刚体运动学与刚体转动惯量
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
常见刚体转动惯量
常见刚体转动惯量刚体转动惯量是描述刚体围绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性。
研究刚体转动惯量的目的是为了更好地理解刚体的运动规律和性质。
在物理学中，刚体转动惯量通常用I表示，它是刚体质量分布在旋转轴周围的离散点上的质量分布和离转轴距离的平方乘积之和。
刚体转动惯量的大小与刚体的形状、质量分布和旋转轴的位置有关。
对于具有均匀质量分布的刚体，其转动惯量可用简单的公式进行计算。
例如，对于一个球体，其转动惯量可表示为2/5 * m * r^2，其中m为球体的质量，r为球体的半径。
对于其他形状的刚体，如长方体或圆柱体，可以通过相应的公式计算其转动惯量。
刚体转动惯量在物理学中有着广泛的应用。
在工程领域，研究刚体转动惯量可以帮助设计合适的机械系统，确保其运动的稳定性和平衡性。
在运动学和动力学领域，刚体转动惯量是分析刚体旋转运动的重要参数。
在天文学中，研究天体的转动惯量可以帮助科学家理解宇宙中的星系和行星的运动规律。
除了了解刚体转动惯量的物理意义，我们还可以从中体会到自然界的奥秘和美妙。
刚体转动惯量的大小不仅取决于其形状和质量分布，还取决于旋转轴的位置。
这意味着刚体的旋转运动是一种既复杂又精确的过程。
正是由于刚体转动惯量的存在，我们才能观察到日常生活中的许多有趣现象，如陀螺的旋转、滚筒的滚动和车辆的转弯等。
当我们试图推动一个旋转的陀螺或转动的滚筒时，我们会感受到转动惯量的作用。
由于转动惯量的存在，我们需要施加更大的力才能改变刚体的旋转状态。
这也是为什么陀螺和滚筒在旋转时保持稳定的原因。
刚体转动惯量的概念使我们能够更好地理解和解释这些现象。
刚体转动惯量是描述刚体围绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性。
它与刚体的形状、质量分布和旋转轴的位置有关，具有重要的物理意义和广泛的应用。
通过研究刚体转动惯量，我们可以更好地理解和解释刚体旋转运动的规律，并体会到自然界的奥秘和美妙。
希望这篇文章能够使读者对刚体转动惯量有更深入的了解，并对物理学产生更大的兴趣。
刚体转动与转动惯量计算
刚体转动与转动惯量计算刚体转动是物理学中一个重要的概念，它描述了物体在空间中绕某个轴旋转的运动。
而转动惯量则是衡量物体对转动运动的惯性大小的物理量。
在本文中，我们将探讨刚体转动以及转动惯量的计算方法。
一、刚体转动的基本概念刚体是指其内部各点之间的相对位置保持不变的物体。
当一个刚体绕某个轴旋转时，我们可以将其看作由无数个质点组成的系统。
每个质点围绕轴线作圆周运动，但由于刚体是刚性的，各个质点的圆周运动是同步的，因此整个刚体呈现出旋转的状态。
在刚体转动中，我们常用到角度、角速度和角加速度等概念。
角度表示刚体绕轴线旋转的程度，通常用弧度制来表示。
角速度表示单位时间内刚体旋转的角度变化量，用符号ω表示。
角加速度则表示单位时间内角速度的变化量，用符号α表示。
二、转动惯量的概念转动惯量是描述物体对转动运动的惯性大小的物理量。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
对于一个质量分布均匀的物体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = ∫r^2 dm其中，I表示转动惯量，r表示质点与轴线的距离，dm表示质点的质量元素。
对于一个质量分布不均匀的物体，我们需要将其分割成无数个质点，然后对每个质点的转动惯量进行求和，才能得到整个物体的转动惯量。
三、转动惯量的计算方法在实际计算转动惯量时，我们常用到一些常见的几何体的转动惯量公式。
以下是一些常见几何体的转动惯量计算公式：1. 球体的转动惯量计算公式：对于一个半径为r、质量为m的球体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (2/5)mr^22. 圆柱体的转动惯量计算公式：对于一个半径为r、质量为m、高度为h的圆柱体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (1/2)mr^2 + (1/12)mh^23. 平板的转动惯量计算公式：对于一个质量为m、边长为a的平板，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = (1/12)ma^2除了以上几何体的转动惯量计算公式外，对于其他复杂形状的物体，我们可以利用积分的方法进行求解。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
转动惯量定义
转动惯量定义转动惯量是刚体运动学中的一个重要概念，它描述了刚体绕轴线旋转时所表现出的惯性特性。
在物理学中，转动惯量通常用大写字母I 表示。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及绕轴线的位置和方向。
我们需要理解什么是刚体。
刚体是一个几何形状固定且质量均匀分布的物体。
当一个刚体绕某个轴线旋转时，不同部分的质量会对旋转产生不同的影响。
转动惯量正是用来描述这种影响的物理量。
转动惯量的定义是刚体绕轴线旋转时，各部分质量与其与轴线距离平方的乘积之和。
转动惯量的计算需要考虑刚体的形状和质量分布。
对于简单的几何形状，可以使用相应的公式进行计算；而对于复杂的形状，通常需要使用积分来求解。
转动惯量有很多重要的应用，其中之一是描述刚体的旋转运动。
根据牛顿第二定律，刚体的旋转运动可以用转动惯量和角加速度的乘积来描述。
转动惯量越大，刚体对外力的抵抗能力越强，旋转越困难；转动惯量越小，刚体旋转的灵活性越高。
转动惯量还与刚体的稳定性密切相关。
当刚体绕某个轴线旋转时，如果该轴线通过刚体的质心，那么转动惯量达到最小值，刚体的稳定性最高。
而如果轴线偏离质心，转动惯量将增大，刚体的稳定性会降低。
需要注意的是，转动惯量是一个标量，它只有大小没有方向。
对于对称物体，转动惯量通常与轴线的方向无关；而对于非对称物体，转动惯量则取决于轴线的方向。
转动惯量在工程和科学研究中都有广泛的应用。
例如，在机械工程中，转动惯量是设计旋转系统和机械装置时必须考虑的重要参数。
在天体物理学中，转动惯量是研究行星、恒星和星系旋转运动的基础。
转动惯量是描述刚体旋转运动的重要物理量，它与刚体的质量分布和轴线的位置和方向密切相关。
转动惯量的大小决定了刚体对旋转的抵抗能力和稳定性。
在工程和科学研究中，转动惯量有着广泛的应用。
通过对转动惯量的研究，我们可以更好地理解和描述刚体的旋转运动。
大学刚体知识点总结
大学刚体知识点总结一、刚体的概念和基本性质1. 刚体的基本概念刚体是指在运动或受力作用时，其内部各个部分之间的相对位置保持不变的物体。
刚体的定义包括两个方面：一是刚体的形状和大小在所讨论的现象中不发生改变；二是刚体内各点的相对位置在所讨论的现象中也不发生改变。
这意味着刚体是刚性的，并且不会发生形变。
2. 刚体的基本性质（1）刚性：刚体的所有部分在相互作用下保持相对位置不变，不发生相对位移或形变，这就是刚体的基本性质之一。
（2）刚体的自由度：刚体的自由度是指刚体可以自由运动的最少独立坐标数。
刚体的自由度可以通过不同类型的运动来描述，包括平动、转动和复合运动。
（3）刚体的质心：刚体的质心是指一个质点，它等效于整个刚体对于外力的作用。
在某些情况下，刚体可以看作是一个质点，其运动和受力可以通过质心来描述。
二、刚体的平动1. 刚体的平动运动在刚体的平动运动中，刚体上的各个点都以相同的速度和方向移动。
平动运动可以通过刚体的速度和加速度来描述，它是刚体运动的一种常见形式。
2. 刚体的平动运动描述（1）刚体的平动速度：刚体上的各个点的速度大小和方向相同，这就是刚体的平动速度。
刚体的平动速度可以通过质点运动方程或者质心运动方程来描述。
（2）刚体的平动加速度：刚体上的各个点的加速度大小和方向相同，这就是刚体的平动加速度。
刚体的平动加速度可以通过质点加速度方程或者质心加速度方程来描述。
（3）刚体的平动运动学问题：刚体的平动运动学问题包括刚体的位移、速度、加速度等相关内容，它们可以通过运动学方法来解决。
三、刚体的转动1. 刚体的转动运动在刚体的转动运动中，刚体围绕固定轴旋转。
转动运动是刚体运动的另一种常见形式，它可以通过角度和角速度来描述。
2. 刚体的转动运动描述（1）刚体的角度和角速度：刚体围绕固定轴旋转时，可以通过角度和角速度来描述。
角度是指刚体围绕轴线旋转的角度，角速度是指刚体围绕轴线旋转的角度变化率。
（2）刚体的转动惯量：刚体围绕轴线旋转时，需要通过转动惯量来描述其转动惯性。
刚体力学刚体动力学举例
2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T
1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为：A
Jo
1 4
mR2( 2k
21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能
定理可表为： W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri
1 2
mrc
rc
2 1
M zd
1 2
I
2
z2
1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V
E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E
mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理
对定轴转动的情况，假设 k ，则：
W e
2 2 F dr F vdt
刚体的知识点总结
刚体的知识点总结一、刚体的概念刚体是物理学中的一个重要概念，它是指在运动或静止过程中，形状和大小不发生改变的物体。
刚体具有以下特点：1. 刚体的分子结构相对固定，对外力的变形能力非常小。
2. 刚体受到外力作用时，其内部分子之间的相对位置发生微小变化，但整体上保持不变。
3. 刚体在变形后会恢复原状，即使外力作用消失后也会保持所受外力时的状态。
刚体的概念在物理学中有重要的应用，在力学、动力学、静力学等领域都有广泛的应用。
二、刚体的基本性质1. 自由度刚体在运动过程中具有自由度的概念，即刚体在空间中的自由度是指其可以围绕固定坐标系的运动方式。
2. 平移运动刚体在空间中可以进行平移运动，即整个刚体的位置随时间发生变化，但其形状和大小保持不变。
3. 旋转运动刚体在空间中也可以进行旋转运动，即围绕某一固定点或者固定轴进行旋转运动，这种运动称为刚体的自由旋转。
4. 刚体的定点定轴运动刚体在空间中也可以进行以某一固定点为中心或者以某一固定轴为旋转轴的运动，这种运动称为刚体的定点定轴运动。
5. 定点定轴自由度刚体在空间中具有三个定点定轴自由度，即刚体的位置可以变化，且可以绕三个固定轴进行旋转运动。
6. 刚体的平移自由度刚体在空间中具有三个平移自由度，即刚体在空间中可以相对于三个坐标轴进行平移运动。
7. 刚体的旋转自由度刚体在空间中具有三个旋转自由度，即刚体在空间中可以绕三个坐标轴进行旋转运动。
以上是刚体的基本性质，了解这些性质有助于我们在物理学研究中更深入地理解刚体的运动规律。
三、刚体的运动学分析1. 刚体的速度刚体在空间中的运动状态可以用速度来描述，刚体的速度分为线速度和角速度。
线速度是描述刚体中任一点的速度，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
角速度则是描述刚体的旋转运动状态，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
2. 刚体的加速度刚体在运动中会受到外力的影响，导致其速度发生变化，这种速度变化的率就是刚体的加速度。
刚体转动与转动惯量计算
刚体转动与转动惯量计算刚体转动是物体绕固定轴进行转动的运动。
在刚体转动中，关键参数是物体的转动惯量，它反映了物体对转动的惯性。
转动惯量的定义是：转动惯量（I）是刚体对轴的转动惯性的量度，它等于刚体各个微小质量元的质量乘以其到转轴的距离的平方之和，即I=Σm_i*r_i²其中，m_i是质量微元，r_i是质量微元到转轴的距离。
对于不同形状的物体，转动惯量有不同的计算方法。
我们来分别讨论以下几种常见形状的物体和它们的转动惯量计算方法。
1.球体的转动惯量：对于均匀球体来说，其转动惯量与质量和尺寸有关，可以通过以下公式计算：I=(2/5)*m*r²其中，m是球体的质量，r是球体的半径。
2.圆柱体的转动惯量：对于均匀圆柱体来说，其转动惯量与质量和尺寸有关，可以通过以下公式计算：I=(1/2)*m*r²其中，m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
3.长方体的转动惯量：对于均匀长方体来说，其转动惯量与质量和尺寸有关，可以通过以下公式计算：I=(1/12)*m*(a²+b²)其中，m是长方体的质量，a和b是长方体的两个相邻边的长度。
4.薄杆的转动惯量：对于均匀薄杆来说，其转动惯量与质量和尺寸有关，可以通过以下公式计算：I=(1/12)*m*h²其中，m是薄杆的质量，h是薄杆的长度。
5.圆环的转动惯量：对于均匀圆环来说，其转动惯量与质量和尺寸有关，可以通过以下公式计算：I=m*r²其中，m是圆环的质量，r是圆环的半径。
6.圆盘的转动惯量：对于均匀圆盘来说，其转动惯量与质量和尺寸有关，可以通过以下公式计算：I=(1/2)*m*r²其中，m是圆盘的质量，r是圆盘的半径。
需要注意的是，上述公式都是对于均匀物体的计算方法。
如果物体不均匀，转动惯量的计算将更为复杂，需要将物体分为质量微元进行积分计算。
转动惯量在物理学中有着广泛的应用，例如在机械工程中，可以用来计算机械系统的转动稳定性；在天体物理学中，可以用来描述行星、恒星等宏观物体的转动状态等等。
刚体的运动和转动
刚体的运动和转动刚体是指物体在运动或转动过程中，各部分之间保持相对位置不变的物体。
在物理学中，刚体是一个重要的概念，它的运动和转动具有一定的规律和性质。
本文将详细探讨刚体的运动和转动，以及相关的基本概念和原理。
一、刚体的运动刚体的运动是指整个物体的平动，即物体作为一个整体的运动。
平动可以是沿直线运动，也可以是曲线运动。
根据牛顿第一定律，当物体所受合外力的矢量和为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而当物体所受合外力的矢量和不为零时，物体将发生加速度，即产生直线运动。
刚体的平动可以通过理解质点来进行分析。
质点是指物体的质量集中在一个点上，没有形状和大小，无论是刚体还是非刚体，都可以看作是由许多质点组成的。
因此，在分析刚体的平动时，可以把刚体简化为质点。
同时，刚体的平动也满足牛顿第二定律，即合外力等于质量乘以加速度。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体绕某个轴进行旋转的运动。
转动的轴可以是任意选择的，但通常选择物体上的某个固定点或固定轴线作为转动的轴。
在刚体的转动中，每一个点都绕轴线进行圆周运动，并且所有点的转动角度相等。
刚体的转动可以由物体的转动惯量和转动力矩来描述。
转动惯量是物体对转动的抵抗程度或者旋转惯性的量度，它与物体的质量分布和形状密切相关。
转动力矩则是引起刚体转动的力和力臂的乘积，它的方向由右手定则给出。
根据角动量守恒定律，当刚体不受外力矩作用时，刚体的角动量守恒。
这意味着刚体的角动量大小和方向在运动过程中保持不变，从而导致刚体产生转动。
三、刚体的动力学方程刚体的运动和转动都可以通过动力学方程来描述。
对于平动的刚体，动力学方程可以表示为：∑F = ma其中，∑F表示物体所受合外力的矢量和，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
而对于转动的刚体，动力学方程可以表示为：∑τ = Iα其中，∑τ表示物体所受合外力矩的矢量和，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的运动和转动的实例刚体的运动和转动在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
理论力学B知识点总结
理论力学B知识点总结一、刚体运动1. 刚体的定义刚体是指无穿透形变、受力形变的物体。
在刚体运动中，刚体上任意两点的距离在运动过程中保持不变。
2. 刚体的运动刚体的运动包括平移运动和转动运动。
在平移运动中，刚体上所有点都沿着相同的方向移动；在转动运动中，刚体围绕着某一固定轴线做转动运动。
3. 刚体的运动描述描述刚体运动需要了解刚体的位移、速度和加速度。
刚体的位移是指刚体上任一点在运动中的位置变化；速度是位移对时间的变化率；而加速度则是速度对时间的变化率。
4. 刚体的自由度刚体在运动中的自由度取决于其平移和转动的自由度。
一个刚体的自由度等于其平移自由度和转动自由度之和。
5. 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是指刚体绕轴线转动时对于外力的惯性作用。
转动惯量的大小取决于刚体的形状和质量分布。
二、惯性参考系1. 惯性参考系的定义惯性参考系是指在其中做任意匀速直线运动的参考系。
在惯性参考系中，牛顿力学定律成立。
2. 非惯性参考系非惯性参考系是指其中做非匀速直线运动或者转动运动的参考系。
在非惯性参考系中，牛顿力学定律不成立，会出现虚拟力的存在。
3. 惯性力在非惯性参考系中，需要引入惯性力来修正牛顿力学定律。
惯性力的大小和方向取决于非惯性参考系的加速度。
4. 某些相对静止的参考系也可以看作是惯性参考系。
例如地球上的局部平面参考系和地心参考系。
三、欧拉定理1. 惯性张量惯性张量是描述刚体转动惯量的张量。
它可以表示刚体对于不同轴线转动惯量的大小和方向。
2. 惯性张量的对角化对角化惯性张量可以将刚体转动问题简化为主轴转动问题。
3. 刚体的转动运动刚体的转动运动可以分解为绕着主轴的简谐振动。
这对于描述刚体的稳定平衡以及刚体的自由振动具有重要意义。
四、运动方程1. 刚体的运动方程刚体的运动方程包括平动方程和转动方程。
平动方程描述刚体的质心运动，转动方程描述刚体围绕质心的转动运动。
2. 惯量矩阵惯量矩阵是描述刚体转动惯量的矩阵。
转动惯量高数
转动惯量高数转动惯量是刚体力学中的一个重要概念，用来描述刚体绕轴旋转时的惯性特性。
它与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关，是刚体运动学和动力学分析的基础。
转动惯量的定义是刚体绕轴旋转时，对于单位角度的转动所需的转动力矩的量度。
简单来说，它描述了刚体旋转时对外力的抵抗程度。
转动惯量的大小取决于刚体质量的分布和旋转轴的位置。
在刚体绕固定轴旋转的过程中，不同部位的质量对转动的贡献是不同的。
如果质量分布集中在旋转轴附近，转动惯量就较小；反之，如果质量分布较离散，则转动惯量较大。
这是因为质量分布离散时，对于单位角度的转动需要克服更大的惯性力矩。
以一个简单的例子来说明转动惯量的概念。
想象一个细长的铁棒，它的质量分布在铁棒的两端。
当我们用力旋转铁棒时，我们会发现，棒子的两端越远离旋转轴，旋转的越困难。
这是因为远离旋转轴的质量部分需要克服更大的惯性力矩，所以转动惯量较大。
在物理学中，转动惯量的计算公式为I=∫r^2dm，其中I表示转动惯量，r表示质点到旋转轴的距离，dm表示质点的质量微元。
这个公式告诉我们，转动惯量与质量分布和旋转轴位置有关。
质量分布越离散，转动轴离质点越远，转动惯量就越大。
在实际应用中，转动惯量在许多领域都有重要的作用。
例如，工程中的机械设计需要考虑转动惯量，以确定旋转部件的运动稳定性和能量转换效率。
在物理学中，转动惯量是描述刚体旋转运动的基本物理量，用于分析刚体的旋转动力学性质。
转动惯量是刚体绕轴旋转时惯性特性的量度，描述了刚体对外力的抵抗程度。
它与刚体的质量分布和旋转轴的位置密切相关，是刚体运动学和动力学分析的基础。
转动惯量的计算公式是基于质量分布和旋转轴位置的积分形式，其大小取决于质量分布的离散程度和旋转轴的位置。
转动惯量在工程和物理学中有广泛的应用，对于研究刚体旋转运动和设计旋转部件具有重要意义。
转动惯量与刚体转动运动的动力学描述
转动惯量与刚体转动运动的动力学描述在物理学中，转动惯量是描述刚体绕某一轴旋转时对旋转运动的惯性大小的物理量。
它与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动惯量在刚体转动运动的动力学描述中起着重要的作用。
1. 转动惯量的定义与计算转动惯量的定义是刚体绕某一轴旋转时，对旋转运动的惯性大小的度量。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量可以用以下公式计算：I = ∫r^2 dm其中，I表示转动惯量，r表示质点到轴线的距离，dm表示质点的质量微元。
2. 转动惯量的物理意义转动惯量反映了刚体绕某一轴旋转时的惯性大小。
转动惯量越大，刚体对旋转运动的惯性越大，需要施加更大的力矩才能改变其旋转状态。
转动惯量可以看作是刚体对旋转运动的“惰性”，类似于质量在直线运动中的作用。
3. 转动惯量与质量分布的关系转动惯量与刚体的质量分布密切相关。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量可以用简单的公式计算。
例如，对于绕通过质心的轴旋转的均匀圆盘，其转动惯量可以表示为：I = (1/2) m r^2其中，m表示圆盘的质量，r表示圆盘的半径。
4. 转动惯量的应用转动惯量在物理学中有广泛的应用。
在机械工程中，转动惯量是设计旋转设备和机械系统的重要参数。
例如，对于旋转的风力发电机，其转动惯量需要满足一定的要求，以保证系统的稳定性和效率。
在天体物理学中，转动惯量也是研究天体旋转运动的重要工具。
5. 刚体转动运动的动力学描述刚体转动运动的动力学描述是研究刚体绕某一轴旋转时的力学规律和运动方程。
根据牛顿第二定律，刚体绕固定轴旋转时，其转动惯量与角加速度之间存在关系：τ = I α其中，τ表示力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
这个关系可以用来描述刚体转动运动的加速度和力矩之间的关系。
6. 转动惯量的改变与转动运动的影响转动惯量的改变会影响刚体的转动运动。
当转动惯量减小时，刚体的转动惯性也减小，需要较小的力矩才能改变其旋转状态。
例如，一个旋转的滑轮如果减小其转动惯量，可以更容易地改变其旋转速度。
转动力学刚体在大学物理中的运动分析
转动力学刚体在大学物理中的运动分析转动力学是大学物理中的一个重要分支领域，研究的是刚体在转动运动下的力学性质和规律。
刚体指的是在运动过程中形状和大小不变的物体。
一、刚体的基本概念和特性刚体是指在外力作用下，各点之间相对位置不变的物体。
刚体可以看作由无穷多个质点组成，质点之间的距离始终保持不变。
在刚体的运动过程中，刚体内部各点都具有相同的转动角度和转动速度。
二、刚体的转动中心和转动轴刚体的转动中心是指在转动过程中，仍然保持位置不变的点。
对于一个刚体而言，转动中心可以是任意点，但通常选择质量分布均匀的位置作为转动中心。
刚体绕着转动轴进行转动，转动轴可以是任意直线，刚体绕转动轴旋转的角速度是一致的。
三、刚体转动的基本量刚体转动的角位移是刚体绕转动轴转过的角度，用Δθ表示。
刚体转动的角速度是指角位移随时间的变化率，用ω表示。
刚体转动的角加速度是指角速度随时间的变化率，用α表示。
四、刚体的转动惯量刚体的转动惯量是刻画刚体难以改变其转动状态的物理量。
刚体的转动惯量与刚体质量的分布有关，质量分布越分散，转动惯量越大。
转动惯量用I表示，单位是kg•m²。
对于简单形状的刚体，可以根据几何形状和质量分布求解转动惯量。
五、刚体的转动动力学刚体的转动动力学是研究刚体在受力作用下转动运动规律的学科。
刚体所受的合外力矩等于刚体转动惯量与刚体角加速度的乘积。
即M = Iα，其中M表示合外力矩，I表示刚体转动惯量，α表示刚体的角加速度。
根据这个关系，可以求解刚体在受力作用下的转动加速度和转动角速度。
六、刚体的转动定律刚体的转动定律包括角动量定理和角动量守恒定律。
角动量定理指出，刚体所受的合外力矩等于刚体角动量的变化率。
角动量守恒定律指出，在没有外力矩作用下，刚体的初始角动量等于其最终角动量。
这两个定律为研究刚体的转动运动提供了基本的理论依据。
七、刚体转动的应用刚体转动的运动规律和性质在实际中有着广泛的应用。
例如，汽车的方向盘、舞蹈中的旋转动作、田径项目中的标枪投掷等都涉及到刚体的转动运动。
刚体的平动和转动
刚体的平动和转动刚体运动是物理学中的一个重要概念，指的是物体在空间中的移动和旋转。
其中，平动和转动是刚体运动中的两种基本方式。
本文将从理论和实际应用两个方面，对刚体的平动和转动进行论述。
一、平动运动平动是指整个刚体以相同的速度和方向在空间中进行直线运动。
这种运动可以看作是刚体质心的运动，其中质心是刚体的一个重要特征点，位于刚体的重心位置。
刚体的平动运动可以用牛顿第二定律来描述，即F=ma，其中F是作用在刚体上的合力，m是刚体的质量，a是刚体的加速度。
刚体的平动运动在现实生活中有着广泛的应用。
比如，摩托车在路上行驶、足球在球场上滚动等都是平动运动的例子。
在工程领域，汽车的行驶、铁路车辆的行进等也是平动运动的应用。
二、转动运动转动是指刚体绕轴心进行旋转的运动。
在转动运动中，刚体各点的运动状态并不完全相同，不同点的运动速度和加速度会有所不同。
对于转动运动，我们需要引入转动惯量和转动定律来描述。
转动惯量是刚体对于转动运动的惯性特性的量度，用I表示。
对于不同形状的物体，其转动惯量大小会有所不同。
例如，长棍比圆盘的转动惯量要大。
转动定律则描述了刚体转动运动与外力和力矩之间的关系，即τ=Iα，其中τ是力矩，α是刚体的角加速度。
转动运动也有着广泛的应用领域。
例如，电风扇的扇叶转动、拨钟的转动等都是转动运动的实际应用。
在机械工程中，齿轮、传动轴等部件的转动也是转动运动的重要应用。
三、刚体的平动转动组合在实际运动中，刚体的平动和转动运动常常是同时存在的。
例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。
这种平动转动的组合运动称为刚体的复合运动。
在复合运动中，刚体的平动和转动运动之间存在着数学上的关系。
根据质心速度定理和角动量定理，可以得到刚体平动与转动的运动学和动力学关系。
这些关系为研究和分析刚体复合运动提供了重要的理论基础。
总结：刚体的平动和转动是物体在空间中运动的两种基本形式。
平动是整体的直线运动，转动是绕轴心的旋转运动。
刚体运动学、转动惯量、定轴转动
02
转动惯量
转动惯量的定义与计算
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体绕某轴转动惯性的物理量，其大小与刚体的质量分布和转 轴的位置有关。
转动惯量的计算
对于给定的刚体，可以计算出其绕不同轴的转动惯量。常用的计算方法有平行 轴定理、垂直轴定理和惯性积定理等。
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，方向与转动轴线一致，单位为 弧度/秒。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理量，单位为弧度/秒²。
定轴转动的动力学方程
动力学方程
刚体的转动惯量与所受外 力矩之间的关系，表示刚 体转动状态变化的规律。
转动惯量
描述刚体转动惯性的物理 量，与刚体的质量分布和 转轴位置有关。
HANKS
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刚体的运动形式
平动
刚体的整体相对于某参考系作平行于 某一直线的运动。
转动
刚体绕某一直线或某一固定点作圆周 运动。
刚体运动学的基本定理
牛顿第一定律
任何物体都保持其静止或匀速直线运动的状态， 除非有外力作用于它迫使它改变这种状态。
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成 反比。
牛顿第三定律
转动惯量的性质
01
02
03
转动惯量是标量
转动惯量只有大小，没有 方向，是一个标量。
转动惯量的正定性
转动惯量总是大于等于零， 即 J ≥ 0。
转动惯量的对称性
对于质量均匀分布的刚体， 其绕主轴的转动惯量最小。
转动惯量在动力学中的应用
1 2
刚体定轴转动的角动量守恒
对于不受外力矩作用的刚体，其绕定轴转动的角 动量是守恒的，即 L = Jω = 常数。
刚体运动学转动惯量定轴转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
一、刚体、刚体的运动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物 体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体的运动形式：平动(Translation )、转动( rotation)
➢ 平动：若刚体中所有点的运 动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平 行于它们的初始位置间的连线
dm
面密 ,度 面： 元 dS ：
dV 体密 ,度 体： 元 dV ： dm
注意
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
几 种 常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
解：取半径为r宽为dr的薄圆环柱为微元
dmdV2rdrl
OR
d Ir2dm 2lr3dr
Id I0 R2 lr 3d r1 2R 4l转动惯量与l无关，
R m 2lI1 2m2 R
实心圆柱对其轴的转 动惯量也是mR2/2
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量
ct，即
d
ct ，积分
dc
t
tdt
得
dt 1 ct 2
0
0
2
当t=300s 时
18r0 m 0 1 i6 0 nπ 0 r0 a s 1 d
所以
c2 t22 3 62 0 π 0r0 0 a s d 37 πr5a s d 3
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
天津理工大学大学物理：刚体
17
质点的转动惯量： mr2
记住
质量为m，长为L的均匀细棒的转动惯量，假定
转轴通过棒的中心与棒垂直
I 1 mL2 12
Firi sini firi sini miri2
i
i
i
因为内力总是成对出现的，彼
此大小相等、方向相反，即内力的
作用和反作用是沿着同一直线等值
而反向，所以内力对转轴的力矩的
总和等于零，即
firi sini 0
i
因此上式变为 Firi sini miri2
所以上式可写成 M Frsin
F
0r
d
6
0
r
F2
F
d
F1
M Frsin
如果外力不在垂直于转轴的平面 内，可以把外力F分解成两个分力：一 个与转轴平行F2；另一个F1在转动平 面内， F2对刚体绕定轴转动不起作用， 只有F1能使物体转动。因此我们把F理
解为外力在转动平面内的分力。 7
m1 m2
m2g m1g
这就是质点动力学问题了。
22
2 如图所示，Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为 3m、2m和1m的三个质点，QR=RS=l，则系统对00’轴的转动 惯量为____________。
I mr2
I 3m(2l)2 2m(l)2
12ml2 2ml2 14ml2
其中 ait ri
等式两边分别乘上ri ，得到
10种常见刚体转动惯量公式
10种常见刚体转动惯量公式研究刚体的运动状态，刚体的转动惯量是非常重要的物理量之一、它描述了刚体绕其中一轴线旋转时所具有的惯性特性。
转动惯量的大小和刚体质量的分布以及轴线的位置有关。
下面将介绍十种常见的刚体转动惯量公式，并对每一种情况进行详细的说明。
1.关于轴线的质量均匀分布若沿轴线方向均匀分布有质量m的刚体，则其转动惯量公式为：I=m*r^2其中I表示转动惯量，m表示刚体的质量，r表示刚体质量均匀分布点到轴线的距离。
2.点状物体绕轴线转动对于一个点状物体质量为m，绕与通过该点的轴线转动，则其转动惯量公式为：I=m*r^2其中r表示点状物体到轴线的距离。
3.均匀细杆绕一端轴线转动若沿杆的一端作为轴线，质量为m，长度为L的均匀细杆绕该轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/3)*m*L^24.空心球绕直径轴线转动对于一个质量为m，外半径为R，内半径为r的空心球绕直径轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(2/3)*m*R^25.均质球体绕直径轴线转动对于一个均匀密度的球体，质量为m，直径为d，绕直径轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(2/5)*m*(d/2)^26.长方体绕通过质心的轴线转动对于一个质量为m，长为L，宽为W，高为H的长方体绕通过质心的轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/12)*m*(L^2+W^2)7.绕一个边的正方体绕通过质心的轴线转动对于一个边长为a，质量为m的正方体绕通过质心和垂直于一条边的轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/6)*m*a^28.绕对角线的长方体转动对于一个质量为m，长为L，宽为W，高为H的长方体绕对角线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/12)*m*(L^2+W^2+H^2)9.圆环绕垂直于轴线的直径转动对于半径为R，质量为m的环绕垂直于轴线的直径旋转，则其转动惯量公式为：I=m*R^210.圆盘绕轴线转动对于半径为R，质量为m的圆盘绕瞬心轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/2)*m*R^2以上是十种常见的刚体转动惯量公式。
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z
F
F1
F2
o
4、合力矩
M ri Fi
M＝ Mi
F1
结论：合力矩对于每个分力的力矩之和。
5、单位
N· m F2 Fn
p
r
P
二、转动定律
1、一个质点的情况
Fn=man，通过转轴，力矩为零 切向力 Ft=mat=mrα 对转轴的力矩为 M= Ft r= mr2α
法向力
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 f
－ 0
t
10 15 1rad/s 2 5
(2) 利用公式
2 02 102 152 0 62.5rad 2 2 (1)
5秒内转过的圈数
0 10rad/s 0 0 t
0 10 10s 1
0 62 .5 N 10圈。 2 2 3.14
2、转动
刚体中所有的点都绕同一 条直线作圆周运动，这种 运动称为转动。这条直线 叫作转轴。
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
z ω ,α v
r P θ
定轴转动的特点：
•各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线， 圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的 角度相同。
三、转动惯量
1、定义
刚体的转动惯量等于刚体上 各质点的质量与各质点到转 轴距离平方的乘积之和。 z yi xi ri Δ mi y
2、说明
•转动惯量是标量； •转动惯量有可加性； •单位：kg· m2
x
3、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
J＝ mi ri
i
2
J r dm
2
例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯 量。 B A 解：取如图坐标，dm=dx X L L 2 2
角加速度α
转动平面
o
r
·
p
d d 2 ＝lim 2 dt dt t 0 t
三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度 的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。
＝const 角速度 ＝ 0 t 1 2 ＝ 0 t t 角位移 2 1 2 角位置 ＝ 0＋ 0 t t 2 四、角量与线量的关系
d
f’
3、刚体的情况
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i，假设它的质 量为△mi，所受的外力为Fi， 内力为f i，则 2 i i i
M ＝m r
i
其中Mi为外力矩和内力矩之和。
M ＝ m r
2 i i
合力矩＝外力矩之和＋外力矩之和=外力矩之和=M
m r ＝ m r
4－2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
1、引入
外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的 位置有关。
•力通过转轴：转动状态不改变 •力离转轴远： •力离转轴近： 2、力对点的力矩
容易改变 不易改变
F
M
M r F
r
O r
F
M＝Fr sin
θ
3、力对转轴的力矩
力对O点的力矩在通过O点的轴上的 投影称为力对转轴的力矩
r 向参 刚体 O× 考 方 定轴
3、刚体的一般运动
一个汽车轮子在地 上的滚动 A、B、C、…各点的 运动都不相同
C
A
BoLeabharlann B A C A A CC
o
B
o
B
B C
o o轮子的平动
刚体的运动＝平动＋转动 o
绕过o 轴的转动
A
二、刚体转动的角速度和角加速度
角位置θ 角速度ω
d ＝lim dt t 0 t
2 i i
2
i i
定义转动惯量
J＝ mi ri
2
M J
转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受
的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
说明：
1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； 2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是 解决刚体定轴转动问题的基本方程。
J A x dx mL / 3
0
JC
L 2 L 2
x 2dx mL2 / 12
A L/2
C L/2
B X
例2、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解：
J R dm R
2
2
dm mR
2
O
R dm
例2、求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平 面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
角加速度
速度 切向加速度 法向加速度
v r at r
an r
v
P
o r
2
例题、 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度 由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2)在此5s 内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。 解 根据题意，角加速度为恒量。 (1) 利用公式 (3) 再利用
大学物理学电子教案
刚体的转动(1)
4-1 刚体的定轴转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量(上) • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
第四章
刚体的转动
引言
物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两 点之间的距离都保持不变——刚体。
说明 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变 ；
3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变 的质点系。
4－1 刚体的定轴转动
一、刚体运动
1、平动
平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做 平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上 任何一点的运动来代表整体的运动。
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体 内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线时， 刚体的运动叫作平动。
•情况1：力与轴平行，则M=0
•情况2：刚体所受的外力F
在垂直于转轴的平面内 力臂：转轴和力的作用线 之间的距离d称为力对转 轴的力臂。 力矩：力的大小与力臂的 乘积，称为力F对转轴的 力矩。M=Fd
o r d F
情况3：
若力F不在垂直与转轴的平面内 与转轴平行的分力F2， 在垂直与转轴平面内的分力F1 只有分力F1才对刚体的转动状态有 影响。