第九章 静电场

q2
E
dS
Φe
1
E
S
dS
i(内） S
Ei
dS
0
n
qiin
i 1
s qi
·35 ·
三、高斯定理
E dS
1
S
0
n
qiin
i 1
Gauss 德国
在真空中的静电场中，穿过任意闭合面的电场强度通量
等于该闭合面内包围的电荷的代数和除以
0
。
dS
E
说明：e与高斯面的形状无关，
只与内部电荷量有关。
o
E
B
B
R o
A
C
E R2
E R2 cos 30
3 E R2
2
0
·32 ·
例 求匀强电场中通过此三棱柱体的电场强度通量 .
解：
e
de
E dS
S
e e前 e后 e左 e右 e下
e前 e后 e下 0
y
P
N en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
e左 E S左 ES左 cos -ES左
q1
2 0 a 2
方向: 水平向左（如图所示）
·14 ·
例 电偶极子
-q
r0
+q
电偶极矩
p qr0
（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度
q O q
x r0 2 r0 2
E
A
E
x
E
1
4π 0
q (x r0
E
1
4π 0
q (x r0
x r0
2)2 i
2)
2
i
E
E E
1
4π 0
·28 ·
§9-4 电场强度通量 高斯定理
一、电场线:电场的图示。
用一簇空间曲线形象描述场强
+q
分布, 这些曲线称为电场线。
电场线的切线方向为该点电场
强度的方向。
说明：
-q
（1）电场线不真实存在；
（2）电场线不给出定量描述；
（3）电场线起始于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷（或无穷远）；
（4）电场线不闭合；
x 2R
2
·26 ·
例 有一半径为R,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为σ. 求 通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度.
解：
提示：带电细圆环电场强度E 1
qx
40 (R2 x2 )3/ 2
dE
1
4 0
dq x (r2 x2 )3/2
x 2 0
(r 2
rdr x2 )3/2
E dE x
Shanghai Institute of Technology
Chapter 9
静电场
上海应用技术学院 理学院 谭默言
§9-1、§9-2 、 §9-3 教学基本要求
掌握库仑定律，能够计算点电荷间的相互作用
掌握电场强度的概念
E
，能够计算点电荷系的
电场强度
掌握电场强度叠加原理，能够计算连续带电体 周围的电场强度
·37 ·
例题：如图所示，选取高斯面S ，
在P、A 处分别放置点电荷q2、 q1，D 位于P、A 连线与高斯面S
的交点上，PD＝DA＝d
q2 PD
·· ·
q1 A
求：（1）若q2＝q1＝q， D 点的电场强度E＝___0___，
q
通过高斯面S的电通量Φe＝____o____，
（2）若把q2 为-q，则D点的电场强度E
Φe外
E dS 0
S
q
点电荷系：Φe
E
S
dS
Φe内
Φe外
i (内）
S
Ei
dS
i（外）
S
Ei
dS
i(内） S Ei dS
q1
q2
s qi
E
dS
·34 ·
点电荷位于球面中心
E
4π
q
0r 2
Φe
E dS
S
S
4
q
π 0r 2
dS
dS
+
q
0
点电荷系通过闭合曲面的电场强度通量：q1
q+r
S
·36 ·
高斯定理
说明：
E dS
1
S
0
n
qiin
i 1
1）高斯面是人为选择的封闭曲面； 2）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正；
3）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度；
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献；
5）静电场是有源场；
6）即适用于静电场，又适用于变化的电场。
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
4π 0
2r0q x3
i
(
x2
2xr0 r02
4)2
i
·15 ·
（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度
1 q
E E
E E
E
44π41π4π1π0100rq30rrq3(r2y(qy2ejejr20r20ii))
1
4 π0
qr0 i ( y2 r02 )3/ 2
4
E y
E B
dE 1 dq
4 π0 r2
3、选择坐标，将场强dE分解为X、Y分量dEx、dEy
dEx dE cos
dEy dE sin
4、计算场强的X、Y分量Ex、Ey
Ex dEx dE cos Ey dE sin
5、矢量合成，计算合场强 E = Exi Ey j
·22 ·
电荷的线密度:
dq
S左
e右 E S右 ES右 cos ES左
S右
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
·33 ·
点电荷的电场对任意闭合曲面的电场强度通量
闭合面内的点电荷发出的电场线全部
一次穿过该闭合面：
Φe内
E dS
S
+
闭合面外的点电荷发出的电场线不穿过或
两次穿过该闭合面：
求： 电子与质子间电相互作用和万有引力
解： me 9.11031kg e 1.61019 C
mp 1.67 1027 kg G 6.67 1011 N m2 kg2
Fe
1
4π 0
e2 r2
8.1106 N
Fe 2.27 1039
Fg
G
memp r2
3.7 10-47 N
Fg
（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）
二 库仑定律
F
1
4 0
q1q2 r2
er
d
er
r
r ，指向受力电荷的单位矢量
0 ：真空电容率
0=8.8510-12C2·m-2 ·N-1
r
观察点 P
库仑 1736-1806 法国
·4 ·
讨论：电荷q2受到的库仑力
q1
q2
F
1
4 0
q1q2 r2
er
库仑力的大小：
F
1
4 0
q1q2 r2
2 0
R rdr 0 (r2 x2 )3/2
x 1
1
[
2 0
x2 (R2 x2 )1/ 2 ]
x 1
1
E [
2 0
x2 (R2 x2 )1/ 2 ]i
dq 2rdr
R
dE
rO
x P
dr
·27 ·
§9-4 教学基本要求
理解电场线的概念; 掌握电通量的计算； 掌握高斯定理，能够熟练应用。
en
·30 ·
1、 均匀电场中： e ES
2、 非均匀场中：e
de
E dS
S
3、对闭合曲面：e
de
E dS
S
en
S
E
E
dS
en
E
·31 ·
例求：通在过均A匀CB电半场球中面取的一电个通半量径为为多R少的?半球e 面EA CS B ，ES cos
A。
CR
o
E
B
A。
60
CR
库仑力的方向：1.沿着两点电荷连线
r q1 er
d
r q1
er
q2
F
q2
F
2.同号电荷相排斥 3.异号电荷相吸引
·5 ·
说明：
1.库仑定律只适用于点电荷。
2.库仑定律是矢量式。
3.库仑力遵守牛顿第三运动定律。
n
4.库仑力遵守矢量叠加法则 F合 Fi 。
i 1
·6 ·
例： 在氢原子内,电子和质子的间距为 5.31011m
+q Ex 4E1 cos 60 2E1 0
Ey 2E1 sin 60 2E1 sin 60 0
-q
-q
Ex
+q
4E1 cos 60
q
2 0a 2
Ey 0
-q
2q
E1
2q
40
2 2
2
a
q
0a2
2q
E0
2q
2q
E
2
q
40
2 2
2
a
q
0a 2
2q
q
方向如图所示，与X轴夹角为-135
-q
2q
连续带电体电场强度的计算：
将带电体分成很多元电荷 dq,先求出它在任意场点 p 的场强
1 dq
dE 4 0 r 2 er
对场源求积分，可得总场强：
1 dq
E dE
4 0
r 2 er
r
dE
P
dq
·21 ·
连续带电体的电场强度的计算步骤：
1、取电荷元dq
2、计算电荷元dq在场点处场强dE的大小和方向
y dq dl ( q )
qR
r
2π R
P
x
o
z
x
dE
1
4π 0
dl
r2
er
E
l dEx l dE
2π R xdl
0 4π 0r3
cos
4
π
0
dl 40r 2
qx (x2 R
x r
2 )3 2
讨论:（1）x R
E
4
q
π 0 x2
（2）x = 0
E0 0
（3）dE 0 dx
·7 ·
例：边长为a的正方形四个顶点上有图示的点电荷
求：左下角的电荷所受的电场力。
解：
F1
1
4 0
q 2q a2
q2
2 0 a 2
F2
1
4 0
q 4q
2
2a
q2
2 0 a 2
F3 Fx
1 q 2q
40 a2
F2 cos 45
q2
F3220aq220a2
2 2
1
q2 2
Fy F2 sin 45 F1 20a2 2 1
E
F
q0
说明:
1. 电场强度是描述电场强弱的物理量。
2. 电场强度是矢量,电场是矢量场，方向 与处于该点的正电荷受力方向一致。
3. 电场强度的单位： N·C-1 或者V·m-1
·10 ·
例：把一个点电荷（ q 62）1放0在9 C电场中某点处，该
电荷受到的电场力为
F 3.2106i 1.3106 j(N)
EBx E1 cos 450 E2
E1y E1
EBy E1 sin 450
EB
( 2q1
160a
2
q2
40a
2
)i
2q1
160a2
j
例 求下列各图中心处的场强
+q
-q
2q
2q
-q
+q
+q
-q
+q
-q
2q
2q
2q
q
+q
+q
+q
-q
-q
2q
+q -q
+q +q +q +q
-q
E1
q
4 0a 2
，求该电荷所在处的电场强度.
解：E
F
(51.6i 21.0 j )N C1
q
y
q
F
o x
E
大小： E E (51.6)2 (21.0)2 N C1 55.71N C1
方向： arctan Ey 22.1
Ex
三、点电荷的电场强度
EQ
F q0
1
40
Qq0 r2
er
1
·2 ·
§9-1 电荷的量子化 电荷守恒定律
一 电荷的量子化
电荷量子化；q ne (n 1,2,3) 电子电荷 e 1.6021019C
• 宏观带电体的带电量qe，准连续
密立根
二 电荷守恒定律 在孤立系统中,系统的电荷的代数和保持不变.
·3 ·
§9-2 库仑定律
一 点电荷模型 （d r） Q
电场强度叠加原理:在n个点电荷产生的电场中某点的电场强度等于
每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和.
·13 ·
点电荷系的电场强度的计算：
例 如图， q1 q2求中点O的场强
q1
E2
E1 q2
a oa
Eo E1 E2 0
q1 a EE12o
a
q2
Eo
2E1
2 q1
4 0 a 2
dl
电荷的面密度:
dq
ds
电荷的体密度:
dq
dV
E
l
dl 4 0r
2
er
E
S
dS 4 0r
2
e
r
E
V
dV 4 0r
2
er
·23 ·
例 如图半径为R的四分之一带电圆环，
电荷线密度为 ，求环中心的场强。
解：dq dl Rd
y
dq
ddEEEx x40d2E0R4si2snin0Rd4R同s0i理nR2Edy dE
eEqr
yr
qe
r0
x
0e ( r0 2 i yj ) r
e (r0 2i yj ) r
r r r
y2 ( r0 )2 2 ·16 ·
例 如图所示，BC AC a ,求B处的场强
解:
E1
E2
q1
4q02(
4 0 a
2a)2
2
方向如图 方向如图
q1 A
E2
C q2
y B Ex1x
0
dl d
OR
2 cos 40R
x
d
E = Exi Ey j
例 正电荷q 均匀分布在半径为R的圆环上. 求 在环的轴线上任一点P的电场强度.
解
q
y
dq dl
r
( q )
2π R
R
P
x
ox
1 dl
z
dE
4π 0
r2
er
由对称性可知：Ey dEy 0, E dExi
·25 ·
（5）电场线不相交。
·29 ·
二、电场强度通量
把通过电场中某一个面的电场线多少
叫做通过这个面的电场强度通量.
e E S ES cos
S的方向为外法线方向，对于闭合面
是由闭合面内指向面外。
de E dS E dS cos
0
θ
， 2
de
0
θ
2
2 θ
， ，
de de
0 0
en
en en
q0
1
40
Q r2
er
E
E
+
r
r
EQ Q，
EQ
1 r2
思考: r 0 E ?
·12 ·
四、电场强度叠加原理
E
F qo
Q1
Q2 Q3
n Fi
q i1 o
r1 r2
r3
F1
qo
q
F2 qo
F3
0
F3
qo
F2
F1
E1
E2
E3
n i 1
Ei
Ei为电荷Qi单独存在时产生的电场强度。
F2
F3 F1
F Fxi
Fy
j
q2
2 0 a 2
2 2
1 i
q2
2 0 a 2
2 2
1
j
·8 ·
§9-3 电场强度
一、电场：电荷之间的相互作用的媒介。
电场具有物质性： （1）对放其内的任何电荷都有作用力。 （2）电场力对移动电荷作功。
静电场 ：相对于观察者静止的电荷产生的电场。
·9 ·
二、电场强度