第九章 静电场

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例题：如图所示，选取高斯面S ，
在P、A 处分别放置点电荷q2、 q1，D 位于P、A 连线与高斯面S
的交点上，PD＝DA＝d
q2 PD
·· ·
q1 A
求：（1）若q2＝q1＝q， D 点的电场强度E＝___0___，
q
通过高斯面S的电通量Φe＝____o____，
（2）若把q2 为-q，则D点的电场强度E
0
dl d
OR
2 cos 40R
x
d
E = Exi Ey j
例 正电荷q 均匀分布在半径为R的圆环上. 求 在环的轴线上任一点P的电场强度.
解
q
y
dq dl
r
( q )
2π R
R
P
x
ox
1 dl
z
dE
4π 0
r2
er
由对称性可知：Ey dEy 0, E dExi
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二 库仑定律
F
1
4 0
q1q2 r2
er
d
er
r
r ，指向受力电荷的单位矢量
0 ：真空电容率
0=8.8510-12C2·m-2 ·N-1
r
观察点 P
库仑 1736-1806 法国
·4 ·
讨论：电荷q2受到的库仑力
q1
q2
F
1
4 0
q1q2 r2
er
库仑力的大小：
F
1
4 0
q1q2 r2
q+r
S
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高斯定理
说明：
E dS
1
S
0
n
qiin
i 1
1）高斯面是人为选择的封闭曲面； 2）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正；
3）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度；
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献；
5）静电场是有源场；
6）即适用于静电场，又适用于变化的电场。
求： 电子与质子间电相互作用和万有引力
解： me 9.11031kg e 1.61019 C
mp 1.67 1027 kg G 6.67 1011 N m2 kg2
Fe
1
4π 0
e2 r2
8.1106 N
Fe 2.27 1039
Fg
G
memp r2
3.7 10-47 N
Fg
（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）
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§9-1 电荷的量子化 电荷守恒定律
一 电荷的量子化
电荷量子化；q ne (n 1,2,3) 电子电荷 e 1.6021019C
• 宏观带电体的带电量qe，准连续
密立根
二 电荷守恒定律 在孤立系统中,系统的电荷的代数和保持不变.
·3 ·
§9-2 库仑定律
一 点电荷模型 （d r） Q
-q
2q
连续带电体电场强度的计算：
将带电体分成很多元电荷 dq,先求出它在任意场点 p 的场强
1 dq
dE 4 0 r 2 er
对场源求积分，可得总场强：
1 dq
E dE
4 0
r 2 er
r
dE
P
dq
·21 ·
连续带电体的电场强度的计算步骤：
1、取电荷元dq
2、计算电荷元dq在场点处场强dE的大小和方向
（5）电场线不相交。
·29 ·
二、电场强度通量
把通过电场中某一个面的电场线多少
叫做通过这个面的电场强度通量.
e E S ES cos
S的方向为外法线方向，对于闭合面
是由闭合面内指向面外。
de E dS E dS cos
0
θ
， 2
de
0
θ
2
2 θ
， ，
de de
0 0
en
en en
2 0
R rdr 0 (r2 x2 )3/2
x 1
1
[
2 0
x2 (R2 x2 )1/ 2 ]
x 1
1
E [
2 0
x2 (R2 x2 )1/ 2 ]i
dq 2rdr
R
dE
rO
x P
dr
·27 ·
§9-4 教学基本要求
理解电场线的概念; 掌握电通量的计算； 掌握高斯定理，能够熟练应用。
F2
F3 F1
F Fxi
Fy
j
q2
2 0 a 2
2 2
1 i
q2
2 0 a 2
2 2
1
j
·8 ·
§9-3 电场强度
一、电场：电荷之间的相互作用的媒介。
电场具有物质性： （1）对放其内的任何电荷都有作用力。 （2）电场力对移动电荷作功。
静电场 ：相对于观察者静止的电荷产生的电场。
·9 ·
二、电场强度
dl
电荷的面密度:
dq
ds
电荷的体密度:
dq
dV
E
l
dl 4 0r
2
er
E
S
dS 4 0r
2
e
r
E
V
dV 4 0r
2
er
·23 ·
例 如图半径为R的四分之一带电圆环，
电荷线密度为 ，求环中心的场强。
解：dq dl Rd
y
dq
ddEEEx x40d2E0R4si2snin0Rd4R同s0i理nR2Edy dE
o
E
B
B
R o
A
C
E R2
E R2 cos 30
3 E R2
2
0
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例 求匀强电场中通过此三棱柱体的电场强度通量 .
解：
e
de
E dS
S
e e前 e后 e左 e右 e下
e前 e后 e下 0
y
P
N en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
e左 E S左 ES左 cos -ES左
E
F
q0
说明:
1. 电场强度是描述电场强弱的物理量。
2. 电场强度是矢量,电场是矢量场，方向 与处于该点的正电荷受力方向一致。
3. 电场强度的单位： N·C-1 或者V·m-1
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例：把一个点电荷（ q 62）1放0在9 C电场中某点处，该
电荷受到的电场力为
F 3.2106i 1.3106 j(N)
库仑力的方向：1.沿着两点电荷连线
r q1 er
d
r q1
er
q2
F
q2
F
2.同号电荷相排斥 3.异号电荷相吸引
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说明：
1.库仑定律只适用于点电荷。
2.库仑定律是矢量式。
3.库仑力遵守牛顿第三运动定律。
n
4.库仑力遵守矢量叠加法则 F合 Fi 。
i 1
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例： 在氢原子内,电子和质子的间距为 5.31011m
dE 1 dq
4 π0 r2
3、选择坐标，将场强dE分解为X、Y分量dEx、dEy
dEx dE cos
dEy dE sin
4、计算场强的X、Y分量Ex、Ey
Ex dEx dE cos Ey dE sin
5、矢量合成，计算合场强 E = Exi Ey j
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电荷的线密度:
dq
q0
1
40
Q r2
er
E
E
+
r
r
EQ Q，
EQ
1 r2
思考: r 0 E ?
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四、电场强度叠加原理
E
F qo
Q1
Q2 Q3
n Fi
q i1 o
r1 r2
r3
F1
qo
q
F2 qo
F3
0
F3
qo
F2
F1
E1
E2
E3
n i 1
Ei
Ei为电荷Qi单独存在时产生的电场强度。
x 2R
2
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例 有一半径为R,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为σ. 求 通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度.
解：
提示：带电细圆环电场强度E 1
qx
40 (R2 x2 )3/ 2
dE
1
4 0
dq x (r2 x2 )3/2
x 2 0
(r 2
rdr x2 )3/2
E dE x
，求该电荷所在处的电场强度.
解：E
F
(51.6i 21.0 j )N C1
q
y
q
F
o x
E
大小： E E (51.6)2 (21.0)2 N C1 55.71N C1
方向： arctan Ey 22.1
Ex
三、点电荷的电场强度
EQ
F q0
1
40
Qq0 r2
er
1
en
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1、 均匀电场中： e ES
2、 非均匀场中：e
de
E dS
S
3、对闭合曲面：e
de
E dS
S
en
S
E
E
dS
en
E
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例求：通在过均A匀CB电半场球中面取的一电个通半量径为为多R少的?半球e 面EA CS B ，ES cos
A。
CR
o