对称性与守恒定律PPT课件

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对称性与守恒定律

对称性与守恒律物理规律是分层次的，有的只对某些具体事物适用，如胡克定律只适用于弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛顿定律适用于一切低速运动的宏观物体；有的如能量、动量守恒等守恒律，则在所有领域的自然界起作用。

后者属于自然界更深层次、最为基本的规律。

而守恒律和对称性有紧密联系。

了解对称性的概念、规律及其分析方法，对于深入地认识自然有重要意义。

一、什么是对称性对称的概念日常生活中就有，如人体外部器官的左右对称，紫禁城建设布局的东西对称，不带任何标记的球的中心对称等。

对称性的定义如下。

若某个体系（研究对象）经某种操作（或称变换）后，其前后状态等价（相同），则称该体系对此操作具有对称性，相应的操作称为对称操作。

简言之，对称性就是某种变换下的不变性。

二、物理学中几种常见的（对称）变换1.空间变换1）平移：即对位矢作的变换，相应的对称性谓之平移对称性。

例如，一个不带任何标记的无限大平面，对沿平面的任意平移具有对称性，而当此平面上均匀布满方格时，则对沿平面的特定方位（如边长或对角线方位）平移某个长度的整数倍具有对称性。

2）转动：绕某定点或轴线的转动前述球的中心对称，就是指球对绕球心的任意旋转对称，通常就称之为球对称。

一圆柱体，对绕其中心轴旋转任一角度状态不变，即具有旋转轴对称……3）镜像反射（反演）：俗称照镜子。

指对镜面作物像变换。

紫禁城建筑的东西对称，就是以天安门中轴面（南北竖直面）为镜面的镜像对称。

●物理矢量的镜面反射——极矢量和轴矢量按镜面反射时，矢量物像的方向之间的关系，物理矢量分两类。

一类，以位移为例，其镜像为，如图1(a)所示。

它们平行于镜面的分量方向相同，垂直于镜面的分量的方向相反，这类矢量叫极矢量。

，，等都是极矢量。

另一类矢量，如图1(b)中右侧所示一沿圆轨道运动的质点的角速度。

保持角速度方向与轨道旋向成右手关系的规定不变，则其镜像为左侧的。

和沿镜面的平行分量反向，而垂直分量方向相同。

这类矢量叫轴矢量，又称赝矢量。

2020年高中物理竞赛(力学篇)02运动、力学定律：对称性和守恒定律(共20张PPT)

r
U
f AB
(r)
r
B B B
U U
fBA f AB
A r A A
三、时间平移对称性与机械能守恒律
时间平移的对称性意味着时间的均匀性，表示系统的势函数与时间无关，这将导致能量守恒。
讨论一维情况： EP x, t t E p( x, t)
对两个粒子的保守系统有：
EP x1, x2, t t Ep(x1, x2, t)
用泰勒级数展开
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
EP t
t
高次项
EP x1,
x2, t
t
E p ( x1 ,
x2, t)
E P t
t
高次项
上式中必有：EP 0 t
考虑动能和势能可推导出
dEP 0 dt
E 常数
如果系统对于时间平移是对称的，那么系统
的能量一定守恒。——能量守恒定律
x r sin cos y r sin sin z r cos
o
r
P
x
m
2x t 2
E p x
m
2 y t 2
E p y
y
EP
t
Lz
m
2z t 2
E p z
Ep具有旋转不变性，即与φ无关
EP 0
t Lz 0
Lz 常量
空间旋转对称性意味着空间旋转一个角度，系
统势函数保持不变，必然导致角动量守恒。
系统
外界
孤立系统封闭系统开放系统
n
外力 F Fi
i1
· ·i · ·
内力 fij f ji

§5.4 守恒量与对称性的关系

λ＝1对应的本征态为：
P (r ) (r ) (r )
称为偶宇称态。
λ＝－1对应的本征态为：
15
P (r ) (r ) (r )
称为奇宇称态。 11
（4）宇称为守恒量的条件设一体系具有空间反射不变性，即
PHP1 H 或 P, H 0
宇称为守恒量。
注意： A.若体系的能量本征态不简并，则该能量本征态必有确定宇称。
R( )
exp
exp
i Lˆz
式中
Lˆz i
即角动量的z分量算符。
现考虑三维空间中绕某方向n(单位矢)的无穷小旋转.在此变换下，标量波函数变化如下
即
15
R , (r) (r ) R (r r ) (r )
r r r r
8
所以 R (r ) (r r ) (r n r ) (r ) (n r ) (r ) e (nr ) (r )
故15F就是体系的一个守恒量.
4
2.平移不变性与动量守恒
D
考虑体系沿X轴方向的
无限小平移
x x x x
描述体系状态的波函数变
x
x x x
化如下：
D
显然
(x) (x)
即 D (x x) (x)
将上式中的x换成x-δx，则有
D (x) (x x) (x) x
例子：
一维谐振子的能量本征态Ψn(x) 不简并，而宇称又为守恒量，
由此可断定Ψn (x)必有确定宇称。事实上，
，
宇称P为 n (x) 。 n (x) (1)n n (x)
(1)n
B.当能级有简并，则能量本征态不一定有确定宇称。但总可
以把诸简并态适当线性叠加，构成宇称的本征态。

对称性和守恒定律

对称性和守恒定律按照对称的定义来讲，对称就是指物体相对而又相称，或者说它们相仿，相等。

所谓对称性是指：某种变化下的不变性。

自然界中的事物的对称性表现在两方面。

第一：物体的形状或几何形体的对称性。

例如：五角星的旋转对称，正方体的中心对称性。

这是根据对称性的定义，我们使五角星和正方体都绕它们的中心旋转180°，在这样的变换下，变换后图形具有不变性。

第二：事物进程或物理规律的对称性。

所谓物理规律的对称性是指：物理规律在某种变换下的不变性。

例如：一个物体做平抛运动，水平初速度为V，抛出时离水平地面的高度为H，空气阻力忽略不计。

在其他外部条件都相同的情况下，在不同的地方使该物体做如上所述的运动，该物体的运动状况是否相同呢？我们知道，平抛运动可以看成两种运动的合成：水平方向上是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。

在其他条件相同的情况下，水平方向上都是以速度V作匀速直线运动。

在竖直方向上，下落的时间可以由公式T=（g为重力加速度）求出，我们知道重力加速度在不同的地方是不相同的，也就是说上述例子中的物体在不同地方的下落时间是不相同的。

这就说明了自由落体运动在不同的地方并不具有不变性，但是，我们不可否认的是下落时间和高度以及加速度它们之间的相互关系是并不会因为地点的不同而不相同，所以它的物理规律始终是保持不变的。

对物质运动基本规律的探索中，对称性和守恒定律的研究占有重要的地位。

从历史发展过程来看，无论是经典物理学还是近代物理学，一些重要的守恒定律常常早于普遍的运动规律而被认识。

质量守恒、能量守恒、动量守恒、电荷守恒就是人们最早认识的一批守恒定律。

它们的出现也不是偶然的，而是因为物理规律具有多种对称性的必然结果。

这些守恒定律的确立为后来认识普遍运动规律提供了线索和启示。

物理学中关于对称性探索的一个重要进展是建立诺特定理，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必相应地存在一条守恒定律。

简单的说就是：物理定律的一种对称性，对应地存在一条守恒定律。

量子力学第五章对称性及守恒定律

第五章：对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= （１）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== （２）此式遍乘2即得待证式。

［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。

（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）（１）今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值）（２）又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtAd［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。

（１）证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。

（２）证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２）分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ （５）将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量Aˆ的平均值，按前述习题２的结论，其结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ （７）但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n 2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

对称性守恒律和简并性课件

15
七、宇称选择定则 n若
将相反宇称的态相联系。 n 该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则
其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。 n 如果[H,π]=0,能量非简并态必无偶极矩： <n|x|n>=0 n 当然，对简并态，则<n|x|n>不一定为零。
二、量子力学中的对称性
n 量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符 T相联系的，习惯上T常被称作对称算符。
n 若T作用下系统不变,则称系统具有与T相关的对称性.
n 对无穷小变化的操作， T可写为，其中G是对称操作的厄米生成元。
n 若H在T作用下不变，海森堡运动方程，有
则根据，即G是运动常量。
11
n 注意:非简并性对得出|n>是π的本征态是非常重要的。若有简并，如氢原子体系， Cp |2p>+Cs |2s>是H本征态，但并非π的本征态。又如动量本征态也是H本征态，但|p’> 和 |-p’> 简并, |p’>并非π的本征态.
n 当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得到π的本征态，如|α>=[|p’>±|-p’>]便是π和H的共同本征态
16
宇称不守恒： n 若H与π对易，则宇称守恒，否则宇称不守恒。
如基本粒子间的弱作用与宇称不对易，故过程宇称不守恒。李杨最早发现弱相互作用宇称不守恒而获诺奖。
17
作业：题2 ，3 ，5
18
对称操作的两种等价方式：主动与被动
6
一、宇称算符的基本性质
n 对|α>,用幺正算符π表示宇称算符， |α> >π|α>。 n 要求位置算符的期待值变号，即 n 则有 n 位置本征态|x’>在宇称作用下变为本征值为-x’的态：

守恒与对称性

F
F
G m1
r
K
q1q2 r2
m2
2
r0
r0
万有引力公式和库仑公式
对物理定律、公式形式对称的追求，往往对理论的发展起到积极的建设作用
第十三页，课件共有20页
物理学中的抽象对称
抽象对称性往往是指从一个概念、一个命题或一个定理中反映出来的对称性。
德布罗意：物质波概念的提出、波粒二象性，狄拉克：正电子、反物质爱因斯坦：狭义相对论和广义相对论的提出
能量守恒定律
E = 0
时间平移对称性空间旋转对称性空间平移对称性
第二十页，课件共有20页
守恒与对称性
第一页，课件共有20页
生活中各类艺术、建筑都有较高的对称性
第二页，课件共有20页
第三页，课件共有20页
• 对称性的基本概念 • 对称性的分类
• 物理定律的对称性 • 对称性与守恒定律
第四页，课件共有20页
第五页，课件共有20页
在科学中什么是对称？
德国数学家魏尔（H. Weyl, 1885-1955
第十八页，课件共有20页
时间平移对称性 —— 能量守恒定律
如果重力势能
Ep=mgh随时间变化,
例如: 白天g大，晚
上g小，则可晚上抽水贮存于h高度处，白天利用水的落差作功，可获得能量赢余。
Ep mgh mgh 0
第十九页，课件共有20页
动量守恒定律 dp 0 dt
角动量守恒定律 dL 0 dt
v
-v
牛顿第二定律对保守系统（内部只存
在保守力的系统）--时间反演不变
如无阻尼的单摆
上下抛落
第十页，课件共有20页

对称性与守恒定律优秀课件

对称性与守恒定律
对称性与守恒定律
symmetry and conservation Lsw
一、问题的提出我们已知：牛力有局限性；但, 又知：由牛顿定律得出的动量守恒定律和角动量守恒定律却具有普遍性这说明：守恒定律超越力学理论我们有理由提出问题：守恒定律比力学理论具有更深厚的基础吗 ?
C
R
I I1
D
B
由 U AD 得出下式
2RI I1 RI1 R2I1 I
I1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 5
I
RAB
U AB I
I1R I I1 2R
I
RAB
7 5
R
方便
五、对称性与守恒定律（简说〕物理规律的某一种对称性（不变性〕通常都属于一种守恒定律
由分析力学、量子力学严格证明：空间平移不变性动量守恒定律空间转动不变性角动量守恒定律时间平移不变性能量守恒定律等等
结果: 质点的轨道也一定在板面内
例3、已知：R1 求：R AB
I A I1
C
利用：置换对称
节点电流关系
I I1
R
I I1
D
I1 B I
解：节点 B 与 A 对称，设电流如图所示。
I I1 I I1
同样节点 D 与 C 对称，C D 的电流为
I1 I I1 2I1 I
I A I1
时间反演 (t -t)
相当于时间倒流物理上:运动方向反向即: 速度对时间反演变号
牛顿第二定律对保守系统-时间反演不变如无阻尼的单摆
非保守系统不具有时间反演不变性
联合操作
武打片动作的真实性
紧身衣

高二物理竞赛课件：对称性和守恒定律

物理定律具有空间均匀性即空间平移对称性、空间各向同性即空间转动对称性、时间均匀性即时间平移对称性。
返回退出
实验：质量为m的小球系在轻绳的一端，绳穿过一竖直的管子，一手握管，另一手执绳。
实验发现： v2r2 v1r1
则 mv2r2 mv1r1
表明小球对圆心的角动量保持不变。
解释：作用在小球上的有心力对力心的力矩为零，故小球的角动量守恒。
返回退出
守恒量和守恒定律有些物理量在质点系内所发生的变化过程中始终
保持不变，这些量就是守恒量。研究自然现象中显现的各种守恒量和守恒定律，
是人们认识自然规律的一个重要方面。根据守恒量和守恒定律的分析，可以揭示出基本粒子的属性和粒子间相互作用的性质，而一旦某种对称性遭到破坏（称为对称性破缺），那必是有了新的发现。
守恒定律能量动量
角动量宇称
时空绝对性时空四维间隔四维动量
精确程度精确精确精确
在弱相互作用中破缺 v << c 近似成立精确精确
电荷规范变换
电荷
精确
重子规范变换
重子数
精确
轻子规范变换
时间反演电荷共轭
轻子数荷宇称
精确
破缺（原因不明）在弱相互作用中破缺
返回退出
锥摆 O
对O点：
rom
T
0
rom mg
l sin（mg）
m
l
O
对合O力点矩：不r为om零，T 角 r动om量（变化m。g）m0g rom mg rom T
合力矩为零，角动量大小、方向都不变。
（合力不为零，动量改变！）
▲ 星云具有盘形结构：
pc — 秒差距，1pc = 3.0861016m

大学物理多媒体课件第34章对称性原理.ppt

由分析力学、量子力学严格证明：
空间平移不变性对应动量守恒定律
空间转动不变性对应角动量守恒定律
时间平移不变性对应能量守恒定律
等等（赵凯华新概念力学中有普物推导）
优秀课件，精彩无限！
10
四.对称性原理原因中的对称性必然反映在结果中
结果中的对称性至少和原因中的对称性一样多结果中的不对称性必然出自原因中的不对称性
科学家谈物理丛书值得一读
所以一种对称性的发现比一种特定的现象的发现意义还大
与外星人握手要小心噢！
优秀课件，精彩无限！
14
根据对称，
物理学的各个分支逐渐走向统一
万有引力天上的地爱因斯坦想把万有引力和电磁学统夭折了一起来的尝试由于当时不知道还有强作用和弱作用
成。但用种的甘蔗榨出来的蔗糖分子则只有左型
的。现代生化实验确认：生物体内蛋白质几乎都
是由左型蛋白质组成，对高等的生物尤其如此。
有人做过如下为什么只剩实验：将人工合下右型的？成的糖液(含等量左右型糖分子）作细菌培养
人工合成的糖液
原来为了自己的生
命，动植物只吃与
自己对路的左型蛋
白。
优秀课件，精彩无限！
n 1,l ms 0
dW 2
dV
n 优秀课件，精彩无限！ 3, l 1; m 1 21
对称性是物理规律的整体特性，通过诺特尔定理。我们可以寻找各种守恒量及粒子之间的各种相互作用。
而对称性自发破缺的起源和机制，属于目前理论物理最前沿的疑难问题。被称为二十一世纪的乌云之一。
5
-x2
x2
-x1
x1
-x3
镜面

第五讲03-对称性和守恒定律

运动积分：拉格朗日函数为广义坐标q α、qα 和t 的函数，一个力学体系在t 时刻由2S 个量S q 和S q 来决定。

广义坐标：其中：122,,,S C C C 为拉格朗日方程通解的2S 个积分常数。

他们存在于q α、qα 的函数中，而且在运动过程中保持不变。

这种函数称为运动积分。

如果体系的自由度为S 我们可以从上述方程中消去t ，保留21S-个方程组，解得：21S -个(,)i C q qαα 都是相互独立的，都是拉格朗日方程的运动积分。

原则上我们可以用运动积分运动积分：H 的物理意义：设：12(,,,)i i S r r q q q守恒量：运动积分的分类：（1）具有可加性。

有几个部分组成，而各个部分之间的相互作用可以忽略不计，它的值等于各个部分之和（2）具有不可加性：守恒量。

（a）时间的均匀性----------能量守恒（b）空间的均匀性----------动量守恒（c）空间的各向同性-------角动量守恒（b ）+（c ）空间的均匀性和各向同性：在空间做一个无限小的平移：或无限小的转动：拉格朗日函数不变。

即：令(,,)L L q qt αα= ，坐标轴方向可以任意转动，dJdt111111N N N NN N J r m v r m v m r V r m v Vt m v m r V ααααααααααααααααααααα======'=⨯=⨯+⨯''=⨯+⨯+⨯∑∑∑∑∑∑其中第一项1N J r m v αααα='''=⨯∑ 质点系在K '系中的总角动量，质心系中第二项：10N o J Vt m v ααα==⨯=∑第三项：1NC C m r V MR V R P ααα=⨯=⨯=⨯∑C J J R P '=+⨯。

课件：对称性与守恒定律

磁学
16
万有引力
天上的地上的声学
力学
热学光学
放射性
电学
磁学弱
核动力强
20世纪向大统一的行进
超弦是最后吗？
2004年诺贝尔物理学奖
17
六.自然界中的种种不对称性有些还是个谜不断去探索但可利用
18
1.动植物蛋白质的分子的不对称性
蛋白质是生命的基本物质，它是由多种氨基酸组成，每种氨基酸都有两种互为镜象的异构体。
3
4
5
6
-x2
x2
-x1
x1
-x3
镜面
X x3
7
二.物理定理的对称性经过一定的操作后，物理定律的形式保持不变，称作物理定律的对称性。又叫不变性。
守恒定律与宇宙中某种对称性相联系
对称性是统治物理规律的规律
例1 物理定理空间平移的不变性 —在某处作一实验，然后将实验设备（连同影响实验的一切外部因素）平移到空间的另一地方，如果初始条件相同，实验将以完全相同的方式进行，此称为物理定律空间平移的对称性
的镜像（空间反演）中的运动可以实现，那么这
种运动就称为是宇称守恒的。或者说对应空间反
演的守恒量是“宇称”。（“P宇称”）
镜面
前面我们介绍过微观粒子的几率密度是左右对称的
n 1, l ms 0
dW 2
dV
n 3,l 1; m 1 22
对称性是物理规律的整体特性，通过诺特尔定理。我们可以寻找各种守恒量及粒子之间的各种相互作用。
8
它说明空间各处对物理定律是一样的，称为空间的均匀性
NI F
S
NI F
S
9
例2 物理定理空间转动的对称性

高量空间对称性与守恒定律PPT讲稿

即
D(Q) r Qr
7
当前你正在浏览到的事第七页PPTT，共三十二页。
四、算符的变换
设对称变换前， A
现在分别对，作对称变换Q，即
D(Q) ，
D(Q)
A
则
A D(Q) AD 1 (Q)
8
当前你正在浏览到的事第八页PPTT，共三十二页。
对位置算符R，其本征值方程为
系统在某一空间对称变换下具有不变性或对称性，不是指系统在变换后状态不变，而是指系统在变换前后运动规律不变。
设系统的运动满足Schrödinger方程
i (t) H (t)
t
施以一个空间变换 r Q(λ)r r
30
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在空间变换下，Schrödinger方程变为：
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§19-2 空间对称变换
一、位置变换
设变换 Q是三维位形空间的算符，它将点 r
变为另一点 r
r Qr
（19.1）
对每一个 r,都r有确定值。
变换 Q 是不改变任何两点距离的那些变换：
B
B’
Q
A
A’
2
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(r)
d
(r)
(1
i
dλ
Pˆ )
(r)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即
Dˆ (dλ)
1
i
dλ
Pˆ
17
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对于有限的平移，有
Dˆ (λ) Dˆ (dλ) Dˆ (dλ) Dˆ (dλ)Dˆ (dλ)

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