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固体物理_第4章_能带理论

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以及电子波函数反对称性而带来的交换作用。能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似：原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

高二物理固体课件(PPT)4-4

现象:熔化了的石蜡在云母片上呈椭圆形，而在玻璃片上呈圆形．
结论:云母晶体在各个方向上的导热性能不同，而非晶体玻璃在各个方向上的导热性能相同．
【靶台】名打靶时射击者所在的位置。【靶细胞】名某种细胞成为另外的细胞或抗体的攻击目标时，前者就叫做后者的靶细胞。例如带有表面抗原的细胞受
到免疫细胞或特异性抗体的攻击，它就是免疫细胞或特异性抗体的靶细胞；又如免疫细胞受到某抗原的攻击，它就是该抗原的靶细胞。【靶心】ī名靶子的中心部位。【靶子】?名练习射击或射箭的目标◇这出戏成为大家批评的～。【坝】（垻、壩）①名拦水的构筑物：拦河～｜修一座～。②名河工险要处巩固堤防的构筑物，如丁坝。③〈方〉名沙滩；沙洲。④坝子（多用于地名）：平～（在贵州）｜留～（在陕西）。【坝塘】名塘坝。【坝田】名山脚围绕的平坦农田。【坝子】?名西南地区称平地或平原：川西～。【把】（欛）（～儿）名①器具上便于用手拿的部分：茶壶～儿｜掸子～儿。②
非晶体则没有规则的几何形状．
靠：他办事很～。【把握】①动握；拿：司机～着方向盘。②动抓住（抽象的东西）：～时机｜透过现象，～本质。③名成功的可靠性（多用于“有”和
“没”后）：球赛获胜是有～的。【把戏】名①杂技：耍～｜看～。②花招；蒙蔽人的手法：鬼～｜收起你这套～，我不会上当的。【把兄弟】名指结拜的弟兄。年长的称把兄，年轻；酒店住宿预订https:// ；的称把弟。也叫盟兄弟。【把斋】∥动封斋。【把盏】〈书〉动端着酒杯（多用于斟酒敬客）：轮流～，向客人敬酒。【把捉】动把握；抓住（多用于抽象事物）：～事物的本质｜～文件的精神实质。【把子】?①名把东西扎在一起的捆子：秫秸～。②量a）人一群、一帮叫一把子（多含贬义）：一～土匪。）一手抓起的数量，多用于长条形东西：一～韭菜。）用于某些抽象的事物：加～劲儿。【把子】?名戏曲中所使用的武器的总称，也指开打的动作：练～｜单刀～。【把子】?名见页〖拜把子〗。【?】〈方〉①名屎；粪便：屙～。②动拉屎：想尿就尿，想～就～。【??】?ɑ〈口〉名屎；粪便（多用于小儿语）。【钯】（鈀）名金属元素，符号（aa）。银白色，化学性质不活泼，能大量吸附氢气。用作催化剂，也用来制特种合金等。【靶】名靶子：打～｜环～｜Байду номын сангаас～｜中～。【靶标】名靶子：瞄准～。【靶场】名打靶的场地。【靶船】名海上演习时当靶子用的船。【靶点】名医学上进行某些放射治疗时，放射线从不同方位照射，汇集到病变部位，这个病变部位叫做靶点。【靶机】ī名当空中靶子用的无人驾驶飞机。【靶器官】名指某一疾病或某一物所影响或针对的器官。如心脏、大脑、肾脏、血管是高血压的靶器官，甲状腺是碘的靶器官。

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DANIEL C. TSUI(1939)
分数量子霍尔效应: 崔琦, Stomer 等发觉, 当Landau能级旳占据数
n
p
v
,
hc g(E) m
有霍尔平台
p, m为整数
分数量子霍尔效应不可能在单粒子图象下解释, 引入相互作用
H
i
1 2m
pi
eAi c
2
V (ri ) i j
e2 ri r j
The Nobel Prize in Physics 1998
for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations.
Robert B. Laughlin(1950)
Horst L. Stormer(1949)
直到1980年, 才注意到霍尔平台旳量子化单位 h , e2
K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 495 (1980) for a sufficiently pure interface ( Si-MOSFET ) => integer quantum Hall effect
2
对于抛物线型的限制势 (V (z)
1 2
m
2 0
z
2
)
:
n
(n
1 2
)
0
电子只占据n=1旳子带，二维体系
n>1也占据，准二维体系
F
W n=2
n=1 k
2. Si反型层及GaAs-AlGaAs异质结
反型层

固体物理-第4章-晶体中的缺陷和扩散-4

这种空位—间隙原子对称为弗伦克尔缺陷。
（成对出现）
4、杂质原子在材料制备中，有控制地在晶体中引入杂质原子
A、杂质原子取代基质原子而占据格点位置,称替代式杂质。
（二者相接近或前者大一些）
B、杂质原子占据格点间的间隙位置，称填隙式杂质。
（杂质原子比基质原子小）
点缺陷的运动 1、空位的运动
空位运动势场示意图
原子结合成晶体的源动力:原子间的吸引力. 理想晶体的生长
问题4：当初如何提出位错概念？位错滑移如何理解？
Ax A d
a
x a 2
xa 2
弹性形变
范性形变原子不能回到原来位置,易到A
即发生滑移
Ax A
d a
?有问题
最初认为: 滑移是相邻两晶面整体的相对刚性滑移
则可计算:使其滑移的最小切应力: c
第四章晶体中的缺陷和扩散
原子绝对严格按晶格的周期性排列的晶体不存在
缺陷举例：如晶体表面、晶粒间界、人为掺杂等
如金刚石
空位
点缺陷填隙原子（0维）
杂质原子
刃位错
线缺陷
晶体缺陷的基本类型（1维）
（按维度或尺寸分类）
螺位错
大角晶界
晶粒间界
面缺陷
小角晶界
（2维）堆垛间界（层错）
问题1：点缺陷的定义、分类、运动及其对晶体性能影响？
若某一晶面A丢失，则原子面排列： ABCABCBCABC………..
问题7:一定温度下,系统达统计平衡时,
热缺陷（空位.间隙原子）数目？
热力学平衡条件
平衡状态下晶体内的热缺陷数目
系统自由能F U TS 最小
F n T
0
热缺陷的数目
1、肖脱基缺陷（或空位）浓度

固体物理课件4-1,2

第四章晶体的缺陷晶体缺陷的分类点缺陷线缺陷面缺陷理想晶体理想晶体：：结构基元结构基元严格按照空间点阵作周期性严格按照空间点阵作周期性排列排列。

实际晶体实际晶体：：晶体中的离子或原子总是或多或少的偏离了严格的晶体周期性偏离了严格的晶体周期性，，即存在着各种各样的结构的不完整性构的不完整性。

缺陷的含义缺陷的含义：：通常把晶体点阵结构中周期性势场的畸变称为晶体的结构缺陷畸变称为晶体的结构缺陷。

§4-1 晶体缺陷的基本类型分类方式分类方式：：几何形态几何形态：：点缺陷点缺陷、、线缺陷线缺陷、、面缺陷面缺陷、、体缺陷等形成原因形成原因：：热缺陷热缺陷、、杂质缺陷杂质缺陷、、非化学计量缺陷等一、点缺陷空位间隙原子杂质原子色心基本缺陷形式基本缺陷形式（（热缺陷热缺陷））晶格中的填隙原子晶格中的填隙原子、、空位空位、、俘获电子的空位俘获电子的空位、、杂质原子等子等，，称为点缺陷称为点缺陷．．这些缺陷约占一个原子的尺寸这些缺陷约占一个原子的尺寸，，引起晶格周期性在一到几个原胞范围内发生紊乱引起晶格周期性在一到几个原胞范围内发生紊乱．．点缺陷是对晶体结构的干扰仅限于几个原子间距范围内的晶体缺陷的晶体缺陷，，缺陷尺寸处于原子大小的数量级上缺陷尺寸处于原子大小的数量级上，，即三维方向上缺陷的尺寸都很小维方向上缺陷的尺寸都很小。

空位和间隙原子是晶体中最小也是最基本的缺陷形式的缺陷形式。

热作用下热作用下，，完整晶体中会自发出现空位和间隙原子完整晶体中会自发出现空位和间隙原子，，这种本体性的结构缺陷称为本征结构缺陷。

杂质原子：根据出现位置不同分为替位杂质和填隙杂质。

杂质原子改变了晶体的化学成分杂质原子改变了晶体的化学成分，，称为化学点缺陷。

色心色心：：是一种非化学计量比引起的空位缺陷是一种非化学计量比引起的空位缺陷，，该空位能够吸收可见光使原来透明的晶体出现颜色够吸收可见光使原来透明的晶体出现颜色，，故称它们为色心点缺陷与材料的电学性质点缺陷与材料的电学性质、、光学性质光学性质、、材料的高温动力学过程等有关学过程等有关。

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Ｍ du2 １ｄt２
＝
c（[ us
vs）（us
vs1）]
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37
同理可写出第s个晶胞中质量为M2的原子的运动方程为：
Ｍ2
＝ｃｄ２ｕ
ｄｔ２
vs
us1）（vs
us）]
＝ｃ us1 us 2vs）
us uei（t , ska）
vs vei(tska)
u，v可以是复数，第ｓ个晶胞中质量为 M1，M2 的原
(2). 固体比热的理论: 初步的晶格动力学理论
1907: 独立振子的量子理论(Einstein)
1912: 连续介质中的弹性波的量子理论(Debye)
1912: 周期结构中的弹性波(Born 和 von Karman)
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14
(3). 金属导电的自由电子理论: Fermi 统计 1897: 电子的发现(Thomson) 1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude) 1924: 基于Fermi统计的自由电子理论(Pauli 和 Sommerfield)
凝聚态物理的重要性
(1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经典科学提供了量子力学基础.
(2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管,超导磁体,固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. 对通信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事技术也产生了深刻的影响.
1, 2, 3
—— 原子在三个方向上的位移分量
—— 一个原胞中有3n个类似的方程
22
光子晶体多为人工设计, 自然界也有: 蛋白石、蝴蝶翅膀 Opal
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固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板

Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性

能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面

等能面等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li

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一种物体处于受力状态，一般有两种情况： * 物体整个体积受力而且力旳大小与物体旳体积成正比，这称为彻体力，例如重力； * 另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲旳作用而发生形变时，在物体内部旳任一部分和它周围相邻部分之间将产生相互作用力，这种力旳大小与相接触部分表面积旳大小成正比，而力与面积之比就称为应力。即在固体形变时，作用在固体中单位面积上旳力。
张量：（二阶）张量是具有9个分量旳物理量。设直角坐标系旳单
位基矢量为 e1 , e2 , e3
一般张量可写为
Tijeie j (i, j 1,2,3)
ij
ei e j 称为并矢，作为张量旳9个基。
张量旳9个分量写为 T11 ,T12 ,T13;T21 ,T22 ,T23;T31 ,T32 ,T33
2w t 2
Tzx x
Tzy y
Tzz z
式中ρ代表晶体密度， u、v、w代表晶体中质粒位移沿主轴x、y、z方向旳分量。根据应力分量符号，上式能够写为
2u t 2
T1 x
T6 y
T5 z
2v t 2
T6 x
T2 y
T4 z
(3)
2w t 2
T5 x
T4 y
T3
z
上式称为弹性动力学方程。
第一下标i表达应力旳方向，第二下标j表达应力所作用旳面旳法向。
例如作用在垂直于X轴旳单位面
积上沿X方向旳应力是Txx 。此类应
力是垂直于表面旳，称为正应力，代表张力或压力;
作用在垂直于X轴旳单位面积上沿Y方向旳应力是Tyx 。此类应力是沿着表面旳，即平行于表面旳切向，代表切应力。
y
Tyy
T1 Txx ,T2 Tyy ,T3 Tzz , T4 Tyz ,T5 Tzx ,T6 Txy (1)

固体物理晶体能带的对称性PPT课件

—— 成键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的价带 —— 反键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的导带
THANK
YOU
SUCCESS
2019/4/4
04_06 晶体能带的对称性 1 能带关于k的周期性
2 电子波矢 k k n 的布洛赫函数 a
2 E (k ) E (k n ) a
能量本征值
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
ikR E (k ) i J ( Rs )e s s
E (k ) i J 0
Rs Nearest
ikR s J ( R ) e s
2 原子能级与能带的对应
2 E (k ) E (k n ) a
2 k' k n a
—— 三维情况中表示
E(k ) E(k Gn )
2 能带的时间反演对称性可以证明
E ( k ) E ( k )
3 能带的3种表示图式 1) 扩展能区图式第一能带 E1 (k )
k

a
~

固体物理 Solid State Physics
第四章能带理论
§4.6晶体能带的对称性
1 模型与微扰计算
—— 紧束缚近似方法的思想
—— 电子在一个原子(格点)附近时主要受到该原子势场的作用 —— 将其它原子势场的作用看作是微扰
对于确定的 k
晶体中电子的波函数
1 k (r ) N
a
第二能带 E2Hale Waihona Puke (k )2 k ~ a a
2 ~ a a

2) 简约能区图式 —— 对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性

固体物理学：第四章第六节赝势方法

将4.6.1式代入，得到
左边可以得到：
将上式写为
其中
称为赝势。而
是在赝势作用下运动电子的波函数。
对比4.6.3和4.6.7可以看到，赝势下的赝波函数与真实势下的布洛赫波函数具有完全相同的能量本征值。
固体能带论主要关心的是导带和价带电子的能带结构，而不是波函数本身。我们可以选择适当的赝势，则可以比较容易地求解出基本真实的能谱。
1990年，David Vanderbilt提出了USPP。
氧的2p轨道
超软赝势一般对于较“硬”的元素也可以得到较“软”的波函数，从而可以减少平面波数目，减少计算量。当然由于去掉了模守恒条件，USPP在形式上相对复杂一些，在计算电荷密度时候需要进行补偿等。
赝势的好坏
结果是否准确计算量大小可移植性好坏
正交化平面波法中的正交项起到了抵消势能的作用，给出了一个比真实势弱得多的有效势。在此基础上，菲利普（J. C. Phillips）和克雷曼（L. Kleinman）于 1959年发展了所谓的赝势方法。
将正交化平面波法的波函数改写为：
这里引入了一个新的函数
它是一个简单由平面波叠加的函数，只是展开式的系数a由正交化平面波法确定。晶体中的布洛赫波满足薛定谔方程：
模守恒赝势以单个原子的全电子（AE）薛定谔方程的解为参考，需要满足如下条件：
能量本征值相同
赝径向波函数没有能量节点
在截断半径rc之外，PS与AE径向波函数相同在截断半径rc之内，PS与AE径向波函数平方（电荷密度）的积分数值相同（模守恒条件）。这样保证可以产生正确的电荷密度。
PP for Au
产生赝势是一个十分需要经验的事情，产生的赝势一般需要严格的测试，才能用于实际计算！

固体物理学：第四章第五节正交化平面波法

比如Li，它的电子组态是1s2 2s1，内层电子只有一个带，如果取一个正交化平面波取构造导带电子的布洛赫波，得到这里
得到Li的合理的能谱：
对比4.2.13和4.5.13，可以看到，与平面波不同的是，现在用有效势U替代了真是势V。
U的第一项来源于真是势V，它是负值。第二项来源于正交化手续，它是一个正量。
1940年，赫令（Herring）提出了一种克服平面波方法收敛性差的方案。原则上，固体能带可分为两类：一类是内层电子的能带，它是一种窄带。内层电子的状态可以用紧束缚波函数来描述：
用狄拉克符号写为：
它满足
H是晶格哈密顿量，Ec是内层电子能带，c表示内层电子波函数的量子数。另一类是外层电子的能带，是一种宽带。我们把最高被电子占满的能带称为价带，而最低空带或者半满带称为导带。固体的物理性质主要决定于价带和导带中的电子。
第四章能带论
§4.5 正交化平面波法
Orthogonalized plane wave
前面讨论了平面波方法，它是一种严格求解周期势场中单电子波函数的方法，物理图像也很清楚。但平面波有个致命的弱点，即收敛性差，要求解的本征值行列式阶数很高。
这是因为固体中价电子的波函数，在离子实区域以外是平滑函数，而在离子实区有较大的振荡，以保证与内层电子波函数正交，要描述这种振荡波函数，就需要大量的平面波。
导带和价带电子，离子实区和离子实区域外是两种性质不同的区域。在离子实区，电子感受到弱的势场作用，波函数是平滑的，很像平面波。
而在离子实区域，由于强烈的局域势作用，波函数急剧震荡，和平面波相差很多。
因此最好用平面波
和壳层能带波函数
的线性组合来描述价带和导带电子的布洛赫波函数：

固体物理课件ppt完全版_图文

一、简单立方晶格（SC格子） 1·配位数：每个原子的上下左右前后各有一个最近邻
原子 — 配位数为6
2·堆积方式：最简单的原子球规则排列形式 — 没有实际的晶体具有此种结构
简单立方晶格堆积方式
简单立方晶格典型单元
3·原胞： SC格子的立方单元是最小的周期性单元 — 选取其本身为原胞
4·晶格的三个基矢：
③
∵面上原子密度大，对X 射线的散射强
∴简单的晶面族，在 X 射线的散射中，常被选做衍射面
金刚石晶格中双层密排面
第四节倒格子
晶格的周期性描写方式: 正格子
※ 坐标空间（空间）的布拉伐格子表示 ※ 波矢空间（空间）的倒格子表示
Reason?
∵晶体中原子和电子的运动状态，以及各种微观粒子的相互作用 → 都是在波矢空间进行描写的晶格振动形成的格波，X 射线衍射均用波矢来表征
晶
列
1· 晶列：在布拉伐格子中，所有格点可以分列在一
系列相互平行的直线系上，这些直线系称
为晶列
2· 晶向：同一个格子可以形成方向不同的晶列，每一个晶列定义了一个方向，称为晶向
3·晶向指数: 若从一个原子沿晶向到最近的原子的
位移矢量为
，则用
标志晶向，称为晶向指数
同一晶向族的各晶向
4· 晶面：布拉伐格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面。
倒易点阵本质
如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒
易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只
是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动过程的需要。
一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3）

固体物理第四章(1)Bloch定理

i

ˆ H i i r i Ei i r i

（4-9）
所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得 i r i , Ei ，便可得
到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。

周期势场假设
而并不考虑其它电子的具体运动情况
单电子近似并非所研究的系统只有一个电子。系统可以有多个电子，但是波函数十单电子的波函数，多个单电子方程。但所有单电子都满足同样的方程，因此这个单电子方程的解对所有电子都适用，是所有电子的解。如果该近似用到不满足这个近似的体系——强关联体系，会出现反常现象。
4.2 能带理论的基本假设
假设在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为：
2 2 1 / e2 ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m
NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 i , j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n i 1 2 M ˆ ˆ Te U ee r i r j Tn U nm R n R m U en r i R n N

（4-12）
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
k
且

ik r r e uk r

（4-13）
在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再
uk r R n uk r

固体物理 4.4_声子动量

证明。
1
4.4 声子动量
第 4 章声子（I）：晶格振动
犹如一它个是波一矢个为具有K 的动声量子K将的和粒各子种( 粒K子称发为生声相子互的作准用，
动量)。但声子并不携带物理动量
晶体的物理动量
p
n
Mun
M
N 1 d n0 dt
u exp[i(t
nKa)]
M
d dt
N 1
(ueit ) einKa
dt 代表晶体的均匀平移，而这种平移带有动量
3
4.4 声子动量
第 4 章声子（I）：晶格振动
• 声子没有物理动量。但平常这些有声子参与的过
程中，为处理问题方便起见，我们把量hk 称为
声子的准动量或声子的晶体动量，主要是由于它的性质类似于一个动量。这样凡是有声子参与的碰撞过程中动量守恒依然存在。
4
4.4 声子动量
第 4 章声子（I）：晶格振动
波矢选择定则
在晶体中存在量子态之间允许跃迁的波矢选
择定则。在第2章中，我们曾看到 X 射线光子在晶体中的弹性散射受波矢选择定则的支配
k' k G
在这种反射过程中，晶体作为晶体将发生动量为 G 的反冲，但这种均匀动量很少以显式形
式给出
5
6
n0
M
d dt
(u
eit
)
1 eiNka 1 eiKa
4.4 声子动量
第 4 章声子（I）：晶格振动
p
M
d dt
(u
eit
)
1 eiNka 1 eiKa
我们知道，K 取 N 个独立的分立值
K l 2π , l为整数 Na
所以我们得到物理动量 (当 K≠0 时)

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电流密度为:
jned v0E 0 ne2t/m
若存在外加静磁场, 则电导率和电阻率都变为张量
此处
x yx x x yy y,
x yx x
xy yy
j E, E j 仍成立
有磁场时, 加入罗仑兹力, 电子迁移速度为
vd
e(EvdB)t
cm
精品ppt
8
稳态时, 易得
j nevd , 假定磁场沿z方向, 在xy 平面内
h ie 2
,i
为整数, 对应于占满第 i
个Landau能级,
精度大约为5ppm.
3, 台阶处纵向电阻为零.
Si(100)表面电子的有效质量0.：2me
2 1 20m eV
ns Vg ~ (1 ~ 10) 1011 cm 2 迁移率 1：04 cm 2 /V s 弹性散射平均自由程l : 40 ~ 120nm
AlxGa1xAs GaAs
导带
F
价带
x 0.3,导带底能量差 0.3～ eV 电子有效质0.量 067me ,n ~ 2 ns 41011cm2 高迁移率 104：～106cm2 /V s 长的弹性散射平均程自 l 由 102 ~ 104nm
由此, 当 xx 0 时, jx xyEy , xy 为霍尔电导
H
x
y
nec B
jy yx ExxE yx
在量子力学下（E沿x方向）
H 1 (PeA )2eEx 2m c
选择矢量势
A(0,B,x0)
波函数为
(x,y)eik yy (x)
2 m 2 d d22 x1 2m c 2(xlc 2ky)2eE (xx)(x)
直到1980年, 才注意到霍尔平台的量子化单位 h , e2
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K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 495 (1980) for a sufficiently pure interface ( Si-MOSFET ) => integer quantum Hall effect
I + - current source
x yz
E. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879) => Hall effect
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根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一段时间t内在电场下加速, 散射后速度为零. t称为弛豫时间. 电子的
平均迁移速度为: vd eE t/m
第四章维度
4.1 半导体低维电子系统 4.2 二维体系中的相变 4.3 准一维体系的Peierls
不稳定性和电荷密度波
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1
4.1 半导体低维电子系统
1.维度
三维自由电子气体，沿z方向对体系的尺寸限制：
n (k )
n
2k 2 2m
z
k 是波矢在 xy 平面上的分量。
如限制势为方势阱：
n
(n)2 2 mW 2
1
lc
c eB
2
经典回旋半径
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解为：
i(E)
(i
1 2
)
c
eE (lc2k y
eE
2
m
2 c
)
i ( x,
y)
( x ( ik y y )
[
(
x
x0 2 lc2
)2
]
e e H [i
lc
x0 )]
x0
lc2k y
eE
m
2 c
,
i 0,1,2,3,...
Landau 能级
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计算平均速度
vy
1 m
i*i yecBxid
rEc B
vx
1 m
i*
i xi
dr0
jy
neEc B
与经典结果相同.
在Landau能级上, 纵向电流为0.
(2)整数量子霍尔效应
1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导, 1978 年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 发现霍尔平台, 但
The Nobel Prize in Physics 1985
K. von Klitzing（1943~）
for the discovery of the quantized Hall effect.
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实验设置示意图
实验观测到的霍尔电阻
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1, 霍尔电阻有台阶,
2, 台阶高度为
z
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Split gates and one-dimensional electron gases
This "split-gate technique" was pioneered by the Semiconductor Physics
Group at the Cavendish Laboratory of the University of Cambridge, in
0Ex ctjy jx 0Ey ctjx jy
c
eB mc
xxyy10, xyyx c0 t
xxyy1(0ct)2,xyyx1( 0ctct)2
xx
xx ,
2
2
xx xy
xy
xy
2
2
xx xy
如果 xy 0 , 则当 xx 为0时 xx 也为0.
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另一方面
xynBeccxtx
England, in 1986, by Trevor Thornton and Professor Michael Pepper.
精uantum Hall Effects (QHE) )
(1)霍尔效应基础
B
d
V Hall voltage
V’ resistivity
,
W n , 为电子的波长 2
对于抛物线型的限制势
(V
(z)
1 2
m
2 0
z
2
)
:
n
(n
1 2
)
0
电子只占据n=1的子带，二维体系
n>1也占据，准二维体系
F
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W n=2
n=1 2k
2. Si反型层及GaAs-AlGaAs异质结
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4
反型层
导带
F eV g
价带
金属SiO2 耗尽层
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In two-dimensional systems, the Landau energy levels are completely seperate while in three-dimensional systems the spectrum is continuous due to the free movement of electrons in the direction of the magnetic field.