127离心率的五种求法

127离心率的五种求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率10<e ，抛物线的离心率1=e ．

一、直接求出a 、c ，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率

公式a c

e =来解决。

例1：已知双曲线1222

=-y a

x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62

-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A. 23

B. 23

C. 26

D.

3

32

解：抛物线

x

y 62-=的准线是

2

3

=

x ，即双曲线的右准线

2

3122=

-==c c c a x ，则0

2322

=--c c

，解得2=c ，3=a ，3

32=

=a c

e ，故

选D

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11

F 、()0,32

F ，则其离心率为（ ）

A. 43

B. 32

C.

21

D. 4

1

解：由()0,11

F 、()0,32

F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，

∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

2

3 B.

26 C. 2

3

D 2

解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2

3

==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆

12

2

22=+b y a x （0>>b a ）的左

准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A 3

3 B 31 C 2

2

D 2

1 解：由题意知，入射光线为()32

5

1+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则

⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=05532

c c

a 解得3=a ，1=c ，

则3

3==a

c e ，故选A

二、构造a 、c 的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1

F 、2

F 是双曲线12

2

22

=-b y

a x （0,0>>

b a ）的两焦点，

以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1

MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 324+

B. 13-

C. 21

3+

D. 13+

解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1

c F -，()0,2

c F ，则

2

221b c MF MF +==，又c

F

F 22

1

=，

在2

1

MF F ∆中， 由余弦定理，得2

12

2

122212

1

2cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=

∠,

即

(

)(

)

(

)

2

2222222421b c c b c b c +-+++=-，∴

21

2

222-

=+-c b c b ， ∵2

2

2

a

c b

-=，∴

21

22

22-

=--a c a ，∴2

2

23c a

=，∴2

3

2

=

e

，∴2

6=

e ，故

选B

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为1

F 、2

F ，过2

F 作椭圆长轴

的垂线交椭圆于点P ，若2

1

PF F ∆为等腰直角三角形，则椭

圆的离心率是________。

解：1

21

21222222221-=+=

+=+===c

c c

PF PF c a

c a

c e

四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4：设椭圆

122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的右焦点为1

F ，

右准线为1

l ，若过1

F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1

F 到1

l 的距离，则椭圆的离心率是 .

解：如图所示，AB 是过1

F 且垂直于x 轴的弦，∵1

l AD ⊥于D ，

∴AD 为1

F 到准线1

l 的距离，根据椭圆的第二定义，

2

1211=

==AD AB AD AF e