《计算方法》

插值法

引言

许多实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的．虽然某个区间上是存在的，有的

还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值，

这只是一张函数表．有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等等．为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值．因此，我们希

望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数

，用近似．通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数

多项式）作为，并使对成立．这样确定的就是我们希望得到的插值函数．例如，在现代机械工业中用计算机等程序控制加工机

械零件，根据设计可给出零件个形曲线的某些型值点（,）（），

加工时为近年第步走刀方向步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。下面我们给出有关插值法的定义。

设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使

() (1.1) 成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节

点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法。若是次数不超过的代数多项式，即

， (1.2) 其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若

为分段的多项多，就称为分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。

从几何上看，插值法就是求曲线,使其通过给定的＋１个点，

，并用它近似已知曲线,见图2-1。

由已知的离散因变量的值来估计未知的中间插值的方法。

插值法又称“内插法”。

利用函数f （x）在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f （x）的近似值，这里的方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

使用在求一知最高次数的多项式，而题目代入的变量数值过于庞大，且需求另一代入庞大数

字所得的值时，所可应用的

Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。

★基本思想将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件（1）确定其中的待定函数，从而求出杆值多项式。

定义

对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：

其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。

范例

假设有某个二次多项式函数，已知它在三个点上的取值为：

∙

∙

∙

要求的值。

首先写出每个拉格朗日基本多项式：

然后应用拉格朗日插值法，就可以得到的表达式（为函数的插值函数）：

此时代入数值就可以求出所需之值：。

证明

存在性

对于给定的k+1个点：，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点取值为1，而在其他点取值都是0的多项式。这样，多项式

在点取值为，而在其他点取值都是0。而多项式

就可以满足

在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：

它在点取值为：。由

于已经假定两两互不相同，因此上面的取值不等于0。于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：

这就是拉格朗日基本多项式。

唯一性

次数不超过k的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k

的拉格朗日多项式：和，它们的差在所有k+1个点上取值都是0，因此必然是多项式的倍数。因此，如果这个差

不等于0，次数就一定不小于k+1。但是是两个次数不超过k的

多项式之差，它的次数也不超过k。所以，也就是说。这样就证明了唯一性。

几何性质

拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式（由某一组

确定）可以看做是由次数不超过n的多项式所组成的线性空间：的一组基底。首先，如果存在一组系数：使得，

，

那么，一方面多项式P是满足的拉格朗日插值多项式，另一方面P是零多项式，所以取值永远是0。所以

。

这证明了是线性无关的。同时它一共包含n+1个多项式，恰好等于的维数。所以构成了的一组基底。

拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n次多项式）。

优点与缺点

拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。

重心拉格朗日插值法

重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进。在拉格朗日插值法中，运用多项式

拉格朗日插值法的数值稳定性：如图，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的14至15中间）

可以将拉格朗日基本多项式重新写为：

定义重心权

上面的表达式可以简化为：

于是拉格朗日插值多项式变为：