圆周运动中的突变问题

圆周运动的临界与突变问题

圆周运动的临界与突变问题同步练习（答题时间： 30 分钟）1. 质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 系于一轻质木架上的A点和 C 点，如图所示。

当轻杆绕轴 BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳 a 在竖直方向、绳 b 在水平方向。

当小球运动在图示位置时，绳 b 被烧断的同时杆也停止转动，则（）A.小球仍在水平面内做匀速圆周运动B.在绳被烧断瞬间， a 绳中张力突然增大C.若角速度ω较小，小球在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动D. 若角速度ω较大，小球可以在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动2.如图所示，用细绳一端系着的质量为 M＝0.6 kg的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m＝0.3 kg的小球 B，A 的重心到 O 点的距离为0.2 m.，若A与转盘间的最大静摩擦力为F f＝ 2 N ，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。

（取g＝10 m/s2）3.如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动，现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m.，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。

求：（ 1）物块做平抛运动的初速度大小v0；（ 2）物块与转台间的动摩擦因数μ。

4.如图所示，质量为 m 的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为 m 的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍（μ＝0.2），当转盘以角速度ω＝ 4 rad/s 匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？（g 取10 m/s2）5. 物体做圆周运动时所需的向心力 F 需由物体运动情况决定，合力提供的向心力 F 供由物体受力情况决定，若某时刻 F 需＝F 供，则物体能做圆周运动；若 F 需> F 供，物体将做离心运动；若 F 需< F 供，物体将做近心运动，现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O 点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球（可视为质点），将小球提至O 点正上方的 A 点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。

第五讲：圆周运动临界问题

第五讲：圆周运动临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝m v2 r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．例、如图所示，质量相等的A、B物体置于粗糙的圆盘上，圆盘的摩擦因数为μ，A、B通过轻绳相连，随圆盘一起做圆周运动且转动的角速度ω由0逐渐增大，A的转动半径为r，B的转动半径为2r，重力加速度为g，分析：①A、B滑动的临界角速度大小；①此时若A、B间轻绳被拉断，分析A、B的运动情况.【解析】①方法一：整体法：2μmg=mrω2+m·2r·ω2方法二：等效质点法：质心在AB的中点处【例题】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑最大静摩擦力提供向心力：2μmg =2m·32r·ω2，故临界角速度：ω=μg 3r. ①绳断瞬间：A 的向心力小于最大静摩擦力，故仍做圆周运动；B 的向心力大于最大静摩擦力，B 做离心运动.2．与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．例、如图所示，用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，重力加速度为g ，分析：F T 随ω2变化的图像.【解析】情况一：a ≤g tan θ，小球与锥面接触，对小球受力分析，将向心加速度分解到沿绳方向和垂直绳方向.则有：T =m g cos θ+ml sin 2θω2，N =mg sin θ－12ml sin2θω2情况二：a >g tan θ，小球离开锥面，绳力T =mlω2 故T 与ω2的函数图像如图所示.【例题】一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O 的上方h 处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m 的小球B ，绳长AB ＝l >h ，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g )( )A.12πg hB.πghC.12πg l针对训练题型1：摩擦力有关的临界问题1．如图，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g 取10m/s2）（多选）2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）A．当ω＜时，绳子没有弹力B．当ω＞时，A、B仍相对于转盘静止C．ω在＜ω＜范围内时，B所受摩擦力大小不变D．ω在0＜ω＜范围内增大时，A所受摩擦力大小先不变后增大（多选）3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）A．此时绳子张力为3μmgB．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外C．此时圆盘的角速度为D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动4．如图所示，表面粗糙的水平圆盘上叠放着质量相等的两物块A、B，两物块到圆心O的距离r＝0.2m，圆盘绕圆心旋转的角速度ω缓慢增加，两物块相对圆盘静止可看成质点．已知物块A与B间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块B与圆盘间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（）A．根据f＝μF N可知，B对A的摩擦力大小始终等于圆盘对B的摩擦力大小B．圆盘对B的摩擦力大小始终等于B对A的摩擦力大小的2倍C．圆盘旋转的角速度最大值ωmax＝rad/sD．如果增加物体A、B的质量，圆盘旋转的角速度最大值增大（多选）5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。

圆周运动的临界问题

√D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向
心力是由摩擦力提供的，A错误；汽车转弯的速度为 20 m/s 时，根据 Fn＝mvR2，得所需的向心力为 1.0×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C 错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为 am＝Fmf＝7.0 m/s2，D 正确.
ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
√B.小物体受到的摩擦力可能背离圆心 √C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23，则 ω 的最大值是 1.0 rad/s
D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23，则 ω 的最大值是 3 rad/s
当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A错误，B正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcos 30°，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos 30°，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故C正确，D错误.
例2 (多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是
竖直面内圆周运动的临界问题

绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析 (2)

绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析【内容摘要】：三种模型弹力产生的机理不同，不同物理场景下力和运动情况的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为"拐点"突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件。

【关键词】：临界、突变绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在解决力和运动，尤其在曲线运动问题中经常出现，由于较多涉及带电粒子在复合场中的运动，关于临界和突变问题成为失分较大的考点，因此历年成为频繁出现的热点。

而问题的症结是：不太清楚这三种模型弹力产生的机理；不清晰物理过程的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为"拐点"突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件，故而成为学习中的一个障碍。

结合复习实际，总结如下：一、产生的机理：１、形变的分类和弹力产生的机理：物体在外力作用下的形变可分为：拉伸、压缩形变、剪切形变、扭转和弯曲形变，但从根本上讲，形变分为：拉伸压缩和剪切形变．拉伸压缩形变的程度用线应变描述；剪切形变是指用平行截面间相对滑动的位移与截面垂直距离之比来描述称为剪切形变；弯曲形变：以中性层为界，越近上缘发生压缩形变的程度增加，靠近下沿拉伸越甚，即上下边沿贡献最大，中性层无贡献，实际应用中典型的就是钢筋混凝土梁，下部钢筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗压能力，工业中的工字钢．空心钢管等构件既安全又节省材料；扭转形变实质上是由剪切形变组成，内外层剪切应变不同，因此应力也不同。

靠外层应力较大，抵抗扭转形变的作用主要由外层承担，靠近中心轴线的材料几乎不大起作用，工业中的空心柱体就是典型的应用。

２、区别：细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖于细绳受到的外力和自身的运动状态。

由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状态将发生突变，将此点称为“拐点”；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的弹力，弹力的产生是由于外力作用下而引起的形变，形变不发生变化，弹力不变；轻杆：拉伸、压缩、剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生，既能产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿截面方向上的弹力，取决于外力作用的情况。

高中物理第二章圆周运动优化总结课件粤教版必修2

如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于
ห้องสมุดไป่ตู้
竖直平面内，在大圆环上套着一个小环．小环由大圆
环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，
大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功
B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
[解析] 由于大圆环是光滑的，因此小环下滑的过程中，大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直，因此作用力不做功， A 项正确，B 项错误；小环刚下滑时，大圆环对小环的作用力背离大圆环的圆心，滑到大圆环圆心以下的位置时，大圆环对小环的作用力指向大圆环的圆心，C、D 项错误． [答案] A
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
复习课件
高中物理第二章圆周运动优化总结课件粤教版必修2
2021/4/17
高中物理第二章圆周运动优化总结课件粤教版必修2
第二章圆周运动
本章优化总结
v=rω
1 T=n
v2 m= r
mω2r
圆心
方向
线速度方向
1.临界状态
圆周运动的临界问题
当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折
状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰
2021/4/17
高中物理第二章圆周运动优化总结课件
16
粤教版必修2
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动对身体不好哦~
2021/4/17
高中物理第二章圆周运动优化总结课件
17
粤教版必修2
结束语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成

圆周运动临界问题

圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。

在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。

以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。

当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。

在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。

在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。

根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。

需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。

此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。

受力分析中的“突变”问题

受力分析中的“突变”问题例析在受力分析中常常遇到物体受力情况突然发生变化的情况，如绳子（或弹簧）突然断开或支持物突然撤去等，这在物理解题时常称之为“突变问题”。

遇到这类问题关键是分析清楚物体受力条件改变前后的差异，以及条件发生“突变”瞬间，哪些量能突然发生变化，哪些量不能瞬间完成改变，从而确定物体在受力情况发生突变瞬间各力的变化情况。

例1、如图1-1所示，图中细线均不可伸长，物体均处于平衡状态，如果突然把两水平细线剪断，求剪断瞬间小球A 、B 加速度看样？解析：本例的（a ）（b ）两图中A 、B 两球的运动状态、受力形式均相同，不同之处在于（a ）图中OA 段为一细线，而（b ）图中OB 段为一弹簧。

①在剪断细线前小球受力情况如图1-2所示，此时有B A B A T T F F ==,②在剪断水平细线瞬间，B A T T ,突变为零，两球所受力的情况会发生相应的变化：对（a ）图而言，小球所受的重力不会发生变化，OA 段细线上的拉力A F 在A T 突变为零的瞬间也会发生相应的变化，大小与重力沿细线方向上的分力相平衡θcos 1'G G F A ==，小球所受到的合力为小球所受重力沿与细线方向垂直方向上的分力θsin 2G G F ==合（如图1-3-a 所示）；对（b ）来说，弹簧的形变在剪断细线瞬间来不及发生改变，所以弹簧上的弹力在水平细线断开瞬间不发生变化，因此小球在细线断开瞬间所受力G F B ,都未发生变化，故小球所受的合力大小与细线断开前的B T 大小相等，方向沿B T 的反方向（如图1-3-b 所示）。

从以上分析可以看出，（a ）（b ）两图中由于连接小球的线与弹簧物理性质上的差异，在水平线剪断瞬间，A 球所受的拉力能瞬间发生突变，而B 球所受弹簧的拉力在突变瞬间不能发生变化，从面使两球在剪断细线的瞬间受力情况出现差异。

例2、如图2-1所示，物体A 、B 以轻质弹簧相连，静止于木板上，试求撤去木板的瞬间，A 、B 的瞬时速度（已知A 、B 的质量分别为B a m m ,）解析：撤去木板前，A 、B 及弹簧构成的系统处于平衡状态，对整体而言，有：N B A F g m m =+)(（N F 为木板对系统向上的弹力）对A 物体有：A A F g m =（A F 是弹簧对物体A 的向上的支持力）对B 物体有：B B N F g m F +=（B F 为弹簧对物体B 向下的压力）其中B A F F =当撤去木板瞬间，弹簧的弹力不能发生突变（弹簧形变不能在瞬间发生改变），所以它对A 的支持力和对B 的向下的压力不变。

高中物理圆周运动易错题成因及解决方法

高中物理圆周运动易错题成因及解决方法圆周运动是高中物理学中重要的知识点，但是学生在学习这一知识点时经常会遇到困难，以致考试中出现很多易错的题目。

本文旨在讨论高中物理圆周运动易错题的成因及解决方法。

首先，高中物理圆周运动易错题的成因是学生对理论知识缺乏系统性研究。

高中物理圆周运动是由简单的描述到复杂的应用步骤组成，学生在学习过程中往往忽略了若干细节，从而导致圆周运动的理论基础不扎实，考试中出现一些易错的题目。

此外，高中物理圆周运动的内容涉及到多个物理概念和技术，如惯性、斥力、动量守恒定律等，学生在学习圆周运动过程中，由于理解难度较大，容易在详细的知识点上出现一些错误，从而导致考试中可能出现一些易错的题目。

其次，解决高中物理圆周运动易错题的方法有多种。

首先，教师可以选择形象化、系统化的教学方式，通过清晰的图片和表格等方式，让学生深入理解圆周运动的基本概念和相关定律，从而加强学生的理解能力，增强学生知识的积累，更好地掌握圆周运动的相关内容。

其次，可以增加实验教学，在实验中让学生更深刻地感受到重力、惯性和动量之间的内在关系，以便更完整地理解圆周运动的含义和原理，从而提高学生的学习效率和考试成绩。

此外，课堂上可以鼓励学生多参加讨论，让学生通过研讨交流圆周运动的相关知识，加深对理论的理解，更好地掌握和掌握圆周运动的基本概念和本质。

最后，教师应该提高考试设计水平。

考试如果只以一些理论描述作为考题，容易让学生受到枯燥乏味的影响，甚至会降低考试成绩。

因此，教师应该尽量创新考试方式，如改编真实的现象、生活情景等，深入理解物理知识的本质，从而提高学生应用圆周运动的能力，给学生带来良好的考试及学习体验。

以上是本文介绍的高中物理圆周运动易错题成因及解决方法，最终要达到一个目标：提高学生学习圆周运动的能力，从而更好地应对考试题目。

仅有知识的储备是不够的，更重要的是学习过程中培养学生的解题思路，从而帮助他们解决问题，取得更好的考试成绩。

力学中常见的“突变”问题

力学中常见的“突变”问题一、由静到动引起的“突变”例1 如图1所示，把一个质量为m的物体放在一块粗糙的木板上，将木板一端缓缓抬起，板和水平面的夹角α由零逐渐增大，试分析物体所受摩擦力 f和倾角α之间的函数关系，并用f－α图表示出来。

图1分析①当木板处于水平时，α＝0°，物体受摩擦力f=0。

②当α由零逐渐增大，物体有下滑的趋势但仍可静止（相对），此时，受到沿斜面向上的静摩擦力，其大小为f=mgsinα，且f随α增大而增大。

③当mgsinα＞（最大静摩擦力）时，物体将会滑动，静摩擦力“突变”为滑动摩擦力μmgcosα。

设此时α＝。

④当α＞时，物体将沿木板加速下滑，f=μmgcosα，且随α增大而减小。

⑤当α＝90°时，木板竖直，N=O，摩擦力f=0。

具体情况见图2（注意由“突变”形成的“落差”）。

图2二、由动到静引起的“突变”例2 如图3所示，把一个质量为m的物体用水平力F压在竖直墙面上，F由零逐渐变大，图4中能表示出物体所受摩擦力f和压力F之间的函数关系是：图3分析①当F=0时，N=0，所以f=0。

物体开始加速下滑。

②随着F逐渐变大，根据f=μN=μF可知： f随F的变大而成正比地变大。

但物体仍为加速运动，只不过加速度越来越小。

图4③当f＞mg时，物体开始做减速运动，且加速度越来越大。

④当物体的速度减为零时，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力。

根据平衡条件，静摩擦力大小恒等于mg。

且以后并不随F的变化而变化。

故应选择：D。

（在该图中，由于“突变”留下的“尖峰”清晰可见。

）图5三、由半径变化引起的“突变”例3 如图5所示，轻绳一端系小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点有一颗钉子，将悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，则A.小球的瞬时速度突然变大。

B.小球的加速度突然变大。

C.小球的角速度突然变大。

D.悬线所受的拉力突然变大。

分析当悬线碰到钉子时，运动的小球正过最低点的瞬间，小球的速度大小不变。

高中物理必修二--5.15圆周运动中的临界问题

；3

2g r
(1)FA

10 7
mg；FB

0
(2)FA

FB

5 7
mg
(3)FA

0；FB

5 2
mg
例题5 ：如图所示，V形细杆A0B能绕其竖直的对称轴00’转动，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为 α=450．质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为Ｌ=1.2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω 转动时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s2． ⑴求杆转动角速度ω0的最小值； ⑵将杆的角速度从ω0最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出
fmax沿杆向下时，有：FN sin 45 fmax cos 45 mg
∴ω2=5rad/s
FN cos 45 fmax sin 45 m22r
当细线拉力达到最大时，有：FN sin 45 fmax cos 45 mg
FN cos 45 fmax sin 45 Fmax m32r
5.14 圆周运动的临界问题
1、临界问题：
物体做圆周运动时，物体的受力、半径等因素发生突变时的状态叫临界状态。
2、解决临界问题基本方法
⑴明确题意，抓住题目的关键词语，确定临界状态。
⑵对圆周运动的过程进行动态分析(如角速度的变化、半径的变化引起的系列变化）判断会发生突变的物理量和这些物理量如何变化，并确定临界条件。
只有B物体作匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大
值时的角速度为ω3，则，
3
Tmax 1mg
mr

第六章圆周运动重难点题型讲解-高一下学期物理人教版(2019)必修第二册

系中正确的是( D )
A．
v0＝
ωd 2
dv0 ＝L2g
B． 2
C．dω2＝gπ2(1＋2n)2 (n＝0,1,2，…)
D．ωL＝π(1＋2n)v0 (n＝0,1,2，…)
A
解析：飞镖在空中做平抛运动飞镖最终落在圆盘的下
A点随圆盘做匀速圆周运动：t
沿击中A点，在t时间段内，A点转过（2n+1）π的角度。
物理必修二第六章重难点题型讲解
授课教师：
一. 圆周运动公式及各物理量的计算式：
角速度
2 2n
t r T t
线速度向心加速度运行周期
s r 2r s
t
Tt
an
2 r
2r
4 2 T2
r
T 2r 2 1 n
向心力
Fn
ma n
2
m r
m 2r
m
m 4 2
T2
r
gr gr
时，FN = 0，
时，mg FN =
mg
2 m
r
2
=m r
，FN指向圆心并随v的增大而增大
十. 竖直平面内的球—杆模型：对轨道最高点的运动和受力分析
v
r杆
受重力、弹力受力特点：弹力指向圆心，等于零或沿半径背离圆心
小球固定在带转轴的轻杆上
最高点的向心力公式：
2
Fn mg FN m r
需要注意的是，标量计算式可适用于匀速圆周运动，矢量计算式可适用于所有圆周运动。
二. 常见传动装置：
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
示意图
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两接个，轮A子、用B—两皮点带分连别是两个轮子边缘

变轨问题总结

变轨问题总结人造卫星变轨问题专题一、人造卫星基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。

轨道半径r确定后，与之对应的卫星线速度、周期、向心加速度也都是确定的。

如果卫星的质量也确定，那么与轨道半径r对应的卫星的动能Ek（由线速度大小决定）、重力势能Ep（由卫星高度决定）和总机械能E机（由能量转换情况决定）也是确定的。

一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。

同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。

在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。

二、渐变由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。

解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。

如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。

如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。

由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r将减小。

由㈠中结论可知：卫星线速度v将增大，周期T将减小，向心加速度a将增大，动能Ek将增大，势能Ep 将减小，该过程有部分机械能转化为内能（摩擦生热），因此卫星机械能E机将减小。

为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。

而且万有引力做的正功远大于克服大气阻力做的功，外力对卫星做的总功是正的，因此卫星动能增加。

根据E机=Ek+Ep，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。

再如：有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量G是逐渐减小的。

绳-杆-弹簧模型在临界与突变问题及归类解析

绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析【内容摘要】：三种模型弹力产生的机理不同，不同物理场景下力和运动情况的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为"拐点"突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件。

【关键词】：临界、突变绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在解决力和运动，尤其在曲线运动问题中经常出现，由于较多涉及带电粒子在复合场中的运动，关于临界和突变问题成为失分较大的考点，因此历年成为频繁出现的热点。

而问题的症结是：不太清楚这三种模型弹力产生的机理；不清晰物理过程的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为"拐点"突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件，故而成为学习中的一个障碍。

结合复习实际，总结如下：一、产生的机理：１、形变的分类和弹力产生的机理：物体在外力作用下的形变可分为：拉伸、压缩形变、剪切形变、扭转和弯曲形变，但从根本上讲，形变分为：拉伸压缩和剪切形变．拉伸压缩形变的程度用线应变描述；剪切形变是指用平行截面间相对滑动的位移与截面垂直距离之比来描述称为剪切形变；弯曲形变：以中性层为界，越近上缘发生压缩形变的程度增加，靠近下沿拉伸越甚，即上下边沿贡献最大，中性层无贡献，实际应用中典型的就是钢筋混凝土梁，下部钢筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗压能力，工业中的工字钢．空心钢管等构件既安全又节省材料；扭转形变实质上是由剪切形变组成，内外层剪切应变不同，因此应力也不同。

靠外层应力较大，抵抗扭转形变的作用主要由外层承担，靠近中心轴线的材料几乎不大起作用，工业中的空心柱体就是典型的应用。

２、区别：细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖于细绳受到的外力和自身的运动状态。

由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状态将发生突变，将此点称为“拐点”；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的弹力，弹力的产生是由于外力作用下而引起的形变，形变不发生变化，弹力不变；轻杆：拉伸、压缩、剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生，既能产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿截面方向上的弹力，取决于外力作用的情况。

高中物理第五章曲线运动第12节圆周运动的临界与突

圆周运动的临界与突变问题二、重难点提示重难点：圆周运动临界点的确定此类问题的关键是分析临界条件下的受力情况及涉及的几何知识。

此类问题的关键是分析物体过最高点时受力的可能性。

3. 突变问题对于圆周运动，从公式22224=v F ma m m r m R r Tπω===向中我们可以看到，能够发生突变的物理量有F 向、运动半径r 、速度v （大小和方向）、角速度ω等。

只要其中一个物理量发生变化，就会影响到整个受力状态和运动状态。

解决这类问题时，应仔细分析物体突变前后的物理过程，确定物体发生突变的状态、发生突变的物理量、突变前后物体的运动性质，找出突变前后各物理量的区别与联系，对突变前后的物理状态或过程正确应用物理规律和物理方法列出方程。

例题1 如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30˚，小球以速度v 绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动。

（1）当v 1 （2）当v 2 思路分析：如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力F N ＝0时，小球只受重力mg 和线的拉力F T 的作用，其合力F 应沿水平面指向轴线，由几何关系知F ＝mg tan 30°①又F ＝m ︒⋅=30sin 220l v m r v②由①②两式解得v 0＝36gl即小球以v 0作圆周运动时，刚好脱离锥面。

（1）因为v 1<v 0，所以小球与锥面接触并产生支持力F N ，此时小球受力如图乙所示，根据牛顿第二定律有F T sin 30°－F N cos 30°＝︒⋅30sin 21l mv③ F T cos 30°＋F N sin 30°－mg ＝0④由③④两式解得F T ＝6)331(mg+≈1.03mg ；（2）因为v 2>v 0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为α，小球受力如图丙所示，则F T sin α＝αsin 22l mv⑤F T cos α－mg ＝0⑥由⑤⑥两式解得F T ＝2mg 答案：（1）1.03mg （2）2mg例题2 如图所示，在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2，转台绕转轴OO ′以角速度ω匀速转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离. 关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f 1和f 2与ω2的关系图线，可能正确的是（）思路分析：两滑块的角速度相同，根据向心力公式F向＝mω2r，考虑到两滑块质量相同，滑块2的运动半径较大，受到的摩擦力较大，故滑块2先达到最大静摩擦力，再继续增大角速度，在增加同样的角速度的情况下，对滑块1、2分别有T＋f1＝mω2R1，T＋f2＝mω2R2，随着角速度ω的增大，绳子拉力T增大，由于R2>R1，故滑块2需要的向心力更大，故绳子拉力增大时滑块1的摩擦力反而减小，且与角速度的平方呈线性关系，f2在增大到最大静摩擦后保持不变，故A、D正确。

圆周运动脱轨和临界问题(教案)

学习必备欢迎下载竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型模型1：“轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，v gR =0(2)小球能通过最高点的条件：v gR ≥，当v gR >时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件：v gR <，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类”有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”，如图4所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度0v =0 (2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当0v =时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N mg =；②当0v gR <<时，因2v mg N m R -=,则2v N mg m R=-.轻杆对小球的支持力N 竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0mg N >>．③当v gR =时，0N =；④当v gR >时，则2v mg N m R +=，即2v N m mg R=-，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v ≠gR (应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g 换成g 月，若在其他天体上则把g 换成g 天体.二、两种模型的应用【例1】如图5所示，质量为m 的小球从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?图1 图2图3 图4【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v Rg =临界，根据机械能守恒定律得2122mgh mg R mv =⋅+临界把v Rg =临界代入上式得：min 52h R =．【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B 受到三个力作用:电场力F qE =，方向竖直向上；重力mg ；弹力N ，方向竖直向下．由向心力公式，有2Bv mg N qE m R+-=要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为2Bv mg qE m R-= ①根据动能定理，有21()(2)2B mg qE h R mv -⋅-= ②解之得：min 52h R =说明把②式中的mg qE -换成2B v m R，较容易求出min 52h R =【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界状态方程为：2Bv mg qE m R+= ①根据动能定理，有21()(2)2B mg qE h R mv +⋅-= ②由上述二式解得：min 52h R = 小结上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度1g ”比例1中的重力加速度g 减小，例3中的“等效重力加速度2g ”比例1中的重力加速度g 增大．例2中1v Rg =临界，211122mg h mg R mv =⋅+临界；图5图6例3中2v Rg =临界，222122mg h mg R mv =⋅+临界．把v 临界代入各自对应的式子，结果1mg 、2mg 分别都约去了，故min 52h R =．【例4】如图7所示，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为2BB v mg qv B m R += ①2122B mgh mg R mv =⋅+， ②由①式可得: 224()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=±+⎢⎥⎢⎥⎣⎦因B v 只能取正值，即224()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦则2222min242()8R m g h R qB qB R m g ⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度h 至少应为多少?【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为 2BB v mg qv B qE m R++= ①21()(2)2B mg qE h R mv +⋅-= ②由①式可得: 24()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=±++⎢⎥⎣⎦因B v 只能取正值，即图7图 824()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦则222min42()()8()R m h R qB qB mg qE m mg qE R ⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦小结小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v 的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是0N =．【例6】如图9所示，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径0.2m R =的半圆，两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小35.010V/m E =⨯.一不带电的绝缘小球甲，以速度0v 沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。

临界问题

若题目中没有“球压紧锥面”这一条件，结果会怎样？ θ
θ
11.如图，两绳AC BC系一质量m=0.1kg 的小球，且AC绳长l=2m，两绳都拉直时与竖直轴的夹角分别为300和450，当小球以ω=4rad/s绕AB轴转动时，上下两绳拉力分别是多少？ ω ω ω ω A A A A B C B C B C B C
h
0
L
α 0’
15、如图所示，已知mA=2mB=2mC,它们距轴的关系是rA=rC=1/2rB,三物体与转盘表面的动摩擦因数相同，当转盘的转速逐渐增加时 A、物体A先滑动 B、物体B先滑动 A C B C、物体C先滑动 D、B与C同时开始滑动
15、如图所示，已知mA=2mB=2mC,它们距轴的关系是rA=rC=1/2rB,三物体与转盘表面的动摩擦因数相同，当转盘的转速逐渐增加时 A、物体A先滑动 B、物体B先滑动 A C B C、物体C先滑动 D、B与C同时开始滑动
O M
m
6.如图，半径为R的洗衣机圆筒，绕竖直中心 AB转动，小橡皮块a靠在圆筒内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使a不落下，则圆筒转动的角速度ω至少为多少？
A
a
B
7.如图所示，光滑平台上的小球A通过一根不可伸长的细绳穿过小孔系一个小球B，小球A的质量为mA=100g，A 球在平台上做匀速圆周运动，稳定后小球A的线速度为5m/s。A球到小孔的距离r=0.2m，求B球的质量。(取 g=10m/s2)
A
B
9.如图，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的摩擦不计。当碗绕竖直轴OO1匀速转动时，物体A在离碗底高为h处紧贴着碗随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度。

卫星变轨中的突变与渐变

卫星变轨中的突变与渐变卫星变轨涉及圆周运动的条件、牛顿第二定律、机械能守恒与变化等多方面知识，且卫星变轨存在突变与渐变，学生在对这两种变轨方式分析中混乱。

一、卫星圆周运动条件分析圆周运动的条件是物体受的指向圆心提供的向心力刚好等于期需要的向心力大小mv2/r，若两都不等物体将出现变轨。

对卫星圆周运动而言，其向心力是由万能引力提供的，在卫星周围运动中万有引力是不能主动改变的，要想变轨通常是卫星在圆周轨道上的速度发生变化，使其需要的向心力mv2/r不等于万有引力。

因速度变化存在突变与渐变，卫星变轨也分这种类型。

二、卫星轨道突变1、变轨原因——卫星突然加、减速卫星在圆周轨道正常圆周运动，万有引力刚好等于需要的向心力mv2/r。

若在此时卫星上的发动机突然加速一下，需要的万有引力mv2/r大于此时的万有引力，不能保持圆周运动的条件，卫星从圆周轨道1运动变为椭圆轨道2运动，且椭圆与圆外切于加速点P，如右图所示。

若卫星在1轨道上P点突然减速，则其轨道将变为与圆周轨道内切的椭圆轨道。

2、不同轨道上的加速度比较常比较P点处两轨道上的加速度，因在此处只受万有引力且相同，由牛顿第二定律得破口大卫星在两轨道上的P点加速度相同。

不能用向心加速度公式v2/r来比较，因为该公式用于圆周运动，不适用椭圆运动上的P点。

3、变轨前后机械能比较比较卫星不论是在1轨道还是在2轨道运动，在运动中只受万有引力作用，其在两个轨道上的机械能都各自守恒，但2轨道机械能大于1轨道机械能。

以P点为例，卫星在两轨道上与地球间的距离相同，万有引力势能相同，但v2v1，2轨道上的动能大于1轨道上的动能。

三、卫星轨道渐变1、变轨原因——卫星受大气微弱阻力卫星在高空运动中通常不计微小的空气阻力而在圆周轨道圆周运动，万有引力刚好等于需要的向心力mv2/r。

若考虑到微弱空气阻力影响，则在同一圆周轨道上运动的卫星速度减小而使需要的万有引力mv2/r小于此时的万有引力，不能保持圆周运动的条件，卫星从大圆周轨道渐变为小圆轨道。