直角三角形内切圆模型
三角形的内切圆
三角形的内切圆1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一．难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好．教学目标：1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题水平；3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动．教学重点：三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．教学难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．教学活动设计（一）提出问题1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?2、分析、研究问题：让学生动脑筋、想办法，使学生理解作三角形内切圆的实际意义．3、解决问题：例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切．引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法．提出以下几个问题实行讨论：①作圆的关键是什么?②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?③这样的点I应在什么位置?④圆心I确定后半径如何找．A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成．完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆能够作一个且只能够作出一个．（二）类比联想，学习新知识．1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2、类比：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．4、概念理解：引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解．使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义．“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”．（三）应用与反思例2如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，点O是三角形的内心．求∠BOC的度数分析：要求∠BOC的度数，只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可，即求∠l十∠3的度数．因为O是△ABC的内心，所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线，于是有∠1十∠3＝(∠ABC十∠ACB)，再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数．解：(引导学生分析，写出解题过程)例3如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D求证：DE＝DB分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在∠ABC的平分线上，考虑连结BE，得出∠3＝∠4．从结论想，要证DE＝DB，只要证明BDE为等腰三角形，同样考虑到连结BE．于是得到下述法．证明：连结BE．E是△ABC的内心又∵∠1=∠2∠1=∠2∴∠1+∠3=∠4+∠5∴∠BED=∠EBD∴DE=DB练习分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．（四）小结1．教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念?怎样作已知三角形的内切圆?学习时互该注意哪些问题?2．学生回答的基础上，归纳总结：(1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念．(2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．(3)在学习相关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这个辅助线的添加和应用．（五）作业教材P115习题中，A组1(3)，10，11，12题；A层学生多做B组3题．探究活动问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°．（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径（精确到0.1cm）；（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．提示：（1）由条件可得AC为四边形似的对称轴，存有内切圆，能用折叠的方法找出圆心：如图2，①以AC为轴对折；②对折∠ABC，折线交AC于O；③使折线过O，且EB与EA边重合．则点O为所求圆的圆心，OE为半径．（2）如图3，设内切圆的半径为r，则通过面积可得：6r+8r=48，∴r=．。
三角形外接圆与内切圆的关系
三角形外接圆与内切圆的关系三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而三角形的外接圆与内切圆是三角形的两个重要特性。
本文将重点介绍三角形外接圆与内切圆的关系，并通过具体的例子和分析来说明这一关系。
一、外接圆与内切圆的定义首先，我们来了解一下外接圆与内切圆的定义。
对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个圆，使得这个圆与三角形的三条边都相切，这个圆就叫做三角形的内切圆。
另外，我们还可以找到一个圆，使得这个圆与三角形的三个顶点都相切，这个圆就叫做三角形的外接圆。
二、外接圆与内切圆的关系外接圆与内切圆之间存在着一定的关系，这一关系可以通过以下几个方面来说明。
1. 位置关系：外接圆的圆心恰好是内切圆的切点之一。
我们可以通过一个具体的例子来说明这一关系。
假设有一个等边三角形ABC，我们可以很容易地发现，三角形的外接圆与内切圆的圆心都在三角形的重心上，而重心也是三条中线的交点。
这个例子表明，外接圆的圆心恰好是内切圆的切点之一。
2. 半径关系：外接圆的半径大于内切圆的半径。
我们可以通过一个等边三角形的例子来说明这一关系。
假设三角形ABC是一个等边三角形，那么三角形的外接圆的半径等于三角形的边长，而内切圆的半径等于三角形的边长的一半。
由于等边三角形的边长是固定的，所以外接圆的半径大于内切圆的半径。
3. 面积关系：三角形面积与外接圆和内切圆的半径之间存在一定的关系。
我们可以通过一个直角三角形的例子来说明这一关系。
假设三角形ABC是一个直角三角形，其中直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。
根据三角形的性质，我们可以得到三角形的面积为S = (1/2) * a * b。
而三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，即r = (a^2 + b^2)^(1/2) / 2。
内切圆的半径等于直角边的一半，即r' = (a + b - (a^2 + b^2)^(1/2)) / 2。
通过计算可以得到，外接圆的半径r大于内切圆的半径r'，而且它们的比值r/r'等于(1 + (a^2 + b^2)^(1/2)) / (a + b)。
24.5-1三角形的内切圆
r
D
C
O
E F B
例1如图24-53，在△ABC中，B=43,∠C=61°，
点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数．
解 连接IB,IC. 因为点I是△ABC的内心，所以IB,IC分别是∠B、 ∠C的平分线 在△IBC中，有
1 ∠BIC=180°- （∠IBC+∠ICB） 21
=180°- 2 （∠B+∠C） =180°-（43°+61°） =128°
图2
C
试一试:
你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法： 1、作∠B、∠C的平分线
BM和CN，交点为I 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I. N M
⊙I就是所求的圆 B
I
D C
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形 性质：1.三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2.三角形的内心在三角形的角平分线上；
证明：连接OD,OE,OF,OA,OB,OC
则S∆ABC=S∆OBC+S∆OAC+S∆OAB
1 =2 BC r
+
1 AC r 2
+
1 AB r 2
A
1 ( BC AC AB ) r Ｆ 2
Ｅ
O
2S r abc
1 Lr 2
B
D
C
三角形的外接圆
C
． o
B
内 三角形的内切圆 外 C 对 比
：
A
． o
A
B
内心：三角形三个内 角平分线的交点。 性质：到三角形三边 的距离相等。
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多引人注目的性质和特点。
其中，外接圆和内切圆是三角形中常见的两种圆，它们与三角形的关系引起了广泛的研究和应用。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意给定的三角形，它都存在一个唯一的外接圆。
外接圆有许多特点，其中一些被广泛应用于几何学和其它相关领域。
首先，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三条边分别延长，然后找到它们垂直平分线的交点，这个交点就是外接圆的圆心。
其次，外接圆的半径等于三角形的边长的一半除以正弦值的倒数。
这个性质被称为外接圆定理，可以用来计算外接圆的半径。
再次，外接圆的直径等于三角形的任一边的长度除以正弦值。
这个性质被称为外接圆直径定理，也是计算外接圆直径的一个重要公式。
此外，外接圆对于三角形的角度关系也有一定的影响。
例如，对于直角三角形来说，外接圆的直径等于斜边的长度，这个性质被广泛应用于解决直角三角形相关的问题。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
与外接圆类似，任意给定的三角形都存在一个唯一的内切圆。
内切圆同样具有一些重要的性质和应用。
首先，内切圆的圆心是三角形的内角平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三个内角的平分线延长，这三条延长线的交点就是内切圆的圆心。
其次，内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长来计算。
内切圆半径公式为：r = Δ / s，其中Δ 表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长。
再次，内切圆与三角形的边长和内角关系也有重要的性质。
例如，内切圆的半径等于三角形任意一条边的长度乘以正切值的倒数。
最后，内切圆还有一个重要的性质，即它与三角形的三条边的交点构成三角形的角平分线。
这个性质有助于解决一些与角平分线相关的问题。
结论三角形的外接圆和内切圆是在几何学中经常遇到的两种圆形。
它们分别与三角形的三个顶点或三个内角相切，具有许多有趣的性质和应用。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的形状之一，而三角形的外接圆与内切圆则是与三角形密切相关的重要概念。
本文将介绍三角形的外接圆与内切圆的定义、性质以及相关应用。
一、三角形的外接圆首先，我们先来了解一下什么是三角形的外接圆。
对于任意一个三角形ABC，如果能够找到一个圆，使得该圆的圆心在三角形的外面，并且该圆与三角形的每条边恰好相切，那么这个圆就是这个三角形的外接圆。
三角形的外接圆具有一些重要的性质。
首先，外接圆的圆心恰好位于三角形的三个顶点的垂直平分线的交点处。
其次，外接圆的半径等于三角形三个顶点到圆心的距离中的最大值。
此外，外接圆的直径等于三角形的最长边。
三角形的外接圆在几何学的各个分支中都有广泛的应用。
例如，在三角形的面积计算中，可以利用外接圆的直径来简化计算过程。
此外，对于一些特殊的三角形，如等边三角形和直角三角形，外接圆的性质可以帮助我们推导出一些重要的结论。
二、三角形的内切圆接下来，让我们来了解一下三角形的内切圆。
对于任意一个三角形ABC，如果能够找到一个圆，使得该圆的圆心在三角形的内部，并且该圆与三角形的每条边都相切，那么这个圆就是这个三角形的内切圆。
与外接圆类似，内切圆也具有一些重要的性质。
首先，内切圆的圆心位于三角形的三个角平分线的交点处。
其次，内切圆的半径等于三角形的三个切点到圆心的距离中的最小值。
三角形的内切圆也有着广泛的应用。
在解决与三角形相关的问题时，内切圆的性质可以提供重要的线索和条件。
此外，在一些工程和建筑设计中，内切圆的性质也被广泛应用，例如在规划和设计圆形建筑等方面。
三、外接圆与内切圆的关系除了研究外接圆和内切圆的性质，我们还可以探讨一下它们之间的关系。
对于任意一个三角形ABC，这个三角形的外接圆和内切圆一定存在，并且唯一。
此外，外接圆的圆心、内切圆的圆心以及三角形的重心三者是共线的。
其中，重心是三角形三个顶点与对边的垂直平分线的交点。
四、小结三角形的外接圆与内切圆是与三角形密切相关的几何概念。
专题34 三角形的内切圆问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题34 三角形的内切圆问题【规律总结】1、“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.” 又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”2、“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.”【典例分析】例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒其周长为20，I是ABC ∆BIC ∆的外接圆半径为（ ）A ．7B ．C ．2D ． 【答案】D【分析】过C 作CD⊥AB 于D ，由60BAC ∠=︒结合面积求出BC 的长，由内心可以求出120?BIC ∠=，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE⊥BC 于E ，求出圆心角2120BOC F ∠=∠=︒，最后由垂径定理求出半径OB【详解】过C 作CD⊥AB 于D ，BIC ∆的外接圆圆心为O,F 是O 优弧BC 上任意一点，过O 作OE⊥BC于E ，设,,AB c AC b BC a ===，⊥60BAC ∠=︒，⊥11,,22AD b DC BD c b ===-，⊥在ABC ∆周长为20⊥112022ABC S CD AB =⨯=，⊥20c =⊥=40bcRt BDC 中，222BD CD BC +=⊥2221())2c b a -+= 222c b bc a +-=⊥在ABC ∆周长为20，⊥+=20c b a +⊥22222()3(20)340a c b bc b c bc a =+-=+-=--⨯解得7BC a ==⊥I 是ABC ∆的内心⊥BI 、CI 分别平分⊥ABC 、⊥ACB ⊥11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠= ⊥60BAC ∠=︒⊥120?ABC ACB ∠+∠= ⊥1180180()120?2BIC IBC ICB ABC ACB ∠=-∠-∠=-∠+∠= ⊥+180BIC F ∠∠=°⊥60F ∠=︒⊥2120BOC F ∠=∠=︒⊥OE⊥BC ⊥1602BOE BOC ∠=∠=︒,1722BE BC ==⊥72OB BE ===故选D【点睛】 本题综合考察三角形的内心和外心，熟记内心和外心的性质是解题的关键例2．（2019·广东广州市·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，⊙O 为ABC ∆的内切圆，OA ，OB 与⊙O 分别交于点D ，E ．则劣弧DE 的长是_______．【答案】32π 【分析】先利用勾股定理计算出10AB =，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==，接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒，然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【详解】解：90C ∠=︒，8AC =，6BC =，10AB ∴==， O 为ABC 的内切圆，681022OD +-∴==，OA 平分BAC ∠，OB 平分ABC ∠， 1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒， ∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==． 故答案为32π． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．例3．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）如图1，设ABC ∆是一个锐角三角形，且AB AC ≠，Γ为其外接圆，O H 、分别为其外心和垂心，CD 为圆Γ直径，M 为线段BC 上一动点且满足2AH OM =．（1）证明：M 为BC 中点；（2）过O 作BC 的平行线交AB 于点E ，若F 为AH 的中点，证明： EF FC ⊥；（3）直线AM 与圆Γ的另一交点为N （如图2），以AM 为直径的圆与圆Γ的另一交点为P ．证明：若AP BC OH 、、三线共点，则AH HN =；反之也成立．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接AD ，BD ，得090ADB DBC ∠=∠=，结合H 为垂心，//,//AD BH BD AH ，得出四边形ADBH 为平行四边形，得到BD AH =，结合平行，O 为CD 中点，可得M 为BC 中点；（2）过E 作EG BC ⊥，由EGHF ， EGFA 为平行四边形，证明H 为FGC ∆的垂心，从而得到EF FC ⊥；（3）设AM 与OF 交点为I ，得到MH AP ⊥，证明H 是AMQ ∆的垂心，证明AP BC OH 、、三线共点得,,O H Q 三点共线，得到AH HN =．【详解】解：（1）连接,AD BD ，则DA AC ⊥，DB BC ⊥又H 为ABC ∆垂心⊥BH AC ⊥，AH BC ⊥⊥//,//AD BH BD AH⊥四边形ADBH 为平行四边形⊥2DB AH OM ==，又O 为CD 中点⊥M 为BC 中点（2）过E 作EG BC ⊥连接GH ，由（1）可知四边形EGHF 为平行四边形，四边形EGFA 为平行四边形 ⊥,CH AB AB GF ⊥⊥CH GF ⊥⊥H 为FGC ∆垂心⊥,GH GH CF EF ⊥而⊥EF FC ⊥（3）设AM 与OF 交点为I由（1）可知四边形OMFA 为平行四边形⊥I 为直径AM 中点而圆I 与圆Γ相交弦为AP⊥,OF AP MH OF ⊥而⊥MH AP ⊥设,MC AP Q 交于则H 为AMQ ∆垂心⊥QH AM ⊥AP BC OH 、、三线共点⇔,,O H Q 三点共线⇔OH AN⊥⇔AH HN=【点睛】本题考查了圆内的综合问题，熟知圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂心的作用是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江金华市·九年级学业考试）如图，⊙O是等边⊙ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则⊙EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°【答案】B【分析】连接OE，OF．求出⊥EOF的度数即可解决问题．【详解】解：如图，连接OE，OF．⊥⊥O是⊥ABC的内切圆，E，F是切点，⊥OE⊥AB，OF⊥BC，⊥⊥OEB=⊥OFB=90°，⊥⊥ABC 是等边三角形，⊥⊥B=60°，⊥⊥EOF=120°， ⊥⊥EPF=12⊥EOF=60°， 故选：B ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2020·浙江温州市·九年级二模）如图，已知矩形ABCD 的周长为16，E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，连接AE ，CE ，AF ，CF ，EF ，若37AECF ABCD S S =四边形矩形，则EF 的长为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式，再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系，从而分别求出r ，xy 、22xy +的值，最后由勾股定理求得EF 值. 【详解】如图，设AB=x ，BC=y ，内切圆半径为r ，则⊥矩形ABCD 的周长为16，⊥x+y=8①⊥E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆，⊥11(22ABC S xy x y r ∆==++② 由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形， ⊥37AECFABCD S S =四边形矩形， ⊥247ABCE ABCD S S =四边形矩形， ⊥112()4227xr yr xy +=， 即()47x y r xy +=③ 由①、②、③联立方程组，解得：r=1，xy=14，2236x y +=，作EH⊥FH 于H ，由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12，⊥EF=故选：B.【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.二、填空题3．（2019·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆，连接OA 、OB 、OC 、OD ．若108AOB ∠=︒，则COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图，设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，根据这8个角和为360°，⊥1+⊥8=108AOB ∠=︒，即可求出COD ∠=⊥5+⊥4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ，分别连接切点与圆心，则OE AB ⊥，OF CB ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥且OE OF OG OH ===， 在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩ ⊥Rt BEO Rt BFO ∆∆≌，⊥12∠=∠，同理可得：34∠=∠，56∠=∠，78∠=∠，1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒【点睛】本题考查了切线的性质，添加辅助线构造全等等知识点，一般情况下，已知直线为圆的切线，构造过切点的半径是常见辅助线做法．4．（2019·湖南广益实验中学九年级月考）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF 折叠，使点C落在AB边的中点M处。
三角形的角度与内切圆
三角形的角度与内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
而内切圆则是指可以与三角形的每条边都相切的圆。
本文将重点探讨三角形的角度与内切圆之间的关系。
一、三角形的内角和对于任意一个三角形，其三个内角的和总是等于180度。
这一特性被数学家们在古代发现，并称之为“三角和角等于180度”。
无论是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形，其内角和始终满足这一规律。
二、内切圆与三角形的关系内切圆是指与三角形的每条边都相切的圆。
在任意三角形中，内切圆的圆心与三条边的中点构成的连线相交于一个点，称为内切圆的圆心。
此外，内切圆的半径与三角形的边长、内角之间存在着特殊的关系。
三、内切圆的半径对于任意一个三角形，其内切圆的半径可以通过以下公式计算：r = A / p其中，r表示内切圆的半径，A表示三角形的面积，p表示三角形的半周长（即p = (a + b + c) / 2，a、b、c分别表示三角形的三条边）。
四、角度和内切圆的关系四、角度和内切圆的关系在三角形的内切圆中，角度与圆心所对应的圆弧之间存在一定的关系。
以正三角形为例，其三个内角均为60度，而内切圆的圆心角则为120度，对应的圆弧则为整个圆周。
同样地，对于其他类型的三角形，其内角与其对应的圆心角、圆弧之间也存在着特定的数学关系。
这一关系在几何学和三角函数中有着广泛的应用。
五、实际应用三角形的角度与内切圆的关系在实际应用中有着诸多重要的应用。
例如，对于建筑工程中的梁柱结构设计，通过分析三角形的内角和内切圆的特性，可以确定材料的切割角度和测量位置，确保结构的准确性和稳定性。
此外，在物理学、导航学和计算机图形学等领域中，角度的计算与内切圆的应用也起着重要的作用。
六、结论通过研究三角形的角度与内切圆之间的关系，我们不仅可以深入理解几何学原理，还可以应用于实际问题的解决和设计中。
内切圆作为一个重要的几何概念，在数学和工程学科中都有着广泛的应用，对于我们深入理解和掌握三角形的性质具有重要意义。
十种求外接球与内切球模型(解析版)
十种求外接球与内切球模型【必备知识点】模型一:墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=a2+b2+c2,求出R.例1.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC,AD两两垂直，且AB=3，AC=2，AD= 3，则球O的表面积为( )A.64πB.16πC.4πD.π【答案】B【详解】四面体ABCD的外接球O即为以AB,AC,AD为长、宽、高的长方体的外接球，∴球O的外接球半径R=12AB2+AC2+AD2=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π.故选：B.例2.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A,B,C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.3πB.6πC.6πD.24π【答案】C【详解】解：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，折起后OD，OE，OF两两垂直，故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.因为OD=2，OE=1，OF=1，所以2R=OD2+OE2+OF2=6，所以R=62，所以该三棱锥外接球的表面积为S表=4πR2=6π，故选：C.例3.已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=1，AC=BC= 2，则球O的表面积为( )A.2πB.3πC.4πD.5π【答案】D【详解】解：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，故可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体.若P，A，B，C为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上.设球O的半经为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R=PA2+AC2+BC2=5，从而有S球O=4πR2=π(2R)2=5π，故选：D.例4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，E为BC中点，把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )A.3πB.4πC.5πD.9π【答案】C【详解】依题意，PE⊥PA,PE⊥PD，PA∩PD=P，PA,PD⊂平面PAD，则PE⊥平面PAD，又PA=PD=2,AD=2，即有PA2+PD2=AD2，则PA⊥PD，因此可将三棱锥P-ADE补形成以PE,PA,PD为相邻三条棱的长方体，若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球面上，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上，设球O的半径为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R=PE2+PA2+PD2=5，所以球O的表面积为S=4πR2=π(2R)2=5π.故选：C例5.在正三棱锥S -ABC 中, 点M 是SC 的中点,且AM ⊥SB ,底面边长AB =22,则正三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为()A.6πB.12πC.32πD.36π【答案】B【详解】因为三棱锥S -ABC 为正三棱锥, 所以SB ⊥AC ,又AM ⊥SB ,AC ∩AM =A ,AC ,AM ⊂平面SAC , 所以SB ⊥平面SAC,所以SB ⊥SA ,SB ⊥SC ,同理SA ⊥SC ,即SA ,SB ,SC 三线两两垂直,且AB =22,所以SA =SB =SC =2,所以(2R )2=3×22=12,所以球的表面积S =4πR 2=12π,故选 B .例6.将一个边长为4的正三角形ABC 沿其中线BD 折成一个直二面角，则所得三棱锥A -BCD 的外接球的体积为_________.【答案】2053π【详解】由题意得：AB =BC =4，AD =CD =2，BD ⊥AD ，CD ⊥BD ，即BD ⊥平面ADC ；∵二面角A -BD -C 为直二面角，∴AD ⊥CD ，则三棱锥A -BCD 的外接球即为以BD ,CD ,AD 为长宽高的长方体的外接球，又BD =16-4=23，∴三棱锥A -BCD 的外接球半径R =12AD 2+CD 2+BD 2=124+4+12=5，∴三棱锥A -BCD 的外接球体积V =43πR 3=2053π.故答案为：2053π.例7.在正三棱锥S -ABC 中,M ,N 分别是棱SC ,BC 的中点,且AM ⊥MN , 若侧棱SA =23,则正三棱锥S -ABC 外接球的表面积是_________.【答案】36π【详解】∵AM ⊥MN ,SB ⎳MN ,∴AM ⊥SB ,∵AC ⊥SB ,∴SB ⊥平面SAC,∴SB ⊥SA ,SB ⊥SC ,∵SB ⊥SA ,BC ⊥SA ,∴SA ⊥平面SBC ,∴SA ⊥SC ,故三棱锥S -ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直,∴(2R )2=(23)2+(23)2+(23)2=36,即4R 2=36,∴正三棱锥S -ABC 外接球的表面积是36π.例8.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为32的正方形,AA 1=3,E 是线段A 1B 1上一点, 若二面角A -BD -E 的正切值为3,则三棱锥A -A 1D 1E 外接球的表面积为_________.【答案】35π【详解】过点E 作EF ⎳AA 1交AB 于F ,过F 作FG ⊥BD 于G ,连接EG ,则∠EGF 为二面角A -BD -E 的平面角,∵tan ∠EGF =3,∴EF FG=3,∵EF =AA 1=3,∴FG =1,则BF =2=B 1E , ∴A 1E =22,则三棱锥A -A 1D 1E 外接球的直径为8+9+18=35,因此三棱锥A -A 1D 1E 外接球的表面积S =35π.模型二:对棱相等模型使用范围:对棱相等的三棱锥推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为a ,b ,cAD =BC AB =CD AC =BD ⇒a 2+b 2=BC 2=λ2b 2+c 2=AC 2=μ2c 2+a 2=AB 2=k 2⇒a 2+b 2+c 2=λ2+μ2+k 22⇒R =λ2+μ2+k 28V A -BCD =abc -16abc ×4=13abc 例1.如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC=213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为( )A.72πB.7143πC.14πD.56π【答案】C【详解】由题意可知，PE =DF =10,PF =DE =13,PD =EF =5，即三棱锥P-DEF 的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：设FH =x ,HD =y ,HP =z ，则x 2+y 2=10,y 2+z 2=5,x 2+z 2=13，所以x 2+y 2+z 2=14，于是三棱锥P -DEF 的外接球直径为14，半径为142，所以该三棱锥外接球的表面积为：4π⋅1422=14π.故选：C .例2.在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为_____________．【答案】556π【详解】在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=22+22-2×2×2×34=2，所以BC =2．在三棱锥D -ABC 中，AB =AC =DB =DC =2，AD =BC =2．将三棱锥D -ABC 放入长方体，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，棱锥D -ABC 外接球的半径为R ，则a 2+b 2=4,b 2+c 2=4,a 2+c 2=2，所以a 2+b 2+c 2=5，所以R =12a 2+b 2+c 2=52，从而三棱锥D -ABC 外接球的体积V =43πR 3=556π.故答案为：556π例3.已知三棱锥P -ABC 的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA =32，PB =PC =5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】34π【详解】解：根据题意，三棱锥P -ABC 可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a ，b ，c ，如图所示，则a 2+b 2=PA 2=18，a 2+c 2=PB 2=25，b 2+c 2=PC 2=25，解得a =3，b =3，c =4．所以该三棱锥的外接球的半径为R =a 2+b 2+c 22=32+32+422=342，所以该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=4π×342 2=34π．故答案为：34π例4.已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．【答案】274π【详解】根据题意，只需四面体ABCD 在圆锥的内切球内，下面求四面体ABCD 的外接球半径．如图所示，将四面体放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则a 2+b 2=4，a 2+c 2=4，b 2+c 2=1，故4R 2=a 2+b 2+c 2=92，可得四面体ABCD 的外接球半径为324．当圆锥的侧面积最小时，该圆锥的内切球即四面体ABCD 的外接球，则此时圆锥的内切球的半径为R =324，底面圆的半径为r =324×3=364，母线长为324×2=322，所以侧面积为S =π×364×362=27π4.故答案为：27π4.例5.在三棱锥P -ABC 中，PA =BC =25，PB =AC =13，AB =PC =5，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积是______．【答案】29π【详解】由题意，PA =BC =25，PB =AC =13，PC =AB =5，将三棱锥P -ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为25，13，5，设长方体的长宽高分别为a,b ,c ,即a 2+b 2=25，c 2+b 2=13，a 2+c 2=5，解得：a =4，b =2，c =3．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R ，∴(2R )2=a 2+b 2+c 2⇒4R 2=29⇒S 球=4πR 2=29π﹒故答案为：29π．例6.已知三棱锥A -BCD ,三组对棱两两相等,且AB =CD =1,AD =BC =3,若三棱雉A -BCD的外接球表面积为9π2.则AC =______．【答案】5【详解】将四面体A-BCD放置于长方体中, ∵四面体A-BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个,∴长方体的外接球就是四面体A-BCD的外接球,∵AB=CD=1,AD=BC=3,且三组对棱两两相等,∴设AC=BD=x,得长方体的对角线长为1212+(3)2+x2=124+x2,可得外接球的直径2R=124+x2,所以 R=24+x24,∵三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2,∴4πR2=9π2,解得 R=32 4, 即24+x24=324,解之得x=5, 因即AC=BD=5.模型三:汉堡模型适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:确定球心O的位置,O1是ABC的外心,则OO1⊥平面ABC.第二步:算出小圆O1的半径AO1=r,OO1=12AA1=12h AA1=h也是圆柱的高).第三步:勾股定理:OA2=O1A2+O1O2⇒R2=h22+r2⇒R=r2+h2 2,求出R.公式:R=r2+h 22例1.已知某圆柱的高为42，体积为42π，则该圆柱外接球的表面积为( )A.32πB.36πC.40πD.44π【答案】B【详解】设圆柱底面圆的半径为r，则πr2×42=42π，解得r=1．设该圆柱的两底面中心分别为O1、O2，则该圆柱外接球的球心O为线段O1O2的中点，球O 的半径为R =12+422 2=3，故球O 的表面积S =4πR 2=36π．故选：B .例2.已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为( )A.120πB.129πC.129πD.180π【答案】C【详解】由题意，设球的半径为r ，底面三角形边长为2x ，因为侧棱长与底面边长之比为3：2，所以侧棱长为3x ，因为三棱柱的侧面积为162，即满足3⋅3x ⋅2x =18x 2=162，解得x =3，可知侧棱长为9，底面边长为6，如图所示，设N ，M 分别是上､下底面的中心，MN 的中点O 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的球心，则AM =33×6=23，OM =12MN =12AA 1=92，r =OA =OM 2+AM 2=92 2+23 2=1292，所以S =4πr 2=4π×12922=129π.故选：C .例3.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120∘，则球O 的表面积是( )A.4πB.163πC.16πD.20π【答案】D【详解】由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos ∠BAC =22+22-2×2×2×-12 =12,∴BC =23,设△ABC 外接圆的圆心为O 1,半径为CO 1，由正弦定理得BC sin ∠BAC =2CO 1 ，即2332=2CO 1，解得CO 1=2，设外接球的半径为R =CO ,∵O 1O =12AA 1=1,∴R =CO =CO 1 2+OO 1 2=22+12=5,球O 的表面积为S =4πR 2=20π,故选：D .例4.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1所有顶点都在球O 的表面上，且∠BAC =π6，AA 1=22，AC =3AB =3，则球O 的表面积为________．【答案】20π【详解】解：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，且∠BAC =π6,AA 1=22，，AC =3AB =3，∴BC =AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos π6=3+9-2×3×3×32=3，设ΔABC 为外接圆的圆心为E ，2r =3sin π6=23，所以r =3，设外接球的球心为O ，设球的半径为R ，所以R =r 2+12AA 1 2=5，故S 球=4π⋅(5)2=20π．故答案为：20π．例5.在四面体ABCD 中，AB =CD =1，BC =2，且AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，异面直线AB ，CD 所成角为π3，则该四面体外接球的表面积为______.【答案】16π3或8π【详解】由题意可以将四面体ABCD 补成一个如图所示的直三棱柱，因为异面直线AB ，CD 所成角为π3，所以∠ABE =π3或2π3，设△ABE 的外接圆半径为r ，当∠ABE =π3时，1sin60∘=2r ,r =33 ，当∠ABE =2π3时，AE =3 ，则3sin120∘=2r ,r =1，设四面体的外接球半径为R ，则R =r 2+BC 2 2=r 2+1 ，所以该四面体外接球的半径R =233或2，则外接球的表面积为.4πR 2=16π3或8π，故答案为：16π3或8π模型四:垂面模型适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体推导过程:第一步:将ABC 画在小圆面上,A 为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步:O 1为ABC 的外心,所以OO 1⊥平面ABC ,算出小圆O 1的半径O 1D =r (三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=c sin C =2r ,OO 1=12PA .第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2;(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式:R 2=r 2+h 24例1.已知三棱锥P -ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，PA =AB =AC =2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.12πB.16πC.20πD.24π【答案】C【详解】根据题意设底面△ABC 的外心为G ，O 为球心，所以OG ⊥平面ABC ，因为PA ⊥平面ABC ，所以OG ⎳PA ，设D 是PA 中点，因为OP =OA ，所以DO ⊥PA ，因为PA ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以AG ⊥PA ，因此OD ⎳AG ，因此四边形ODAG 是平行四边形，故OG =AD =12PA =1，由余弦定理，得BC =AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos120°=4+4-2×2×2×-12=23，由正弦定理，得2AG =2332⇒AG =2，所以该外接球的半径R 满足R 2=OG 2+AG 2=5⇒S =4πR 2=20π，故选：C ．例2.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，CD ⊥平面ABC ，AC =23，△ABC 是正三角形，△ACD 是等腰三角形，则球O 的体积为( )A.2053πB.86πC.2873πD.36π【答案】C【详解】∵CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AC ，又△ACD 是等腰三角形，∴CD =AC ．∵△ABC 是正三角形，∴AB =BC =AC =CD =23．设E 为△ABC 外接圆的圆心，则CE =23×32×23=2，OE =12CD =3，∴OC =OE 2+CE 2=7，∴球O 的体积V =43π×7 3=2873π.故选：C .例3.在三棱锥S -ABC 中, 侧棱SA ⊥底面ABC ,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,SA =25, 则该三棱锥的外接球的表面积为()A.643π B.2563π C.4363π D.2048327π【答案】B【详解】 由题意知,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,则在△ABC 中, 由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2×AB ×BC ×cos ∠ABC ,解得AC =7,设△ABC 的外接圆半径为 r ,则△ABC 的外接圆直径2r =AC sin ∠ABC =772,∴r =73, 又∵侧棱SA ⊥底面ABC ,∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离 h =12SA =5,则外接球的半径R =732+(5)2=643,则该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=2563π.例4.已知四棱锥P -ABCD 的五个顶点在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，PA =4，AB =AD ，BC=CD ，∠BAD =120°，且四边形ABCD 的面积为934，则球O 的表面积为___________.【答案】25π【详解】如图所示，在四边形中ABCD ，连结BD ，AC ，由AB =AD ,BC =CD ，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠ABC =∠ADC ,∠BAC =∠DAC ，因为A ,B ,C ,D 在同一圆上，所以∠ABC =∠ADC =90°，又因为∠BAD =120°，所以∠BCD =60°，则∠BAC =∠DAC =60°，在Rt △ABC 中，可得BC =3AB ，因为底面ABCD 的面积为934，所以2×12AB ⋅3AB =934，解得AB =32，则BC =332，AC =3322+322=3，所以Rt △ABC 外接圆的半径r =32，将四棱锥P -ABCD 补成直四棱柱PEFG -ABCD ，该直棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，设底面四边形ABCD 所在圆的圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1⊥平面ABCD ，过OM ⊥PA ，垂足为M ,由球的对称性可知，球心O 到底面ABCD 的距离为d =OO 1=AM =12PA =2，所以球O 的半径R 满足R 2=d 2+r 2=254，所以球O 的表面积S 球O =4πR 2=25π.故答案为：25π.例5.在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,∠BAC =120°,AC =2,AB =1,设D 为BC 中点, 且直线PD 与平面ABC 所成角的余弦值为55, 则该三棱雉外接球的表面积为___________.【答案】 373π【详解】在△ABC 中,∠BAC =120°,AC =2,AB =1,由余弦定理得:BC 2=AC 2+AB 2-2AC ⋅BC ⋅cos ∠BAC ,即BC 2=22+12-2×2×1×cos120°=7,解得:BC =7. 设△ABC 的外接圆半径为r ,由正弦定理得2r =BC sin ∠BAC =7sin120°=273解得:r =73=213;且cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =12+(7)2-222×1×7=277,又D 为BC 中点, 在△ABD 中,BD =12BC =72,AB =1,cos ∠ABD =277. 由余弦定理得:AD 2=AB 2+BD 2-2AB ⋅BD cos ∠ABD ,即:AD 2=12+722-2×1×72×277=34,解得AD =32.又因为PA ⊥平面ABC , 所以 ∠PDA 为直线PD 与平面ABC 所成角, 由cos ∠PDA =55,得 sin ∠PDA =255,tan ∠PDA =2所以在Rt △PAD 中, PA =AD ⋅tan ∠PDA =32⋅2=3. 设三棱锥P -ABC 的外接球半径为R , 所以R =PA 22+r 2=322+2132=3712,三棱锥P -ABC 外接球表面积为S =4πR 2=373π.模型五:斗笠模型使用范围:正棱雉或顶点的投影在底面的外心上推导过程:取底面的外心01, 连接顶点与外心,该线为空间几何体的高h ,在h 上取一点作为球心0,根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h公式:R =r 2+h 22h例1.已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,⊙O 1为△ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1, 则球O 的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A 【详解】设⊙O 1的半径为r ,球的半径为R ,依题意,得πr 2=4π,∴r =2.由正弦定理可得ABsin60°=2r ,∴AB =2r sin60°=2 3.∴OO 1=AB =2 3.根据球的截面性质,得OO 1⊥平面ABC ,∴OO 1⊥O 1A ,R =OA =OO 21+O 1A 2=OO 21+r 2=4,∴球O 的表面积S =4πR 2=64π.故选A .例2.正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为4 , 底面边长为2 , 则该球的表面积为()A.81π4B.16πC.9πD.27π4【答案】A 【详解】如图所示,设球半径为R ,底面中心为O 且球心为O ,∵正四棱锥P -ABCD 中 AB =2,∴AO =2,∵PO =4,∴在Rt △AOO 中, AO 2=AO ′2+OO ′2,∴R 2=(2)2+(4-R )2,解得R =94,∴该球的表面积为4πR 2=4π×942=81π4.例3.已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，则该圆锥的外接球的体积为( )A.36πB.48πC.36D.242【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由侧面展开图是圆心角为23π3的扇形得：2πr =23π3×26，解得：r =22.作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h ，则h =26 2-22 2=4.设该圆锥的外接球的球心为O ，半径为R ,则有R =h -R2+r 2，即R =4-R2+22 2，解得：R =3，所以该圆锥的外接球的体积为4πR 33=4π333=36π.故选：A .例4.在三棱锥P -ABC 中，侧棱PA =PB =PC =10，∠BAC =π4，BC =22，则此三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】50π3【详解】因为PA =PB =PC =10，所以点P 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心O 1，所以球心O 在直线PO 1上，设三棱锥外接球的半径为R ，因为2AO 1=22sin π4，所以AO 1=2，PO 1=6，由AO 2=OO 21+AO 21可得，R 2=6-R 2+4，解得R =56，故此三棱锥外接球的表面积为4πR 2=4π×256=503π．故答案为：50π3．例5.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是为________.【答案】24π【详解】如图正四面体ABCD 棱长为4，AH ⊥平面BCD 于H ，则H 是△BCD 中心，BH =33×4=433，AH ⊥平面BCD ，BH ⊂平面BCD ，则AH ⊥BH ，AH =42-4332=463，设外接球球心为O ，则O 在AH ，则OA =OB =R 为外接半径，由BH 2+OH 2=BO 2得4332+463-R2=R 2，解得R =6，∴S =4πR 2=24π．故答案为：24π.例6.在三棱雉P -ABC 中,PA =PB =PC =26,AC =AB =4,且AC ⊥AB ,则该三棱锥外接球的表面积为________.【答案】36π【详解】设顶点P 在底面中的射影为O 1,由于PA =PB =PC ,所以O 1A =O 1B =O 1C ,即点O 1 是底面△ABC 的外心,又AC ⊥AB ,所以O 1为BC 的中点,因为PA =PB =PC =26,AC =AB =4,所以BC =42,AO 1=22,PO 1=4,设外接球的球心为O ,半径为R ,则O 必在PO 1上, O 1O =4-R ,在Rt △O 1OA 中, (4-R )2+(22)2=R 2, 解得R =3,所以S 2=4πR 2=36π.例7..一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°, 若该圆雉的侧面积为33π,则该圆雉外接球的表面积为________.【答案】27π2【详解】设∠ASB =∠BSC =∠CSA =60°,则SA =SB =SC =AB =AC =BC .设AB =x ,则底面圆的直径为2r =x sin60°=2x 3,该圆锥的侧面积为12π⋅2x3⋅x =33π,解得x =3,高OS =32-(3)2= 6.∴r =33= 3.设圆锥外接球的半径为R ,所以(6-R )2+r 2=R 2,解得R =364, 则外接球的表面积为4πR 2=27π2.类型六:切瓜模型使用范围:有两个平面互相垂直的棱雉推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线, 两条垂线的交点即为球心0,取B C 的中点为E , 连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式:R 2=r 21+r 22-l 24例1.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为边长为4的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为( )A.112π3B.64π3C.64πD.16π【答案】A【详解】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，取侧面△PAB 和底面正方形ABCD 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2，分别过O 1，O 2作两个平面的垂线交于点O ，则由外接球的性质知，点O 即为该球的球心，取线段AB 的中点E ，连O 1E ，O 2E ，O 2D ，OD ，则四边形O 1EO 2O 为矩形，在等边△PAB 中，可得PE =23，则O 1E =233，即OO 2=233，在正方形ABCD 中，因为AB =4，可得O 2D =22，在直角△OO 2D 中，可得OD 2=OO 22+O 2D 2，即R 2=OO 22+O 2D 2=283，所以四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为S =4πR 2=112π3.故选：A .例2.已知三棱锥A -BCD 中, △ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A -BD -C 为直二面角, 则三棱雉A -BCD 的外接球的表面积为()A.10π3B.5πC.6πD.20π3【答案】D 【详解】取BD 的中点M ，连接AM ,CM ,∠AMC =90°,AF :FM =2:1,CE :EM =2:1，OF ⊥AM ，OE ⊥MC ,OE ∩OF =O 连接OC ，点 O 是三棱锥A -BCD 的外接球的球心，因为棱长都是2 ，所以OE =FM =33,EC =233，所以在△OEC 中，R =OC =OE 2+EC 2=153，那么外接球的表面积是S =4πR 2=203π ，故选D .例3.已知四棱锥P -ABCD 的体积是363，底面ABCD 是正方形，△PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为________.【答案】2821π【详解】设正方形ABCD 的边长为2x ，在等边三角形PAB 中，过P 点作PE ⊥AB 于E ，由于平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ．由于△PAB 是等边三角形，则PE =3x ，∴V P -ABCD =13⋅S ABCD ⋅PE =13×2x 2×3x =363，解得x =3．设四棱锥外接球的半径为R ，O 1为正方形ABCD 中心，O 2为等边三角形PAB 中心，O 为四棱锥P -ABCD 外接球球心，则易知OO 2EO 1为矩形，则OO 2=EO 1=12AD =x =3，PO 2=23PE =23⋅33=23，R =OP =OO 22+PO 22=9+12=21，∴外接球体积V =43π×(21)3=2821π．故答案为：2821π．例4.已知四面体ABCD 中，△ABD 和△BDC 是等边三角形，二面角A -BD -C 为直二面角.若AB =43，则四面体ABCD 外接球的表面积为__________________.【答案】80π【详解】如图所示：设O 1为△BCD 的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，则OO 1⊥平面BDC ．设M 为线段BD 的中点，外接球的半径为R ，连接AM ,CM ,OA ，过O 作OG ⊥AM 于点G ，易知G 为△ABD 的中心，则OO 1=OG =MO 1=MG ，因为MA =32×43=6，故MG =OG =13×6=2,GA =4，在Rt △AGO 中，GA 2+GO 2=OA 2，故22+42=R 2，则R =25．所以外接球的表面积为S =4πR 2=80π，故答案为：80π.例5.已知在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ,△BCD 和△ABD 均是边长为23的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为___________.【答案】2053π【详解】依题意，平面ABD ⊥平面BCD ,△BCD 和△ABD 均是边长为23的正三角形，设G 是BD 的中点，则AG ⊥BD ,CG ⊥BD ，由于平面ABD ⊥平面BCD 且交线为BD ，所以AG ⊥平面BCD ，CG ⊥平面ABD .设E ,F 分别是等边三角形ABD 和等边三角形BCD 的中心，则AE =CF =2GE =2GF =23CG =23×3=2,设O 是三棱锥A -BCD 外接球的球心，则OE ⊥平面ABD ，OF ⊥平面BCD .所以外接球的半径R =OF 2+CF 2=12+22=5，所以外接球的体积为4π3×5 3=2053π.故选：2053π模型七:折叠模型使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠.推导过程:两个全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折叠,设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图,作左图的二面角剖面图如右图:H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心,CH 1=r =BD2sin∠BCD,EH1=h-r,OH1=(h-r)tan α2故R2=OC2=OH21+CH21=r2+(h-r)2tan2α2.公式:R2=r2+(h-r)2tan2α2例1.已知菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=3,对角线AC与BD的交点为O,把菱形ABCD沿对角线BD折起, 使得∠AOC=90°,则折得的几何体的外接球的表面积为()A.15πB.15π2C.7π2D.7π【答案】A【解析】菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=3,三角形ABD的外接圆的半径为r=32sin60°=3,高h=332,对角线AC与BD的交点为O,使得α=∠AOC=90°,则折得的几何体的外接球的半径为:R=(3)2+332-32tan245°=152,外接球的表面积为S=4π152 2=15π, 故选 A.例2.在三棱雉P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,AB=23,PC=1,则三棱雉P-ABC的外接球的表面积为()A.4π3B.4πC.12πD.52π3【答案】D【解析】取AB中点D,因为PA=PB=AC=BC=2,所以PD=CD=1,又 PD⊥AB,CD⊥AB,则面PDC⊥面ABC,设△ABC的外心为O1,外接圆半径为r,三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,则OO1⊥面ABC,∠ACB=120°,由r=AB2sin120°=2,h=1,设∠PDC=α=60°(二面角平面角),外接球的半径为 R,R=r2+(h-r)2tan2α2=(2)2+(1-2)2tan230°=133,所以三棱雉P-ABC的外接球的表面积为4πR2=52π3,故选 D.例3.在边长为23的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿对角线AC折成二面角B-AC-D为120°的四面体ABCD,则此四面体的外接球表面积为________.【答案】84π【解析】如图所示, 典型的全等等腰三角形共底边:ED=h=3,O2D=r=23,∠BED=α=120°,可根据几何性质知道 ∠O 2EO =60°,OO 2=EO 2tan60°=3,R =OO 22+DO 22=(3)2+(23)2=21,或者可以通过公式R =r 2+(h -r )2tan 2α2=(23)2+(3-23)2tan 260°=21,S =4πR 2=84π.模型八:已知球心或球半径模型例1.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S -ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.【答案】36π【解析】如图, 连接AO ,OB ,∵SC 为球O 的直径,∴点O 为SC 的中点, ∵SA =AC ,SB =BC ,∴AO ⊥SC ,BO ⊥SC ,∵平面SCA ⊥平面SCB , 平面SCA ∩平面SCB =SC ,∴AO ⊥平面SCB , 设球O 的半径为R ,则OA =OB =R ,SC =2R .∴V S ⋅ABC =V A -SBC =13×S △SBC ×AO =13×12×SC ×OB ×AO , 即9=13×12×2R ×R ×R , 解得R =3,∴球O 的表面积为S =4πR 2=4π×32=36π.例2.已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的球面上,AB 为球O 的直径,若该三棱雉的体积为3,BC =3,BD =3,∠CBD =90°, 则球O 的体积为________.【答案】32π3【解析】设A 到平面BCD 的距离为h∵三棱锥的体积为3,BC =3,BD =3,∠CBD =90°∴13×12×3×3×h =3,∴h =2,∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ,连接OE ,则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ,∵△BCD 外接圆的直径CD =23,∴球O 的半径OD =2,∴球O 的体积为32π3.例3.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形, SC 为球O的直径, 且SC =2,则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22【答案】A【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ,O 是SC 的中点, 因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍,所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中,其棱长都是1,S △ABC =34×AB 2=34, 高OD =12-332=63,∴V S -ABC =2V O -ABC =2×13×34×63=26. 故选 A .例4.三棱锥S -ABC 的底面各棱长均为3 , 其外接球半径为2 , 则三棱锥S -ABC 的体积最大时,点S 到平面ABC 的距离为()A.2+3B.2-3C.3D.2【答案】C【解析】如图, 设三棱锥S -ABC 底面三角形ABC 的外心为G , 三棱锥外接球的球心为O , 要使三棱锥 S -ABC 的体积最大, 则O 在SG 上,由底面三角形的边长为3,可得AG =32sin60°=3.连接OA ,在 Rt △OGA 中,由勾股定理求得OG =OA 2-GA 2=22-(3)2=1.∴点S 到平面ABC 的距离为 OS +OG =2+1=3. 故选 C .模型九:最值模型最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过䅣中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.例1.在边长为6的菱形ABCD 中，∠A =π3，现将△ABD 沿BD 折起，当三棱锥A -BCD 的体积最大时，三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为( )A.60πB.30πC.70πD.50π【答案】A 【分析】当三棱锥A -BCD 的体积最大值时，平面ABD ⊥平面BCD ，即可求出外接圆的半径，从而求出面积.【详解】当三棱锥A -BCD 的体积最大值时，平面ABD ⊥平面BCD ，如图，取BD 的中点为H ，连接AH ,CH ，则AH ⊥BD .设O 1,O 2分别为△ABD ，△BCD 外接圆的圆心，O 为三棱锥A -BCD 的外接球的球心，则O 1在AH 上，O 2在CH 上，且AO 1=2O 1H =23AH =23,且O 2H ⊥BD ,OO 1⊥平面ABD ，OO 2⊥平面BCD .∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AH ⊂平面ABDAH ⊥平面ABD ，AH ⎳O 2O ，同理CH ⎳O 1O ∴四边形O 1OO 2H 为平行四边形∵AH ⊥平面BCD ，O 2H ⊂平面BCD ∴AH ⊥O 2H ，即四边形O 1OO 2H 为矩形.∴OO 2=O 1H =3CO 2=23×32×6=23∴外接球半径R =OO 22+CO 22=3+12=15∴外接球的表面积为4πR 2=60π故选：A .例2.在四棱锥S -ABCD 中，侧面SAD ⊥底面ABCD ，且SA =SD ，∠ASD =90°，底面ABCD 是边长为2的正方形，设P 为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥P -SAD 的最大体积为( )A.1+2B.2+223C.2+23D.1+23【答案】D 【详解】连接AC ,BD 交于点O ，取AD 中点为M ，连接SM ,OS ，作图如下：因为AS =DS ,∠ASD =90°，又M 为AD 的中点，故M 为Rt △SAD 的外心，又平面SAD ⊥平面ABCD ，且面SAD ∩面ABCD =AD ，又OM ⊥AD ,OM ⊂面ABCD ，故可得OM ⊥面SAD ，故OA =OS =OD ；又四边形ABCD 为正方形，且O 为对角线交点，故可得OA =OB =OC =OD ，综上所述，OA =OB =OC =OD =OS ，故O 为四棱锥S -ABCD 的外接球的球心.则其外接球半径R =OD =12BD =2.又P 为该四棱锥外接球表面上的动点，若使得三棱锥P -SAD 的体积最大，则此时点P 到平面SAD 的距离h =OM +R =1+2，故其体积的最大值V =13S △SAD ×h =13×12×AD ×SM ×1+2 =13×12×2×1×1+2 =1+23.故选：D .例3.已知P ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，平面PAB ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为2的正方形，∠APB =60°，当四棱锥P -ABCD 的体积最大时，该球的半径为______．【答案】213【分析】先求出四棱锥P -ABCD 的体积最大时，△PAB 为等边三角形，再找出外接球的球心，通过勾股定理即可求得半径.【详解】如图，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD =AB ，∴PQ ⊥平面ABCD ，V P -ABCD =13⋅PQ ⋅S ABCD ，故四棱锥P -ABCD 的体积最大，即PQ 最大，∵AB =2，PQ 最大，即△PAB 面积最大，由∠APB =60°,S △PAB =12⋅PA ⋅PB ⋅sin ∠APB =34⋅PA ⋅PB ，得cos ∠APB =AP 2+BP 2-42AP ⋅BP=12，AP 2+BP 2=AP ⋅BP +4≥2AP ⋅BP ，得AP ⋅BP ≤4，当且仅当AP =BP =2时取等号，此时△PAB 面积最大，△PAB 为等边三角形.取△PAB 的外心为O 1，正方形ABCD 的外心为O 2，过O 1,O 2分别作所在平面的垂线，交点为O ，O 即为四棱锥P -ABCD 外接球的球心，四边形OO 2QO 1为矩形，OO 1=O 2Q =1 ，PO 1=23PQ =233，设外接球半径为R ，则R =12+2332=213.故答案为：213.例4.A ，B ，C ，D 四点均在同一球面上，∠BAC =120∘，△BCD 是边长为2的等边三角形，则△ABC 面积的最大值为__________，四面体ABCD 体积最大时球的表面积为___________．【答案】 33 20π3【分析】①由于S △ABC =12AB ⋅AC sin ∠BAC =34AB ⋅AC ，求△ABC 面积的最大值即是求AB ⋅AC 的最大值，利用余弦定理结合重要不等式即可求解②当面ABC⊥面BCD时四面体的体积最大，确定出球心后计算出球的半径即可求解【详解】①因为∠BAC=120∘所以S△ABC=12AB⋅AC sin∠BAC=34AB⋅AC又BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cos120∘即4=AB2+AC2+AB⋅AC≥2AB⋅AC+AB⋅AC=3AB⋅AC所以AB⋅AC≤4 3所以S△ABC=34AB⋅AC≤34×43=33即△ABC面积的最大值为3 3②过A作AH⊥BC，垂足为H, S△ABC=12AH⋅BC=AH则△ABC面积的最大时，AH最大，AH的最大值为3 3，此时△ABC为等腰三角形，H为BC中点S△BCD=12×2×2×32=3，V A-BCD=13S△BCD⋅h=33h则当AH⊥平面BCD时, h最大，此时面ABC⊥面BCD如图,设O为四面体ABCD 外接球的球心, O1，O2分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心. OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD,在△ABC中BCsin∠BAC=433=2O2A⇒O2A=33DO1=23DH=23×32×2=233OO1=O2H=O2A-AH=33∴四面体ABCD外接球的半径R=OO21+O1D2=53外接球的表面积为4πR2=20π3模型十:内切球模型以三棱雉P-ABC为例, 求其内切球OE的半径推导过程:等体积法,三棱雉P-ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱雉的体积之和.第一步:先求出四个表面的面积和整个雉体体积;第二步:设内切球的半径为r ,球心为O ,建立等式:V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ⋅r +13S △PAB ⋅r +13S △PAC ⋅r +13S △PBC ⋅r =13S△ABC+S △PAB +S △PAC +S △PBC ⋅r 第三步:解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3VS 表.公式:r =3VS 表例1.已知点O 到直三棱柱ABC -A 1B 1C 1各面的距离都相等，球O 是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的内切球，若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥A 1-ABC 的体积为( )A.43B.163C.833D.1633【答案】B 【详解】解：设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为h ，AB =c ，BC =a ，AC =b ，内切球O 的半径为r ，则h =2r ，由题意可知球O 的表面积为16π=4πr 2，解得r =2，∴h =4，又△ABC 的周长为4，即a +b +c =4，∴连接OA ，OB ，OC ，OA 1,OB 1,OC 1可将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为S △ABC h =13ahr +13bhr +13chr +2×13S △ABC r ，即4S △ABC =13(a +b +c )hr +43S △ABC ，∴S △ABC =4，∴三棱锥A 1-ABC 的体积为13S △ABC h =13×4×4=163．故选：B ．例2.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =CD =1，BC ⊥CD ，则鳖臑ABCD 内切球的表面积为( )。
直角三角形内切圆半径
直角三角形内切圆半径
内切圆半径公式为：r=（a+b-c）/2(a,b为直角边，c为斜边)，一般三角形：内切圆半径r=2s/(a+b+c)，s是三角形的面积公式。
首先画一个三角形以及三角形的内接圆，分别连接圆心和三角形三个顶点（这时可见三角形分为了三个三角形），再分别连接圆心和三个切点（这时可见三角形分为六个个小三角形），可得这三条线段分别与三角形三条边a、b、c垂直，这时三角形面积可以用三个小三角形来求，
既a*r/2+b*r/2+c*r/2=(a+b+c)*r/2=s
所以r=2s/(a+b+c)
设立△abc的三边分别为a、b、c，面积为s，内切圆半径为r，则：
1/2ar＋1/2br＋1/2cr＝s
∴r＝2s/(a＋b＋c)
这就是三角形中内切圆半径的计算公式，即三角形中内切圆半径等于面积的2倍除以周长。
推论：设立内切圆半径为r，圆心o，相连接oa、ob、oc
得到三个三角形oab、obc、oac
那么，这三个三角形的边ab、bc、ac上的填有为内切圆半径r
所以：s=s△abc=s△oab+s△obc+s△oac
=(1/2)ab*r+(1/2)bc*r+(1/2)*ac*r
=(1/2)(ab+bc+ac)*r
=(1/2)(a+b+c)*r
所以，r=2s/(a+b+c).。
直角三角形的内切圆的半径-概述说明以及解释
直角三角形的内切圆的半径-概述说明以及解释1.引言1.1 概述直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（90度）。
内切圆是指能够切确地与三角形的三边相切的圆。
本文旨在研究直角三角形的内切圆的半径及其相关性质。
在本文的概述部分，我们将首先介绍直角三角形的定义。
直角三角形是指一个三角形中有一个角度为直角，即为90度。
我们将探讨直角三角形的特性和其与其他类型三角形的区别。
随后，我们将引入内切圆的定义。
内切圆是指能够与直角三角形的三边相切的圆。
我们将讨论内切圆的特性，例如它与直角三角形的关系和相对位置。
在探讨了直角三角形和内切圆的定义后，我们将进一步研究内切圆的性质。
包括内切圆的位置、大小和形状等方面的性质，我们将详细讨论这些内容，以便更好地理解内切圆在直角三角形中的作用和特点。
接下来，我们将介绍内切圆的半径与直角三角形的关系，探讨这两者之间的数学联系。
我们将探究内切圆半径与直角三角形的各边长度之间的关系，并给出相应的证明和推导过程。
在结论部分，我们将总结本文的研究成果，阐明内切圆半径与直角三角形的关系及其应用。
我们将讨论内切圆半径对直角三角形的重要意义，并展望相关研究的可能性和未来的发展方向。
通过对直角三角形的内切圆及其半径的研究，我们可以更深入地理解三角形和圆的几何性质，同时也为解决相关几何问题提供了理论基础。
此外，对于数学教育和实际应用领域，了解内切圆的性质和特点也具有重要的意义。
我们期待通过本文的研究，能够为读者带来新的思考和启示。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以如下所示：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织架构和各个章节的主要内容。
通过清晰地列出文章的目录，读者可以更好地了解文章的整体结构和内容安排。
本文共分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将首先对直角三角形的内切圆的半径进行一个概述，介绍该主题的背景和意义。
接下来，我们将介绍文章的结构并明确本文的目的，以便读者能够理解本文的整体框架和研究方向。
直角三角形内切圆半径的公式
在直角三角形中，内切圆的半径是一个重要的几何概念。
它可以帮助我们更好地理解三角形的性质和优化三角形的利用。
首先，让我们定义直角三角形内切圆的半径为r。
然后我们可以使用以下公式来计算r：
r = (a+b-c) / 2
其中，a、b和c分别是三角形的三边长度。
这个公式是基于三角形内切圆的定义得出的，即内切圆的半径等于三角形三边之和减去斜边的长度的一半。
为了更好地理解这个公式，我们可以从直观的角度来看。
在直角三角形中，内切圆是三个角的平分线的交点。
因此，内切圆的半径等于三角形两个锐角平分线的长度之和的一半。
由于三角形的三边长度与三个角的度数有关，因此我们可以使用这个公式来计算内切圆的半径。
此外，如果我们考虑三角形的面积，内切圆的半径也有重要的应用。
三角形的面积等于两个锐角平分线的长度之积的一半，这个面积也可以用三角形的底和高来表示。
因此，通过比较两种方法得出的面积，我们可以得出一个与半径有关的公式，这个公式可以帮助我们快速计算出内切圆的半径。
总之，直角三角形内切圆的半径的公式是一个重要的几何概念，它可以帮助我们更好地理解三角形的性质和优化三角形的利用。
三角形内切圆
三角形内切圆概念三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆(一般情况下，n边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。
)，且内切圆圆心定在三角形内部。
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。
面积法;1/2lr(l周长)用于任意三角形折叠编辑本段推论以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形A'B'C'是ABC的内接三角形之一。
名称确定方法性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点<1>到三个顶点的距离相等<2>外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点<1>到三边的距离相等<2>内心在三角形内部ABC的内切圆就是A'B'C'的外接圆。
而A'A、B'B和C'C三线交于一点，它们的交点就是勒莫恩点(Lemoine point)(或称热尔岗点(Gergonne point))，或类似重心，即三条类似中线的交点。
内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点(见九点圆)。
若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆(半径都等于内切圆半径的一半)。
三角形的外接圆半径R、内切圆半径r以及内外心间距OI之间有如下关系:r^2+OI^2=(R-r)^2在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式:1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。
2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。
1、r=(a+b-c)/2(注:r是Rt△内切圆的半径，a,b是Rt△的2个直角边，c是斜边)2、r=ab/(a+b+c)三角形外接圆与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。
三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。
中考数学三角形的内切圆
NIM
D
C
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作 出一个．
（二）新课
1. 什么是三角形的内切圆？ 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的 圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角 2形、．想一想，三角形内心和外心的区别？
名称
确定方法
图形
2 （A）3
3
2 （B） 3
5 2 （C）2
2
5 （D）2
3
3、如图，⊙ O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点， ∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
A
（C）120° （D）130°
D
F
O
B
E
C
4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 （）
（A）1∶ 2 ∶ 3 （B）1∶2∶ 3
的外接圆相交于点D.
A
求证：DE＝DB
12
34
B5
O C
D
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三 角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．
（四）小结
1.学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、 多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念．
2.利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点 就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．
外链代发 / 外链代发
色的壁炉声，只见他结实柔滑、有些法力的神奇屁股中，酷酷地飞出五十簇摆舞着∈七光海天镜←的眼睛状的豆荚，随着蘑菇王子的扭动，眼睛状的豆荚像香肠一样，朝着Ｂ．摩拉日勃木匠彪悍 的亮白色车轮般的鼻子横掏过去。紧跟着蘑菇王子也窜耍着兵器像电池般的怪影一样向Ｂ．摩拉日勃木匠横掏过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道紫罗兰色的闪光，地面变成了 金橙色、景物变成了亮白色、天空变成了碳黑色、四周发出了狂速的巨响。蘑菇王子直挺滑润、略微有些上翘的鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｂ．摩拉日勃木匠仿佛海带般的手臂，此时 正惨碎成手镯样的亮黑色飞光，全速射向远方，Ｂ．摩拉日勃木匠猛咆着发疯般地跳出界外，疾速将仿佛海带般的手臂复原，但已无力再战，只好落荒而逃神怪女招待Ｘ．卡森玛娅婆婆猛然像金 橙色的七角丛林猫一样猛啐了一声，突然玩了一个独腿狂舞的特技神功，身上眨眼间生出了一百只很像铁饼一样的淡青色脖子。接着搞了个，醉猫菊花翻九千度外加虾喝犀牛旋一百周半的招数， 接着又演了一套，波体鱼摇腾空翻七百二十度外加飞转三周的壮观招式！紧接着把粉红色路灯般的脑袋耍了耍，只见二十道亮亮的酷似火鸡般的深冰灵，突然从浮动的肩膀中飞出，随着一声低沉 古怪的轰响，浅绿色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的纸花淡窜味在快速的空气中绕动。最后转起绿宝石色陀螺形态的奇发一嚎，酷酷地从里面滚出一道金光，她抓住金光艺术地一旋，一样 绿莹莹、青虚虚的法宝『绿鸟蟒精小路袋』便显露出来，只见这个这玩意儿，一边变异，一边发出“吱吱”的仙声！。骤然间女招待Ｘ．卡森玛娅婆婆疾速地连续使出五十五路妖鱼野猫飞，只见 她轻盈的嫩黄色香槟般的脸中，轻飘地喷出五十团旋舞着『青雾甩仙球棒 经文』的瓜子状的嘴唇，随着女招待Ｘ．卡森玛娅婆婆的旋动，瓜子状的嘴唇像榛子一样在额头上时尚地 鼓捣出隐约光盾……紧接着女招待Ｘ．卡森玛娅婆婆又忽悠了一个蹲身膨胀抓蒲扇的怪异把戏，，只见她傲慢的暗绿色面条模样的腰鼓遁形履中，飘然射出五十缕牧场金鳞鹰状的拐杖，随着女招 待Ｘ．卡森玛娅婆婆的甩动，牧场金鳞鹰状的拐杖像蒲扇一样，朝着蘑菇王子青春四射的幼狮肩膀猛踢过来……紧跟着女招待Ｘ．卡森玛娅婆婆也怪耍着法宝像冰雕般的怪影一样朝蘑菇王子猛翻 过来蘑菇王子猛然像深黄色的三喉戈壁鹤一样怒咒了一声，突然搞了个倒地狂跳的特技神功，身上瞬间生出了九十只活像球拍般的紫玫瑰色脚趾……接着耍了一套，窜鹤荷叶翻九千度外加鹏哼海 豹旋一百周半的招数。紧接着把闪
直角三角形的内切圆半径公式
直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2这个公式是
怎样推导出来的?
hmedbtja 数学 2014-11-08
优质解答
设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE 显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r,BE＝a－r,
因为AD＝AF,CE＝CF
所以AF＝b－r,CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
方法二：
如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE、OF,OA、OB、OC
显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
cpbneq92 2014-11-08。