信号与系统讲义第四章6双边拉氏变换及拉氏变换与傅氏变换的关系

σ >0 σ < α
2010-9-30
f (t ) = u (t ) + e α t u (t ) f (t ) = u (t ) e α t u (t )
信号与系统
4.双边拉氏变换的求解 4.双边拉氏变换的求解
可以利用单边拉氏变换求解双边拉氏变换。 求解f(t)u(-t)的拉氏变换：
f (t ) FB ( s )
∞ ∞ ∞ ∞ jω t
dt
拉氏变换： 拉氏变换： FB ( s) = ∫ f (t )e dt
双边拉氏变换又称为广义傅里叶变换
s t
s = σ + jω σ = 0 s = jω
由此可以看出只要拉氏变换的收敛域包含j 由此可以看出只要拉氏变换的收敛域包含jω 收敛域包含 就可以令s= jω 轴，就可以令s= jω得到信号的傅里叶变换
f 0 (t )
1
0
T 2
1
T
t
0
T 2
t
f 0 (t ) = sin( 2Tπ t )[u (t ) u (t T )] 2 f 0 (t ) = sin( 2Tπ t )u (t ) + sin[ 2Tπ (t T )]u (t T ) 2 2
(1 + e ) F0 ( s) = 2 2π 2 s +( T )
2010-9-30 信号与系统
n
(2)在 轴上有高阶极点： (2)在jω轴上有高阶极点：
K0 k ( s jω )
2010-9-30 信号与系统
K0π jk1 (k1) δ (ω ω0 ) (k 1)!
补充： 补充：周期信号的拉氏变换的求解
利用延时特性求解因果周期信号的拉氏变换： 利用延时特性求解因果周期信号的拉氏变换：
f (t )
(1)双边变换要考虑收敛域的存在性， (1)双边变换要考虑收敛域的存在性，双边 双边变换要考虑收敛域的存在性 变换必须注明收敛域 变换必须注明收敛域 (3)收敛域有左 右两个边界（收敛轴） (3)收敛域有左、右两个边界（收敛轴）， 收敛域有 收敛域是左 右两个边界中间部分的 中间部分的带状区 收敛域是左、右两个边界中间部分的带状区 域 (4)象函数的极点位于收敛域的两侧： (4)象函数的极点位于收敛域的两侧：左边 象函数的极点位于收敛域的两侧 的极点对应信号t>0部分的象函数 右边的 对应信号t>0部分的象函数， 的极点对应信号t>0部分的象函数，右边的 极点对应信号t<0部分的象函数 对应信号t<0部分 极点对应信号t<0部分的象函数
收敛域没有改变，象函数的极点全部 收敛域没有改变，象函数的极点全部 位于收敛域 收敛域右侧 位于收敛域右侧
2010-9-30 信号与系统
2.双边信号的拉氏变换 2.双边信号的拉氏变换
例：f (t ) = u(t ) + e u( t ), 试求BLT
t
f (t)u(t)
f (t)u(t)
2010-9-30
双边拉氏变换的反褶特性： 双边拉氏变换的反褶特性：
f (t ) ? f (t ) FB ( s )
例：求信号 f (t ) = e u (t ) 的双边拉氏变换
2010-9-30 信号与系统
at
5.双边拉氏反变换 5.双边拉氏反变换
可以根据收敛域和极点的情况来求解： 可以根据收敛域和极点的情况来求解： (1)对象函数进行部分分式展开 对象函数进行部分分式展开； (1)对象函数进行部分分式展开； (2)根据极点的情况对象函数取反变换 根据极点的情况对象函数取反变换； (2)根据极点的情况对象函数取反变换； (3)收敛域左边的极点对应右边信号 收敛域左边的极点对应右边信号， (3)收敛域左边的极点对应右边信号，收敛域 右边极点对应左边信号； 右边极点对应左边信号；
2s + 3 F (s) = s ( s + 2)( s + 3)
根据象函数极点的情况，它的收敛域有四种可能的 根据象函数极点的情况， 情况，不同的收敛域取反变换得到不同的时域形式。 情况，不同的收敛域取反变换得到不同的时域形式。
2010-9-30 信号与系统
4.13 拉氏变换与傅氏变换的关系
傅氏变换： 傅氏变换： F (ω ) = ∫ f (t )e
2π T
2010-9-30
T s 2
(1 + e ) 1 F ( s ) = 2 2π 2 T s s + ( T ) 1 e 2
2π T
信号与系统
T s 2
补充： 补充：抽样信号的拉氏变换的求解
因果信号f(t) 抽样脉冲信号： 因果信号 ，抽样脉冲信号： δ T (t ) = ∑ δ (t nT )
n=0 ∞
抽样信号 f s (t ) = f (t )δ T (t )
= f (t )∑ δ (t nT ) = ∑ f (nT )δ (t nT )
n =0 n =0
∞
∞
抽样信号的拉氏变换： 抽样信号的拉氏变换：
Fs ( s ) = =
2010-9-30
∫
∞. 0
[ ∑ f ( nT )δ ( t nT )]e St dt
2010-9-30 信号与系统
双边LT的收敛域包括虚轴
F( jω) = F(s) |s= jω
t<0,f(t)=0,双边LT→单边LT，收敛域包括虚轴
F( jω) = F(s) |s= jω
若收敛边界在虚轴上，F(s)极点在虚轴上，则信号 的频谱函数中会出现奇异函数项
1 1 例如： f F(ω) = +πδ(ω) 例如： (t) = u(t) F(s) = s jω
2010-9-30 信号与系统
(1)在 轴上有一阶极点： (1)在jω轴上有一阶极点：
K1 K2 KN F ( s ) = Fa ( s ) + + ++ s jω1 s jω2 s jω N
Kn = (s jωn )F(s) |s= jωn
F( jω) = F(s) |s= jω +π ∑Knδ (ω ωn )
jω
收敛域为： 收敛域为：收敛轴的左侧半平面 象函数的极点位于：收敛域右侧 象函数的极点位于：收敛域右侧 极点位于
at bt
b σ a 0
若信号为： 若信号为： f (t ) = (e + e )u (t ) (a > b > 0) 1 1 象函数为： + (σ < a ) 象函数为： F ( s ) = s+a s+b
信号与系统
2010-9-30
4.12 双边拉氏变换
双边拉氏变换（广义傅里叶变换）： 双边拉氏变换（广义傅里叶变换）：
FB ( s ) = ∫
∞
∞
f (t )e dt
st
对于衰减因子，t>0时的情况与t<0时的情况正 时的情况与t<0 对于衰减因子，t>0时的情况与t<0时的情况正 相反， 好相反，因此对于双边拉氏变换积分结果不一定存 这个与单边拉氏变换不同。 在，这个与单边拉氏变换不同。要讨论双边拉氏变 换的存在性问题。 存在性问题 换的存在性问题。
信号与系统
1 1 FB ( s ) = + s 1 s
收敛域： 收敛域：
0 <σ <1
jω
σ
0
1
从双边拉氏变换的象函数可以看出：双边拉氏变换必须 从双边拉氏变换的象函数可以看出：双边拉氏变换必须 注明收敛域， 注明收敛域，否则收敛域不同反变换的时域信号就不同
2010-9-30 信号与系统
3.双边拉氏变换收敛域的特点 3.双边拉氏变换收敛域的特点
系统函数小结： 系统函数小结：
系统函数的确定方法
由定义式确定： 由定义式确定：已知输入信号和零状态响应或冲激响应 由系统数学模型得出 由系统的S 由系统的S域模型求解 由系统的模拟框图确定
系统函数的应用
由系统函数求解系统响应：零状态响应 由系统函数求解系统响应： 自由响应、强迫响应、暂态响应、 自由响应、强迫响应、暂态响应、稳态响应的分析 特定情况下零输入响应的确定 系统的极零点图 确定系统的时域响应特性、 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线， 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
系统的S域分析 系统的 域分析
微分方程的拉氏变换求解（系统响应的求解） 微分方程的拉氏变换求解（系统响应的求解） 系统的S域元件（电路）模型及 系统的S域元件（电路）模型及应用 系统函数H(s) 系统函数H(s) 系统函数的定义及其求解方法
系统函数的应用
零状态响应的求解、冲激响应的求解 零状态响应的求解、 系统稳定性的判断 系统频率响应特性分析
2010-9-30 信号与系统
同样的象函数收敛域不同对应信号不同
F(s) 1/s 1/s 1/(s+a) 1/(s+a) 收敛域 σ>0 σ<0 σ>-a σ<-a f(t) u(t) -u(-t) e-at u(t) -e-at u(-t)
1 1 F ( s) = + α >0 s s +α α < σ < 0 f (t ) = u (t ) + e α t u (t )
1.反因果信号的双边拉氏变换 1.反因果信号的双边拉氏变换
的拉氏变换。 求信号 f (t ) = e at u (t ) (a > 0) 的拉氏变换。
2010-9-30 信号与系统
f (t ) = e at u (t ) (a > 0)
收敛域： 收敛域： 收 敛 轴
1 F (s) = s+a
(σ < a)
n=0
∞
∑
∞
f ( nT ) e SnT
信号与系统
n=0
作业
4-48 4-50 4-21（2） 21（
2010-9-30
信号与系统
本章主要内容小结
信号的拉氏Fra Baidu bibliotek换
单边拉氏变换、双边拉氏变换、 单边拉氏变换、双边拉氏变换、变换的收敛域 拉氏变换的性质 性质、 拉氏变换的性质、利用性质求解正变换和逆变换