2020年高考理科数学易错题《直线与圆》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一直线方程、两直线的位置关系

例1已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.试确定m 、n 的值，使： (1)1l 与2l 相交于点(),1P m -； (2)1l ∥2l ；

(3)1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1. 【答案】（1）1m =，7n =.

（2）4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l . （3）0m =，8n =

【解析】(1)由题意得280210

m n m n ⎧-+=⎨--=⎩，解得1m =，7n =.

(2)当0m =时，显然1l 不平行于2l ；

当0m ≠时，由

821m n

m =-≠-，得⎩⎨

⎧-≠=⇒⎩⎨⎧≠--⨯=⨯-⋅240)1(8028n m nm m m 或⎩⎨⎧≠-=2

4n m . 即4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l .

(3)当且仅当280m m +=，即0m =时，1l ⊥2l .又18

n

-=-，∴8n =.

即0m =，8n =时，1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1.

【易错点】忽略对0m =的情况的讨论

【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或0k =时，并且对于直线平行和垂直时与12A A 和12B B 间的关系要熟练记忆。

例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．

【答案】2750x y +-=.

【解析】与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程为220x y +-=.

设所求直线方程为()()2210x y x y λ+-+--=，即()()1220x y λλλ++---=.又直线过

()1,1A -，∴()()()112120λλλ+-+-⋅--=.解1

3

λ=-.∴所求直线方程为2750x y +-=.

2

【易错点】求错与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程

【思维点拨】本题的关键在于求到1l 、2l 平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.

题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程2

2

410x y x +-+=.

(1)求

y

x

的最大值和最小值； (2)求y x -的最大值和最小值．

【答案】（1）y

x

（2）y x -

的最大值为2-+

，最小值为2-.

【解析】(1)原方程化为()2

223x y -+=，表示以点()2,0为圆心，

为半径的圆．设

y

k x

=，

即y kx =，当直线y kx =与圆相切时，斜率k

=

k =.故y

x 的最大值

(2)设y x b -=，即y x b =+，当y x b =+与圆相切时，纵截距b

取得最大值和最小值，此时=

2b =-.故y x -

的最大值为2-

，最小值为2--. 【易错点】理解错给定要求结果的含义

【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。

例2已知点()10,0P ，Q 为圆2

2

16x y +=上一动点，当点Q 在圆上运动时，PQ 的中点M 的轨迹方程

是 .

【答案】()2

254x y -+=.

【解析】设点(),M x y 为所求轨迹上任意一点，()00,Q x y .

因为M 为PQ 的中点，所以即 又因为点Q 在圆2

2

16x y +=上， 所以()()2

2210216x y -+=，

00102

02x x y y +⎧

=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩

，，00

2-102.x x y y =⎧⎨

=⎩，

故所求的轨迹方程为()22

54 x y

-+=

.

【易错点】中点的错误应用

【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线

题型三直线与圆、圆与圆的位置关系

例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-3)2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q 两点，则线段PQ长的取值范围是.

【答案】PQ∈.

【解析】设∠PCA=θ，所以PQ=

sin θ.

又cos

θ=，AC∈[3，+∞)

，所以cos θ∈，

所以cos2θ∈，sin2θ=1-cos2θ∈，

所以sin θ∈，所以PQ∈.

【易错点】直接去求线段的长度

【思维点拨】转化思想，把要求的线段长度转化为角度的关系，从而解决问题.

例2已知圆.0

3

4

2

2

2=

+

-

+

+y

x

y

x

C：

(1)

若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点)

,

x

1

1

y

P（向该圆引一条切线，切点为O

M,为坐标原点，且有,

PO

PM=求使得PM取得最小值时点P的坐标．

【答案】（1）10

x y

++=，或-30

x y

+=.

（2）

33

-

105

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，

【解析】(1)将圆C配方得()22

1(2)2

x y

++-=.

当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y kx

=，

，解得2

k=±(2

y x

=.

当直线在两坐标轴上的截距不为零时，

⎣

AC

⎛

⎝⎦

2

9

⎛⎤

⎥

⎝⎦

，

7

1

9

⎡⎫

⎪

⎢⎣⎭，

1

3

⎫

⎪⎪

⎣⎭3

⎡

⎢

⎣