0.0v LUV则mOAV 0,代入可得rn ON 0 X,y i,4 rcos ,rsin ,0 0 K,y i,z)2r _ a—,0,3 3由图可知，二面角N OA B的平面角为锐二面角，所以二面角N OA B的平y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示cos 设二面角M AB uuui n B'A r r cos 22cos 4 r _• 2 一2sin a 2r ar B 的法向量为k x242,z2,r sin uuuu ,0 , AM 2a r cos , r sin ,3v 皿k 则v k uuuv B'A uuuv AM 0 ।、 口 代入可得 0 乂2,丫22 乂2,丫22 化简可得 令x 2 r 所以k x 2r x 2r x 2r cos x 2r cos 1,解得y 2 y 2rsin y 2r sincos s^,Z2r cos , r sin ,0 0 rcos , r sin ,2a32r, 1 cos 1, ------- sin 2r 平面AB B 的法向量为 0,0,1 由图可知，二面角M AB B 的平面角 为锐二面角，所以二面角 M AB B 的平面角 满足 cos 由二面角的范围可知 0 结合余弦函数的图像与性质可知 cos cos2r________ a 即 2- 1 8s2 sin 4r 2 2a2r化简可得cos 所以01 cos sin4r 22a所以的最大值是——3故选：B本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，根据题意建立合适的空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求解.本题含参数较多，化简较为复杂，属于难题.二、填空题* .19.设等比数列a n的前n项和为S n n N ，若a2 2 , a3 4 ,则a iS4 .【答案】1 15根据等比数列的通项公式，可求得a1与q .再求得a4，即可求得S4的值.解：因为数列a n为等比数列，由等比数列的通项公式可知n 1a n a〔q而a22, a3 4a2a1q 2 2 1所以 2 ，解方程组可得八a3 a1q 4 q 2所以a4 a1q3 1 23 8所以S4 a1+a2+a3+a41 2 4 8 15故答案为：1; 15本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n项和的求法，属于基础题J r r rall20.设u, v分别是平面a, 的法向量，u 1,2, 2 , v 2, 4,m .若则实数m【答案】4根据两个平面平行时，其法向量也平行，即可求得参数m的值.… r r解：因为a // ，且u,v分别是平面a , 的法向量r r则u //r r所以存在，满足u v则 1,2, 22, 4,m12 i即24 解得 2 2m m 4所以m 4故答案为：4本题考查了平面平行时法向量的关系，平行向量的坐标表不及关系，属于基础题.21 .在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖月需（ bi enco ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角 ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，AB 3, AC 4,现将ABD 沿AD 翻折 AB D ,使得四面体AB CD 为一个鳖月需，则直线B D 与平面ADC作B'M CD 于交CD 于M ,可证明B'M 平面ACD ,则 B'DM 即为BD 与平 面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解.因为 AD CD, AD DD' 且 CD DD' D 所以AD 平面DB'Cr 因为u r1,2, 2 ,2, 4,m而AD 平面ACD所以平面ACD 平面DB'C又因为平面 ACDI 平面DB'C DC ,且B'M CD所以B'M 平面ACD 则 B'DM 即为BD 与平面ADC 的夹角 因为直角 ABC 中，AB 3, AC 4... 9 故答案为：-16想象能力和计算能力要求较高，属于中档题ax 2 6,若存在a R,使得f x 在2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是 【答案】2 2,3根据函数f x 存在a R 在2,b 上恰有两个零点，则求得当x 2时满足条件的a . 再由当x b 时取到零点，即可求得b 的值.「 一一一" -2一 一-解：因为函数fx x ax 2 6, f x 在2,b 上恰有两个零点则必在x 2与x b 时恰好取到零点的边界 - _ 2 若x 2时，f x 的零点满足f 2 2 2a 2 6 0解方程求得a 2或a 42当a 2时，f x x 2x 2 6，满足f x 在2,b 上恰有两个零点 则 f b b 22b 2 6 0,且 b 2解方程可得b 2（舍）或b 4（舍） 当a4时，f x x 2 4x 2 6，满足f x 在2,b 上恰有两个零点所以 BC \AB 2 AC 2.9 16 5 e AB AC 3 4 12 AD -BC 55则 DC J AC 2AD 2A A 2-1216■, 5 516 9所以 DB' BC DC 5 169 55在直角三角形 B'DC 中，cos B'DM cos B'DCDB' DC5 16 9 16本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定，对空间22.已知函数f X一，- 2一 一 一贝 Ufb b 4b 2 6 0,且 b 2解方程可得b 2 2了（舍）或b 2 273综上可知，当b 2 2J 3时满足f x 在2,b 上恰有两个零点 故答案为：2 2、、3(I)求f —的值; 3 （n ）求f x 的最小正周期;（出）求f x 在0,—上的值域.【答案】(I) f _:(n)3 2的最小正周期T本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论 等时能刚好取得，属于中档题.三、解答题23.已知函数 f x 2sin x — cos6,注意恰有两个零点条件的应用，根据边界取（1）将—代入解析式，即可求得f3—的值.3（n ）根据正弦的二倍角公式化简后，即可求得f x 的最小正周期（m ）根据正弦函数的图像与性质可求得f x 在0,—上的值域.解：(I) f -32sin — — cos —— 3 6 3 62sin —cos —(n)因 f x sin 2 x - 6 sin 2x 一 3本题考查了正弦函数的求值，正弦函数的图像与性质简单应用 ，属于基础题.2224.如图，设抛物线 C i x y 与C 2: y 2px p 0的公共点M 的横坐标为t t 0，过M 且与C i 相切的直线交C 2于另一点A,过M 且与C 2相切的直线交C i 于1 ，.…―S -,2 ,求t 的取值范围4该直线与抛物线相切.……t 3, 2【答案】(I) p ］； (n) t32(I)将M 的横坐标为t 代入抛物线C 1解析式可得M t,t ，再代入抛物线C 2解析式, 化简即可用t 表示P 的值.(n)设出点 A 的坐标，结合M 的坐标即可表示出直线 MA 的方程.联立抛物线C 1,根据 0可得k = 2t,表示出直线 MA 的方程.利用两点式表示出直线 MA 的斜率，即可用t 表示出点 A 的坐标.同理可求得B 点的坐标.进而利用两点间距离公式表(出)当x0,-时，2x因此当 2x0时,fmin当2x_ 5,一，即x ——时max所以f在0,-上的值域为 正,1 .22(□)若注：若直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称相切时判别式示出MB ,利用点到直线距离公式求得A到直线MB的距离，即可表示出MBA的面积S .结合S 的取值范围，即可求得t 的取值范围解：（I ）因点 M 在抛物线C 1：x 2 y 上，故M t,t 2又点 M 在抛物线C 2 ： y 2 2px p 0上，故t 22 Pt , (n) 设点 A X, y 1，直线MA 的方程为y k xt 2 联立方程组 k(xy, t )t 2 '消去y ，得x 2 kx k t t 2则 k 2 4 kt t 2 2t因止匕k =2t即直线 MA 的方程为 2t xt 2则直线 MA 的斜率 y i t 2 X i y 1 -2 y 1 t 3t 2y i t 3"T 2t从而y 1 t 2一,即 2£ 4,同理，直线MB 的方程为 t 2占一，点 2 -f2,4因此MB 13t 2t 2C 到直线 2MBA 的面积S 1因为S -,24MB : 0的距离d1 -MB d2 1 3t 2 2t 29t 28 ：1 27t 3 3227t3 2~22解得t本题考查了直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理分析直线与抛物线的交点问题，两点间距离公式及点到直线距离公式的应用，综合性强，属于又t题.。
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题03(参考答案版)
2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题03·参考答案19．4-； 20．21．1[,1)322．2021101123．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-，所以25π5π5π())2cos ()1121212f =⨯+- 5π5π)cos(2)1212=⨯+⨯（3分）5π5πcos 66=+0=.（5分）（Ⅱ）2()22cos 12cos π2sin 62(2)f x x x x x x =+++=-=，（7分）所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（8分） 令πππ2π22π+()262k x k k -≤+≤∈Z ，解得ππππ+()36k x k k -≤≤∈Z ，所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k -∈Z .（10分）24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意得抛物线的准线方程为2py =-， 点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3，232p∴+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（3分）（Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x ky --=，（5分） 所以124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()22,21k k +，（7分） 因为21244AB y y p k =++=+， 所以圆Q 的半径为222r k =+.（8分）在等腰QMN △中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号. 所以sin QMN ∠的最小值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，即2222x kx x kx +-=--对x ∈R 都成立，0k ∴=.（2分）（Ⅱ）当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈，()()2212120x x k ∴----≤在2(]0,x ∈时恒成立等价于2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，（4分） 又227333u u -≤-=，73k ∴≥， k∴的取值范围是7[,)3+∞.（6分） （Ⅲ）不妨设1202x x <<<，因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩所以()f x 在()0,1上至多有一个零点，若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾. 因此12012x x <<≤<；（8分） 由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<.（11分）。
2020年浙江省普通高校招生统一考试数学试卷答案
确答案是 A.
二、填空题 11.了解高阶等差数列的同时，对给定的特殊的高阶等差数列进行计算.正确答案是 10. 12.可以利用二项展开式的通项公式得到 a4 C54 24 80 ，我们可以对展开式赋值，利用 x 1和 1
得到 a1 a3 a5 122 .
13.由 tan
2 得： cos2
1
故 cos A cos B cos C 的取值范围是 ( 3 1 , 3] ． 22
19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想
象和数学运算等素养。满分 15 分。
（Ⅰ）如图，过点 D 作 DO AC ，交直线 AC 于点 O ，连结 OB ．
由 ACD 45 ， DO CO 得 CD 2CO ， 由 平面ACFD 平面ABC 得 DO 平面ABC ，所以
17.不妨设 e1=(1,0), e2 (x, y) ，那么 x2 y2 1 .由 | 2e1 e2 |≤ 2 可得 (x 2)2 y2 2 ，那么，
3
x
.而 1 cos2
(
ab
)2
4x+4
4
8
，故 cos2 在 [3 ,1] 上单调递增,
4
a b 3x 5 3 3(3x 5)
D
F
E
DO BC ．
由 ACB 45 ， BC 1 CD 2 CO 得
2
2
BO BC ．
所以 BC 平面BDO ，故
O A
H
C B
(第 19 题图 1)
BC DB ．
由三棱台 ABC DEF 得 BC//EF ，所以
EF DB ．
（Ⅱ）方法一：
过点 O 作 OH BD ，交直线 BD 于点 H ，连结 CH ．