高等数学第二章练习及答案

第二章

一、选择题.

1. 函数1y x =+在0x =处 （ ）

A 、无定义

B 、不连续

C 、可导

D 、连续但不可导

2. 设函数221,0(),

0x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在点0x =处 （ ） A 、没有极限 B 、有极限但不连续

C 、连续但不可导

D 、可导

3．设函数)(x f y =可微，则当0→∆x 时,dy y -∆与x ∆相比,是（ ）

A ．x ∆的等价无穷小

B ．x ∆的同阶无穷小

C ．x ∆的高阶无穷小

D ．x ∆的低阶无穷小

4．函数3

y x x =-的单调增区间是 （ ） A

、(,-∞-

B

、(- C

、+)∞ D 、(0,+)∞ 5．函数1()()2

x x f x e e -=+的极小值点是 （ ） A 、1 B 、1- C 、0 D 、不存在

二、填空题.

1. 已知(sin )cos x x '=，利用导数定义求极限0πsin()12lim =x x x

→+-__________. 2、如果0()4f x '=，则x

x f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim 000=______________. 3. 函数x x f ln )(=在1=x 处的切线方程是 ．

4.设1()f x x

=,则()f x '=____ ．

5. 函数3()sin(cos )f x x =，则()f x '= ．

6. 设函数()ln cos f x x =，则二阶导数()f x ''=______________.

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________.

8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______.

9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p

p q -=，则需求弹性E p =__________.

三、判断题.

1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ）

2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ∆的改变量.

（ ）

3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ）

4. 极值点一定是驻点. （ ）

5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ）

四、计算题.

1.求函数y =.

2. 求由方程0e e

2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '.

3. 设e x y x =，求y '.

4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限.

（1）sin lim sin x x x x x

→∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝

⎭， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x

x x e →+∞+.

六、应用题.

1. 求函数32

()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点．

2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

3. 设某产品的总成本函数和总收入函数分别为

()3C x =+ 5()1

x R x x =

+. 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.

4. 某产品的需求量Q 对价格p 的函数关系为 11600(),4

p Q = 求当3p =时的需求价格弹性.

5. 求立方抛物线()30y ax

a =>上各点处的曲率,并求x a =处的曲率半径.

总习题2答案

一、1. D 2. A 3. C 4. B 5. C

二、1. 0 2. 12- 3．1=-y x 4.21x

- 5．2333sin cos(cos )x x x -⋅⋅ 6.2sec x - 7.2214dx x

+, 2cot 2xdx 8. 5 , 9.2p - 三、1. √ 2. √ 3．√ 4．× 5．×

四、1.

y '= 2. 22e 1.1e

x y y -'=+ 3．e e (e ln ).x x

x

y x x x '=+ 4．sin(),1sin()x y y x y -+'=++ []

3cos().1sin()x y y x y +''=-++ 五、(1) 1. (2) 1.- (3)

1.2 (4)ln .a （5）.e （6）.e 六、1. 函数32()395f x x x x =--+的单增区间是()

()13-∞-+∞，，

,单减区间是

()13-，;极大值是(1)6f -=,极小值是(3)26f =-; 极值点为121,3x x ==.凸区间是()1-∞，

，凹区间是()1+∞，;拐点是()110-，. 2.(1) 成本函数为 ()200060C q q =+． 收入函数为211()(100)100.1010

R q p q q q q q =⋅=-⋅=- (2) 利润函数为21()()()402000.10

L q R q C q q q =-=-- 令()0,L q '= 得 200.q =

因为200q =是定义域内唯一的驻点, 所以当产量为200吨时利润最大．

3.边际成本为'()C x

= 边际收入为25()(1)R x x '=+.

利润函数为5()()() 3.1x L x R x C x x =-=

-+ 边际利润为

25()(1)L x x '=+. 4. '()2ln 2.d p E Q p p Q

=⋅=- (3)23ln 26ln 2.d E =-⨯⨯=- 5. 3

622

1(19).6a K a ρ+=

=