计量课后习题答案

第三章课后练习答案

1.解: 如果被解释变量（因变量）y 与k 个解释变量（自变量）1x ，2x ，…，k x 之间有线性相关关系，那么它们之间的多元线性总体回归模型可以表示为

01122k k y x x x u ββββ=+++

++

其中, 012,,,

,k ββββ是k+1个未知参数，又称为回归系数；u 是随机误差项。

2.解: 多元线性回归模型的基本有:

(1)随机误差项i u 的条件期望值为零。即12[|,,

]0i i i ki E u x x x =,(1,2,

,i n =）. (2)随机误差项i u 的条件方差相同。即2

12(|,,...,)i i i ki u Var u x x x σ=,（1,2,

,i n =）.

(3)随机误差项i u 之间无序列相关。即(,)0i j Cov u u =,（,1,2,,;i j n i j =≠）.

(4)自变量l x 与随机误差项i u 独立。即(,)0i l Cov u x =,(1,2,

,;1,2,,i n l k ==）.

(5)随机误差项i u 服从正态分布。即2

~(0,)i u u N σ.

(6)各解释变量之间不存在显著的线性相关关系。即()1rank X k n =+<,也就是说矩阵X 的秩等于参数个数,换句话说就是自变量之间不存在多重共线性.

3. 解:2

u σ的无偏估计量的计算公式为: 2

2

22

1

1

ˆ()ˆ1

1

n

n

i

i

i

i i u e e

y y

S n k n k σ

==-===

----∑∑

4. 解:如果一个样本回归方程的样本决定系数为0.98，我们不能判定这个样本回归方程就很理想.因为对于多元模型而言,样本决定系数接近1,只能说明模型的拟合度很高,总体线性性显著,但模型中每个解释变量是否是显著的无法判定,所以还需要进行单个解释变量的显著性检验,即t 检验.

5．解：根据例3.1数据，得到OLS 的正规方程组：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=210210210ˆ37.33090ˆ8.16816ˆ24.62951.11810ˆ8.16816ˆ26.10346ˆ4.31219.7114ˆ24.629ˆ4.312ˆ129.219βββββββββ求解得到：ˆβ＝012ˆˆˆβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝29.480.5970.665-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以样本回归方程为：12ˆ29.480.4970.665y

x x =-++

6. 解：（1）利用OLS 对数据进行回归得到回归方程如下：

953

.57,943.0)021.1()

072.0()

657.15(223.16206.03.879950ˆ221===++=F R t x x y

i

（2）由上述检验数据可以看出方程总体线性性显著，单单个解释变量并不显著。

（3）因为方程拟合程度较高，总体线性性显著，所以模型可以用来进行预测： 当工业产量达到130000亿元，农业总产值达到25000亿元时，货运量能达到：

131230525000223.16130000206.03.879950ˆ=⨯+⨯+=i y

（万吨）

7. 解：案例的方差分解结果所缺数据如下：

8. 解：从该案例的分析数据来看，结果不满意。因为但从模型的拟合优度（R 2

=0.8528）和总体线性显著性（F=11.5874，F-statistic=0.0066）来看，结果还令人满意，但具体到每个解释变量的显著性时，可以看到x1（t=0.5788，P=0.5838）和x3（t=-1.4236，P=0.1978）甚至都无法通过α=15%的显著性检验，所以这两个解释变量显然不显著。

第四章课后练习答案

1. 解：古典线性回归模型的一个很重要的假定是随机项的同方差性，即对于每个i x ，i u 的方差都是同一个常数，当此假定不能满足时，则i u 的方差在不同次的观测中不再是一个常数，而是取得不同的数值，即

2(|)i i i Var u x σ=≠常数 (i =1，2，…，)n

则称随机项i u 具有异方差性（Heteroscedasticity ）。

例如，考虑家庭的可支配收入和储蓄的关系，如建立如下模型

01i i i y x u ββ=++

其中，i y 为第i 个家庭的储蓄，i x 为第i 个家庭的收入。从二者的关系不难看出，当收入增加时，储蓄平均也会随之增加。如果我们对不同收入水平家庭的储蓄进行观察，同样也会发现，低收入的家庭储蓄差异性较小，而高收入的家庭储蓄的差异性较大。这是因为低收入的家庭，其收入中扣除必要的生活支出以外，用于其他支出和储蓄的部分也较少，因此随机项波动的程度小，即方差小；而高收入家庭，其收入中扣除必要的生活支出以外，剩余的就较多，就有更大的使用选择余地，这样储蓄的差异就较大，因而随机项波动的程度就大，即方差大。因此，对于家庭储蓄模型，随机项i u 具有异方差性。

2. 解：模型(1)无法使用OLS 进行参数估计，因为随机误差项2

2i i i u x v β=+，即随机误差项与解释变量的

平方之间有着显著地相关关系，这样会造成随机误差项的异方差现象，所以OLS 不可以使用。

3. 解：

4. 解：对某沿海地区家庭每年生活开支和每年收入进行抽样研究，调查了20个家庭，其中每五个家庭收

家庭生活开支模型设定为 01i i i y x u ββ=++

式中：i y 表示家庭生活开支，i x 表示家庭收入

⑴利用OLS 求回归方程： i i x y

2412.089.0ˆ+=。 ⑵做散点图，观察家庭生活开支离差量的变化情况。

由图形可以看出随着收入的增加，家庭生活开支的波动幅度逐渐增大。

⑶把数据分作两个子样本，第一子样本包括收入为5000元与10000元的家庭，即低收入家庭。第二个子样本包括收入为15000元和20000元的家庭，即高收入的家庭。进行Goldfeld Quandt -检验。

⑷设22()i i Var u k x =，其中2

k 为一非零常数，变换原模型求回归方程。

5. 解：在古典假设下，线性回归模型中参数的最小二乘估计量具有线性、无偏和有效性。其中，有效性不仅依赖于古典假设中关于随机项的同方差假定，还依赖与随机项不存在序列自相关假定，即

(,)0i j Cov u u = (i j ≠ ,1,2,

,)i j n =

这表明随机项u 在不同观测点下取值不相关。若这个假定违背，(,)0i j Cov u u ≠,即u 在不同观测点下