2016年秋人教版八年级数学上典中点第十二章阶段强化专训一.doc
秋八年级数学上册 第十二章 全等三角形整合提升密码 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上册
全等三角形专训一：证明三角形全等的四种思路名师点金：全等三角形是初中几何的重要内容之一，是几何入门最关键的一步，学习了判定三角形全等的几种方法之后，如何根据已知条件证明三角形全等，掌握证明全等的几种思路尤为重要．条件充足时直接用判定方法1．(2014·某某)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证：AB∥CD.(第1题)条件不足时添加条件用判定方法2．(改编·某某)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．(第2题)非三角形问题中构造全等三角形用判定方法3．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1＝∠2，CA＝CB，求证：(1)∠3＋∠4＝180°；(2)OA＋OB＝2OM.(第3题)实际问题中建立全等三角形模型用判定方法4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DG＝BD，延长ED到F，使DF＝ED，连接FG，并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．(第4题)专训二：四种常见的几何关系的探究名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系．位置关系1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，＝AB.求证：AM⊥AN.(第1题)相等关系2．(2015·某某)已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”“＜”或“＝”号)(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BA＝GF.(第2题)和差关系3．如图，∠BCA＝α，CA ＝CB ，C ，E ，F 分别是直线CD 上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF ，BE ，AF 三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．(第3题)倍数关系4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC ，CB(或它们的延长线)于点E ，F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于点E 时(如图(1))，易证S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC ；当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需证明．(第4题)专训三：四类常见的热门题型名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等．全等三角形的性质与判定1．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有( ) A．3对B．2对C．1对D．0对(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则BF的长是( ) A．7 B．6 C．5 D．43．(2015·某某)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC 边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.(第3题)全等三角形性质与判定的实际应用4．某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，如图，设计时要测量隧道AB 的长度．恰好山的前面是一片空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖隧道的长度？请画出你设计的测量方法图并说明理由．(第4题)角平分线的性质与判定5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A．11 B．5.5 C．7 D(第5题)(第6题)6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则点P到三边的距离为________．7．(2014·黄冈)已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE ＝DF.(第7题)角平分线的性质与判定的实际应用8．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M ，要求M 到铁路OA ，OB 的距离相等，则该水厂M 应建在图中什么位置？请在图中标出点M 的位置．(第8题)答案专训一1．证明：在△AOB 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOB＝∠COD，OB ＝OD ，∴△AOB≌△COD.∴∠A＝∠C.∴AB∥CD.2．解：补充条件：EF ＝BC ，可使得△ABC≌△DEF.理由如下：∵AF＝DC ，点A ，F ，C ，D 在一条直线上，∴AF＋FC ＝DC ＋FC ，即AC ＝DF.∵BC∥EF，∴∠EFD＝∠BCA.在△DEF 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝BC ，∠EFD＝∠BCA，DF ＝AC ，∴△DEF≌△ABC(SAS )．点拨：答案不唯一．3．证明：如图，过C 点作CE⊥OB，交OB 的延长线于E 点，(1)∵∠1＝∠2，CM⊥OA，CE⊥OE，∴CE＝CM ，又∵CA＝CB ，∴Rt △BCE≌Rt △ACM(HL )．∴∠3＝∠CBE，∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.(第3题)(2)∵CE＝CM ，OC ＝OC ，∴Rt △OCE≌Rt △OCM(HL )．∴OE＝OM.由(1)知BE ＝AM ，∴OA＋OB ＝OM ＋AM ＋OB ＝OM ＋BE ＋OB ＝OM ＋OE ＝2OM.4．解：在△DEB 和△DFG 中，∵DB＝DG ，∠BDE＝∠GDF，DE ＝DF ，∴△DEB≌△DFG(SAS )．∴∠E ＝∠F，∴AE∥FH，∴∠DBA＝∠DGH.又∵DB＝DG ，∠ADB＝∠HDG.∴△ADB≌△HDG(ASA )，∴HG＝AB.专训二1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N.∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.(第1题)2．(1)＝(2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，(第2题)∵MN∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，易得∠GRC＝∠RGC，∴△CGR是等腰三角形．∴CG＝CR.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴四边形RCEH为平行四边形，∴CR＝EH. ∴CG＝HE.由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.易得∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.3．解：猜想：EF＝BE＋AF.证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，∠BCA＝α＝∠BEC，∴∠CBE＝∠ACF.又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.(第4题)4．解：在题图(2)中结论仍成立；在题图(3)中不成立．对于题图(2)证明如下：如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°.又∵∠A＝∠ABC，∠AMD＝∠BND＝90°，且易知DA＝DB，∴△ADM≌△BDN，∴D M＝DN.∵∠MDE＋∠EDN＝∠MDN＝90°，∠EDN＋∠NDF＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF.∴△DME≌△DNF.∴S 四边形DM ＝S 四边形DECF ＝S △DEF ＋S △CEF .由题图(1)可知S 四边形DM ＝12S △ABC ，∴S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC . 在题图(3)中，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 之间的关系是S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC .专训三1．A 2.C3．证明：∵AM＝2MB ，AN ＝2NC ，∴AM＝23AB ，AN ＝23AC. 又∵AB＝AC ，∴AM＝AN.∵AD 平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.又∵AD＝AD ，∴△AMD≌△AND(SAS )．∴DM＝DN.4．解：设计一：(1)过A 作线段AD⊥AB 于点A ；(2)过D 作DM⊥AD 于点D ；(3)取AD 的中点C ，连接BC 并延长，交DM 于点E ，则DE 就是隧道AB 的长度，如图①.理由如下： ∵AD⊥AB，ED⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°.又∵AC＝DC ，∠ACB＝∠D CE ，∴△ACB≌△DCE，∴ED＝AB.(第4题)设计二：如图①，第(2)步改为：作DM∥AB，其他步骤同作法一．理由如下：∵DM∥AB，∴∠A＝∠D.又∵∠ACB＝∠DCE，AC＝CD，∴△ACB≌△DCE，∴ED＝AB.设计三：(1)过A作线段AD；(2)取AD的中点C，连接BC并延长，使EC＝BC；(3)连接DE，则ED就是隧道AB的长度，如图②.理由如下：∵AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，∴△ACB≌△DCE，∴ED＝AB.设计四：(1)过A作射线AE，且使∠BAE为锐角；(2)过点B作BC⊥AE于点C；(3)在AE上截取CD＝CA；(4)连接BD，则BD就是隧道AB的长度，如图③.理由如下：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝∠DCB＝90°.又∵AC＝DC，BC＝BC，∴△ACB≌△DCB，∴BD＝AB.5．B6.37．证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是∠EAF的平分线．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.8．解：如图，作∠AOB的平分线交AB于点M，即M为水厂的位置．(第8题)。
人教版数学八年级上第十二章《全等三角形》巩固提高(Word版,含答案)
实验中学人教版数学八年级上 第十二章《全等三角形》巩固提高题号 一 二 三 四 五 总分第分一．选择题（共 9 小题）1．如图，△ABC ≌△AED ，点 E 在线段 BC 上，∠1＝40°，则∠AED 的度数是（）A ．70°B ．68°C ．65°D ．60°2．如果△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为 12，AB ＝3，BC ＝4，则 AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，AB ＝AC ，D ，E 分别是 AB ，AC 上的点，下列条件不能判断△ABE ≌△ACD 的是（）A ．∠B ＝∠CB ．BE ＝CDC ．AD ＝AED ．BD ＝CE4．如图，D 、E 、F 分别为△ABC 边 AC 、AB 、BC 上的点，∠A ＝∠1＝∠C ，DE ＝DF ，下面的结论一 定成立的是（）A ．AE ＝FCB ．AE ＝DEC ．AE +FC ＝ACD ．AD +FC ＝AB5．如图，AB ⊥CD ，且 AB ＝CD ，E 、F 是 AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若 CE ＝8，BF ＝6，AD ＝10，则 EF 的长为（）A ．4B ．72C ．3D ．526．如图，AD 是△ABC 的高，下列不能使△ABD ≌△ACD 的条件是（）A ．BD ＝CDB ．∠BAC ＝90° C ．∠B ＝∠CD ．AB ＝AC7．如图，AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ，①BE ＝BC ，②∠D ＝∠A ，③∠C ＝∠E ，④AC ＝DE ，能使△ABC ≌△DBE的条件有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点 D 到 AB 的距离等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．如图，OB 平分∠MON ，A 为 OB 的中点，AE ⊥ON ，垂足为点 E ，EA ＝3，D 为 OM 上的一个动点，C 是 DA 的 延长线与 BC 的交点，BC ∥OM ，则 CD 的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12二．填空题（共 10 小题）10．如图，△ABC ≌△DCB ，A 、B 的对应顶点分别为点 D 、C ，如果 AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，AC ＝10cm ，DO ＝3cm ，那么 OC的长是 cm ．11．如图，△ACB ≌△A ′CB ′，∠BCB ′＝37°，则∠ACA ′的度数为 ．12．如图，△ACF≌△ADE ，AC ＝6，AF ＝2，则 CE 的长 ．13．如图，点 P 是∠AOB 内一点，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为 E 、F ，若 PE ＝PF ，且∠OPF ＝72°， 则∠AOB 的度数为．14．如图所示，AB ＝AD ，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC ≌△ADE ， 则需添加的条件是．15．如图，AB ∥FC ，E 是 DF 的中点，若 AB ＝20，CF ＝12，则BD ＝ ．16．如图，AB ∥CD ，∠ABC 和∠DCB 的角平分线 BP ，CP 交于点 P ，过点 P 作PA ⊥AB 于 A ，交 CD 于 D ．若 AD＝10，则点 P 到 BC 的距离是 ，∠BPC ＝ °．17．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D ，DE ⊥AB 于点 E ，如果 AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，那 么 EB 的长为cm ，DE 的长为cm ．18．如图，∠C ＝90°，∠1＝∠2，若 BC ＝10，BD ＝6，则 D 到 AB 的距离为．19．如图，△ABC 的周长是 12，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于 D ，且 OD ＝3，则△ABC 的面积是 ．三．解答题（共 8 小题）20．如图，已知△ABE ≌△ACD ．（1）如果 BE ＝6，DE ＝2，求 BC 的长；（2）如果∠BAC ＝75°，∠BAD ＝30°，求∠DAE 的度数．21．如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数和 EC 的长．22．如图，△ACF ≌△ADE ，AD ＝9，AE ＝4，求 DF 的长．23．如图，在五边形 ABCDE ，∠BCD ＝∠EDC ＝130°，∠BAC ＝∠EAD ，AC ＝AD ．（1）求证：△ABC ≌△AED ；（2）当∠BAE ＝120°时，求∠B 的度数．24．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为边 BC 上的点，且 AB ＝AE ，D 为线段 BE 的中点，过点 E作 EF ⊥AE ，过点 A 作 AF ∥BC ，且 AF 、EF 相交于点 F ．（1）求证：∠C ＝∠BAD ；（2）求证：AC ＝EF ．25．如图，四边形 ABCD 中，∠B ＝90°，AB ∥CD ，M 为 BC 边上的一点，且 AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ．求 证：（1）AM ⊥DM ；（2）M 为 BC 的中点．26．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分 BC ，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 于 F ．（1）说明 BE ＝CF 的理由；（2）如果 AB ＝5，AC ＝3，求 AE 、BE 的长．27．如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于 E ，F 在 AC 上，BD ＝DF ，证明：（1）CF ＝EB ．（2）AB ＝AF +2EB ．参考答案与试题解析一．选择题（共9 小题）1．【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B 的度数，进而得出∠AED 的度数．【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE 中，∠B＝70°，∴∠AED＝70°，故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．2．【分析】根据全等三角形的周长相等求出△ABC 的周长，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF 的周长为12，∴△ABC 的周长为12，又AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键．3．【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA 添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A 为公共角，A、如添∠B＝∠C，利用ASA 即可证明△ABE≌△ACD；B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；C、如添加AD＝AE，利用SAS 即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BD＝CE，可证明AD＝AE，利用SAS 即可证明△ABE≌△ACD；故选：B．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．【分析】由三角形的外角性质和已知条件得出∠CDF＝∠AED，由AAS 证明△ADE≌△CFD 得出AE＝CD，AD ＝CF，得出AE+FC＝CD+AD＝AC，即可得出结论．【解答】解：∵∠A＝∠1，∠CDE＝∠1+∠CDF＝∠A+∠AED，∴∠CDF＝∠AED，在△ADE 和△CFD 中，A CADE CDFDE EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△CFD（AAS），∴AE＝CD，AD＝CF，∴AE+FC＝CD+AD＝AC，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键．5．【分析】由题意可证△ABF≌△CDF，可得BF＝DE＝6，CE＝AF＝8，可求EF 的长．【解答】证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴△ABF≌△CDF（AAS）∴BF＝DE＝6，CE＝AF＝8，∵AE＝AD﹣DE＝10﹣6＝4∴EF＝AF﹣AE＝8﹣4＝4，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．6．【分析】添加AB＝AC，∠B＝∠C，可得△ABC 是等腰三角形，再根据三线合一的性质可得BD＝CD，再利用SSS 定理可判定△ABD≌△ACD．【解答】解：当∠B＝∠C 时，可得AB＝AC，△ABD≌△ACD，或直接添加AB＝AC，∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，AB＝AC，∴BD＝CD，∵在△ABD 和△ADC 中AD ADBD CDAB AC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD（SSS），或直接添加BD＝CD，故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：∵AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵BE＝BC，利用SAS 可得△ABC≌△DBE；∵∠D＝∠A，利用ASA 可得△ABC≌△DBE；∵∠C＝∠E，利用AAS 可得△ABC≌△DBE；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．【分析】过点D 作DE⊥AB 于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，过点D 作DE⊥AB 于E，∵AC＝8，DC＝13 AD，∴CD＝8×113+＝2，∵∠C＝90°，BD 平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D 到AB 的距离为2．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM 时，CD 取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出AC ＝AD＝AE＝3，进而解答即可．【解答】解：由题意可得，当CD⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON，AE⊥ON 于点E，CD⊥OM，∴AD＝AE＝3，∵BC∥OM，∴∠DOA＝∠B，∵A 为OB 的中点，∴AB＝AO，在△ADO 与△ABC 中，B DOAAB AOBAC DAO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADO≌△ABC（SAS），∴AC＝AD＝3，∴CD＝AC+AD＝3+3＝6，故选：A．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC ＝AD＝AE＝3．二．填空题（共10 小题）10．【分析】根据全等三角形的性质得到DB＝AC＝10cm，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB，求出OB，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴DB＝AC＝10cm，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB，∴OB＝DB﹣DO＝7cm，∠OBC＝∠OCB，∴OC＝OB＝7cm，故答案为：7．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．11．【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠A′CB′，结合图形计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，即∠ACA′＝∠BCB′＝37°，∴∠ACA′＝37°，故答案为：37°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．【分析】CE 不是全等三角形的对应边，但它通过全等三角形的对应边转化为CE＝AC﹣AE，可利用已知的AC 与AE 的差求得．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，∴AE＝AF，∴AC﹣AE＝AC﹣AF，∴CE＝AC﹣AF＝6﹣2＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了全等三角形的对应边相等．难点在于根据图形得到线段AE＝AF，也是解决本题的关键．13．【分析】据到角的两边的距离相等的点在平分线上可得OP 是∠AOB 的角平分线，可得∠AOP＝∠BOP，即可求得∠AOB．【解答】解：∵点P 是∠AOB 内一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，若PE＝PF，∴OP 是∠AOB 的角平分线．∴∠AOP＝∠BOP．∴在Rt△OPE 中，∠AOP＝180°﹣∠OEP﹣∠OPE＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∴∠BOP＝18°∠AOB＝∠AOP+BOP＝18°+18°＝36°故答案为：36°【点评】此题主要考查了角平分线的性质和判定，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．14．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴根据SAS 只要添加AC＝AE 即可，根据ASA 只要添加∠B＝∠D 即可，根据AAS 只要添加∠C＝∠E 即可．故答案为：AC＝AE 或∠B＝∠DA 或∠ACB＝∠AED【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E 是DF 的中点，所以根据ASA 得出△ADE ≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF 的长，那么BD 的长就不难求出．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠EFC，∵E 是DF 的中点，∴DE＝EF，在△ADE 与△CFE 中，ADE EFCDE EFAED CEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF，∵AB＝20，CF＝12，∴BD＝AB﹣AD＝20﹣12＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键在于求证△ADE≌△CFE．16．【分析】作PH⊥BC 于H，根据角平分线的性质得到PA＝PH，PD＝PH，得到PA＝PD；证明Rt△ABP≌Rt△HBP，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】解：作PH⊥BC 于H，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PA⊥CD，∵BP 是∠ABC 的平分线，PA⊥AB，PH⊥BC，∴PA＝PH，同理，PD＝PH，∴PA＝PD＝5，则点P 到BC 的距离为5，在Rt△ABP 和Rt△HBP 中，PA PHPB PB=⎧⎨=⎩∴Rt△ABP≌Rt△HBP（HL）∴∠APB ＝∠HPB ， 同理，∠CPH ＝∠CPD ， ∴∠BPC ＝∠HPB +∠HPC ＝12×180°＝90°， 故答案为：5；90．【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．17．【分析】依据△ACD ≌△AED （AAS ），即可得到 AC ＝AE ＝6cm ，CD ＝ED ，再根据勾股定理可得AB 的长，进而得出 EB 的长；设 DE ＝CD ＝x ，则 BD ＝8﹣x ，依据勾股定理可得，Rt △BDE 中，DE 2+BE 2＝BD 2，解方程即可得到 DE 的长．【解答】解：∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠EAD ， 又∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ， ∴∠C ＝∠AED ＝90°， 又∵AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC ＝AE ＝6cm ，CD ＝ED ，∵Rt △ABC 中，AB 22AC BC 10（cm ），∴BE ＝AB ﹣AE ＝10﹣6＝4（cm ）， 设 DE ＝CD ＝x ，则 BD ＝8﹣x ， ∵Rt △BDE 中，DE 2+BE 2＝BD 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2， 解得 x ＝3， ∴DE ＝3cm ， 故答案为：4，3．【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及勾股定理的运用，利用直角三角形勾股定理列方程求解 是解决问题的关键．18．【分析】由已知条件首先求出线段 CD 的大小，接着利用角平分线的性质得点 D 到边 AB 的距离等于 CD 的大小， 问题可解．【解答】解：∵BC ＝10，BD ＝6，∴CD ＝4，∵∠C ＝90°，∠1＝∠2，∴点 D 到边 AB 的距离等于 CD ＝4， 故答案为：4．【点评】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；题目较为简单，属于基础题．19．【分析】过点 O 作 OE ⊥AB 于 E ，作 OF ⊥AC 于 F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 OE ＝OD＝OF ，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点 O 作 OE ⊥AB 于 E ，作 OF ⊥AC 于 F ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，∴OE ＝OD ＝OF ＝3，∴△ABC的面积＝12×12×3＝18． 故答案为：18．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 三．解答题（共 8 小题）20．【分析】（1）根据全等三角形的性质，可得出 BE ＝CD ，根据 BE ＝6，DE ＝2，得出 CE ＝4，从而得出 BC 的 长；（2）根据全等三角形的性质可得出∠BAE ＝∠CAD ，即可得出∠BAD ＝∠CAE ，计算∠CAD ﹣∠CAE 即得出答案．【解答】解：（1）∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∠BAE ＝∠CAD ， 又∵BE ＝6DE ＝2，∴EC ＝DC ﹣DE ＝BE ﹣DE ＝4，∴BC ＝BE +EC ＝10；（2）∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．21．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB 的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出∠DFE，全等三角形对应边相等可得EF＝BC，然后推出EC＝BF．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝BC，∴EF﹣CF＝BC﹣CF，即EC＝BF，∵BF＝2，∴EC＝2．【点评】本题主要考查了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，比较简单，熟记性质是解题的关键．22．【分析】DF 不是全等三角形的对应边，但它通过全等三角形的对应边转化为AD＝AC，而使AF+DF ＝AC﹣AE 可利用已知的AD 与AE 的差求得．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，∴AE＝AF，AD＝AC，∴AD﹣AF＝AD﹣AE，∴DF＝AD﹣AF＝AD﹣AE＝9﹣4＝5．【点评】本题主要考查了全等三角形的对应边相等．难点在于根据图形得到线段AE＝AF，也是解决本题的关键．23．【分析】（1）由“ASA”可证△ABC≌△AED；（2）由全等三角形的性质和五边形内角和，可求∠B 的度数．【解答】证明：（1）∵AC＝AD∴∠ACD＝∠ADC∵∠BCD＝∠EDC∴∠ACB＝∠ADE，且AC＝AD，∠BAC＝∠EAD∴△ABC≌△AED（ASA）（2）∵△ABC≌△AED∴∠B＝∠E∵∠B+∠E+∠BAE+∠BCD+∠EDC＝540°，且∠BAE＝120°，∠BCD＝∠EDC＝130°∴∠B＝∠E＝80°【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，多边形内角和，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．24．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD；（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D 为线段BE 的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD（2）∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．25．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即 AM ⊥DM ；（2）作 NM ⊥AD 交 AD 于 N ，∵∠B ＝90°，AB ∥CD ，∴BM ⊥AB ，CM ⊥CD ，∵AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ，∴BM ＝MN ，MN ＝CM ，∴BM ＝CM ，即 M 为 BC 的中点．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相 等是解题的关键．26．【分析】（1）连接 BD ，CD ，由 AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 于 F ，根据角平分线的 性质，即可得 DE ＝DF ，又由 DG ⊥BC 且平分 BC ，根据线段垂直平分线的性质，可得 BD ＝CD ，继 而可证得 Rt △BED ≌Rt △CFD ，则可得 BE ＝CF ；（2）首先证得△AED ≌△AFD ，即可得 AE ＝AF ，然后设 BE ＝x ，由 AB ﹣BE ＝AC +CF ，即可得方程5﹣x ＝3+x ，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：连接 BD ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵DG ⊥BC 且平分 BC ，∴BD ＝CD ，在 Rt △BED 与 Rt △CFD 中，CD BDDF DE =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴BE ＝CF ；（2）解：在△AED 和△AFD 中，90AED AFD EAD FAD AD AD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE ＝AF ，设 BE ＝x ，则 CF ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝3，AE ＝AB ﹣BE ，AF ＝AC +CF ，∴5﹣x ＝3+x ， 解得：x ＝1，∴BE ＝1，AE ＝AB ﹣BE ＝5﹣1＝4．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解 题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．27．【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点 D 到 AB 的距离＝点D 到 AC 的距离即 CD ＝DE ．再根据 Rt △CDF ≌Rt △EDB ，得 CF ＝EB ；（2）利用角平分线性质证明 Rt △ADC ≌Rt △ADE ，AC ＝AE ，再将线段 AB 进行转化．【解答】证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC ，在 Rt △CDF 和 Rt △EDB 中，BD DFDC DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △EDB （HL ）．∴CF ＝EB ；（2）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE ．在 Rt △ADC 与 Rt △ADE 中，CD DEAD AD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D 到AB 的距离＝点D 到AC 的距离，即CD＝DE，是解答本题的关键．。
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定3
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定3学习目标1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明老师告诉你证明一条相等等于两条线段的和的方法-----截长法、补短法1.截长法的基本思路就是在长线段上截取一段，使之等于其中一段，再证明剩下的线段等于另一短线段。
2.补短法的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段。
一、知识点拨知识点1 判定三角形全等的方法---角边角（ASA）(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).【新知导学】例1-1．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A=∠D，测得AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=100m,BF=30m,求池塘FC的长．【对应导练】1．小明利用一根长2m的竹竿来测量垂直于地面的路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP=2m,并测得∠APB=77°，然后把竖直的竹竿CD（CD=2m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD=13°，此时测得BD=8.5m.请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．2．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，且BF=EC．求证：△ABC≌△DFE．3．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠C=40°，求∠B的度数；（2）若AD平分∠BDE，求证：△ABC≌△ADE．知识点2 判定三角形全等的方法---角角边（AAS）（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.【新知导学】例2-1．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由．【对应导练】1．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE．2．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠E，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．3．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS=PS．求证：△MNS≌△SQP．知识点3判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.注意：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【新知导学】例3-1．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是____________（不添加任何辅助线）．【对应导练】1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC=EF，∠B=∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是_____（写出一个即可）．2．如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，请添加一个条件：_____，使△ABC≌△FED．3．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；④∠ABC=∠DEF．（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．二、题型训练1.利用角边角进行证明与计算1.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC求证：AC=DF．2 .如图，AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E．求证：CE=DE．2.利用角角边进行证明或计算3 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．4 .(1)如图1，在等腰直角∆ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于，求证：；(2)如图2，在等腰直角∆ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E ,AD=2.5cm，DF=2.7cm，求BE的长(3)(3)如图3，在平面直角坐标系中，A（-1,0），C（1,3），∆ABC为等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=BC，求点B坐标．3. 截长补短法证明一条相等等于两条线段的和5．已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 、BE 是角平分线，他们相交于P ，PF AD ⊥于P 交BC 的延长线于F ，交AC 于H .（1）求APB ∠的度数； （2）求证：AH BD AB +=；（3）连接DE ，是否存在数m ，使得ABP ABDE S mS =四边形△？若存在，求出m ；若不存在，说明理由.6．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.(1)解决问题：小敏的证明思路：在AC 上截取AE AB =，连接DE .(如图2) 小洁的证明思路：延长CB 至点E ，使BE AB =，连接AE .(如图3) 请你任意选择一种思路完成证明.(2)问题升华：如图4，在ABC △中，若2ACB B ∠=∠，90ACB ∠≠︒，AD 是ABC △外角CAF ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，则线段AB ，AC ，CD 之间的数量关系又如何？请证明.三、牛刀小试一、单选题（每小题4分，共32分）1．如图，在ABC △与AEF △中，点F 在BC 上，AB 交EF 于点D .AB AE =，30B E ∠=∠=︒，EAB CAF ∠=∠，80EAF ∠=︒，则FAC ∠=( )A.40︒B.60︒C.50︒D.70︒2．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ≌△△的是( )A.CB CD =B.BAC DAC ∠=∠C.BCA DAC ∠=∠D.90B D ∠=∠=︒3．如图，已知12∠=∠，添加一个条件，使得ABC ADC ≌△△，下列条件添加错误的是( )A.B D ∠=∠B.BC DC =C.AB AD =D.34∠=∠4．如图，点E 在AB 上，点F 在AC 上，BE CF =，B C ∠=∠，CE 与BF 相交点D ，连接AD ，则图中全等三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对5．如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去.A.①B.②C.③D.①和②6．ABC △的6个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC △全等的是( )A.只有乙B.只有丙C.甲和乙D.乙和丙7．如图，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与AD 交于点F ，5AD BD ==，则AF CD +的长度为( )A.10B.6C.5D.4.58．如图，点O 在AD 上，A C ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AB CD =，6AD =，2OB =，则OC 的长为( )A.2B.3C.4D.6二、填空题（每小题4分，共20分）9．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加下列条件中的一个：①A D ∠=∠，②AC DB =，③AB DC =，其中不能确定D ABC CB ≌△△的是_____（只填序号）.10．如图，在ABC △中，点D 在AB 边上，E 是AC 边的中点，//CF AB ，CF 与DE 的延长线交于点F ，若4AB =，3CF =，则BD 的长为_______.11．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，12∠+∠=______°.12．如图，已知ACB ACD ∠=∠，要用“ASA ”说明ABC ADC ≌△△，则需添加的一个条件是_____.13．如图，已知//AB CF ，E 为DF 的中点，若 11cm AB =，5cm CF =，则BD =________cm.三、解答题（共6小题，共48分）14．（8分）如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，//CD AB ，DE AC ⊥于点E ，且CE AB =.求证：CED ABC ≌△△..15．（8分）如图，AB 与CD 交于点O ，AD CB =，A C ∠=∠.求证：OB OD =.16．（8分）如图所示，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .（1）判断FC 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）若AB BC AD =+，判断BE 与AF 的位置关系，并说明理由.17（8分）．如图，已知AC AE =，BAD CAE ∠=∠，B ADE ∠=∠，求证：BC DE =.18．（8分）如图，四边ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB AC =，点E 是BD 上一点，且ABD ACD ∠=∠，EAD BAC ∠=∠.（1）求证：AE AD =；（2）若8BD =，5DC =，求ED 的长.19．（8分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，30ACD ∠=︒，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ，60MDN ∠=︒，连接MN .探究AM ，MN ，BN 三条线段之间的数量关系.慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM ，MN ，BN 三条线段之间的数量关系.慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，45ACD ∠=︒，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ，12MDN ADB ∠=∠，连接MN . （1）先猜想AM ，MN ，BN 三条线段之间的数量关系，再证明.（2）MDN ∠绕点D 旋转，当M ，N 分别在CA ，BC 的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM ，MN ，BN 三条线段之间的数量关系.请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答.人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定3学习目标1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
秋八年级数学上册 第十二章 全等三角形阶段强化专训 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上册
全等三角形专训一：全等三角形判定的三种类型名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．已知一边一角型应用1 一次全等型1．在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.(第1题)2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD 交AD的延长线于点F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的中线．(第2题)应用2 二次全等型3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.(第3题)4．如图所示，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证∠ABE ＝∠ACE.(第4题)已知两边型应用1 一次全等型5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性．(第5题)应用2 两次全等型6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE.(第6题)7．如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠ADC＝∠AEB.(第7题)已知两角型应用1 一次全等型8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC. (第8题)应用2 两次全等型9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.(第9题)专训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．翻折法1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C. (第1题)基础三角形法2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD 于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．(第3题)平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC 于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4题)倍长中线法5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值X围．(第5题)截长补短法6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.(第6题)专训三：角平分线中常用作辅助线的方法名师点金：因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形．作一边的垂线段1．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3 cm，求△ABC的面积．(第1题)作两边的垂线段2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，证明：PC＝PD.(第2题)延长作对称图形法3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD，求证：BD＝2AE. (第3题)截取作对称图形法4．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，求证：BE＋CF>EF. (第4题)专训四：六种常见的实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．利用三角形全等测量池塘两端的距离1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB ＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗？(第1题)利用三角形全等测量物体的内径2．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.(第2题)利用三角形全等判断三点共线3．如图，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M在BC的中点，试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？(第3题)利用三角形全等解决工程中的问题4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？(第4题)利用角平分线的性质求面积5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD 为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草各种植的面积.(第5题)利用角平分线的判定和性质设计方案6．如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处？(第6题)答案专训一1．证明：∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，BD ＝CD ，∴△ABD≌△ACD(SAS )．∴∠BAD＝∠CAD∴AD 平分∠BAC.2．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE ＝CF ，∴△DBE≌△DCF.∴BD＝CD.∴D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线．3．证明：过点A 作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC ，BD 的延长线于点M ，N.∴∠M＝∠N＝90°.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.在△ACM 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠M＝∠N，∠ACM＝∠ADN，AC ＝AD ，∴△ACM≌△ADN(AAS )．∴AM＝AN ，CM ＝DN.在Rt △ABM 和Rt △ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AB ，AM ＝AN ， ∴Rt △ABM≌Rt △ABN(HL )．∴BM＝BN.∴BM－CM ＝BN －DN ，即BC ＝BD.4．证明：过E 作EF⊥AB 于F ，EG⊥AC 于G ，则∠AFE＝∠AGE＝90°.在△AFE 和△AGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE＝∠AGE，∠FAE＝∠GAE，AE ＝AE ，∴△AFE≌△AGE(AAS )，∴EF＝EG.在Rt △BFE 和Rt △CGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧EB ＝EC ，EF ＝EG ，∴Rt △BFE≌Rt △CGE(HL )，∴∠ABE＝∠ACE.5．解：BF⊥AE.理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.又∵BC＝AC ，BD ＝AE ，∴Rt △BDC≌Rt △AEC(HL )．∴∠CBD＝∠CA E.又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.6．证明：在△ABD 和△CBD 中⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，∴△ABD≌△CBD(SSS )．∴∠ABE＝∠CBE在△ABE 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE＝∠CBE，BE ＝BE ，∴△ABE≌△CBE(SAS )．∴AE＝CE.7．证明：过点B ，C 两点分别作CA ，BA 延长线的垂线，垂足分别为F ，G.在△ABF 和△ACG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB ＝AC ，∴△ABF≌△ACG(AAS )．∴BF＝CG.在Rt △BEF 和Rt △CDG 中，{BF ＝CG ，BE ＝CD ，∴Rt △BEF≌Rt △CDG(HL )．∴∠ADC＝∠AEB.点拨：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴OD⊥AB，OE⊥AC.∵AO 平分∠BAC，∴OD＝OE.在△OBD 和△OCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DOB＝∠OEC，OD ＝OE ，∠OBD＝∠COE，∴△BOD≌△OCE(ASA )．∴OB＝OC.9．证明：在△ABC 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，BC ＝CB ，∴△ABC≌△DCB(AAS )．∴AC＝DB.又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.在△FAC 和△FDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F＝∠F，∠FAC＝∠FDB，AC ＝DB ，∴△FAC≌△FDB(AAS )．∴BF＝CF.专训二1．证明：如图，延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD 和△FBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD＝∠FBD，BD ＝BD ，∠ADB＝∠FDB＝90°，∴△ABD≌△FBD(ASA )．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.(第1题)2．证明：如图，过点B 作BG⊥BC 交CF 的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ACD≌△CBG(ASA )．∴∠ADC＝∠G，CD ＝BG.∵点D 为BC 的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BG ，∠DBF＝∠GBF，BF ＝BF ，∴△BDF≌△BGF(SAS )．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.(第2题)点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF 是解题的关键．3．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABH＝∠ADF＝90°，BH ＝DF ，∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF ，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD ＝90°.∵BE＋DF ＝EF ，∴BE＋BH ＝EF ，即HE ＝EF.在△AEH 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝12∠HAF＝45°. (第3题)点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，使AD 边与AB 边重合，得到△ABH.4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.∴OD＝OQ，AD＝AQ.又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴△DOB是等腰三角形．∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.∴∠BOP＝∠APB，∴△BOP是等腰三角形，∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.5．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝ED ，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.∴AC＝EB.∵AB＋BE>AE ，∴AB＋AC>2AD.(2)解：∵AB－BE<AE<AB ＋BE ，∴AB－AC<2AD<AB ＋AC.∵AB＝5，AC ＝3，∴2<2AD<8.∴1<AD<4.点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值X 围的问题转化为证全等，从而利用全等三角形的性质解决问题．(第6题)6．证明：如图，在BC 上取一点F ，使BF ＝BA.连接EF.∵CE，BE 分别平分∠BCD 和∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BF ，∠1＝∠2BE ＝BE ，∴△ABE≌△FBE(SAS )．∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.又∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.在△EFC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠6＝∠D，∠3＝∠4，EC ＝EC ，∴△EFC≌△EDC(AAS )，∴FC＝DC.∴BC＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.点拨：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．专训三1．解：连接OA ，过点O 作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E ，F.∵BO 是∠ABC 的平分线，且OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD ＝3 cm .同理OF ＝OD ＝3 cm .∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △ABO ＋S △ACO ＝12BC·OD＋12AB·OE＋12AC·OF＝12(BC ＋AB ＋AC)·OD＝12×20×3＝30(cm 2)．2．证明：如图，过点P 作PE⊥OA 于点E ，PF⊥OB 于点F ，∴∠PEC＝∠PFD＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.(第2题)在△PCE 和△PDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PCE＝∠PDF，∠PEC＝∠PFD，PE ＝PF ，∴△PCE≌△PDF(AAS )．∴PC＝PD.3．解：如图，延长AE 交BO 的延长线于点F.∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°.∵BD 平分∠ABO，∴∠ABE＝∠FBE.又∵BE＝BE ，∴△ABE≌△FBE.∴AE＝FE.∴AF＝2AE.∵∠AEB ＝∠AOB＝90°，∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.∴∠OAF＝∠OBD.又∵OA＝OB ，∠AOF＝∠BOD＝90°，∴△AOF≌△BOD(ASA )．∴AF＝BD.∴BD＝2AE.(第3题)4．证明：在AD 上截取DH ＝BD ，连接EH ，FH.∵A D 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ＝DH.∵DE 平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE.又∵DE＝DE ，∴△BDE≌△HDE(SAS )．∴BE＝HE.同理△CDF≌△HDF(SAS )．∴CF＝HF.在△HEF 中，∵HE＋HF>EF ，∴BE＋CF>EF.专训四1．解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠ACB＝∠ACD，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC(SAS )．所以AB ＝AD.(第2题)2．解：可设计如图所示的工具，其中O 为AC ，BD 的中点．在△AOB 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，∠AOB＝∠COD，BO ＝DO ，所以△AOB≌△COD(SAS )．所以AB ＝CD ，即CD 的长就是A ，B 间的距离．因为AB ＝a －2x ，所以x ＝a －AB 2＝a －CD 2. 3．解：三个石凳E ，M ，F 恰好在一条直线上．理由：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵M 是BC 的中点，∴BM＝CM ，在△BEM 和△CFM 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，∠B＝∠C，BM ＝CM ，∴△BEM≌△CFM(SAS )．∴∠BME＝∠CMF.又∵∠BMF＋∠CMF＝180°，∴∠BMF＋∠BME＝180°.∴三个石凳E ，M ，F 恰好在一条直线上．4．解：在△AOB 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠OAB＝∠OCD＝90°，AB ＝CD ，所以△AOB≌△COD(SAS )．所以∠AOB ＝∠COD.又因为∠AOB＋∠BOC＝180°， 所以∠BOC＋∠COD＝180°， 即∠BOD＝180°.所以D ，O ，B 三点在同一条直线上．所以钻头沿着DO 的方向打孔，一定从点B 处打出．5．解：过点D 作DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE＝DF.∵AB＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20×DE＋12×10×DF， 解得DE ＝DF ＝203m ， ∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)， △ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)． 答：一串红的种植面积是2003m 2，鸡冠花的种植面积是1003m 2. 点拨：本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质、三角形的面积及作辅助线，利用三角形的面积求出DE 的长度是解题的关键。
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定2
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定2学习目标1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.老师告诉你倍长中线法：遇到三角形的中线（中点）问题时，常将中线延长一倍（这种方法称倍长中线法），然后连接相应的顶点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的。
一、知识点拨知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）三角形全等的判定2：边角边（SAS）文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，．【新知导学】例1-1．生活中，我们在测量一个小口圆形容器内径时，常借用某些特制工具测量．如图所示，小青同学将钢条AD和钢条BC的中点O焊接在一起，制作了一把“X型卡钳”．小青同学测量出AB的长度时，就知道内径CD的长度．根据以上信息，你明白其中涉及的全等知识是（）A. SSSB. AASC. SASD.ASA【对应导练】1．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小依在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出它的长度．小铱认为CD的长度就是A，B间的距离，她是根据△OAB≌△OCD来判断的AB=CD，那么判定这两个三角形全等的依据是（）A. sssB. SASC. ASAD. AAS2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则EF的长度为_____．3．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，，，则________.知识点2 利用SAS进行推理证明①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等【新知导学】例2-1．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE=BC，AC=BD．求证：△ABC≌△BED．【对应导练】1．如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，证明：△ABD≌△ACD．2．如图，AF=DC，∠BCA=∠EFD，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE．知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，（2）隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定1
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章 全等三角形12.2 三角形全等的判定1学习目标1. 经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。
会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。
知道这样作图的理由。
2. 能利用“SSS ”进行有关的计算或证明。
发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。
老师告诉你用全等三角形探索线段的位置关系的方法线段的位置关系有平行和垂直，一般先应用全等三角形证明出相等的两个角，然后利用三角形内角和等于180°、等角的余角相等、邻补角的定义等，转化为具有特殊位置关系的两个角的关系，从而判断出两条直线的位置关系，最后确定两条线段的位置关系。
一、知识点拨知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS ）文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形： C'B'A'C B A符号：在ABC ∆与'''A B C ∆中，()'''''''''=⎧⎪=∴∆≅∆⎨⎪=⎩AB A B AC A C ABC A B C SSS BC B C证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论. 注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.【新知导学】例1-1 .如图，已知AD=BC ，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC ≌△BAD ；【对应导练】1 .如图，AC ＝FD ，BC ＝ED ，要利用“SSS ”来判定△ABC 和△FED 全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB ；②AB ＝FE ；③AE ＝BE ；④BF ＝BE ，可利用的是（ ）A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或④2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求．3.如图，AB AC =，DB DC =，EB EC =．（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来．（2）过点D 作DH BE ⊥，DG CE ⊥，垂足分别为H ，G ．求证：DG DH =． 知识点2 用尺规作一个角等于已知角已知：∠AOB ．求作： ∠A ′O ′B ′=∠AOB ．作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C 、D ；（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D ′；（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB ．【新知导学】例2-1 .用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）．【对应导练】1 . 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC BOC ∠=∠的依据是（ ）A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等∠=∠的依据是（）2.如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出12A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS3 .如图，已知∆ABC中∠C=45°,AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．知识点3 运用边边边定理证明和计算运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
人教版八年级数学上《第12章全等三角形》单元测试含解析初二数学试题.docx
第12章全等三角形一、选择题1.如图，G, E分别是正方形ABCD的边AB, BC的点，且AG二CE, AE丄EF, AE二EF,现有如下结论：①BE二~^GE；②厶AGE^AECF；③ZFCD二45°；④Z\GBE S AECHA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H, BE、AH交于点G,则下列结论：①AG丄BE；②BG二4GE；③S ABHE=S ACHD；④ZAHB=ZEHD.其中正确的个数是（）3.如图，点E, F在AC上，AD二BC, DF二BE,要使△ ADF^ACBE,还需要添加的一个条件是A. ZA二ZCB. ZD二ZBC. AD〃BCD. DF〃BE二、填空题4.如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB二2, BC二2頁，点E, F分别是线段AB, AD上的点，连接CE, CF.当ZBCE二ZACF,且CE二CF 时，AE+AF二 _______ .5.如图，在正方形ABCD中，如果AF二BE,那么ZAOD的度数是___________6.如图，Z\ABC 中，ZC二90° , CA二CB,点M 在线段AB±, ZGMB二*ZA, BG丄MG,垂足为G, MG 与BC 相交于点H.若MH=8cm,则BG二 ___ cm.7.如图，以AABC的三边为边分别作等边AACD、AABE V ABCF,则下列结论：①△EBF9A DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB二AC, ZBAC=120°时，四边形AEFD是正方形.其中正确的结论是 ______ ・（请写出正确结论的序号）.三、解答题8.如图，点C, E, F, B 在同一直线上，点A, D 在BC 异侧，AB//CD, AE二DF, ZA二ZD.(2)若ZACB 二90°，试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由.(1)求证：EC 二DA ； (2)若AC 丄CB ，试判断四边形AECD 的形状，并证明你的结论.(1)求证:AB 二CD. (2)若 AB 二CF, ZB 二30° ,求 ZD 的度数. B 点E 是AF 的中点，CF 〃AB.C 如图，点D 在 AB±,点E 在 AC 上，AB 二AC, AD 二AE.求证：BE 二CD. 10. 延长线于点巳连接AE.CD 是AB 边上的中线，F 是CD 的中点，过点C 作AB 的平行线交BF 的 【问题探究】12. (2015> 营口)（1）如图1,锐角AABC 中分别以AB 、AC 为边向外作等腰Z\ABE 和等腰ZkACD,使AE 二AB, AD 二AC, ZBAE 二ZCAD,连接BD, CE,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由.【深入探究】四边形 ABCD 中，AB 二7c 叫 BC 二3cm, ZABC=ZACD=ZADC=45°,求 BD 的长. 在（2）的条件下，当AACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长.13.如图，AABC 是等腰直角三角形，ZC 二90。
人教版数学八年级上第十二章《全等三角形》巩固提高(Word版,含答案)
实验中学人教版数学八年级上 第十二章《全等三角形》巩固提高题号 一 二三四五总分第分一．选择题（共 9 小题）1．如图，△ABC ≌△AED ，点 E 在线段 B C 上，∠1＝40°，则∠AED 的度数是（ ）A ．70°B ．68°C ．65°D ．60°2．如果△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为 12，AB ＝3，BC ＝4，则 A C 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，AB ＝AC ，D ，E 分别是 A B ，AC 上的点，下列条件不能判断△ABE ≌△ACD 的是（）A ．∠B ＝∠CB ．BE ＝CDC ．AD ＝AED ．BD ＝CE4．如图，D 、E 、F 分别为△ABC 边 A C 、AB 、BC 上的点，∠A ＝∠1＝∠C ，DE ＝DF ，下面的结论一 定成立的是（）A ．AE ＝FCB ．AE ＝DEC ．AE +FC ＝ACD ．AD +FC ＝AB5．如图，AB ⊥CD ，且 A B ＝CD ，E 、F 是 A D 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若 C E ＝8，BF ＝6，AD ＝10，则 E F 的长为（）A ．4B ．72C ．3D ．526．如图，AD 是△ABC 的高，下列不能使△ABD ≌△ACD 的条件是（）A ．BD ＝CDB ．∠BAC ＝90° C ．∠B ＝∠CD ．AB ＝AC7．如图，AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ，①BE ＝BC ，②∠D ＝∠A ，③∠C ＝∠E ，④AC ＝DE ，能使△ABC ≌△DBE的条件有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点 D 到 A B 的距离等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．如图，OB 平分∠MON ，A 为 O B 的中点，AE ⊥ON ，垂足为点 E ，EA ＝3，D 为 O M 上的一个动点，C 是 D A 的 延长线与 B C 的交点，BC ∥OM ，则 C D 的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12二．填空题（共 10 小题）10．如图，△ABC ≌△DCB ，A 、B 的对应顶点分别为点 D 、C ，如果 AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，AC ＝10cm ，DO ＝3cm ，那么 O C的长是 cm ．11．如图，△ACB ≌△A ′CB ′，∠BCB ′＝37°，则∠ACA ′的度数为 ．12．如图，△ACF ≌△ADE，AC ＝6，AF ＝2，则 C E 的长 ．13．如图，点 P 是∠AOB 内一点，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为 E 、F ，若 PE ＝PF ，且∠OPF ＝72°， 则∠AOB 的度数为．14．如图所示，AB ＝AD ，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC ≌△ADE ， 则需添加的条件是．15．如图，AB ∥FC ，E 是 D F 的中点，若 A B ＝20，CF ＝12，则 B D ＝ ．16．如图，AB ∥CD ，∠ABC 和∠DCB 的角平分线 B P ，CP 交于点 P ，过点 P 作 P A ⊥AB 于 A ，交C D 于 D ．若 A D＝10，则点 P 到 B C 的距离是 ，∠BPC ＝ °．17．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB 交B C 于点 D ，DE ⊥AB 于点 E ，如果 A C ＝6cm ，BC ＝8cm ，那 么 EB 的长为cm ，DE 的长为cm ．18．如图，∠C ＝90°，∠1＝∠2，若 B C ＝10，BD ＝6，则 D 到 A B 的距离为．19．如图，△ABC 的周长是 12，O B 、O C 分别平分∠ABC 和∠ACB ，O D ⊥BC 于 D ，且 O D ＝3，则△ABC 的面积是 ．三．解答题（共 8 小题）20．如图，已知△ABE ≌△ACD ．（1）如果 B E ＝6，DE ＝2，求 B C 的长；（2）如果∠BAC ＝75°，∠BAD ＝30°，求∠DAE 的度数．21．如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数和 E C 的长．22．如图，△ACF ≌△ADE ，AD ＝9，AE ＝4，求 D F 的长．23．如图，在五边形 A BCDE ，∠BCD ＝∠EDC ＝130°，∠BAC ＝∠EAD ，AC ＝AD ．（1）求证：△ABC ≌△AED ；（2）当∠BAE ＝120°时，求∠B 的度数．24．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为边 B C 上的点，且 A B ＝AE ，D 为线段 B E 的中点，过点 E作 E F ⊥AE ，过点 A 作 A F ∥BC ，且 A F 、EF 相交于点 F ．（1）求证：∠C ＝∠BAD ；（2）求证：AC ＝EF ．25．如图，四边形 ABCD 中，∠B ＝90°，AB ∥CD ，M 为 B C 边上的一点，且 A M 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ．求 证： （1）AM ⊥DM ；（2）M 为 B C 的中点．26．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分 B C ，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 于 F ．（1）说明 B E ＝CF 的理由；（2）如果 A B ＝5，AC ＝3，求 A E 、BE 的长．27．如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于 E ，F 在 A C 上，BD ＝DF ，证明：（1）CF ＝EB ．（2）AB ＝AF +2EB ．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B 的度数，进而得出∠AED 的度数．【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE 中，∠B＝70°，∴∠AED＝70°，故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．2．【分析】根据全等三角形的周长相等求出△ABC 的周长，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF 的周长为12，∴△ABC 的周长为12，又A B＝3，BC＝4，∴AC＝5，故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键．3．【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知A B＝AC，可根据全等三角形判定定理A AS、SAS、ASA 添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A 为公共角，A、如添∠B＝∠C，利用A SA 即可证明△ABE≌△ACD；B、如添B E＝CD，因为S SA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；C、如添加A D＝AE，利用S AS 即可证明△ABE≌△ACD；D、如添B D＝CE，可证明A D＝AE，利用S AS 即可证明△ABE≌△ACD；故选：B．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．【分析】由三角形的外角性质和已知条件得出∠CDF＝∠AED，由A AS 证明△ADE≌△CFD 得出A E＝CD，AD ＝CF，得出A E+FC＝CD+AD＝AC，即可得出结论．【解答】解：∵∠A＝∠1，∠CDE＝∠1+∠CDF＝∠A+∠AED，∴∠CDF＝∠AED，在△ADE 和△CFD 中，A CADE CDFDE EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△CFD（AAS），∴AE＝CD，AD＝CF，∴AE+FC＝CD+AD＝AC，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键．5．【分析】由题意可证△ABF≌△CDF，可得B F＝DE＝6，CE＝AF＝8，可求E F 的长．【解答】证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，且A B＝CD，∠AFB＝∠CED，∴△ABF≌△CDF（AAS）∴BF＝DE＝6，CE＝AF＝8，∵AE＝AD﹣DE＝10﹣6＝4∴EF＝AF﹣AE＝8﹣4＝4，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．6．【分析】添加A B＝AC，∠B＝∠C，可得△ABC 是等腰三角形，再根据三线合一的性质可得B D＝CD，再利用SSS 定理可判定△ABD≌△ACD．【解答】解：当∠B＝∠C 时，可得A B＝AC，△ABD≌△ACD，或直接添加A B＝AC，∵AD 是△ABC 的边B C 上的高，AB＝AC，∴BD＝CD，∵在△ABD 和△ADC 中AD ADBD CDAB AC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD（SSS），或直接添加B D＝CD，故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：∵AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵BE＝BC，利用S AS 可得△ABC≌△DBE；∵∠D＝∠A，利用A SA 可得△ABC≌△DBE；∵∠C＝∠E，利用AAS 可得△ABC≌△DBE；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．【分析】过点D作D E⊥AB 于E，求出C D，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，过点D作D E⊥AB 于E，∵AC＝8，DC＝13 AD，∴CD＝8×113+＝2，∵∠C＝90°，BD 平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点 D 到AB 的距离为2．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．【分析】根据两条平行线之间的距离可知当C D⊥OM 时，CD 取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出A C ＝AD＝AE＝3，进而解答即可．【解答】解：由题意可得，当C D⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON，AE⊥ON 于点E，CD⊥OM，∴AD＝AE＝3，∵BC∥OM，∴∠DOA＝∠B，∵A 为O B 的中点，∴AB＝AO，在△ADO 与△ABC 中，B DOAAB AOBAC DAO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADO≌△ABC（SAS），∴AC＝AD＝3，∴CD＝AC+AD＝3+3＝6，故选：A．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出A C ＝AD＝AE＝3．二．填空题（共10 小题）10．【分析】根据全等三角形的性质得到D B＝AC＝10cm，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB，求出O B，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴DB＝AC＝10cm，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB，∴OB＝DB﹣DO＝7cm，∠OBC＝∠OCB，∴OC＝OB＝7cm，故答案为：7．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．11．【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠A′CB′，结合图形计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，即∠ACA′＝∠BCB′＝37°，∴∠ACA′＝37°，故答案为：37°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．【分析】CE 不是全等三角形的对应边，但它通过全等三角形的对应边转化为C E＝AC﹣AE，可利用已知的A C 与A E 的差求得．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，∴AE＝AF，∴AC﹣AE＝AC﹣AF，∴CE＝AC﹣AF＝6﹣2＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了全等三角形的对应边相等．难点在于根据图形得到线段A E＝AF，也是解决本题的关键．13．【分析】据到角的两边的距离相等的点在平分线上可得O P 是∠AOB 的角平分线，可得∠AOP＝∠BOP，即可求得∠AOB．【解答】解：∵点P是∠AOB 内一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，若P E＝PF，∴OP 是∠AOB 的角平分线．∴∠AOP＝∠BOP．∴在R t△OPE 中，∠AOP＝180°﹣∠OEP﹣∠OPE＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∴∠BOP＝18°∠AOB＝∠AOP+BOP＝18°+18°＝36°故答案为：36°【点评】此题主要考查了角平分线的性质和判定，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．14．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴根据SAS 只要添加AC＝AE 即可，根据ASA 只要添加∠B＝∠D 即可，根据A AS 只要添加∠C＝∠E 即可．故答案为：AC＝AE 或∠B＝∠DA 或∠ACB＝∠AED【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是D F 的中点，所以根据A SA 得出△ADE ≌△CFE，从而得出A D＝CF，已知A B，CF 的长，那么B D 的长就不难求出．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠EFC，∵E 是D F 的中点，∴DE＝EF，在△ADE 与△CFE 中，ADE EFCDE EFAED CEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF，∵AB＝20，CF＝12，∴BD＝AB﹣AD＝20﹣12＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键在于求证△ADE≌△CFE．16．【分析】作P H⊥BC 于H，根据角平分线的性质得到P A＝PH，PD＝PH，得到P A＝PD；证明Rt△ABP≌Rt△HBP，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】解：作P H⊥BC 于H，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴P A⊥CD，∵BP 是∠ABC 的平分线，P A⊥AB，PH⊥BC，∴P A＝PH，同理，PD＝PH，∴P A＝PD＝5，则点P到B C 的距离为5，在R t△ABP 和R t△HBP 中，PA PHPB PB=⎧⎨=⎩∴Rt△ABP≌Rt△HBP（HL）∴∠APB ＝∠HPB ， 同理，∠CPH ＝∠CPD ， ∴∠BPC ＝∠HPB +∠HPC ＝12×180°＝90°， 故答案为：5；90．【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．17．【分析】依据△ACD ≌△AED （AAS ），即可得到 A C ＝AE ＝6cm ，CD ＝ED ，再根据勾股定理可得AB 的长，进而得出 EB 的长；设 D E ＝CD ＝x ，则 BD ＝8﹣x ，依据勾股定理可得，Rt △BDE 中，DE 2+BE 2＝BD 2，解方程即可得到 D E 的长．【解答】解：∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠EAD ， 又∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ， ∴∠C ＝∠AED ＝90°， 又∵AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC ＝AE ＝6cm ，CD ＝ED ，∵Rt △ABC 中，AB 22AC BC 10（cm ），∴BE ＝AB ﹣AE ＝10﹣6＝4（cm ）， 设 DE ＝CD ＝x ，则 B D ＝8﹣x ， ∵Rt △BDE 中，DE 2+BE 2＝BD 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2， 解得 x ＝3， ∴DE ＝3cm ， 故答案为：4，3．【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及勾股定理的运用，利用直角三角形勾股定理列方程求解 是解决问题的关键．18．【分析】由已知条件首先求出线段 CD 的大小，接着利用角平分线的性质得点 D 到边 AB 的距离等于 CD 的大小， 问题可解．【解答】解：∵BC ＝10，BD ＝6，∴CD ＝4，∵∠C ＝90°，∠1＝∠2，∴点 D 到边 AB 的距离等于 CD ＝4， 故答案为：4．【点评】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；题目较为简单，属于基础题．19．【分析】过点 O 作 O E ⊥AB 于 E ，作 O F ⊥AC 于 F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 O E ＝OD＝OF ，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点 O 作 O E ⊥AB 于 E ，作 O F ⊥AC 于 F ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，∴OE ＝OD ＝OF ＝3，∴△ABC 的面积＝12×12×3＝18． 故答案为：18．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 三．解答题（共 8 小题）20．【分析】（1）根据全等三角形的性质，可得出 B E ＝CD ，根据 B E ＝6，DE ＝2，得出 C E ＝4，从而得出 B C 的 长； （2）根据全等三角形的性质可得出∠BAE ＝∠CAD ，即可得出∠BAD ＝∠CAE ，计算∠CAD ﹣∠CAE 即得出答案．【解答】解：（1）∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∠BAE ＝∠CAD ， 又∵BE ＝6DE ＝2，∴EC ＝DC ﹣DE ＝BE ﹣DE ＝4，∴BC ＝BE +EC ＝10；（2）∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．21．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB 的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出∠DFE，全等三角形对应边相等可得E F＝BC，然后推出E C＝BF．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝BC，∴EF﹣CF＝BC﹣CF，即E C＝BF，∵BF＝2，∴EC＝2．【点评】本题主要考查了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，比较简单，熟记性质是解题的关键．22．【分析】DF 不是全等三角形的对应边，但它通过全等三角形的对应边转化为A D＝AC，而使AF+DF ＝AC﹣AE 可利用已知的A D 与A E 的差求得．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，∴AE＝AF，AD＝AC，∴AD﹣AF＝AD﹣AE，∴DF＝AD﹣AF＝AD﹣AE＝9﹣4＝5．【点评】本题主要考查了全等三角形的对应边相等．难点在于根据图形得到线段A E＝AF，也是解决本题的关键．23．【分析】（1）由“ASA”可证△ABC≌△AED；（2）由全等三角形的性质和五边形内角和，可求∠B 的度数．【解答】证明：（1）∵AC＝AD∴∠ACD＝∠ADC∵∠BCD＝∠EDC∴∠ACB＝∠ADE，且A C＝AD，∠BAC＝∠EAD∴△ABC≌△AED（ASA）（2）∵△ABC≌△AED∴∠B＝∠E∵∠B+∠E+∠BAE+∠BCD+∠EDC＝540°，且∠BAE＝120°，∠BCD＝∠EDC＝130°∴∠B＝∠E＝80°【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，多边形内角和，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．24．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得A D⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD；（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得A C＝EF．【解答】证明：（1）∵AB＝AE，D 为线段B E 的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD（2）∵AF∥BC∴∠F AE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B＝∠F AE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝EF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．25．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；（2）作N M⊥AD，根据角平分线的性质得到B M＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即 A M ⊥DM ；（2）作 N M ⊥AD 交 A D 于 N ，∵∠B ＝90°，AB ∥CD ，∴BM ⊥AB ，CM ⊥CD ，∵AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ，∴BM ＝MN ，MN ＝CM ，∴BM ＝CM ，即 M 为 B C 的中点．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相 等是解题的关键．26．【分析】（1）连接 BD ，CD ，由 AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 于 F ，根据角平分线的 性质，即可得 D E ＝DF ，又由 D G ⊥BC 且平分 B C ，根据线段垂直平分线的性质，可得 B D ＝CD ，继 而可证得 R t △BED ≌Rt △CFD ，则可得 B E ＝CF ；（2）首先证得△AED ≌△AFD ，即可得 A E ＝AF ，然后设 B E ＝x ，由 A B ﹣BE ＝AC +CF ，即可得方程5﹣x ＝3+x ，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：连接 B D ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵DG ⊥BC 且平分 B C ，∴BD ＝CD ，在 Rt △BED 与 Rt △CFD 中，CD BDDF DE =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴BE ＝CF ；（2）解：在△AED 和△AFD 中，90AED AFD EAD FAD AD AD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE ＝AF ，设 B E ＝x ，则 C F ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝3，AE ＝AB ﹣BE ，AF ＝AC +CF ，∴5﹣x ＝3+x ， 解得：x ＝1，∴BE ＝1，AE ＝AB ﹣BE ＝5﹣1＝4．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解 题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．27．【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点 D 到 A B 的距离＝点D 到 A C 的距离即 C D ＝DE ．再根据 R t △CDF ≌Rt △EDB ，得 C F ＝EB ；（2）利用角平分线性质证明 R t △ADC ≌Rt △ADE ，AC ＝AE ，再将线段 A B 进行转化．【解答】证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC ，在 R t △CDF 和 R t △EDB 中，BD DFDC DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △EDB （HL ）．∴CF ＝EB ；（2）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE ．在 R t △ADC 与 R t △ADE 中，CD DEAD AD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D 到AB 的距离＝点D 到AC 的距离，即CD＝DE，是解答本题的关键．。
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形本章小结与复习
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形本章小结与复习一、本章知识结构图一、知识点梳理知识点1. 全等三角形性质全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．典例剖析1例1．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则1∠与2∠的和为( )A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．100︒针对训练11.如图，已知ABC DEF ≌△△，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上.(1)若140BED ∠=︒，75D ∠=︒，求ACB ∠的度数； (2)若2BE =，3EC =，求BF 的长.2．如图，A ABC DE ≌△△，AC 和AE ，AB 和AD 是对应边，点E 在边BC 上，AB 与DE 交于点F .(1)求证：CAE BAD ∠=∠；(2)若35BAD ∠=︒，求BED ∠的度数.3．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形.4．如图，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE ≅△△.（1）求证：BC DE CE =+.（2）若90ACB ∠=︒，求证：//BC DE .5．如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且BAD ACE ≌，求证：BD CE DE =+.知识点2 全等三角形1．判定和性质 一般三角形直角三角形判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 典例剖析2例2.如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在BC 的延长线上，CE=AB ，∠BAC=∠BCA ，求证：AE=2AD 。
人教版八年级上册数学第十二章全等三角形知能提升训练(含答案)
与 △ DCE全等（ ）.
A. 5
B. 或3 5
C. 或3 8
D. 或5 8
10.如图是一块三角形的草坪， 现要在草坪上建一凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉
亭的位置应选在（
）
A. △ABC 的三条中线的交点 C. △ ABC 三条角平分线的交点
B. △ ABC 三边的中垂线的交点 D△. ABC 三条高所在直线的交点
11.如图，在三角形
中，
，
平分
交
于点 ，且
，
，则点 到
的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.如图，在 △ ABC中，∠ C=90°， BE 平分∠ ABC， DE⊥AB 于 D，如果 AC=2cm，那么 AE+DE等于（ ）
A. 2cm
二、填空题
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
13.已知： △ABC≌△ A′ B′，C∠′A=∠ A′，∠ B=∠ B′，∠ C=60° ， AB=16cm，则∠ C′ =________， ° A′ B′ =________cm. 14.如图，已知 △ ABC≌△ DEC，∠ E＝40°，∠ ACB=110°，则∠ D 的度数为 ________．
第十二章 全等三角形
一、选择题
1. 下列图形是全等图形的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.如右图， △ABC≌△ CDA， AB=4， BC=5， AC=6，则 AD 的长为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
3.如图， △ ABC≌△ CDA，并且 BC=DA，那么下列结论错误的是（
D. 不能确定 ）
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.1全等三角形
人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.1全等三角形学习目标1.了解全等形和全等三角形的概念.2.能够找出全等三角形的对应元素.3.掌握全等三角形的对应边、角相等.【重点】探究全等三角形的性质.【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.老师告诉你全等三角形的性质的作用：1.求角的度数2.证明两个角相等3.求线段的长度4.证明两条线段相等5.判断两条直线的位置关系一、知识点拨知识点1 全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.【新知导学】例1-1．如图所示的各组图形中，不是全等形的是（）A. B.C. D. 【对应导练】1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（）A. B.C. D.2．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A. B.C. D.3．下列说法正确的是（）A. 两个面积相等的图形一定是全等图形B. 两个正方形是全等图形C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形D. 两个全等图形的面积一定相等4．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是_____（填序号）．知识点2 全等三角形及其对应元素1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.对应边、对应角、对应顶点的定义：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.3. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.【新知导学】例2-1 .下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）例2-2 .已知ABC DEF ≌△△，且A ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，则下列说法中正确的是（ ）A ．AC 与DF 是对应边B ．AC 与DE 是对应边 C ．AC 与EF 是对应边D ．不能确定AC 的对应边【对应导练】1．如图，已知△ABC 三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC 全等的图形是（ ）A. 甲B. 乙C. 甲和乙D. 都不是2 .如图，如果△ABC ≌△CDA ，∠BAC=∠DCA ，∠B=∠D ，对于以下结论：①AB 与CD 是对应边；②AC 与CA 是对应边；③点A 与点A 是对应顶点；④点C 与点C 是对应顶点；⑤∠ACB 与∠CAD 是对应角， 其中正确的是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3 .如下图，AOC 与BOD 全等．用符号“≌”表示这两个三角形全等．已知A ∠与B ∠是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．知识点3 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等； （2）全等三角形的对应角相等；后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【新知导学】例3-1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）A. 60°B. 55°C. 65°D. 66°例3-2．如图，若△ABC ≌△DEF ，B ，E ，C ，F 四点在同一直线上，BC=7，CF=2，则EC 的长是（ ） A. 2 B. 3 C.5 D. 7例3-3．如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2． （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE ．【对应导练】1 .如图，ABC ADE △△≌，若80B ∠=︒，30C ∠=︒，:4:3DAB DAC ∠∠=，则EFC ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．70︒D ．80︒2．如图，△ABE ≌△DCE ，点E 在线段AD 上，点F 在CD 延长线上，∠F=∠A ，求证：AD ∥BF ．3．已知，如图∠B=90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE．4．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．（1）求证：∠CAE=∠BAD；（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．二、题型训练1.利用全等三角形性质判断两直线的位置1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．2.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．2..利用全等三角形求角度3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．（1）求证：∠CAE=∠BAD；（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．4．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=10，BC=4，∠D=30°，∠C=70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．3.利用全等三角形求周长5 .如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长．6．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4．（1）求∠CBE的度数．（2）求△CDP与△BEP的周长和．4.利用全等三角形判断图形形状7 .如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．(1)求∠BAC的度数；(2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．三、牛刀小试一、单选题（每小题4分，共32分）1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( )A. B.C. D.2．下图中全等的三角形是( )A.①和②B.②和④C.②和③D.①和③3．如图,ABC ADE ≌△△,且//AE BD ,94BAD ∠=︒,则BAC ∠的度数的值为( )A.84︒B.60︒C.48︒D. 43︒4．如图，ABC EBD ≌△△，4cm AB =，7cm BD =，则CE 的长度为( )A.4cmB.3cmC.2cmD.3.5cm5．如图，若ABC ADE ≌△△，则下列结论中一定成立的是( )A.AC DE =B.BAD CAE ∠=∠C.AB AE =D.ABC AED ∠=∠6．2.下列图形中是全等形的是( ) A.B.C. D.7．如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，ABC DEF ≌△△，8BC =，11.5BF =，则EC 的长为( )A.5B.4.5C.4D.3.58．三个全等三角形按如图的形式摆放,则123∠+∠+∠的度数是( )A.90︒B.120︒C.135︒D.180︒二、填空题（每小题4分，共20分）9．已知ABC DEF ≌△△，且DEF △的周长为6，若2AB =， 1.9BC =则DF 的长为_________.10．如图，D 在BC 边上，ABC ADE △△≌，70B ∠=︒，则EAC ∠的度数为______.11．如图，四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''，若90B ∠=︒，0C ∠=6︒，105D '∠=︒，则A '∠=____________°.12．如图，在平面直角坐标系中，AOB COD ≌△△，则点D 的坐标是__________.13．如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，延长BC 到点E ，使1cm CE =，连接DE ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AB BC CD DA →→→向终点A 运动.设点P 的运动时间为t 秒，当PBC △和DCE △全等时，t 的值为_____.三、解答题（共6小题，共48分）14．（8分）试在下列图形中，沿正方形的网格线（虚线）画线，将图形分割成两个全等的图形.15．（8分）如图，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE ≅△△.（1）求证：BC DE CE =+.（2）若90ACB ∠=︒，求证：//BC DE .16．（8分）如图，在ABC 中，10AB AC ==cm ，8BC =cm ，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm/s 的速度运动，设运动的时间为t s.（1）求CP 的长度（用含t 的代数式表示）；（2）若以点C ，P ，Q 为顶点的三角形和以点B ，D ，P 为顶点的三角形全等，且B ∠和C ∠是对应角，求a 的值.17．（8分）如图，ACF DBE ≌，其中点A ,B ,C ,D 在一条直线上.（1）若BE AD ⊥，62F ∠=︒，求A ∠的度数； （2）若9AD =cm ，5BC =cm ，求AB 的长.18．（8分）如图，已知ABC DBE ≅△△，点D 在AC 上，BC 与DE 交于点P .（1）若150ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，求CBE ∠的 度数.（2）若3cm AD DC ==， 4.5cm BC =，求DCP △与BPE △的周长之和. 19．如图，,,A D E BAD ACE ≅三点在同一直线上，且，△△试说明:(1);BD DE CE =+(2)//?ABD BD CE 满足什么条件时，△人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.1全等三角形学习目标1.了解全等形和全等三角形的概念.2.能够找出全等三角形的对应元素.3.掌握全等三角形的对应边、角相等.【重点】探究全等三角形的性质.【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.老师告诉你全等三角形的性质的作用：1.求角的度数2.证明两个角相等3.求线段的长度4.证明两条线段相等5.判断两条直线的位置关系四、知识点拨知识点1 全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.【新知导学】例1-1．如图所示的各组图形中，不是全等形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，是全等图形，B选项中圆与椭圆不可能完全重合，不是全等形．故选：B．【对应导练】1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据全等形的概念进行判断即可．解：A、长方形被对角线分成的两部分是全等形；B、正六边形被对角线分成的两部分是全等形；C、梯形被对角线分成的两部分不是全等形；D、圆被对角线分成的两部分是全等形，故选：C．2．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据全等图形的概念分析即可．解：A、该图象是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；B、该图象是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；C、该图象不是由全等图形构成，故该选项符合题意；D、该图象是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；故选：C．3．下列说法正确的是（）A. 两个面积相等的图形一定是全等图形B. 两个正方形是全等图形C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形D. 两个全等图形的面积一定相等【答案】D【解析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意；C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意；故选：D．4．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是_____（填序号）．【答案】（1）（4）（5）【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．解：5组图案，其中是全等形的是（1）（4）（5）．故答案为：是（1）（4）（5）．知识点2 全等三角形及其对应元素1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.对应边、对应角、对应顶点的定义：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A 和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.3. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.【新知导学】例2-1 .下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）【答案】①③【分析】先求出的度数，然后分析求解即可.【详解】解：在③中，，∴与①中的相等，并且两夹边对应相等，∴属于全等的2个图形是①③故答案为①③.【点评】本题考查了三角形全等的条件，熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键.例2-2 .已知ABC DEF ≌△△，且A ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，则下列说法中正确的是（ ）A ．AC 与DF 是对应边B ．AC 与DE 是对应边 C ．AC 与EF 是对应边D ．不能确定AC 的对应边【答案】A【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案． 解：A ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，C ∴∠和F ∠是对应角，AC ∴与DF 是对应边，故选A ．【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．【对应导练】1．如图，已知△ABC 三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC 全等的图形是（ ）A. 甲B. 乙C. 甲和乙D. 都不是【答案】C【解析】甲可根据ASA 判定与△ABC 全等；乙可根据AAS 判定与△ABC 全等，可得答案． 解：甲三角形夹b 边的两角分别与已知三角形对应相等，故甲与△ABC 全等；乙三角形50°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有70°内角，可根据AAS 判定乙与△ABC 全等； 则与△ABC 全等的有乙和甲， 故选：C ．2 .如图，如果△ABC ≌△CDA ，∠BAC=∠DCA ，∠B=∠D ，对于以下结论：①AB 与CD 是对应边；②AC 与CA 是对应边；③点A 与点A 是对应顶点；④点C 与点C 是对应顶点；⑤∠ACB 与∠CAD 是对应角， 其中正确的是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定． 【详解】解：△ABC ≌△CDA ，∠BAC=∠DCA ，∠B=∠D ． ①AB 与CD 是对应边．故①正确； ②AC 与CA 是对应边．故②正确； ③点A 与点C 是对应顶点．故③错误； ④点C 与点A 是对应顶点．故④错误； ⑤∠ACB 与∠CAD 是对应角．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个． 故选B ．3 .如下图，AOC 与BOD 全等．用符号“≌”表示这两个三角形全等．已知A ∠与B ∠是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．【答案】AOC BOD △△≌．对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠； 对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案． 解： AOC BOD △△≌． 因为A ∠与B ∠是对应角，所以其余的对应角是：AOC ∠与BOD ∠，ACO ∠与BDO ∠；对应边是；OA 与OB ，OC 与OD ，AC 与BD ．【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键．知识点3 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【新知导学】例3-1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（）A. 60°B. 55°C. 65°D. 66°【答案】C【解析】直接利用全等三角形的性质得出∠1=∠2进而得出答案．解：∵如图是两个全等三角形，∴∠1=∠2=180°-60°-55°=65°．故选：C．例3-2．如图，若△ABC≌△DEF，B，E，C，F四点在同一直线上，BC=7，CF=2，则EC的长是（）A. 2B. 3C.5 D. 7【答案】C【解析】利用全等三角形的性质可得BC=EF=7，再利用线段的和差关系计算即可．解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF=7，∴CF=2，∴EC=EF-CF=7-2=5，故选：C．例3-3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB ∥DE ．【解析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB ，根据全等三角形的性质得出AB=DE ，∠F=∠ACB ，即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF ，根据平行线的判定得出即可． 解：（1）∵∠A=85°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°， ∵△ABC ≌△DEF ，AB=8， ∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8， ∵EH=2， ∴DH=8-2=6；（2）证明：∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠DEF=∠B ， ∴AB ∥DE ．【对应导练】1 .如图，ABC ADE △△≌，若80B ∠=︒，30C ∠=︒，:4:3DAB DAC ∠∠=，则EFC ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．70︒D ．80︒【答案】C【分析】首先根据三角形内角和定理求出18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒，然后根据全等三角形的性质得到70DAE BAC ∠=∠=︒，30E C ∠=∠=︒，最后利用三角形外角的性质求解即可． 解：∵80B ∠=︒，30C ∠=︒，∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ∵:4:3DAB DAC ∠∠= ∴30DAC ∠=︒∵ABC ADE △△≌∴70DAE BAC ∠=∠=︒，30E C ∠=∠=︒ ∴40EAF DAE DAC ∠=∠-∠=︒∴70EFC E EAF ∠=∠+∠=︒． 故选：C ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．2．如图，△ABE ≌△DCE ，点E 在线段AD 上，点F 在CD 延长线上，∠F=∠A ，求证：AD ∥BF ．【解析】根据△ABE ≌△DCE 得到∠A=∠ADC ，然后利用∠F=∠A 得到∠F=∠EDC ，利用同位角相等，两直线平行证得结论．证明：∵△ABE ≌△DCE ， ∴∠A=∠ADC ， ∵∠F=∠A ， ∴∠F=∠EDC ， ∴AD ∥BF ．3．已知，如图∠B=90°，△ABC ≌△CDE ，B 、C 、D 三点共线．试说明：AC ⊥CE ．【解析】根据Rt △ABC ≌Rt △CDE 可得∠BCA=∠CED ，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD=90°，进而得到∠BCA+∠ECD=90°，再根据角之间的关系可得∠ACE=90°． 证明：∵∠B=90°，△ABC ≌△CDE ， ∴∠D=90°， ∴∠BCA=∠CED ， ∵△DCE 是直角三角形， ∴∠CED+∠ECD=90°， ∴∠BCA+∠ECD=90°， ∴∠ACE=180°-90°=90°， ∴AC ⊥CE ．4．如图，△ABC ≌△ADE ，AC 和AE ，AB 和AD 是对应边，点E 在边BC上，AB与DE交于点F．（1）求证：∠CAE=∠BAD；（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．【解析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，再求出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，求出∠BED=∠BAD即可．（1）证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠CAE=∠BAD；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D=∠B，∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，∴∠BED=∠BAD，∵∠BAD=35°，∴∠BED=35°．五、题型训练5.利用全等三角形性质判断两直线的位置1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．【解析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可．（2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可．证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（SAS），（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．2.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ADB=90°．【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．【详解】解：（1）∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=DE+CE；（2）△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，理由是：∵△BAD≌△ACE，∴∠E=∠ADB=90°，∴∠BDE=180°−90°=90°=∠E，∴BD∥CE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．6..利用全等三角形求角度3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．（1）求证：∠CAE=∠BAD；（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．【解析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，再求出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，求出∠BED=∠BAD即可．（1）证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠CAE=∠BAD；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D=∠B，∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，∴∠BED=∠BAD，∵∠BAD=35°，∴∠BED=35°．4．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=10，BC=4，∠D=30°，∠C=70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．【解析】（1）根据全等三角形的性质得到AB=DE=10，BE=BC=4，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE=10，BC=4，∴AB=DE=10，BE=BC=4，∴AE=AB-BE=6；（2）∵△ABC≌△DEB，∠D=30°，∠C=70°，∴∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°，∴∠ABC=180°-30°-70°=80°，∴∠DBC=∠ABC-∠DBE=10°．7.利用全等三角形求周长5 .如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长．【解析】直接利用全等三角形的性质得出AC=AD，进而得出答案．解：∵△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，∴AC=AD=12，AE=AF=5，∴DF=12-5=7．6．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4．（1）求∠CBE的度数．（2）求△CDP与△BEP的周长和．【解析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DBE，计算即可；（2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可．解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴∠ABD+∠CBE=132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE，∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度数为66°；（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，∴△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5．8.利用全等三角形判断图形形状7 .如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．(1)求∠BAC的度数；(2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．【答案】(1)90°(2)等腰直角三角形，8【分析】(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案．【详解】（1）解：∵BD⊥DE，∴∠D=90°，∴∠DBA+∠BAD=90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA=∠CAE∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠BAC=90°；（2）解：∵△ABD≌△CAE，∴AC=AB=4，又∵∠BAC=90°∴△ABC是等腰直角三角形，∴△ABC的面积=4×4÷2=8．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关键．六、牛刀小试一、单选题（每小题4分，共32分）1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( )A. B.C.D.【答案】：A解析：观察选项可知，选项B ，C ，D 中的虚线把图形分成全等的两部分， 故选：A.【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．下图中全等的三角形是( )A.①和②B.②和④C.②和③D.①和③【答案】D解析：A 、①和②，SA ，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； B 、②和④，5cm 分别是图②和图④30°的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意； C 、②和③，SA ，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意； D 、①和③，SAS ，两个三角形全等，符合题意； 故选D.【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．3．如图,ABC ADE ≌△△,且//AE BD ,94BAD ∠=︒,则BAC ∠的度数的值为( )A.84︒B.60︒C.48︒D. 43︒【答案】D解析:ABC ADE ≅△△,94BAD ∠=︒,AB AD ∴=,BAC DAE =∠∠,()118094432ABD ADB ∴∠=∠=⨯︒︒-=︒,//AE BD ,43DAE ADB ∴∠=∠=︒, 43BAC DAE ∴∠=∠=︒.故选:D.【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．4．如图，ABC EBD ≌△△，4cm AB =，7cm BD =，则CE 的长度为( )A.4cmB.3cmC.2cmD.3.5cm【答案】B解析：ABC EBD ≌△△，4cm AB BE ∴==，7cm BC BD ==，743(cm)EC BC BE ∴=-=-=.故选：B.【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．5．如图，若ABC ADE ≌△△，则下列结论中一定成立的是( )A.AC DE =B.BAD CAE ∠=∠C.AB AE =D.ABC AED ∠=∠【答案】：B解析：ABC ADE ≌△△，AC AE ∴=，AB AD =，ABC ADE ∠=∠，BAC DAE ∠=∠， BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠.故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B.【点拨】本题考查了全等三角形的性质，，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．6．2.下列图形中是全等形的是( ) A.B.C.D.【答案】：D解析：A.两个图形不能完全重合，不是全等形； B.两个图形不能完全重合，不是全等形； C.两个图形不能完全重合，不是全等形； D.两个图形能完全重合，是全等形； 故选：D.【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．7．如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，ABC DEF ≌△△，8BC =，11.5BF =，则EC 的长为( )A.5B.4.5C.4D.3.5【答案】：B 解析：8BC =，11.5BF =，3.5∴=-=，CF BF BCBC=，△△，8ABC DEF≌∴==，8EF BC∴=-=-=，EC EF CF8 3.5 4.5故选：B.【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．∠+∠+∠的度数是( )8．三个全等三角形按如图的形式摆放,则123A.90︒B.120︒C.135︒D.180︒【答案】D解析:如图所示:∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒,由图形可得:145862397540三个全等三角形,∴∠+∠+∠=︒,496180∠+∠+∠=︒,又578180∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,123180180540∴∠+∠+∠的度数是180︒.123故选:D.【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共20分）9．已知ABC DEF ≌△△，且DEF △的周长为6，若2AB =， 1.9BC =则DF 的长为_________. 【答案】2.1 解析：ABC DEF ≌△△，2AB =， 1.9BC =2DE AB ∴==， 1.9EF BC ==DEF △的周长为6，∴6 2.1DF EF DE =--=，故答案为：2.1.【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等。
八年级数学上册 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形同步训练 (新版)新人教版
第十二章全等三角形12.1__全等三角形__[学生用书P23]1．如图12-1-4所示，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )图12-1-4A．20° B．30°C．35° D．40°2．如图12-1-5所示，△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是( )图12-1-5A．∠1＝∠2 B．AC＝CAC．∠D＝∠B D．AC＝BC3．如图12-1-6，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( )A．5 B．4 C．3 D．2图12-1-64．[2016·成都]如图12-1-7，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝__ _．图12-1-75．如图12-1-8，△AOC≌△BOD，试证明AC∥BD.图12-1-86．如图12-1-9，已知△ABC≌△DCB.(1)分别写出它们的对应角和对应边；(2)请说明∠1＝∠2的理由．图12-1-97．[2016春·沈丘县期末]如图12-1-10，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2.图12-1-10(1)求AC的长度；(2)求证：CE∥BF.8．[2016·南安期末]如图12-1-11，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.(1)当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为__ __．(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°.①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．图12-1-11参考答案【知识管理】1．完全重合2．完全重合顶点边角全等于对应顶点3．相等相等【归类探究】例1AC的对应边是DE，AB的对应边是DF，CB的对应边是EF；∠A与∠D，∠C与∠DEF，∠ABC与∠F是对应角．例2 A【当堂测评】1．B 2.C 3.61°15【分层作业】1．B 2.D 3.A 4.120° 5.略6．(1)对应角是∠A和∠D，∠1和∠2，∠ABC和∠DCB，对应边是AB和DC，AC和DB，BC和CB；(2)理由：全等三角形的对应角相等．7．(1)AC＝5 (2)略8．(1)3 (2)∠DBC＝25°；∠AFD＝130°.。
人教版八年级数学上册 章节专项提高练习《第十二章 全等三角形》(含答案)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2020年人教版八年级数学上册章节专项提高练习《全等三角形》1.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC.延长AD到E点，使DE=AB.求证：(1)∠ABC=∠EDC；(2)△ABC≌△EDC.2.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1＋∠2.3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F.求证：AF平分∠BAC.4.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.5.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并进行证明.6.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．7.如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.(1)求证：MN=AM＋BN；(2)如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N(AM＞BN)，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由.8.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：AB+AD=2AE.9.（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.①求证：OE=BE；②若△ABC 的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.证明：(1)在四边形ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠B ＋∠ADC=180°.又∵∠CDE ＋∠ADC=180°. ∴∠ABC=∠EDC. (2)连接AC.在△ABC 和△EDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝ED ，∠ABC ＝∠EDC ，CB ＝CD ，∴△ABC ≌△EDC(SAS).2.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS). ∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2. ∵∠3=∠BAD ＋∠ABD ， ∴∠3=∠1＋∠2.3.证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）. ∵BD、CE 分别是高，∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）. ∴∠CEB=∠BDC=90°.∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∠DBC=90°﹣∠ACB. ∴∠ECB=∠DBC（等量代换）. ∴FB=F C （等角对等边）， 在△ABF和△ACF中，，∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），∴AF平分∠BAC.4.证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.5.证明：CD=BE，CD⊥BE，理由如下：因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.因为，所以△BAE≌△DAC(SAS).所以BE=DC，∠BEA=∠DCA.如图，设AE与CD相交于点F，因为∠ACF+∠AFC=90°，∠AFC=∠DFE，所以∠BEA+∠DFE=90°.即CD⊥BE.6.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB所以：△AEC ≌△AGB 所以：EC=BG=DG 所以：BD=2CE7.解：(1)证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACM ＋∠BCN=90°. 又∵AM ⊥MN ，BN ⊥MN ， ∴∠AMC=∠CNB=90°. ∴∠BCN ＋∠CBN=90°. ∴∠ACM=∠CBN.在△ACM 和△CBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACM ＝∠CBN ，∠AMC ＝∠CNB ，AC ＝CB ，∴△ACM ≌△CBN(AAS). ∴MC=NB ，MA=NC. ∵MN=MC ＋CN ， ∴MN=AM ＋BN.(2)(1)中的结论不成立，结论为MN=AM －BN. 理由：同(1)中证明可得△ACM ≌△CBN ， ∴CM=BN ，AM=CN. ∵MN=CN －CM ， ∴MN=AM －BN.8. (1)证明：∵AC 是角平分线，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∴CE=CF ，∠F=∠CEB=90°， 在Rt △BCE 和Rt △DCF 中，∴△BCE ≌△DCF ；(2)解：∵CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ， ∴∠F=∠CEA=90°， 在Rt △FAC 和Rt △EAC 中，，∴Rt △FAC ≌Rt △EAC ， ∴AF=AE ，∵△BCE ≌△DCF ， ∴BE=DF ，∴AB+AD=(AE+BE)+(AF ﹣DF)=AE+BE+AE ﹣DF=2AE.（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16(3)延长BA，证明P点在∠BAC外角的角平分线上（11分），从而得到2∠PAC+∠BAC=180°10.解：（1）∵|m﹣n﹣3|+=0，且|m﹣n﹣3|≥0，≥0∴|m﹣n﹣3|==0，∴n=3，m=6，∴点A（0，6），点B（3，0）；（2）连AP=t，OP=|6﹣t|，∴S=0.5OPOB=1.5|6﹣t|；（t≥0）（3）作出图形，∵∠OAB+∠OBA=90°，∠OAB+∠OPE=90°，∴∠OBA=∠OPE，∴只要OP=OB，即可求证△EOP≌△AOB，∴AP=AO+OP=9，∴t=9．。
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专训一：全等三角形判定的三种类型名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．
已知一边一角型
应用1一次全等型
1．在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.
(第1题)
2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．
(第2题)
应用2二次全等型
3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.
(第3题)
4．如图所示，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证∠ABE＝∠ACE.
(第4题)
已知两边型
应用1一次全等型
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你的猜想的正确性．
(第5题)
应用2两次全等型
6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE.
(第6题)
7．如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠ADC＝∠AEB.
(第7题)
已知两角型
应用1一次全等型
8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
(第8题)
应用2 两次全等型
9．如图，在△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠BAC ＝∠CDB ，∠ACB ＝∠DBC ，分别延长BA 与CD 交于点F.求证：BF ＝CF.
(第9题)
专训一
1．证明：∵BD ＝DC ，
∴∠DBC ＝∠DCB.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DBC ＝∠2＋∠DCB ，
即∠ABC ＝∠ACB.
∴AB ＝AC.
在△ABD 和△ACD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，BD ＝CD ，
∴△ABD ≌△ACD(SAS )．
∴∠BAD ＝∠CAD
∴AD 平分∠BAC.
2．证明：∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，
∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.
又∵∠BDE ＝∠CDF ，BE ＝CF ，
∴△DBE ≌△DCF.
∴BD ＝CD.∴D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线．
3．证明：过点A 作AM ⊥BC ，AN ⊥BD ，分别交BC ，BD 的延长线于点M ，N. ∴∠M ＝∠N ＝90°.
∵∠ACB ＝∠ADB ，
∴∠ACM ＝∠ADN.
在△ACM 和△ADN 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠M ＝∠N ，∠ACM ＝∠ADN ，AC ＝AD ，
∴△ACM ≌△ADN(AAS )．
∴AM ＝AN ，CM ＝DN.
在Rt △ABM 和Rt △ABN 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AB ，AM ＝AN ，
∴Rt △ABM ≌Rt △ABN(HL )．
∴BM ＝BN.∴BM －CM ＝BN －DN ，即BC ＝BD.
4．证明：过E 作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ，
则∠AFE ＝∠AGE ＝90°.
在△AFE 和△AGE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠AGE ，∠FAE ＝∠GAE ，AE ＝AE ，
∴△AFE ≌△AGE(AAS )，
∴EF ＝EG.
在Rt △BFE 和Rt △CGE 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧EB ＝EC ，EF ＝EG ， ∴Rt △BFE ≌Rt △CGE(HL )，
∴∠ABE ＝∠ACE.
5．解：BF ⊥AE.理由如下：
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACE ＝∠BCD ＝90°.
又∵BC ＝AC ，BD ＝AE ，
∴Rt △BDC ≌Rt △AEC(HL )．
∴∠CBD ＝∠CAE.
又∵∠CAE ＋∠E ＝90°，
∴∠EBF ＋∠E ＝90°.
∴∠BFE ＝90°，即BF ⊥AE.
6．证明：在△ABD 和△CBD 中
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，
∴△ABD ≌△CBD(SSS )．
∴∠ABE ＝∠CBE
在△ABE 和△CBE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，
∴△ABE ≌△CBE(SAS )．
∴AE ＝CE.
7．证明：过点B ，C 两点分别作CA ，BA 延长线的垂线，垂足分别为F ，G. 在△ABF 和△ACG 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠G ＝90°，∠FAB ＝∠GAC ，AB ＝AC ，
∴△ABF ≌△ACG(AAS )．
∴BF ＝CG.
在Rt △BEF 和Rt △CDG 中，
{BF ＝CG ，BE ＝CD ，
∴Rt △BEF ≌Rt △CDG(HL )．
∴∠ADC ＝∠AEB.
点拨：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
8．证明：∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°，
∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC.
∵AO 平分∠BAC ，∴OD ＝OE.
在△OBD 和△OCE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠DOB ＝∠OEC ，OD ＝OE ，∠OBD ＝∠COE ，
∴△BOD ≌△OCE(ASA )．
∴OB ＝OC.
9．证明：在△ABC 和△DCB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠CDB ，∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝CB ，
∴△ABC ≌△DCB(AAS )．
∴AC ＝DB.
又∵∠BAC ＝∠CDB ，
∴∠FAC ＝∠FDB.
在△FAC 和△FDB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠F ，∠FAC ＝∠FDB ，AC ＝DB ，
∴△FAC ≌△FDB(AAS )．
∴BF ＝CF.。