人教版初中数学第九章不等式与不等式组知识点

第九章 不等式与不等式组

9.1 不等式

9.1.1 不等式及其解集

1．不等式：用符号“>”“<”表示大小关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

3．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

例1．用不等式表示“7与m 的4倍的和是正数“就是 ．

【答案】740m +>．

例2．“x 与y 的和大于1”用不等式表示为 ．

【答案】x+y ＞1

例3．用不等式表示x 与5的差不小于4： ．

【答案】45≥-x ．

例4．把不等式x ≥1-在数轴上表示出来，正确的是（ ）

【答案】C 9.1.2 不等式的基本性质

1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

例1．如果a ＞b ，那么下列结论一定正确的是（ ）

A ．a ﹣3＜b ﹣3

B ．3﹣a ＜3﹣b

C ．ac 2＞bc 2

D ．a 2＞b 2

解：∵a ＞b ，∴﹣a ＜﹣b ，∴3﹣a ＜3﹣b ；

例2．如果a ＜b ，那么下列不等式成立的是（ ）

A ．－3a ＞－3b

B ．a －3＞b －3 C. D ．a －b ＞0 解：根据不等式的基本性质1可得，选项B 、D 错误；根据不等式的基本性质12可得，选项

C 错误；根据不等式的基本性质3可得，选项A 正确.故答案选A.

例3．下列不等式变形正确的是（ ）

1133

a b >-1 0 1 -1 0 1 -1 0 1

A

-1 0 1 B C D D

A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b

C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2

【答案】C

【解析】

解：A：因为c的正负不确定，所以由a＞b得ac＞bc不正确，据此判断即可．

B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．

C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．

D：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此判断即可．9.2 一元一次不等式

1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项

（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

例1

2

解：去分母，得2x﹣4＜x﹣1

移项，合并同类项，得x＜3．

在数轴上表示解集为：

例2．解不等式，并求它的非负整数解．

解：2x-2＜x+1

2x-x＜1+2

x＜3

不等式的非负整数解为0，1，2．

例3

32

解：去分母，得：()()622131x x -+≥-

去括号，得：64233x x --≥-

移项，合并同类项得：1x -≥-

系数化成1得：x≤1．

解集在数轴上表示出来为：

例4．解列不等式

解：去分母得：14x －7（3x －8）+14≥4（10－x ）

去括号，得：14x －21x+56+14≥40－4x

移项，得：14x －21x+4x≥40－56－14

合并同类项，得：－3x≥－30

解得：x≤10．

9.3 一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念：

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

例1

由①解得x ＜4，

由②解得x≥3，所以不等式组的解集为43<≤x ．

例2．解不等式组：262(1),

23

.4x x x x +>

-⎧⎪⎨-≤⎪⎩

解：解不等式1得，x ＞-1 ；解不等式2x ＞-1 ．

例3．（1）解不等式：2（x+1）﹣1≥3x+2，并把解集表示在数轴上．

（2

解：（1）2（x+1）﹣1≥3x+2，

2x+2-1≥3x+2，

2x-3x≥2-2+1，

-x≥1

x≤－1，

（2）解①得x≥－4

解②得x ∴－4≤x

整数解为－4，－3，－2，－1，0，1，2