2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）

1.已知向量(()

,AP PB ==u u u r u u u r ，则向量AP u u u r 与AB u u u r

的夹角等于 ．

答案：

4

π 2.已知集合()(){}|10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈∉，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(]11,2,3.32⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

U

3.已知复数2cos sin

33

z i ππ

2=+，其中i 是虚数单位，则32z z += ．

答案：1.2

4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左，右焦点，P

是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率为 ．

答案：5．

5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ． 答案：3.

6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ．

答案：.⎫

+∞⎪⎪

⎝⎭

7.若tan 4x sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x x

x x x x x x x

+++= ．

8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动，其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．

9.设数列12321,,,,a a a a L 满足：()111,2,3,,20n n a a n +-==L ，1721,,a a a 成等比数列．若1211,9a a ==，则满足条件的不同的数列的个数为 ．

答案：15099．

10.对于某些正整数n ，分数

22

37

n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ．

答案：17. 二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11.设数列{}n a 满足：①11a =，②0n a >，③2

*11,.1

n n n na a n N na ++=

∈+ 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；

（2）对如图任意正整数n ，111.n

n k a k

=<+∑

证明：（1）因为211

1111,11

n n n n n n n na a a a a na na ++++++-=-

=++且0n a >， 所以10n n a a +->．所以*1,.n n a a n N +>∈ 所以数列{}n a 是递增数列． （2）因为111111

,1n n n n n n a a a a na na n

+++++-=<=+

所以当2n ≥时，

()()()1122111111111221

1

1.

n n n n n n

k a a a a a a a a n n k ---==-+-++-+<

+++++--<+∑L L

又1111,a =<+所以对任意正整数n ，11

1.n

n k a k

=<+∑

12.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>，直线:30.l x y a +-=若椭圆

E

，原点O 到直线l

的距离为 （1）求椭圆E 与直线l 的方程；

（2）若椭圆E 上三点()(),0,,,0P A b B a 到直线l 的距离分别为123,,d d d ， 求证：123,,d d d 可以是某三角形三条边的边长．

解：（1

）由题设条件得222,c

a b c a =⎪⎪=⎨⎪

⎪+=⎪⎪⎩

，从而2,1.a b =⎧⎨=⎩

故所求的椭圆2

2:14

x E y +=．直线:60.l x y +-=

（2）设()2cos ,sin P θθ

，则

16d θϕ-+=

其中tan 2.ϕ=

1d ≤≤

又23d d =

== 故21.d d

>

因为231,d d d +=+>≥

131.d d d +≥

= 所以123,,d d d 可以是某个三角形的三条边的边长．

13.如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为,,,,P Q R S OA 与PS 交于点1,A OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ．

求证：四边形1111A B C D 是平行四边形．

证明：连接,.PR QS

因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆，所以OA 是SAP ∠的平分线，且.AP AS = 在△ASP 中，由三线合一，点1A 是线段PS 的中点． 同理点1B 是线段PQ 的中点，所以11//A B SQ ．

O

D 1

C 1

B 1

A 1

S

R

Q

P

D

C

B

A

O

D 1

C 1

B 1

A 1

S

R

Q

P

D

C

B

A