高等数学下册试题及答案解析

高等数学（下册）试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z =)0()(log 2

2>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分

⎰⎰

≤++1

||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示

为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()

()

(βαψϕ≤≤⎩⎨

⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为92

2

=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则

=++⎰⎰

∑

ds y x )122

（ 。

6、微分方程x

y

x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)

4(=-y y

的通解为 。

8、级数

∑∞

=+1)

1(1

n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；

（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；

（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(2

2→∆+∆y x 时，是无穷小；

（D ）0)

()(),(),(lim

2

2

00000

=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y

y x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y

u

y x u x ∂∂+∂∂等于（ ）

（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12

2

2

≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω

=

zdV I 等于（ ）

（A ）4

⎰

⎰⎰20

20

1

3cos sin π

π

ϕϕϕθdr r d d ；

（B ）

⎰⎰⎰20

1

2sin π

πϕϕθdr r d d ；

（C ）⎰

⎰⎰ππ

ϕϕϕθ20

20

1

3cos sin dr r d d ；

（D ）

⎰

⎰⎰ππϕϕϕθ200

1

3cos sin dr r d d 。

4、球面2

2

2

2

4a z y x =++与柱面ax y x 22

2

=+所围成的立体体积V=（ ）

（A ）⎰

⎰-20

cos 20

2244

π

θθa dr r a d ；

（B ）⎰

⎰-20

cos 20

2244

π

θθa dr r a r d ；

（C ）⎰

⎰

-20

cos 20

2248

π

θθa dr r a r d ；

（D ）

⎰

⎰

-

-2

2

cos 20

224π

πθθa dr r a r d 。

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则

⎰=+L

Qdy Pdx )(

（A ）

⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy x Q y P )(

； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(； （C ）

⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y Q x P )(

； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y P x Q )(。 6、下列说法中错误的是（ ）

（A ） 方程022

=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx

dy

x dx dy y

sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(2

2

2

3

2

=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程

x

y x dx dy 221=+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）

（A ）x e x

2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x

-； （C ）)2sin 2(cos x x e x

-； （D ）x e x

2sin 。

8、设0lim =∞

→n n nu , 则

∑∞

=1

n n

u

（ ）

（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==，求

y

u x u ∂∂∂∂,。 2、（8分）设⎰

+-=

t x t

x dz z f t x u )(),(，求

t

u

x u ∂∂∂∂,。

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算=I ⎰

⎰-20

2

2

x

y dy e dx 。

（7分）

2、计算⎰⎰⎰

Ω

+=

dV y x I )(2

2，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）。

五、（13分）计算⎰

+

+-=

L y

x ydx

xdy I 2

2，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)

()(1)

()()(y f x f y f x f y x f -+=

+，且)0(f '存在，求

)(x f 。

七、（8分）求级数∑∞

=++--1

1

212)2()1(n n n

n x 的收敛区间。