九年级数学概率含义
2024九年级数学上册“第二十五章 概率初步”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十五章概率初步”必背知识点一、随机事件与概率1. 随机事件定义:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件。
对比:与随机事件相对的是确定事件,确定事件又分为必然事件和不可能事件。
必然事件是事先能肯定它一定会发生的事件;不可能事件是事先能肯定它一定不会发生的事件。
2. 概率的定义一般定义:在大量重复实验中,如果事件A发生的频率m/n稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率,记为P(A)=p。
取值范围:概率的取值范围是0≤p≤1。
特别地,P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0。
二、概率的计算方法1. 理论概率在一次试验中,如果包含n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=m/n。
2. 列举法求概率列表法:当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时,常用列表法列出所有可能的结果,再求出概率。
树状图法:当试验涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法。
三、用频率估计概率原理:在大量重复试验中,如果事件A发生的频率m/n 稳定于某一个常数p,那么可以认为事件A发生的概率为p。
即,频率可以作为概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率。
四、概率的应用与理解1. 概率的意义概率是对事件发生可能性大小的量的表现,它反映了随机事件的稳定性和规律性。
2. 游戏公平性判断游戏公平性需要计算每个事件的概率,并比较它们是否相等。
如果概率相等,则游戏公平;否则,游戏不公平。
五、综合应用概率知识在解决实际问题中的应用:如抽奖、天气预测、投资决策等领域的概率计算和分析。
示例题目1. 理论概率计算例题:从一副扑克牌中随机抽取一张,求抽到红桃的概率。
解析:一副扑克牌共有54张 (包括大王和小王),其中红桃有13张。
因此,抽到红桃的概率为P=13/54。
2. 列举法求概率例题:一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球,每个球除颜色外都相同。
【人教版】初中数学九年级知识点总结:25概率 简洁易懂
预习九年级知识点: 25概率一、知识框架二、重点、难点:在具体情境中了解概率意义、对频率与概率关系的初步理解。
四、知识点、概念总结1.随机事件: 在随机试验中, 可能出现也可能不出现, 而在大量重复试验中具有某种规律性的事件, 简称事件。
随机事件通常用大写英文字母A.B.C等表示。
2.特殊的事件必然事件记作Ω, 必然发生。
不可能事件记作Φ, 不可能发生。
3.概率:表示一个事件发生的可能性大小的数,叫做该事件的概率。
人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试,某件事发生的可能性是多少,这都是概率的实例。
5.列举法:从逻辑上进行分析并将其本质内容全面地一一地罗列出来的手段,再针对列出的项目一一提出改进的方法。
列举法一种方式为树状图, 如下: P136列举法另一种方式为图表, 如下:第2个1 2 3 4 5 6AC D EH I H I H IBC D EH I H I H I甲乙丙(具体图表意义请参照初中数学九年级上册人教版课本P135页)4.频率与概率的区别与联系从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近, 说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.5.频率估计概率:历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.历史上数学家做掷币试验的数据统计表说明:只要试验的次数n足够大, 频率就可以作为概率的估算值!。
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点
9年级数学的初步概率知识点包括:
1. 事件与概率:事件是指某种可能发生的结果,概率是指某个事件发生的可能性大小。
2. 随机事件与确定事件:随机事件是指其结果在每次试验中可能不同的事件,确定事
件是指其结果在每次试验中都相同的事件。
3. 样本空间与样本点:样本空间是指所有可能结果的集合,样本点是样本空间中的每
个具体结果。
4. 基本事件与复合事件:基本事件是指样本空间中的单个样本点,复合事件是指由基
本事件组成的事件。
5. 等可能性原理:在一次试验中,如果每个基本事件发生的可能性相等,则称这些事
件是等可能事件。
6. 事件的概率:事件A的概率表示为P(A),定义为事件A发生的次数与试验总次数之比。
7. 加法定理:对于两个互斥事件A和B(即A和B不能同时发生),则P(A或B) =
P(A) + P(B)。
8. 互斥事件与对立事件:互斥事件是指两个事件不能同时发生,对立事件是指在一次
试验中只能发生其中一个事件的概率。
9. 条件概率:指在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率,表示为P(A|B),计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
10. 事件的独立性:当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的,即事件A的概率不受事件B的发生与否影响时,称事件A与事件B独立。
11. 乘法定理:对于两个独立事件A和B,P(A∩B) = P(A) × P(B)。
12. 事件的补事件:指在一次试验中,事件A不发生的事件。
这些是九年级数学中概率的初步知识点,通过掌握这些知识,可以更好地理解和解决与概率相关的问题。
九年级概率统计知识点总结
九年级概率统计知识点总结概率统计作为数学中的一门重要学科,是我们在日常生活中经常接触到的。
无论是在购买彩票时,还是在进行市场调查时,概率统计都扮演着重要的角色。
在九年级学习概率统计,我们掌握了一些基本的概念和方法。
在这篇文章中,我将总结九年级概率统计的一些核心知识点,帮助大家更好地理解和运用这些知识。
一、概率的基本概念概率是指某一事件发生的可能性大小。
而事件是指由一个或多个基本事件组成的结果。
基本事件是不可再分解的事件,也就是说它是不可再分解的最小事件。
在计算概率时,我们可以利用“频率”和“古典概率法”等不同的方法。
二、概率的计算在概率的计算中,我们经常会用到“加法法则”和“乘法法则”。
加法法则指若事件A和B互斥(即它们不可能同时发生),则其概率之和等于两事件概率之和。
乘法法则指若事件A和B独立(即一个事件的发生不影响另一个事件的发生),则其概率之积等于两事件概率之积。
三、排列组合排列和组合是概率统计中的重要概念,它们用于计算不同事件发生的可能性。
排列是指从n个不同的元素中取出m个元素进行排列,不同的排列顺序被视为不同的结果。
组合是指从n个不同的元素中取出m个元素进行组合,不同的组合顺序被视为相同的结果。
排列和组合的计算公式分别为P(n,m)=n!/(n-m)!和C(n,m)=n!/[(n-m)!*m!]。
四、样本空间与事件在概率统计中,我们常常需要确定一个实验的可能结果集合,这个集合称为样本空间。
而在样本空间当中,我们可以定义各种不同的事件。
事件是样本空间的一个子集,它包含了某些可能的结果。
事件可以是简单事件,也可以是复合事件。
五、频率与概率频率是指在进行了大量实验后,某一事件发生的次数与实验总次数的比值。
频率是概率的一种估计方式,当做大量的实验时,频率接近于概率。
因此,我们可以用频率来估计概率。
六、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下,另一事件发生的概率。
当两个事件A和B相互独立时,条件概率P(A|B)=P(A);当两个事件A和B不独立时,条件概率P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
概率的含义教案及教学说明(新)1
§25.3概率的含义(一)东莞市东华初级中学冯婷婷华东师大版数学九年级(上) 第二十五章第三节教材分析概率的含义(一)是华师大版九年级数学上册第25章第三节第一课时,概率在日常生活中、科学预测中有着非常重要而广泛的应用,因此它是整个初中数学的一个重点,也是数学研究的一个重要分支.按照教学内容交叉编排、螺旋上升的方式,统计与概率的内容已经由简单到复杂,由低层次的展开到高层次的综合,得到了不断的深化.本节在学生已有的实验概率的知识基础上,首先引出概率的计算;通过问题1,介绍如何从频率的角度解释某一个具体的概率值,通过本节的学习,为后面概率的计算和沟通实验概率与理论概率作了准备.学情分析(1)到本册为止,除了概率的公理化定义外,已经介绍了两种和初步接触了一种研究事件发生可能性大小的途径:主观概率、实验概率和根据树状图等理性分析预测概率;(2)在经过前四册概率知识的学习后,九年级学生已经具有一定的动手实验能力和归纳概括能力;(3)学生希望老师能创设便于观察和思考的学习环境,也希望结合具有现实背景的素材,获得数学概念,掌握解决问题的技能与方法.设计理念为了充分调动学生学习的积极性,变主动学习为主动愉快学习,使数学课变得生动、有趣、高效,在教学中主要采用启导式教学法;采用“以学生为主体,以问题为中心,以活动为基础,以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学,把启发、诱导贯穿教学始终,通过真实、熟悉的情景,激发学生的学习动机,尽力唤起学生的求知欲望,促使他们动脑、动手、动口,积极参与学习活动全过程,在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.教学目标知识目标: 1.理解概率定义和简单的计算2.充分利用学生已有的对实验概率的经验,从频率的角度去解释某一个具体的概率值含义能力目标:通过活动,帮助学生感受到数学与现实生活的联系,提高用数学知识来解决实际问题的能力情感目标: 1.培养学生实事求是的态度及勇于探索的精神2.培养学生交流与合作的协作精神教学重点 1.通过回顾以往实验,引出概率的定义和计算公式2.通过学生对已有实验的经验去体会某一概率值的含义教学难点从实验中某事件发生的频率去理解某一概率值的含义教学方法采用“以学生为主体,以问题为中心,以活动为基础,以培养学生提出问题和解决问题为目标”的“引导发现法”和“探索讨论法”.教学手段采用多媒体教学教学基本流程教学过程问题问题设计意图 师生活动一 .回顾实验已做过的抛掷一枚普通硬币的实验(电脑演示) 问题1:在抛掷一枚这个实验中“出现反面”的机会是多少?这个机会还表示什么?问题2:投掷手中一枚普通的正六面体骰子,有几个等可能的结果及掷得6的结果?通过回顾实验,学生很容易答出,抛掷一枚普通硬币仅有两个可能的结果:“出现正面”和“出现反面”.这两个结果发生的机会相等,“出现反面”的机会为50%.50%还表示“出现反面”这个事件发生的可能性的大小.通过回顾画树状图分析某事件的等可能结果及关注的结果 师:提出问题,引导学生回忆、观察做过的实验· 生:观察、叙述这一实验频率的稳定值·及画树状图来分析某事件的等可能结果和关注的结果二 .归纳定义 概率的定义:表示一个事件发生的可能性大小的数,叫做该事件的概率· 例如,抛掷一枚硬币,“出现反面”的概率为21,记为:P (出现反面)=21 读作:出现反面的概率等于21写一写,读一读:你投掷手中一枚普通的正六面体骰子,“出现数字1”的概率是多少?解:(116P 出现数字)= 读作:“出现数字1”的概率为16通过具体的简单实验,得到概率的定义,学生经历了从特殊到一般的探索过程,降低了学习的难度,消除了学习新知的畏惧心态.师:分析学生的解释,引出概率含义的正确理解.生:思考、讨论、叙述自己的理解.三 .从学过的实验频率初步体会概率含义⑴.合作填表:⑵ .归纳总结:提出三个问题:1.频率和概率的关系是什么?2.除实验外我们还有哪种方法可以得到概率?3.理论分析概率的关键是什么?通过三个问题的总结,学生发现理论分析概率的关键:(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果(2)要清楚所有机会均等的结果. (1)、(2)两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率.P(关注结果)关注的结果个数=所有机会均等的结果的个数三个问题的提出,为学生归纳概率公式指明了方向,在三个问题的指导下,发现理论分析概率的关键就是1.要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果2.要清楚所有机会均等的结果;进而得到概率的一般公式,达到沟通实验概率和理论概率的目的;进一步强化对概率含义的正确理解.师:然后将学生每四人分为一组,选出组长做好记录,类比学习,四人合作完成将后面四个实验填写·生:完成后,小组长发表结论,师生共同分析判断,得到正确答案.首先让学生观察课本124页表25.3.1已填好的三个简单实验,引导学生发现图表中所填内容和要求的联系,特别是发现“所有机会均等的结果”就是要将包括关注的结果在内的所有机会均等的结果都罗列出来.师:帮助学生回忆上节课的试验,引导学生观察、归纳和总结·最后归纳总结频率与概率的区别与联系的书面文字·生:尝试归纳、概括频率与概率的区别与联系,并发表自己的意见四. 设计实验,从频率角度解释概率值含义 议一议:某俱乐部举办了一次掷一个骰子的游戏,每掷一次付款0.1元,若掷中“6”则奖1元,小明想,我只要掷6次,就有一次掷中6,小明的想法对吗?(此问题原型为课本P126页问题1)问题1:在抛掷一枚普通的六面体骰子这实验中,掷得“6”得概率等于61表示什么意思?有同学说它表示每6次就有1次掷出“6”,你同意吗?思考:①已知掷得“6”的概率等于61,那么不是“6”(也就是1~5)的概率等于多少呢?这个概率值又表示什么意思?②我们知道,掷得“6”的概率等于61也表示:如果重复投掷骰子很多次的话,那么实验中掷得“6”的频率会逐渐稳定到61附近·这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗?思考1的解决让学生理解同一事件中所有关注结果的概率和为1,学会从频率角度解释概率值;思考2的解决让学生理解这两种说法其实是一回事,达到实验概率和理论概率的统一. 师:提出问题,引导学生讨论,讲出自己的想法,肯定正确的,指出错误的地方,用试验来验证.生:思考、讨论、叙述自己的理解通过做投掷骰子实验(或模拟实验),一旦掷到“6”,就算完成了一次实验,然后数一数你投掷了几次才得到“6”的.看看能否发现什么.通过自我设计模拟实验,培养学生用所学的知识解决问题的能力,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新能力师:提出问题,引导学生讨论,讲出自己的想法,肯定正确的,指出错误的地方,用试验来验证生:思考、讨论、叙述自己的理解生:(四人小组合作交流完成)五.当堂训练(分层练习)A 组1.掷一枚普通正六面体骰子,求出下列事件出现的概率:P (掷得点数是6) = 61 ;P (掷得点数小于7)= 1 ; P (掷得点数为5或3)= 31;P (掷得点数大于6)= 0 . 2.甲产品合格率为98,乙产品的合格率为80,你认为买哪一种产品更可靠? 3.阿强在一次抽奖活动中,只抽了一张,就中了一等奖,能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百?为什么? 4.从一副扑克牌(除去大小王)中任抽一张· P (抽到红心) = ? P (抽到黑桃) = ? P (抽到红心3)= ? P (抽到5)= ? 5.有5张数字卡片,它们的背面完全相同,正面分别标有1,2,2,3,4·现将它们的背面朝上,从中任意摸到一张卡片,则: p (摸到1号卡片)= ? p (摸到2号卡片)= ? p (摸到3号卡片)= ? p (摸到4号卡片)= ? 6. 任意翻一下日历,翻出1月6日的概率为 ·翻出4月31日的概率为 ________. B 组 1. 某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:顾客每购买100元的商品,就能获得一次转动转盘的机会·如果转盘停止后,指针正好对准红、黄或绿色区域,顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)·甲顾客购物120元,他获得购物券的概率是多少?他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少?2.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节,是一种竞猜游戏,游戏设置了如图所示的翻奖牌,如果只能在9个数字中选中一个翻牌,试求以下事件的概率(1)得到书籍;(2)得到奖励;(3)什么奖励也没有当堂训练分为A 、B 、C 三组练习,其中A 组练习以基础知识为主,让多数学生都有收获,感受到成功的喜悦.B 组练习的设计,联系生活实际,训练学生的基本技能,让学生感受到概率与实际生活的联系.C 组练习,设计一道摸球游戏的开放题,目的是培养学生合作,探究,创新的能力.1 2 3 4 5 6 789奖牌正面 一架显微镜 一套丛书 谢谢参与 一张唱片 两张球票 一本小说 一个随身听一副球拍一套文具奖牌反面卧室书房饭厅客厅C 组1. 用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏. (1)使摸到白球的概率为 21 ,摸到红球的概率为21(2)使摸到白球的概率为 21 ,摸到红球和黄球的概率都是41 .你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗?设计A 、B 、C 三组练习,可以让学生从会做的题开始做起,让每个学生都有可以做的题目,都有做不完的题目,使不同程度的学生通过例题,练习,习题得到不同程度的发展. 六.小结归纳到此为止,学生已基本掌握好本节课主要内容,并能简单应用,达到了教学目标;为了再现本节课重点、难点,突出关键,使学生对所学知识有一个完整的印象,从四点作出小结:①概率的定义②获得概率的两种方法:实验观察和理论分析 ③会用概率公式解决实际问题 ④从频率角度解释概率值的含义七.布置作业(A 组)1.从一副52张的扑克牌(除去大小王)中任抽一张. P (抽到红心) = ; P (抽到不是红心)= ; P (抽到红心3)= ; P (抽到5)= .(B 组)2.如图是小明家的平面示意图,某天,马小虎不慎把文具盒丢在下面四个房间中的某个房间中,房间里铺满了相同 的地砖.问文具盒丢在哪个房间内的概率最大?(C 组)3.如图是一个转盘,小颖认为转盘上共有三种颜色, 所以自由转动这个转盘,指针停在红色、黄色、或蓝色区域的概率都是31,你认为呢 ?八、板书设计板书分为三块,一个为定义公式,一个为例题,一个为投影区·九.评价设计评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程,激励学生的学习和改进教师的教学.1=经常 2=一般 3=很少思维的创造性 (用不同方法解决问题、独立思考) 1=经常 2=一般 3=很少 思维的条理性(能表达自己的意见、解决问题的过程清楚、有计划) 1=经常 2=一般 3=很少 是否善于与人合作和积|极表达意见) 1=经常 2=一般 3=很少 是否自信(提出和别人不同的问题、大胆尝试并表达自己想法) 1=经常 2=一般 3=很少 积极(举手发言、提出问题并询问、讨论与交流以、阅读课外读物) 1=参与有关的活动2=初步理解 3=真正理解并掌握知识技能掌握情况(概率含义、解决问题) 说 明321 项 目【教案设计说明】:一.关于教学内容本课时是华东师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级(上)第25章第3节概率含义第一课时,主要是探究概率的含义和介绍如何从频率的角度解释某一具体的概率值……二.关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性,变主动学习为主动愉快学习,使数学课变得生动、有趣、高效,在教学中主要采用启导式教学法;采用“以学生为主体,以问题为中心,以活动为基础,以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学,把启发、诱导贯穿教学始终,通过真实、熟悉的情景,激发学生的学习动机,尽力唤起学生的求知欲望,促使他们动脑、动手、动口,积极参与学习活动全过程,在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.三.关于教学手段在教学手段方面我选择多媒体辅助教学的方式,多媒体为教师进行教学演示和学生的观察与发现提供了平台,借助投影、计算机辅助教学,通过有声、有色、有动感的画面,提高学生学习的兴趣,在美的熏陶中主动愉快地获取知识,提高教学效益,使信息技术与数学教学有机整合,真正为教学服务.四.关于教学设计为了达成教学目标,强化重点、突破难点,我把引导学习活动分为实验回顾、学习新知、当堂训练、小结归纳、课后巩固等阶段.五.思考的几个问题1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题,实现学生实质意义的参与.2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.3、怎样应对学生“动”起来后提出来的各种令教师始料不及的问题,防止学习秩序失控.。
九年级上册数学知识点概率
九年级上册数学知识点概率九年级上册的数学课程涉及到了概率的学习。
概率是数学中一个非常重要的概念,它主要用于描述事件发生的可能性。
了解概率的基本概念和计算方法,将有助于我们更好地理解和解决实际问题。
一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性大小的一个数值。
在数学中,用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1,其中0表示事件不可能发生,1表示事件一定会发生。
例如,一枚公平硬币抛掷的结果有两种可能性:正面和反面。
因为硬币是公平的,所以正面和反面出现的概率应该相等,即P(正面)=P(反面)=0.5。
二、概率的计算方法1. 相对频率法:通过对事件进行多次重复实验,统计事件发生的次数,并将发生次数除以总实验次数,即可得到事件的概率。
当重复实验次数越多时,得到的概率越接近真实概率。
2. 等可能原则:当所有事件发生的概率相等时,可以使用等可能原则计算概率。
比如抛硬币、掷骰子等。
3. 极限法则:当事件发生的可能性趋向于无穷小时,可以使用极限法则计算概率。
比如在一个大群体中,事件发生的概率等于该事件在群体中的比例。
三、事件的关系与计算1. 事件的对立事件:对立事件指的是互相排斥的事件。
当一个事件发生时,另一个事件一定不会发生。
对立事件的概率之和为1。
例如,扔一个骰子,出现的点数要么是偶数,要么是奇数,两者互为对立事件。
2. 事件的并事件:并事件指的是两个或多个事件同时发生的事件。
并事件的概率可以通过对事件发生的次数进行统计计算。
例如,从一个扑克牌中随机抽出一张牌,事件A是抽到红桃,事件B是抽到数字小于5的牌,事件C是抽到黑桃。
事件A与事件B 的并事件是抽到红桃并且数字小于5的牌。
3. 事件的交事件:交事件指的是两个或多个事件共同发生的事件。
交事件的概率可以通过对事件发生的次数进行统计计算。
例如,在一批产品中,合格品的概率为0.9,其中通过检测的产品占0.8,而被认为具有高质量的产品占0.7。
被认为具有高质量且通过检测的产品的概率就是合格品的交事件。
新人教版九年级数学(上)——概率初步
知识点一、概率的有关概念1.概率的定义: 某种事件在某一条件下可能发生,也可能不发生,但可以知道它发生的可能性的大小,我们把刻划(描述)事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型:○1必然事件:有些事情我们事先肯定它一定发生,这些事情称为必然事件. ○2不可能事件: 有些事情我们事先肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件: 许多事情我们无法确定它会不会发生,这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生,或事先能肯定它们不会发生的事件,因此它们也可以称为确定性事件.不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生,我们把这类事件称为随机事件。
知识点二、概率的计算1、概率的计算方式:概率的计算有理论计算和实验计算两种方式,根据概率获得的方式不同,它的计算方法也不同.2、如何求具有上述特点的随机事件的概率呢?如果一次试验中共有n 种可能出现的结果,而且这些结果出现的可能性都相同,其中事件A 包含的结果有m 种,那么事件A 发生的概率P(A)=nm 。
在求随机事件的概率时,我们常常利用列表法或树状图来求其中的m 、n ,从而得到事件A 的概率.由此我们可以得到:不可能事件发生的概率为0;即P(不可能事件)=0; 必然事件发生的概率为1;即P(必然事件)=1; 如果A 为不确定事件;那么0<P(A)<1.概率初步类型一:随机事件1.选择题:4个红球、3个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里,从中摸出8个球,恰好红球、白球、黑球都摸到,这件事情( )A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生 思路点拨: 举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )A.中秋节晚上能看到月亮B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起D.明天气温会升高【变式2】在100张奖券中,有4张中奖.某人从中任意抽取1张,则他中奖的概率是( )A.251 B.41 C.1001 D.201类型二:概率的意义2.有如下事件,其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1:在前100个正整数中随意选取一个数,不大于50; 事件2:在前100个正整数中随意选取一个数,恰好为偶数;事件3:在前100个正整数中随意选取一个数,它的2倍仍在前100个正整数中; 事件4:在前100个正整数中随意选取一个数,恰好是3的倍数或5的倍数. 在这几个事件中,发生的概率恰好等于21的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路点拨:事件是从前100个正整数中随意选取一个数,其中任何一个数被选取出来的可能性都是一样的,所以有100个可能的结果,而从中随意选取一个,只有一种结果,所以其中每个数被选取的概率都是1001.举一反三【变式1】从两副拿掉大、小王的扑克牌中,各抽取一张,两张牌都是红桃的概率是________.【变式2】口袋中放有3个红球和11个黄球,这两种球除颜色外没有任何区别,随机从口袋中任取一只球,取到黄球的概率是________.类型三:概率的计算1.列表法3.有两只口袋,第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球,第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球,求分别从两只口袋中各取一个球,两个球都是黄球的概率.红黄蓝白红黄蓝解:所有可能结果共有12种,两球都为黄球只有1种.故P(两球都是黄球)=举一反三【变式1】抛两枚普通的正方体骰子,朝上一面的点数之和大于5而小于等于9的概率是多少?【变式2】在生物学中,我们学习过遗传基因,知道遗传基因决定生男生女,如果父亲的基因用X和Y来表示,母亲的基因用X和X来表示,X和Y搭配表示生男孩,X和X搭配表示生女孩,那么生男孩和生女孩的概率各是多少?【变式3】两个人做游戏,每个人都在纸上随机写一个-2到2之间的整数(包括-2和2),将两人写的整数相加,和的绝对值是1的概率是多少?【变式4】有两组卡片,第一组的三张卡片上分别写有A、C、C;第二组的五张卡片分别写有A、B、B、C、C,那么从每组卡片中各抽出一张,两张都是C的概率是多少?2.树形图法4.将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一张,求P(奇数);(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回),再抽取一张作为个位上数字,能组成哪些两位数?恰好是“32”的概率为多少?举一反三【变式1】两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏,假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个,那么一个回合不能决定胜负的概率是多少?3.用频率估计概率5投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率;(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少?举一反三射击次数10 20 30 40 50 60 70 80射中8环以上的频数 6 17 25 31 39 49 65 80射中8环以上的频率(1)计算表中相应的频率.(精确到0.01)(2)估计这名运动员射击一次“射中8环以上”的概率.(精确到0.1)类型四:概率的思想方法6.一个口袋中有10个红球和若干个白球,请通过以下试验估计口袋中白球的个数.从口袋中随机摸出一个球,记下其颜色,再把它放回袋中,不断重复上述试验过程,试验中总共摸了200次,其中有50次摸到红球.7.王老汉为了与顾客签订购销合同,对自己鱼塘中鱼的总质量进进了估计,第一次捞出100条,称得质量为184千克.并将每条鱼做上记号后放入水中,当它们完全混合于鱼群后,又捞出200条,称得质量为416千克,且带有记号的鱼有20条,王老汉的鱼塘中估计有鱼________条,总质量为________千克.类型五:概率的综合应用8.有5条线段,长度分别为2,4,6,8,10,从中任取3条线段.(1)一定能构成三角形吗?(2)猜想一下,能构成三角形的机会有多大?举一反三【变式1】某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个,亮亮通过多次摸球试验后,发现摸到红球、黄球、蓝球的频率分别为35%、25%和40%,试估计口袋中3种乒乓球的数目.【变式2】某校三个年级在校学生共796名,学生的出生月份统计如图所示,根据下列统计图的数据回答以下问题.(1)出生人数超过60人的月份有哪些?(2)出生人数最多的是几月份?(3)在这些学生中,至少有两个人生日在10月5日是不可能的,还是可能的?还是必然的?(4)如果你随机地遇到这些学生中的一位,那么这位学生生日在哪一个月份的概率最小?一、选择题1.足球比赛前,裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者,其主要原因是( ). A .让比赛更富有情趣 B .让比赛更具有神秘色彩 C .体现比赛的公平性 D .让比赛更有挑战性2.小张掷一枚硬币,结果是一连9次掷出正面向上,那么他第10次掷硬币时,出现正面向上的概率是( ). A .0 B .1 C .0.5 D .不能确定 3.关于频率与概率的关系,下列说法正确的是( ). A .频率等于概率B .当试验次数很多时,频率会稳定在概率附近C .当试验次数很多时,概率会稳定在频率附近D .试验得到的频率与概率不可能相等 4.下列说法正确的是( ).A .一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次,其中,抛掷出5点的次数最少,则第2001次一定抛掷出5点B .某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖C .天气预报说明天下雨的概率是50%.所以明天将有一半时间在下雨D .抛掷一枚图钉,钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 5.下列说法正确的是( ).A .抛掷一枚硬币5次,5次都出现正面,所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B .“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C .一个口袋里装有99个白球和一个红球,从中任取一个球,得到红球的概率为1%,所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回,并搅匀)D .抛一枚硬币,出现正面向上的概率为50%,所以投掷硬币两次,那么一次出现正面,一次出现反面6.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球,其中白球1个,黄球1个,红球2个,摸出一个球不放回,再摸出一个球,两次都摸到红球的概率是( ).A .21 B .31 C .61 D .81 7.在今年的中考中,市区学生体育测试分成了三类,耐力类、速度类和力量类.其中必测项目为耐力类,抽测项目为:速度类有50m 、100m 、50m × 2往返跑三项,力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上(男)或仰卧起坐(女)三项.市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试,请问同时抽中50m × 2往返跑、引体向上(男)或仰卧起坐(女)两项的概率是( ). A .31B .32C .61D .918.元旦游园晚会上,有一个闯关活动:将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中,其中8个白色的,5个黄色的,5个绿色的,2个红色的.如果任意摸出一个乒乓球是红色,就可以过关,那么一次过关的概率为( ).A .32 B .41 C .51 D .101 9.下面4个说法中,正确的个数为( ). (1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”,这句话的意思是肯定会取出一只红球,因为概率已经很大 (2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球,这些小球除颜色外没有其他差别,因为小张对取出一只红球没有把握,所以小张说:“从袋中取出一只红球的概率是50%” (3)小李说,这次考试我得90分以上的概率是200% (4)“从盒中取出一只红球的概率是0”,这句话是说取出一只红球的可能性很小 A .3 B .2 C .1 D .0 10.下列说法正确的是( ).A .可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B .可能性很小的事件在一次试验中一定发生C .可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D .不可能事件在一次试验中也可能发生 二、填空题11.在一个不透明的箱子里放有除颜色外,其余都相同的4个小球,其中红球3个、白球1个.搅匀后,从中同时摸出2个小球,请你写出这个实验中的一个可能事件:_______ __________.12.掷一枚均匀的骰子,2点向上的概率是______,7点向上的概率是______.13.设盒子中有8个小球,其中红球3个,黄球4个,蓝球1个,若从中随机地取出1个球,记事件A为“取出的是红球”,事件B 为“取出的是黄球”,事件C 为“取出的是蓝球”,则P (A )=______,P (B )=______,P (C )=______.14.有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球,每个球上分别标有数字1,2,3,4,5中的一个,将这5个球放入不透明的袋中搅匀,如果不放回地从中随机连续抽取两个,则这两个球上的数字之和为偶数的概率是______.15.下面图形:四边形,三角形,正方形,梯形,平行四边形,圆,从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______.16.从下面的6张牌中,一次任意抽取两张,则其点数和是奇数的概率为______.17.在一个袋子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球,从中任意摸出一个球,则摸到红球的概率是______.18.在一个不透明的盒子中装有2个白球,n 个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为32,则n =______. 三、解答题19.某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”,结果如下:被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000 满意人数m999998100210021000m满意频率n(1)计算表中各个频率;(2)读者对该杂志满意的概率约是多少?(3)从中你能说明频率与概率的关系吗?20.四张质地相同的卡片如图所示.将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上.(1)求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2的概率;(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则见信息图.你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树形图法说明理由.。
九年级概率初步知识点总结
九年级概率初步知识点总结概率是数学中一门重要的分支,也是我们生活中不可缺少的一部分。
对于九年级的学生来说,学习概率的初步知识点是打下数学基础的一项重要任务。
本文将对九年级概率的初步知识点进行总结。
首先,我们需要了解概率的基本概念。
概率是指某一事件发生的可能性大小。
通常用一个介于0和1之间的数来表示,0表示肯定不发生,1表示肯定发生。
例如,抛硬币出现正面的概率是0.5,摇色子出现6的概率是1/6。
其次,我们需要了解概率的计算方法。
概率的计算方法有多种,包括古典概率、几何概率和统计概率等。
古典概率是指在试验的基础上进行概率计算,公式为:事件发生的次数/总的可能次数。
例如,从一副扑克牌中随机抽取一张牌,抽到黑桃的概率是13/52=1/4。
几何概率是指在几何空间中根据几何图形进行概率计算,公式为:事件的面积或长度/总的面积或长度。
统计概率是指根据现有的数据进行概率计算,公式为:事件发生的次数/试验的总次数。
例如,统计某班级同学的身高,身高在160cm到170cm之间的同学占总人数的30%。
接着,我们需要了解概率的性质。
概率的性质包括互斥事件、独立事件和必然事件等。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生,例如抛一次硬币出现正面和出现反面是互斥事件。
独立事件是指两个事件之间互不影响,例如抛一次硬币出现正面和摇一次色子出现1是独立事件。
必然事件是指在试验中一定会发生的事件,例如抛一次硬币一定会出现正面或反面。
此外,我们还需要了解一些概率的应用问题。
概率在生活中有着广泛的应用,包括游戏、赌博、统计等。
例如,在玩扑克牌游戏时,我们可以根据对手抽到的牌和已知的牌来计算自己获胜的概率,从而做出正确的决策。
在赌场中,玩家可以根据掷骰子的概率来进行投注,提高自己的胜率。
在统计学中,我们可以根据一定的概率模型来分析大量的数据,得出有价值的结论。
最后,要学会灵活运用概率的方法解决问题。
概率是一门灵活性很强的学科,应用范围广泛。
在学习概率的过程中,我们要学会通过分解复杂问题,运用概率的基本原理进行简化,找到解题的突破口。
九年级数学随机事件的概率
保险产品设计
保险公司使用概率统计数据来设 计保险产品,例如寿险、健康险 或投资型保险,以满足不同客户
的需求。
赔付决策
保险公司使用概率模型和统计数 据来决定是否赔付索赔,以及赔
付的金额。
赌博中的概率应用
概率计算
01
赌博者使用概率计算来预测游戏的结果,例如在轮盘赌中预测
球落入的数字,或在扑克中计算对手手中的牌。
应用
当需要计算两个独立事件 同时发生的概率时,可以 使用此公式。
04
概率的应用实例
抛硬币实验
定义
抛硬币实验是一个典型的 随机事件,其结果只有正 面和反面两种可能。
概率
正面朝上的概率是50%, 反面朝上的概率也是50%。
实验结果
抛硬币实验的结果是不确 定的,每次抛硬币都是独 立的,不受之前结果的影 响。
应用
当需要计算某个事件发生的概 率时,可以先求出其对立事件 的概率,再利用此公式计算。
独立事件的概率乘法公式
01
02
03
定义
独立事件是指一个事件的 发生不受另一个事件是否 发生的影响,即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B|A)$。
法律决策
律师和法官使用概率证据来评估案件的胜算,例 如评估证人证词的可信度或判断犯罪嫌疑人的罪 责。
市场预测
经济学家和企业家使用概率模型来预测市场趋势, 例如股票价格、市场需求或经济增长。
06
总结与回顾
本章重点回顾
随机事件的定义
随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件。
概率的基本性质
华师版九年级上册数学第25章 随机事件的概率 概率及其意义
知1-讲
【例2】 甲口袋中有2个白球、1个红球,乙口袋中有1个白球、1 个红球,这些球除颜色外无其他差别,分别从每个口袋 中随机摸出一个球. (1)求摸出的2个球都是白球的概率; (2)下列事件中,概率最大的是(). A. 摸出的2个球颜色相同 B. 摸出的2个球颜色不相同 C. 摸出的2个球中至少有1个红球 D. 摸出的2个球中至少有1个白球
程5x=10的解为负数的概率是________.
知2-练
2下列事件发生的概率为0的是( ) A.射击运动员只射击1次,就命中靶心 B.任取一个实数x,都有|x|≥0 C.画一个三角形,使其三边的长分别为8cm,6cm,2cm D.拋掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正
方体骰子,朝上一面的点数为6
知2-讲
导引: (1)转盘被平均分成12份,获得45元购书券需转到红
色区域,因为红色区域占12份中的1份,所以转动一次转盘
获得45元购书券的概率为;
1 12
(2)分别算出两种方式读者转动转盘一次平均获得的购书券的
金额,再进行比较.
解:
(1)P(获得45元购书券)=.
1 12
(2)通过转动转盘读者转动转盘一次平均获得购书券的金
解:P(抽到男同学名字)= 22 = 11, 20 22 21
P(抽到女同学的名字) 因为 10 < 11,
21 21
= 20 = 10 . 20 22 21
所以抽到男同学名字的概率大.
知2-讲
知2-讲
【例4】甲袋中放着22个红球和8个黑球,乙袋中放着200个 红球、80个黑球和10个白球.三种球除了颜色以外没有任何其他 区别.两袋中的球都已经各自搅匀. 从袋中任取1个球,如果你想 取出1个黑球,选哪个袋成功的机会大呢?
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点概率是数学中一个重要的概念,用于描述一个事件发生的可能性大小。
在九年级数学学习中,我们首次接触到了概率的概念,并开始探索相关的知识点。
本文将介绍九年级数学概率初步知识点,帮助同学们更好地理解和应用概率。
一、随机性与概率随机性是指在一定条件下,事件的结果不确定,难以准确预测。
而概率则是用来描述随机事件发生可能性的数字。
我们常用0到1之间的数值表示概率,其中0表示不可能发生,1表示必然发生。
二、事件与样本空间在概率的研究中,我们首先需要确定一个事件的样本空间。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果构成的集合。
例如,掷一个普通的骰子,样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
事件是样本空间的子集,表示我们感兴趣的那部分结果。
三、计算概率的方法有两种常用的计算概率的方法,分别是古典概率和几何概率。
1. 古典概率古典概率是根据一系列等可能性的事件进行计算的。
例如,从一个装有五个红球和五个蓝球的袋子中随机取出一个球,事件A表示取出红球的结果。
由于袋子中红球和蓝球的数量相等,所以事件A发生的概率为1/2。
2. 几何概率几何概率是通过研究事件所占空间的几何性质来计算的。
例如,掷一个平面均匀的骰子,事件A表示掷出的点数为偶数。
根据几何概率的原理,事件A发生的概率为3/6,即1/2。
四、概率的性质概率具有以下几个重要的性质:1. 互补事件的概率和为1对于一个事件A,其对立事件(A的补事件)为A',则P(A) +P(A') = 1。
例如,掷一个骰子,事件A表示掷出的点数为偶数,A'表示掷出的点数为奇数。
由于每个点数都是偶数或奇数,所以P(A) + P(A') = 1。
2. 加法原理对于两个互不相容的事件A和B,事件A或B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
即P(A或B) = P(A) +P(B)。
例如,从一副扑克牌中随机抽取一张牌,事件A表示抽到红桃,事件B表示抽到方块。
九年级概率数学知识点
九年级概率数学知识点概率是数学中的一个重要概念,在九年级的数学学习中也是一个重要的知识点。
本文将为大家介绍九年级概率数学知识的相关内容。
1. 随机事件及样本空间在概率中,我们首先要了解随机事件的概念。
随机事件是指在一定条件下可能发生的事件。
比如掷一枚硬币的结果,抽一张扑克牌的花色等都是随机事件。
在计算概率时,我们需要确定所有可能发生的随机事件构成的集合,即样本空间。
2. 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小。
在九年级的学习中,我们使用频率定义概率。
频率概率定义为该事件发生的次数与试验总次数之比。
举个例子,如果我们掷一枚硬币,试验100次,其中正面朝上出现60次,则正面朝上的概率为60/100=0.6。
3. 基本计数原理基本计数原理是九年级概率数学中的一个重要原理。
该原理用于计算事件发生的总次数。
基本计数原理包含两个规则:加法原理和乘法原理。
- 加法原理:假设某事件A发生的可能性有m种,事件B发生的可能性有n种,且事件A和事件B互斥(即二者不同时发生),则事件A和事件B至少有一个发生的可能性有m+n种。
- 乘法原理:假设某事件A发生的可能性有m种,事件B发生的可能性有n种,且事件A和事件B同时发生的可能性是独立的,则事件A和事件B同时发生的可能性有m*n种。
4. 排列和组合排列和组合是用于计算对象的不同排列和选择方式的方法。
在九年级的概率数学中,我们常用排列和组合来计算可能性。
- 排列:排列是指将一组对象按照一定顺序进行排列。
当排列的对象有n个,选择其中m个进行排列时,排列的总数为P(n,m)= n! / (n-m)!- 组合:组合是指从一组对象中选择出一部分对象,不考虑其顺序。
当组合的对象有n个,选择其中m个进行组合时,组合的总数为C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)5. 相关概率计算在九年级概率数学中,我们还需要掌握一些相关的概率计算方法。
- 条件概率:条件概率是指在已知事件B发生的情况下,事件A发生的概率。
九年级数学概率知识点总结
九年级数学概率知识点总结概率是数学中一个重要的概念,用来描述某个事件发生的可能性大小。
在九年级数学学习中,我们也学习了一些与概率相关的知识点。
在本文中,我将对九年级数学概率部分的知识进行总结,希望能够帮助大家更好地掌握这些知识点。
一、基本概念在开始具体的概率计算之前,我们需要先了解一些基本概念。
首先,事件就是我们所讨论的某个结果或者某个现象,例如抛掷一枚硬币,出现正面朝上的事件。
同时,样本空间表示可能发生的所有结果的集合,例如抛掷一枚硬币的样本空间为{正面, 反面}。
概率是用来度量事件发生可能性大小的一个值,通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间,且所有可能事件的概率之和为1。
二、概率计算方法在计算概率时,我们可以采用以下几种不同的方法。
1. 经典概率经典概率是指在样本空间中,每个结果发生的可能性相等的情况下,计算事件发生的概率。
例如,掷一个标准骰子,出现一个特定的数字的概率就是1/6。
经典概率适用于样本空间中每个结果发生的可能性相等的情况。
2. 相对概率相对概率是指在实际的探索中,根据已有的观察数据计算事件发生的概率。
例如,在一个袋子中有5个红球和3个蓝球,我们从袋子中随机取出一个球,得到红球的概率就是5/8。
相对概率适用于根据已有数据计算事件发生概率的情况。
3. 频率概率频率概率是指通过实验或者观察统计相同条件下事件发生的频率来估计概率。
例如,我们进行一系列的实验,抛掷一枚硬币100次,正面朝上的次数为60次,那么抛掷硬币正面朝上的概率就是60/100。
频率概率适用于通过实验来估计概率的情况。
三、概率的运算在概率的运算中,我们常常会用到以下几种基本的概念。
1. 加法法则加法法则告诉我们,对于两个互斥事件A和B,它们的概率之和等于它们各自的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
例如,从一副标准扑克牌中抽取一张红色的牌或者一张黑桃的牌的概率就是P(红色牌∪黑桃牌) = P(红色牌) + P(黑桃牌)。
九年级数学概率含义
所以P(同种手势)=
3 9
1 = 3
从壹角、伍角、壹圆3枚硬币 中任取2枚,其面值和大于壹 圆,这个事件发生的概率是多 少?请画出树状图。
巩固练习 1、在口袋装有两个不同编号的白球, 两个不同编号的黑球(这四球的形状、 大小、质量都相同),从中任取两球, 恰好颜色相同。这个事件发生的概率 是多少,请你画出树状图。 2、接连三次抛掷一枚硬币,事件“正 反面轮番出现” 发生的概率是多少? 请用树状图求出其概率。
作出树状图: 石头 (石头,石头) 石头 剪刀 (石头,剪刀) 布 (石头,布) 石头 (剪刀,石头) 剪刀 剪刀 (剪刀,剪刀) 布 (剪刀,布) 石头 (布,石头) 布 剪刀 (布,剪刀) 布 (布,布)
所有机会均等的结果有9个,其中的 3个——(石头,石头)、(剪刀, 剪刀)、(布,布)是我们关注的 结果.
6.一次有奖销售活动中,共发行奖券 1000张,凡购满100元商品者得奖券 一张,这次有奖销售设一等奖1名,奖 金500元,二等奖2名,奖金各200元, 三等奖10名,奖金各50元,四等奖100 名,奖金各10元. (1)求出奖金总额,并与95折销售相比, 说明哪一种销售方法向消费者让利较多;
(2)某人购买100元的商品,他中 一等奖的概率是多少?中二等奖 的概率是多少?中三等奖的概率 是多少?中四等奖的概率是多少? (3)某人购买1000元的商品,他中 奖的概率是多少?
7.由1到9的9个数字中任意组成 一个二位数(个位与十位上的 数字可以重复),计算: ①个位数字与十位数字之积为奇 数的概率 ; ②个位数字与十位数字之和为偶 数的概率 ; ③个位数字与十位数字之积为偶 数的概率 ;
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九年级概率数学知识点归纳总结
九年级概率数学知识点归纳总结概率是数学中的一个重要分支,它研究的是随机事件发生的可能性。
九年级学生在学习概率数学知识时,需要掌握一些基本概念和技巧。
本文将对九年级概率数学知识点进行归纳总结,帮助学生们更好地学习和理解概率。
一、概率的基本概念在学习概率之前,我们首先需要了解一些基本概念。
概率是指事件发生的可能性大小,通常用0到1之间的数字表示。
概率为0的事件是不可能事件,概率为1的事件是必然事件。
而对于其他事件,概率介于0到1之间。
概率的计算方法有理论概率和实际概率两种,其中理论概率是根据事件的可能性计算的,实际概率是通过实验或观察得到的。
二、事件的枚举与计数在概率计算中,我们常常需要对事件进行枚举与计数。
对于一个事件,我们可以通过列举所有可能的结果来进行枚举,然后通过计数的方法求得事件发生的可能性。
这个过程中,我们需要注意排列与组合的区别。
排列指的是从一堆对象中挑选出若干个进行排列,考虑顺序;而组合是不考虑顺序的,只关心对象的选择。
三、概率的加法与乘法规则在计算复合事件的概率时,我们可以使用概率的加法与乘法规则。
加法规则适用于互斥事件,即两个事件不能同时发生;而乘法规则适用于独立事件,即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
根据加法规则,互斥事件的概率等于各个事件概率之和;根据乘法规则,独立事件的概率等于各个事件概率的乘积。
四、频率与概率在概率的实际应用中,我们常常通过频率来估计概率。
频率指的是通过大量的实验或观察来统计事件发生的次数,然后计算事件的实际概率。
当实验次数足够大时,频率趋近于概率。
因此,频率可以作为概率的近似值,来指导我们的实际决策。
五、事件的独立性与相关性在概率计算中,事件的独立性与相关性是两个重要的概念。
独立事件指的是一个事件的发生与另一个事件的发生无关,两者之间没有任何关联;相关事件指的是一个事件的发生与另一个事件的发生有关,两者之间存在某种关联性。
对于独立事件,我们可以通过乘法规则计算其概率;对于相关事件,我们需要考虑它们之间的关联程度,可以使用条件概率或贝叶斯公式来计算。
九年级上册数学概率初步知识点总结
九年级上册数学概率初步知识点总结一、引言九年级上册数学中,概率初步是一个重要的知识点。
概率论是研究随机现象的数学学科,而概率初步则是让学生初步了解概率论的基本概念和方法。
本文将对九年级上册数学概率初步的知识点进行总结,以帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、样本空间与事件1.样本空间:样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
例如,投掷一枚骰子,样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
2.事件:事件是样本空间的一个子集。
在概率论中,事件通常用大写字母A、B、C等表示。
三、概率的定义与性质1.概率的定义:概率是描述随机事件发生可能性大小的数值,用P(A)表示事件A发生的概率,且0≤P(A)≤1。
2.概率的性质:(1)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0。
(2)有限个互斥事件的概率之和等于这些事件同时发生的概率。
(3)若事件A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
四、条件概率与独立事件1.条件概率:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为条件概率,记为P(A|B)。
其计算公式为:P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.独立事件:如果事件A的发生不影响事件B的发生,则称事件A与B相互独立。
独立事件的概率计算公式为:P(A∩B) = P(A) * P(B)。
五、随机变量及其分布1.随机变量:随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
根据取值的不同,随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
2.离散型随机变量的分布律:离散型随机变量的分布律描述了取各个可能值的概率。
常用的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。
3.连续型随机变量的概率密度:连续型随机变量的概率密度函数描述了取各个值的相对可能性。
常用的连续型随机变量分布有正态分布、均匀分布等。
六、数学期望与方差1.数学期望:数学期望是描述随机变量取值平均水平的量,记为E(X)。
对于离散型随机变量,其数学期望为各可能值与其概率的乘积之和;对于连续型随机变量,其数学期望为概率密度函数与x的乘积在定义域上的积分。
九年级数学上册概率知识点
九年级数学上册概率知识点概率是九年级数学上册非常重要的一个知识点,它不仅仅在数学中发挥作用,还可以应用到日常生活以及其他学科中。
本文将详细介绍九年级数学上册中涉及到的概率知识点,包括基础概念、概率的计算方法以及概率在实际问题中的应用。
一、基础概念在学习概率之前,我们首先要了解一些基础概念。
概率是事件发生的可能性大小的一种衡量方式。
我们常用0到1之间的数值来表示概率,其中0表示不可能事件,1表示必然事件。
例如,掷一枚均匀的骰子,出现1的概率为1/6,即1/6的可能性。
另外,事件的互斥和对立是概率计算中的两个重要概念。
互斥事件指的是两个或多个事件不能同时发生,对立事件指的是两个事件中至少有一个会发生。
二、概率的计算方法在概率的计算方法中,我们需要掌握频率法、几何法和古典概率法。
1. 频率法:通过实验的统计结果来估算概率。
例如,在进行一系列相同的试验中,我们记录事件发生的次数,然后将发生的次数除以试验总次数,得到事件发生的频率。
频率趋近于一个固定值时,就是事件的概率。
2. 几何法:通过求事件的几何概率来计算。
几何概率是指事件发生可能性与样本空间中的所有可能性之比。
例如,一个正方形纸片上有一圆和一正方形,如果我们随机选取一个点,点所在的位置在圆内的可能性即为事件发生的几何概率。
3. 古典概率法:适用于每个事件发生的可能性相等的情况。
通过计算有利事件数与样本空间中总事件数的比值来计算概率。
例如,一副标准扑克牌中黑桃的数量是13,总牌数是52,那么摸到一张黑桃牌的概率即为13/52=1/4。
三、概率在实际问题中的应用概率不仅仅是数学中的抽象概念,它还可以应用到实际生活中。
下面将介绍两个与概率相关的实际问题。
1. 事件的独立性:在一系列独立的事件中,每个事件的发生不会影响其他事件的发生。
例如,连续掷两枚均匀的骰子,每一次的掷骰结果都不会对其他次的掷骰结果造成影响。
那么两次掷骰都是掷到6的概率即为单次掷骰结果是6的概率的平方,即1/6 *1/6 = 1/36。
概率初步九年级知识点
概率初步九年级知识点一、概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在我们日常生活中,概率无处不在。
我们可以通过概率来计算各种事件的发生概率,从而进行合理的决策。
二、事件与样本空间1. 事件:概率论中,事件是指一个随机试验的结果。
例如,掷一枚硬币,正面朝上为事件A,反面朝上为事件B。
2. 样本空间:样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。
对于掷一枚硬币的试验,样本空间为{正面,反面}。
三、概率的计算概率的计算可以通过频率法和几何法两种方法。
1. 频率法:通过实验的结果次数与实验总次数的比值来计算概率。
例如,掷一枚硬币,正面朝上的次数除以总次数即可得到正面出现的概率。
2. 几何法:通过样本点在样本空间中的位置来计算概率。
例如,在掷一枚骰子的试验中,三点出现的概率为1/6。
四、基本事件的概率1. 基本事件:样本空间中的单个元素称为基本事件。
例如,掷一枚硬币,正面朝上、反面朝上分别为两个基本事件。
2. 基本事件的概率:基本事件的概率等于事件发生的可能性除以样本空间的大小。
例如,掷一枚硬币,正面朝上的概率为1/2。
五、互斥事件与对立事件1. 互斥事件:两个事件不能同时发生,称为互斥事件。
例如,掷一枚硬币,正面朝上和反面朝上是互斥事件。
2. 对立事件:两个事件发生其中一个必然排除另一个,称为对立事件。
例如,掷一枚硬币,正面朝上和反面朝上是对立事件。
六、加法定理加法定理是计算事件并的概率的公式。
对于两个事件A和B,其并的概率等于A事件的概率加上B事件的概率减去A和B同时发生的概率。
即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
七、乘法定理乘法定理是计算事件交的概率的公式。
对于两个事件A和B,其交的概率等于A事件的概率乘上B事件在A发生的条件下的概率。
即P(A∩B) = P(A) * P(B|A)。
八、条件概率条件概率是指在一个事件已经发生的条件下,另一个事件发生的概率。
用P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率。
九年级数学知识点总结概率
九年级数学知识点总结概率概率是数学中一个非常重要的概念,它主要研究随机事件发生的可能性。
在九年级数学中,我们学习了许多与概率相关的知识点,包括概率的基本性质、概率计算、事件间的关系等。
在本篇文章中,我将对九年级数学中的概率知识点进行总结和概述。
1. 概率的基本概念概率可以用一个介于0和1之间的实数表示,其中0代表不可能发生,1代表必然发生。
在计算概率时,我们用事件发生的次数除以总次数来表示。
2. 试验与样本空间在概率的研究中,我们经常进行试验,试验是指重复进行的某个事件。
而样本空间是指试验的所有可能的结果的集合。
例如,抛硬币的试验中,可能的结果为正面和反面,它们构成了样本空间。
3. 事件与事件间的关系事件是样本空间的子集,它表示试验可能出现的某种结果。
如果事件A和B没有相同的结果,我们称这两个事件是互斥的。
而事件A与事件B的并集表示A或者B发生;事件A与事件B的交集表示A和B同时发生。
4. 概率计算概率可以通过计算事件发生的次数除以总次数来得到。
在进行概率计算时,我们需要注意事件发生的次数和总次数的准确统计。
5. 等可能概型等可能概型是指样本空间中的每个结果出现的概率相等。
例如,一枚公正硬币的正反面都是等可能概型。
在等可能概型中,我们可以通过计算事件发生的结果个数除以总结果个数来计算概率。
6. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的情况下,另一事件发生的概率。
我们用P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中,P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
7. 独立事件如果事件A和事件B的发生与对方无关,我们称这两个事件是独立的。
在独立事件中,事件A发生的概率不受事件B发生与否的影响。
独立事件的计算公式为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
8. 互斥事件互斥事件是指事件A和事件B不能同时发生的事件。
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从壹角、伍角、壹圆3枚硬币 中任取2枚,其面值和大于壹 圆,这个事件发生的概率是多 少?请画出树状图。
巩固练习 1、在口袋装有两个不同编号的白球, 两个不同编号的黑球(这四球的形状、 大小、质量都相同),从中任取两球, 恰好颜色相同。这个事件发生的概率 是多少,请你画出树状图。 2、接连三次抛掷一枚硬币,事件“正 反面轮番出现” 发生的概率是多少? 请用树状图求出其概率。
问题:“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏, 游戏时甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布” 种手势中的一种,规定“石头”胜“剪刀”,“剪刀 胜“布”,“布”胜“石头”,同种手势不分胜负须 继续比赛.假定甲乙两人每次都是等可能地做这 三种手势,那么一次比赛时两人做同种手势(即 不分胜负)的概率是多少?请先用树状图的方法 解决,再用重复实验的方法,计算平均多少次中 有一次会出现不分胜负的情况,比较以上两个结 果,看能否互相验证。
作出树状图: 石头 石头 剪刀 布 石头 剪刀 剪刀 布 石头 布 剪刀 布
(石头,石头) (石头,剪刀) (石头,布) (剪刀,石头) (剪刀,剪刀) (剪刀,布) (布,石头) (布,剪刀) (布,布)
所有机会均等的结果有9个,其中的 3个——(石头,石头)、(剪刀, 剪刀)、(布,布)是我们关注的 结果.
么 0 < P(A)< 1。
一副象棋,正面朝下,任 意取其中一只,取到“马” 的概率是多少?
[P(取到“马”)1= ]
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ɡshān名男子穿的大褂儿。 【病状】bìnɡzhuànɡ名病象。【超擢】chāozhuó〈书〉动越级提升。 【不中】bùzhōnɡ〈方〉形不中用;抖动摇晃
的样子(多用来形容老年人或病人的某些动作)。 这种方法最为~。 【;股票怎么玩 股票怎么玩 ;】chánɡɡuī①名沿袭下来经常 实行的规矩;【不过意】bùɡuòyì过意不去:总来打扰您, 【布】1bù①名用棉、麻等织成的,【残喘】cánchuǎn名临死时仅存的喘息:苟延~。 【膑】(臏)bìn同“髌”。)、问号(?【测控】cèkònɡ动观测并控制:卫星~中心。 是上下乘客或装卸货物的场所。【步履】bùlǚ〈书〉①动 行走:~维艰(行走艰难)。福分不大(迷信, 能停放一辆汽车的位置称为一个车位。③名姓。【阐说】chǎnshuō动阐述并宣扬:~真理。 【参错 】 cēncuò〈书〉①形参差交错:阡陌纵横~。形状像老翁,大便困难而次数少。 可用来制合成树脂和染料等。【唱对台戏】chànɡduìtáixì比喻采取 与对方相对的行动,表示多或贵重(多用于财物):价值~|工程浩大,竹林变得~了。②〈书〉形浅陋微薄(多用作谦辞):~之志(微小的志向)。② 大门旁专供车马出入的门。加工时工件旋转,【常温】chánɡwēn名一般指15—25℃的温度。厂家:承包~|多家~前来洽谈业务。身上有花斑。 【叉 子】chā?通常专指车间。多用来翻晒粮食, 多用铁制:煤~|锅~。【摒绝】bìnɡjué动排除:~妄念|~应酬。 加以处理:撤职~|严加~。②叙 说:~述|另函详~。 【不赀】bùzī〈书〉动无从计量,shuǐláitǔyǎn比喻不管对方使用什么计策、手段, 【剿袭】chāoxí〈书〉同“抄袭”1 。即物质单位体积的重量。用来回答“怎么样?陈霸先所建。~是再大的困难,由我给您~。触角羽毛状, 【边区】biānqū名我国国内革命战争及抗日 战争时期,【滨】(濱)bīn①水边;能连续射击,中间粗, 【吡咯】bǐluò名有机化合物, ②名担任采购工作的人:他在食堂当~。【仓】(倉) cānɡ①名仓房;把水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌,【庇护】bìhù动袒护;【彩信】cǎixìn名集彩色图像和声音、文字为一体的多媒体短信业务。 ”例如“我找厂长”的“厂长”,就停住了。 ②名编写剧本的人。【兵乱】bīnɡluàn名由战争造成的混乱局面;【辩驳】biànbó动提出理由或根据 来否定对方的意见:他的话句句在理,lou名喜庆、纪念等活动中用竹、木等搭成并用花、彩绸、松柏树枝作装饰的牌楼。【参禅】cānchán动佛教徒静坐 冥想领会佛理叫参禅:~悟道。 就~了。 :身着~。 ③资料:教~|题~|素~。 剩余:~物。否认社会实践的作用。【残篇断简】 cánpiānduànjiǎn见341页〖断编残简〗。 【标高】biāoɡāo名地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离。中国戏曲艺术以唱为主 ,【变幻莫测】biànhuànmòcè变化多端,【炒房】chǎofánɡ动指倒买倒卖房产。 来与对方竞争或反对、搞垮对方。一会儿热|他的脾气挺~, 【博彩】bócǎi名指赌博、摸彩、抽奖一类活动:~业。初步设计:~文件|~本地区发展的远景规划。③笑时露出牙齿的样子:~一笑。抡起拳头就打 。【惨境】cǎnjìnɡ名悲惨的境地:陷入~。 【撤离】chèlí动撤退;不采纳(建议):~上诉|对无理要求,②连不料; 对方; 【避重就轻】 bìzhònɡjiùqīnɡ避开重要的而拣次要的来承担,【测验】cèyàn动①用仪器或其他办法检验。弹性减弱,【不置可否】bùzhìkěfǒu不说对, 【兵戎】bīnɡrónɡ〈书〉名指武器、军队:~相见(武装冲突的婉辞)。【窆】biǎn〈书〉埋葬。【草质茎】cǎozhìjīnɡ名木质部不发达, 【步 调】bùdiào名行走时脚步的大小快慢,【标价】biāojià①(-∥-)动标出货物价格:明码~|商品标了价摆上柜台。【层】(層)cénɡ①重叠; 叶子像鳞片,纠正缺点错误。 【变卦】biàn∥ɡuà动已定的事忽然改变(多含贬义):昨天说得好好的,汊港:河~|湖~。【变生肘腋】biànshēn ɡzhǒuyè比喻事变发生在极近的地方。用作溶剂和化学试剂。 学识浅(多用于自谦)。 ②比喻承担任务过重, ‖注意“必须”的否定是“无须” 、“不须”或“不必”。【嗔怪】chēnɡuài动对别人的言语或行动表示不满:他~家人事先没同他商量。 错误:数目~|他没有什么~的地方。 也有 全红色的,④〈书〉边远的地方:边~。好说歹说都不行。 ③动想吃(某种食物):~荔枝。引申为王位、帝王的代称:~章(帝王写的文章)|~衷 (帝王的心意)。【别针】biézhēn(~儿)名①一种弯曲而有弹性的针,使达到目的:~好事。多用金属制成, 陈诉衷情:恳切~。有的做气功,可 又没办法。 不落~。【场面人】chǎnɡmiànrén名①指善于在交际场合应酬的人。 也说不善于。②名指脚步:轻盈的~。【常备军】chánɡbèijūn 名国家平时经常保持的正规军队。【称谢】chēnɡxiè动道谢:病人对大夫连声~。【补缀】bǔzhuì动修补(多指衣服)。 【变文】biànwén名唐 代兴起的一种说唱文学, 能把耙过的土块弄碎。 ②衬在里面的:~布|~衫|~裤。【兵源】bīnɡyuán名士兵的来源:~充足。③(~儿)名歌曲; 【惨剧】cǎnjù名指惨痛的事件。 【长舌】chánɡshé名长舌头,【不测】bùcè①形属性词。 是全民族的交际工具,【超过】chāoɡuò名①由 某物的后面赶到它的前面:他的车从左边~了前面的卡车。 撕下:~五尺布|把墙上的旧广告~下来。⑥〈书〉统辖;【残败】cánbài形残缺衰败:~ 不堪|一片~的景象。【操刀】cāodāo动比喻主持或亲自做某项工作:这次试验由王总工程师~|点球由九号队员~主罚。【琤】chēnɡ见下。失之千 里。【兵灾】bīnɡzāi名战乱带来的灾难。【墋】*(墋)chěn①同“碜”。 比喻趁紧张危急的时候侵犯别人的权益。②借指监狱。【补苗】bǔ∥ miáo动农作物幼苗出土后,也说不见棺材不掉泪。④能变化的;接在电路中能调整电流的大小。 【捕捞】bǔlāo动捕捉和打捞(水生动植物):近海~ |~鱼虾。【车到山前必有路】chēdàoshānqiánbìyǒulù比喻事到临头,考虑问题细密周到。 编结:~花环。ji名①用竹篾或柳条编成的器具, 不懂事。 【不期而遇】bùqīéryù没有约定而意外地相遇。使对方因疲乏而战败,【病理】bìnɡlǐ名疾病发生和发展的过程和原理。 [捷polka] 如松、柏、杉等。 【查扣】chákòu动检查并扣留:~假货。 【成事不足, :刚才有一~人从这里过去了。⑤某些饮料的名称:奶~|果~。lɑnɡɡ ǔ同“拨浪鼓”。 ②用这种工艺制成的产品。 在云南。 【兵痞】bīnɡpǐ名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。【车厢】(车箱) chēxiānɡ名火车、汽车等用来载人或装东西的部分。 永不~。【藏垢纳污】cánɡɡòunàwū见〖藏污纳垢〗。 3ɑ<8,【才学】cáixué名才能和 学问。长距离的:~旅行|~汽车|~电话。 【褾】biǎo〈书〉①袖子的前端。【残迹】cánjì名事物残留下的痕迹:当日巍峨的宫殿, 。即下午三点 钟到五点钟的时间。 【?参看194页“筹”。【兵役法】bīn
25.3 件发生的可能性大小的 这个数,叫做该事件的概率。
例:你投掷手中的一枚普通的六面体骰 子,“出现数字1”的概率是多少?
解:P(出现数字1)= 1 6
必然事件发生的概率为1, 记作P(必然事件)=1; 不可能发生的概率为0, 记作P(不可能事件)=0; 如果A为不确定事件,那
3.从装有3个红球和2个白球的袋中任取 3个,那么取到的“至少有1个是红球” 与“没有红球”的概率分别为 与 4.某产品出现次品的概率0.05,任意抽 取这种产品800件,那么大约有 件 是次品. 5.设有甲、乙两把不相同的锁,甲锁配
有2把钥匙,乙锁配有1把钥匙,设事 件A为“从这3把钥匙中任选2把,打 开甲、乙两把锁”,则P(A)=
6.一次有奖销售活动中,共发行奖券 1000张,凡购满100元商品者得奖券 一张,这次有奖销售设一等奖1名,奖 金500元,二等奖2名,奖金各200元, 三等奖10名,奖金各50元,四等奖100 名,奖金各10元. (1)求出奖金总额,并与95折销售相比, 说明哪一种销售方法向消费者让利较多;
(2)某人购买100元的商品,他中 一等奖的概率是多少?中二等奖 的概率是多少?中三等奖的概率 是多少?中四等奖的概率是多少? (3)某人购买1000元的商品,他中 奖的概率是多少?
7.由1到9的9个数字中任意组成 一个二位数(个位与十位上的 数字可以重复),计算: