2016年秋人教版八年级数学上典中点第十二章阶段强化专训一.doc

专训一：全等三角形判定的三种类型名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．

已知一边一角型

应用1一次全等型

1．在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.

(第1题)

2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.

求证：AD是△ABC的中线．

(第2题)

应用2二次全等型

3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.

(第3题)

4．如图所示，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证∠ABE＝∠ACE.

(第4题)

已知两边型

应用1一次全等型

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性．

(第5题)

应用2两次全等型

6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE.

(第6题)

7．如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠ADC＝∠AEB.

(第7题)

已知两角型

应用1一次全等型

8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.

(第8题)

应用2 两次全等型

9．如图，在△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠BAC ＝∠CDB ，∠ACB ＝∠DBC ，分别延长BA 与CD 交于点F.求证：BF ＝CF.

(第9题)

专训一

1．证明：∵BD ＝DC ，

∴∠DBC ＝∠DCB.

又∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠DBC ＝∠2＋∠DCB ，

即∠ABC ＝∠ACB.

∴AB ＝AC.

在△ABD 和△ACD 中，

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，BD ＝CD ，

∴△ABD ≌△ACD(SAS )．

∴∠BAD ＝∠CAD

∴AD 平分∠BAC.

2．证明：∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，

∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.

又∵∠BDE ＝∠CDF ，BE ＝CF ，

∴△DBE ≌△DCF.

∴BD ＝CD.∴D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线．

3．证明：过点A 作AM ⊥BC ，AN ⊥BD ，分别交BC ，BD 的延长线于点M ，N. ∴∠M ＝∠N ＝90°.

∵∠ACB ＝∠ADB ，

∴∠ACM ＝∠ADN.

在△ACM 和△ADN 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠M ＝∠N ，∠ACM ＝∠ADN ，AC ＝AD ，

∴△ACM ≌△ADN(AAS )．

∴AM ＝AN ，CM ＝DN.

在Rt △ABM 和Rt △ABN 中，

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AB ，AM ＝AN ，

∴Rt △ABM ≌Rt △ABN(HL )．

∴BM ＝BN.∴BM －CM ＝BN －DN ，即BC ＝BD.

4．证明：过E 作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ，

则∠AFE ＝∠AGE ＝90°.

在△AFE 和△AGE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠AGE ，∠FAE ＝∠GAE ，AE ＝AE ，

∴△AFE ≌△AGE(AAS )，

∴EF ＝EG.

在Rt △BFE 和Rt △CGE 中，

⎩

⎪⎨⎪⎧EB ＝EC ，EF ＝EG ， ∴Rt △BFE ≌Rt △CGE(HL )，

∴∠ABE ＝∠ACE.

5．解：BF ⊥AE.理由如下：

∵∠ACB ＝90°，

∴∠ACE ＝∠BCD ＝90°.

又∵BC ＝AC ，BD ＝AE ，

∴Rt △BDC ≌Rt △AEC(HL )．

∴∠CBD ＝∠CAE.

又∵∠CAE ＋∠E ＝90°，

∴∠EBF ＋∠E ＝90°.

∴∠BFE ＝90°，即BF ⊥AE.

6．证明：在△ABD 和△CBD 中

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，

∴△ABD ≌△CBD(SSS )．

∴∠ABE ＝∠CBE

在△ABE 和△CBE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，

∴△ABE ≌△CBE(SAS )．

∴AE ＝CE.

7．证明：过点B ，C 两点分别作CA ，BA 延长线的垂线，垂足分别为F ，G. 在△ABF 和△ACG 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠G ＝90°，∠FAB ＝∠GAC ，AB ＝AC ，

∴△ABF ≌△ACG(AAS )．

∴BF ＝CG.

在Rt △BEF 和Rt △CDG 中，

{BF ＝CG ，BE ＝CD ，

∴Rt △BEF ≌Rt △CDG(HL )．

∴∠ADC ＝∠AEB.

点拨：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

8．证明：∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°，

∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC.

∵AO 平分∠BAC ，∴OD ＝OE.

在△OBD 和△OCE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠DOB ＝∠OEC ，OD ＝OE ，∠OBD ＝∠COE ，

∴△BOD ≌△OCE(ASA )．

∴OB ＝OC.

9．证明：在△ABC 和△DCB 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠CDB ，∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝CB ，

∴△ABC ≌△DCB(AAS )．

∴AC ＝DB.

又∵∠BAC ＝∠CDB ，

∴∠FAC ＝∠FDB.

在△FAC 和△FDB 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠F ，∠FAC ＝∠FDB ，AC ＝DB ，

∴△FAC ≌△FDB(AAS )．

∴BF ＝CF.