《基本计数原理》(一)ppt课件解析
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两个基本原理-PPT课件
例1、某班共有男生28名、女生20名，
从该班选出学生代表参加校学代会。
（1)若学校分配给该班1名代表，有多少种
不同的选法？
（2）
若学校分配给该班2名代表，且男女生代表
各1名，有多少种不同的 不同方法各有多少种？
A
B （1）
A
B
（2）
8
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册
1.1 两个基本计数原理
1
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有 2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
2
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
例5、自然数2520有多少个正约数？
例6、书架上原来并排放着5本不同的书， 现要插入三本不同的书，那么不同的插法有 多少种？
15
时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设
置的信箱中，
（1）
密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一
个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码
为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，
或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的
密码共有多少个？
（3）密码
为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一
个。这样的密码共有多少个？
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
例4、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳 远三个项目，每人报一项，共有多少种报名 方法？
第一节 计数的基本原理
＋4＝13(种)．
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
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12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
计数的基本原理ppt课件
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例2、如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
想一想？
问题 2. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可 以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车 有2班, 汽车有3班，轮船有4班。那么一天 中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法?
甲 为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能 地
乙 地
分析: 完成由甲地到乙地这件事有三类办法：
第一类办法乘火车，有2种不同走法，
第二类办法乘汽车，有3种不同走法 第三类办法乘轮船，有4种不同走法。
因此，在一天中，此人由甲地到乙地不同的走法共 有 2+3+4=9 种。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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例3:体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每位数若是 0~9这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的 种数是多少？
变2： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的七位数？
两个计数原理的联系和区别：
01基本计数原理(1课时)
解：不同的专业选择有： N=5+4=9（种） 不同的专业选择有： （
分类加法计数原理
完成一件事， 类办法， 分类计数原理 完成一件事，有 n 类办法， m1 在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办 在第 类办法中有 种不同的方法，在第 类办 n m2 种不同的方法， ， 法中有 种不同的方法，…，在第 类办法中 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： 有 种不同的方法，那么完成这件事共有：
2、由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个无重复数字的 、由数字 ， ， ， ， ， 可以组成多少个无重复数字的 四位数？若允许重复数字呢？ 四位数？若允许重复数字呢？
3. 某同学有若干本课外参考书，其中外语 本，数学 本，物理 某同学有若干本课外参考书，其中外语5本 数学6本 物理2 化学3本 他欲带参考书到图书馆看书． 本，化学 本，他欲带参考书到图书馆看书． (1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？ 若从这些参考书中带一本去图书馆， 若从这些参考书中带一本去图书馆 有多少种不同的带法？ (2)若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同 若外语、 若外语 数学、物理和化学参考书各带一本， 的带法？ 的带法？ (3)若从这些参考书中选 本不同学科的参考书带到图书馆，有 若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆 若从这些参考书中选 本不同学科的参考书带到图书馆， 多少种不同的带法？ 多少种不同的带法？ 4.集合 集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} ．从A,B 中各取 个元素作为点 中各取1个元素作为点 集合 P(x,y) 的坐标． 的坐标． （1）可以得到多少个不同的点？ ）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？ ）这些点中，位于第一象限的有几个？
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(北师版)教学课件第五章-§1基本计数原理
第二类,经过支路②有1种方法;
第三类,经过支路③有2×2=4种方法,
所以总的线路条数N=3+1+4=8.
5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的
路线共有多少条?
解 从总体上看有三类方法,分别经过, , 1.从局部上看每一类又需分两步完成.
故第一类:经过,有1=1×2=2条;
－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字()小于十位数字()的两位数都有一个十位数字
()小于个位数字()的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.故选B.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
二、分步乘法计数原理
例2
如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.
因此要分3类相加：
第1类，选出的是教师，有3种选法；第2类，选出的是男学生，有8种选法；
第3类，选出的是女学生，有5种选法.
根据分类加法计数原理，共有N＝3+8+5＝16种选法.
（2）完成这件事，需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生，可以先选教师，再选男学生，
最后选女学生，因此要分3步相乘：
(2)计数:求出每一类中的方法数;
(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
跟踪训练 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( B )
A．18
解析 （方法一）
B．36
C．72
D．48
按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足
共有6+6+6＝6×3＝18条线路可以选择.
第三类,经过支路③有2×2=4种方法,
所以总的线路条数N=3+1+4=8.
5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的
路线共有多少条?
解 从总体上看有三类方法,分别经过, , 1.从局部上看每一类又需分两步完成.
故第一类:经过,有1=1×2=2条;
－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字()小于十位数字()的两位数都有一个十位数字
()小于个位数字()的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.故选B.
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二、分步乘法计数原理
例2
如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.
因此要分3类相加：
第1类，选出的是教师，有3种选法；第2类，选出的是男学生，有8种选法；
第3类，选出的是女学生，有5种选法.
根据分类加法计数原理，共有N＝3+8+5＝16种选法.
（2）完成这件事，需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生，可以先选教师，再选男学生，
最后选女学生，因此要分3步相乘：
(2)计数:求出每一类中的方法数;
(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.
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跟踪训练 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( B )
A．18
解析 （方法一）
B．36
C．72
D．48
按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足
共有6+6+6＝6×3＝18条线路可以选择.
计数原理-完整版课件
解析： ∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64， ∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62. 答案： 62
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
计数原理1(附有解析)
种方法，故不同的支教方案有6
=720(种)。 5.18。取0时，有2条，不取0时有(
-4)条，故所求直线有
-4+2=18条。 三、解答题 1．解：中有元素
。 2．解：（1）原式。
（2）原式。 另一方法：
（3）原式 3.解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种； （3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上
（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位， 甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱 排的，即
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲 排头，乙排当中一次，即
1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3个女生必 须相邻的排法有( )。 (A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种 2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1 名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 3.(郑州)高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个 班至少要出1名，不同的组成方式的种数是( )。 (A)16 (B)24 (C)28 (D)36 4.(湖南)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，如果甲、乙 两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有( )。 (A)180种 (B)240种 (C)300种 (D)360种 5.(西城)某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组 成一对双打组合。由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组 合，这样一共有64种组合方式，则乒兵球队中男队员的人数为( )。 (A)10人 (B)8人 (C)6人 (D)12人 6.(东北三校)在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴 上有3个点，将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段，这15条线 段在第一象限内的交点最多有( )。 (A)30个 (B)35个 (C)20个 (D)15个 7.(泉州)某企业现有外语人员7人，其中3人只会英语，2人只会日语， 还有2人既会英语又会日语，现该企业要举行商务活动，需要从中抽调3 名英语，2名日语翻译，共有多少种选法。( )。 (A)60 (B)45 (C)42 (D)27 8.(天津)用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中， 是9的倍数的共有( )。 (A)360个 (B)180个 (C)120个 (D)24个 9.(南宁)用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同 时使用，且同一数字不能相邻地出现，这样的四位数有( )。 (A)6个 (B)9个 (C)18个 (D)36个 10.(黄冈)如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四 个小岛连接起来，
=720(种)。 5.18。取0时，有2条，不取0时有(
-4)条，故所求直线有
-4+2=18条。 三、解答题 1．解：中有元素
。 2．解：（1）原式。
（2）原式。 另一方法：
（3）原式 3.解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种； （3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上
（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位， 甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱 排的，即
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲 排头，乙排当中一次，即
1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3个女生必 须相邻的排法有( )。 (A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种 2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1 名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 3.(郑州)高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个 班至少要出1名，不同的组成方式的种数是( )。 (A)16 (B)24 (C)28 (D)36 4.(湖南)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，如果甲、乙 两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有( )。 (A)180种 (B)240种 (C)300种 (D)360种 5.(西城)某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组 成一对双打组合。由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组 合，这样一共有64种组合方式，则乒兵球队中男队员的人数为( )。 (A)10人 (B)8人 (C)6人 (D)12人 6.(东北三校)在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴 上有3个点，将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段，这15条线 段在第一象限内的交点最多有( )。 (A)30个 (B)35个 (C)20个 (D)15个 7.(泉州)某企业现有外语人员7人，其中3人只会英语，2人只会日语， 还有2人既会英语又会日语，现该企业要举行商务活动，需要从中抽调3 名英语，2名日语翻译，共有多少种选法。( )。 (A)60 (B)45 (C)42 (D)27 8.(天津)用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中， 是9的倍数的共有( )。 (A)360个 (B)180个 (C)120个 (D)24个 9.(南宁)用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同 时使用，且同一数字不能相邻地出现，这样的四位数有( )。 (A)6个 (B)9个 (C)18个 (D)36个 10.(黄冈)如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四 个小岛连接起来，
高中数学苏教版选修2-3第1章《计数原理》(1-5-1)ppt课件
＋
C
2 5
(2x)3·－23x2
2
＋
C
3 5
(2x)2·－23x2
3
＋
C
4 5
(2x)－23x24＋C55－23x25 ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
法二
2x－23x2
5＝
4x3－35 32x10
1．5 二项式定理
1．5.1 二项式定理
【课标要求】
1．能熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常 数项、有理项等)．
2．能正确区分“项”、“项的系数”和“二项式系数” 等概念．
【核心扫描】
1．二项式定理，掌握通项公式．(重点)
2．用二项式定理进行有关的计算和证明．(难点)
自学导引 1．二项式定理
＝
1 32x10
[C
0 5
(4x3)5＋C
1 5
(4x3)4(－3)＋C
2 5
(4x3)3·(－3)2＋C
3 5
(4x3)2·(－3)3＋C
4 5
(4x3)(－3)4＋C
5 5
(－3)5]＝
1 32x10
(1
024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
24
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
25
规律方法 熟练掌握二项式(a＋b)n的展开式，是解答好
与二项式有关问题的前提条件．当二项式较复杂时，可 先将式子化简，然后再展开．
基本计数原理PPT课件
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学案P46-1
练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
分 左边
两 步
甲
完
成乙
右边 乙 丙 甲 丙
第一步 第二步 3×2
甲
丙
乙
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例 2．解下列各题： (1) 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
首位数字不为0的密码数?首位数字是0的密码数?
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练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,
6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码( 各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多 少?首位数字是0的密码数又是多少?
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
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问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙 地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少 种不同的走法 ？
日班和晚班，有多少种不同的选法？
(2) 有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛， 每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(3) 有 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军， 你有多少种不同的结果？（每个科目冠军只有 一人）
《基本计数原理》课件
事件的独立性和事件的互斥性。
分布乘法计数原理的公式为
$n(A) = n(A_1) times n(A_2 | A_1) times n(A_3 | A_1, A_2) times ldots$
分布乘法计数原理的实例
假设有一个班级有30名学生，其中10名是男生，20名是女生。现在要选择一个 由3名学生组成的代表队，要求其中必须有1名男生和2名女生，问有多少种不同 的选择方式？
分类加法计数原理的数学表达式
$M = |A_1| + |A_2| + ldots + |A_n|$，其中$M$表示完成这件事情的总方法数 ，$|A_i|$表示第$i$个分类的方法数。
分类加法计数原理的实例
分类加法计数原理在排列组合中的应用
在排列组合中，分类加法计数原理常用于计算不同元素分组的方法数。例如，计算从$n$个不同元素中取出$k$ 个元素（不考虑顺序）的分组方法数，可以按照元素的性质进行分类，然后利用分类加法计数原理计算。
统计学
在统计学中，计数原理用于描述和预测数据 分布。
PART 02
分类加法计数原理
分类加法计数原理的概述
分类加法计数原理定义
对于具有两个或多个互斥的分类$A_1, A_2, ldots, A_n$，若完成一件事情，则 该事情可以由$A_1, A_2, ldots, A_n$中的某一类单独完成。因此，完成这件事 情的方法数等于各个分类方法数的和，即$n$个互斥的分类方法数之和。
随机试验
计数原理可以用于分析随机试验中的结果数量，例如在抛硬币试验中，可以用计数原理计算出现正面 的次数。
在组合数学中的应用
排列组合
计数原理是组合数学中的基本原理，可 以用于计算排列和组合的数量。例如， 通过计数原理可以计算从n个不同元素中 取出r个元素的组合数。
分布乘法计数原理的公式为
$n(A) = n(A_1) times n(A_2 | A_1) times n(A_3 | A_1, A_2) times ldots$
分布乘法计数原理的实例
假设有一个班级有30名学生，其中10名是男生，20名是女生。现在要选择一个 由3名学生组成的代表队，要求其中必须有1名男生和2名女生，问有多少种不同 的选择方式？
分类加法计数原理的数学表达式
$M = |A_1| + |A_2| + ldots + |A_n|$，其中$M$表示完成这件事情的总方法数 ，$|A_i|$表示第$i$个分类的方法数。
分类加法计数原理的实例
分类加法计数原理在排列组合中的应用
在排列组合中，分类加法计数原理常用于计算不同元素分组的方法数。例如，计算从$n$个不同元素中取出$k$ 个元素（不考虑顺序）的分组方法数，可以按照元素的性质进行分类，然后利用分类加法计数原理计算。
统计学
在统计学中，计数原理用于描述和预测数据 分布。
PART 02
分类加法计数原理
分类加法计数原理的概述
分类加法计数原理定义
对于具有两个或多个互斥的分类$A_1, A_2, ldots, A_n$，若完成一件事情，则 该事情可以由$A_1, A_2, ldots, A_n$中的某一类单独完成。因此，完成这件事 情的方法数等于各个分类方法数的和，即$n$个互斥的分类方法数之和。
随机试验
计数原理可以用于分析随机试验中的结果数量，例如在抛硬币试验中，可以用计数原理计算出现正面 的次数。
在组合数学中的应用
排列组合
计数原理是组合数学中的基本原理，可 以用于计算排列和组合的数量。例如， 通过计数原理可以计算从n个不同元素中 取出r个元素的组合数。
《计数原理》公开课课件
（2）每一步都不能独 立完成这件事情，各个 步骤相互依存，只有每
个步骤完成了，这件事
情才能完成。
1、 2、
课堂小结： 1.解决计数问题的基本方法：
分类加法计数原理、分布乘法计数原理 2.选择两个原理解题的关键是：
根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
两大原理妙无穷,
2、尝试区分分类加法计数原理与分步乘法计 数原理的区别和联系？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系：
分类(加法)原理
分步（乘法）原理
联系 都是关于统计完成一件事情的不同方法数
（1）完成一件事情共 有n类办法，关键词是 “分类”
（1）完成一件事情,共 分n个步骤，关键词是 “分步”
区 别
（2）每类办法都能独立 完成这件事情。
常州到杭州火车时刻表
常州到杭州汽车时刻表
由题意，画图得知 常州
火车 1 火车 2 火车3 火车 4 火车 5 火车 6
汽车1 汽车2
Ⅰ.乘火车，6种方法; Ⅱ.乘汽车，2种方法;
杭州
定义
做一件事情，完成它可以有2类方案，在 第一类方案中有m1种不同方法，在第二类方 案中有m2种不同方法，无论通过哪类方案的 哪种方法，都可以独立完成这件事，那么完 成这件事共有
解 选择一人去领奖，有2个方案 第一类方案：选男生有2+3=5种方法
2、分步乘法计数原理
某班级三好学生中男生有2人,女生有3人。从中 各选一人去参加座谈会, 有多少种不同的选法？
男生
女生
男1
女1
男2
女2 23=6
女3
某班级三好学生中男生有2人,女生有3人。从中 各选一人去参加座谈会, 有多少种不同的选法？
1.1两个基本计数原理(1)
例题: 例题: 用四种颜色给如图所示的地图上色， 用四种颜色给如图所示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜色， 要求相邻两块涂不同的颜色，共有 多少种不同的涂法？ 多少种不同的涂法？
练习: 练习: 书架上原来并排放着5 书架上原来并排放着5本不同的 现要插入三本不同的书， 书，现要插入三本不同的书，那么 不同的插法有多少种？ 不同的插法有多少种？
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地， 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 种不同的走法。 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
加法原理） 分类计数原理 （加法原理）
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n类办法， 在第一类办法中有m 种不同的方法， 在第一类办法中有m1种不同的方法，在 第二类办法中有m 种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法，……， ， 在第n类办法中有m 种不同的方法． 在第n类办法中有mn种不同的方法． 那么完成这件事共有 ____________________种不同的方法 种不同的方法． ____________________种不同的方法． N＝m1十m2十…十mn ＝ 十 要点： 分类， 要点： （1）分类， 相互独立（并联） （2）相互独立（并联） （3）各类办法之和
3.把四封信任意投入三个信箱中, 3.把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是 把四封信任意投入三个信箱中 ( A. 12 B.64 C.81 ) D.7
4.火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车 4.火车上有10名乘客，沿途有5个车站， 火车上有10名乘客 的可能方式有 （ ）种 A. C. 510 50 B. 105 D. 以上都不对
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N 3 2 6. 答：有6种不同的选法。
不同排法如下图所示
相应的排法
白班
甲 乙 丙
晚班 乙 丙 甲 丙 甲 乙
白班
甲 甲 乙 乙 丙 丙
晚班
乙 丙 甲 丙 甲 乙
例4 用数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个 三位数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第 一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …， 做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类 完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可，就 用分步计数原理。
1． 一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种 方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一 个人来完成这件工作，共有多少种选法？ 2．乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + ｃ5 )展开后共有项？
4 + 5 = 9
分步计数原理又叫作“乘法原理”
理解分步计数原理
⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各 个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做 乘法原理 ；
（2）完成这件事的任何一种方法必须连续 完成每一个步骤．
分类计数原理与分步计数原理的区别
联系：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成 一件事的不同方法的种数的问题。 区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相 互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与“分步”有关， 各个步骤相互依 存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
火车1－汽车1 火车1－汽车2 火车2－汽车2 火车3－汽车1
火车2－汽车1 火车3－汽车2
分步计数原理
• 完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有 m1 种 不同的方法，做第2步有 2 种不同的方法……做第 ｎ步有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有
m
N＝
m1 m2 ... mn
种不同的方法．
N＝m1 ＋m2 ＋ ＋ mn
种不同的方法
分类计数原理又称“加法原理”
问题2 从诸城到城阳机场，要从诸城先乘火车到青 岛，再从青岛乘汽车到城阳机场。一天中，火车有 3班，汽车有2班，那么，从诸城到城阳机场共有多 少种不同的走法？
火车1 汽车1
诸城
火车2 火车3
青岛
城阳机场
汽车2
3 2 6(种）
典例分析 例2 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共 10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码? 解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个 拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨 号盘上各取1数字组成的个数是
N=10×10×10×10=104
答：可以组成10000个四位数字号码。 本题的特点是数字可以重复使用，例如0000， 1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每 一步的方法数 m=10，有n=4个步骤,结果是总个数
分类计数原理与分步计数原理(一)
情景探究
问题1 从诸城 青岛，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么 一天中，乘坐这些交通工具从诸城到青岛共有 多少种不同的走法？
火车1 火车2
诸城
火车3 汽车1 汽车2
青岛
3+2=5（种）
分类加法计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中 有m1 种不同的方法，在第2类方法中有 m2 种 不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不同 的方法，那么完成这件事共有
第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个 数字，共有5种选法；
第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这 仍有5种选法； 第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。 根据分步计数原理，得到组成的三位数的个数是：
N = 5 ×5 ×5 = 53 = 125
答：可以组成125个三位数。
练习巩固
３×４×５＝６０
3、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数 是( C ) A. 12 B.64 C.81 D.7 4、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的 可能方式有 （ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
总结：
１．分类计数原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一 类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方 法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事 共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的 取法。
变式训练 1.诸城一中勤学楼楼共有3处楼梯口,问从1楼到5 楼共有多少种不同的走法?
答： 3×3×3×3=34=81（种）
2. 四名重本生各从A、B、 C三位教师中选一位作 自己的导师，共有______ 34 种选法；三名教师各从 四名重本生中选一位作自己的学生，共有_____ 43 种 选法。
N=104 。
变式训练 1.诸城一中勤学楼楼共有3处楼梯口,问从1楼到5 楼共有多少种不同的走法?
答： 3×3×3×3=34=81（种）
2. 在1~20共20个整数中取两个数相加,使其 和为偶数的不同取法共有多少种?
答.：(10×9+10×9)/2=90（种）.
3. 四名重本生各从A、B、 C三位教师中选一位作 自己的导师，共有______ 34 种选法；三名教师各从 四名重本生中选一位作自己的学生，析
例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上白班和晚班，有多少种不同的 选法？
解：从3名工人中选出2名分别上白班和晚班， 可以看成是经过先选1名上白班，再选1名上 晚班这两个步骤完成。先选1名上白班，共有 3种选法；上白班的工人选定后再选1名上晚 班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数 原理,所求的不同的选法数是
种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有 4+3+2=9 分类时要做到不重不漏
种取法。
答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。 (2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1 步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种 取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知, 共有 4×3×2=24 种取法。 分步时做到不缺步
典例分析
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本 不同的体育书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多 少种不同的取法?
注意区别“分类”与“分 步”
解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3