圆重难点突破内心外心
圆重难点突破内心外心
B前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。
第1个问题 内心、外心知多少【2013元调 第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠= D 、121802AOB AIB ∠-∠=分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。
内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。
∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+12∠C外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题 如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）11190,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠（2）1()2S a b c r ABC =++，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径当90BAC ∠=时，四边形ADOF 为正方形，2a b cr +-=AABE【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=2IM ；③∠BIM=∠BAP ；④PMOBIN +=22；其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。
九年级数学下册31圆重难点突破素材北师大版
圆
重难点突破
1．圆的确定性问题
突破建议：研究一个图形的时候，首先要关注这个图形的确定性问题．如：两点确定一条直线；不共线的三点确定一个三角形．那么如何确定一个圆呢？可让学生用圆规动手画圆，引导学生思考：确定一个圆的要素有哪些？定点O也就是圆心确定了圆的位置，定线段长也就是半径确定了圆的大小．如此，就从位置关系和数量关系上确定了圆．从而得出圆的定义：“在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．”也得出了确定一个圆的要素——圆心和半径．这两个要素确定了，圆也就确定了．圆心定圆的位置，半径定圆的大小．可让学生通过画图体会，圆心相同，半径不同时，是同心圆．半径相同，圆心不同时，是等圆．
2．圆的集合定义的理解
突破建议：为了让学生进一步地理解圆的内涵，可先提出下列问题：“五个小朋友站成一个圆圈，做一个抢红旗的游戏，把这只小红旗放在什么位置，才能使这个游戏比较公平？”引发学生思考．此后设计一个动手画圆的过程，通过这个过程引导学生首先感知到圆是一个点的集合．并进一步从两个方面去理解这个点集合的含义，即：从圆的角度看，圆上各点到定点的距离都相等；从点的角度来看，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．在理解了点的集合的含义后，再提出问题：“矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一圆上吗？”也就是教科书上的例1，进一步体会圆的集合的定义，得出证明几点共圆的理论依据和常用办法．。
圆知识点难点总结
圆知识点难点总结在数学中，圆是一个非常重要的几何图形，由于其独特的性质和广泛的应用，圆的知识点和难点也是非常多的。
在本文中，我们将对圆的知识点和难点进行总结，并对其重点进行详细的解析，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识。
一、圆的基本概念1. 圆的定义圆是平面上与一个确定点的距离相等的全部点的集合。
该确定点称为圆心，全部距离称为半径。
圆的符号表示为“O”，圆心为“C”，半径为“r”。
2. 圆的性质（1）圆的任意直径都恰好把圆分成两个相等的部分。
（2）圆的半径相等的两条弧是相等的。
（3）同一个圆的圆心到弧上的任意两点的距离相等。
二、圆的相关定理1. 圆的周长和面积（1）圆的周长圆的周长等于直径乘以圆周率π，即：C = πd。
（2）圆的面积圆的面积等于半径的平方乘以圆周率π，即：S = πr²。
2. 弧长和扇形面积（1）弧长弧长等于半径乘以相应的圆心角的弧度数。
（2）扇形面积扇形的面积等于扇形圆心角的弧度数与半径的平方的乘积的一半。
3. 切线和切点（1）切线过圆上一个点并且与圆相切的直线称为圆的切线。
切线与圆相交的点称为切点。
三、圆的难点解析1. 弧度制和度制的换算弧度和度是表示角度大小的两种不同制度，而在圆的相关知识中经常会遇到弧度和角度的转化问题。
弧度制是一种角度的度量单位，表示的是圆心角所对的弧长等于半径长的角。
而度制则是通常用于平面角度的一种度量单位。
需要能够熟练地进行弧度和度之间的换算。
2. 圆心角、弧长和扇形面积的关系在圆的相关定理中，圆心角与弧长、扇形面积之间有着密切的关系。
要理解和掌握这些关系，不仅要熟练掌握圆心角与弧长的换算公式，还要能够准确地计算扇形的面积。
3. 圆的几何性质圆的性质有时候会涉及一些几何推理和证明，例如利用圆的性质证明两个角相等或者两个线段相等等。
对于这些几何问题，需要具备相对的几何推理能力和证明技巧。
四、圆的应用1. 圆的应用圆在生活和科学技术中有着广泛的应用，例如在日常生活中的钟表、轮胎、饼干等都有着圆的身影；在工程技术领域中，发动机的制造、汽车轮胎的设计等都会涉及到圆的相关知识。
《圆》重难点突破
《圆》重难点突破一、圆的认识突破建议：1．为学生提供丰富的圆的素材。
数学上的圆是抽象后的产物，与生活中所见到的圆形物体既有联系，又有区别。
由此，教学时应提供丰富的圆的生活素材，利用多媒体或事物展示的同时，适时描述刻画数学上的圆，也可以让学生介绍举例数学上的圆，以进一步帮助学生建立圆的表象，为学生学习后续知识打下良好的基础。
2．加强用圆规画圆的方法指导，突出数学要素，帮助学生加深对圆的本质特征的认识。
教学时要对学生画圆方法进行具体指导，在规范的方法示范的同时，引导学生画出位置、大小各不相同的圆，并着重指明画圆方法中的一些数学要素：圆规的“脚尖”“两脚之间距离”在画圆时起什么作用？以揭示圆的本质，帮助学生清楚地认识到圆的圆心和半径分别决定圆的位置与大小。
3．加强动手操作活动，引导学生自主探索圆的特征。
教学时，应以问题导向为主线，放手让学生有序展开活动，通过折一折、画一画、量一量等方式，建立清晰的表象，探究圆的各种特征。
例如：“圆有多少条半径？”“半径与直径的长度有什么样的关系？”“圆心决定什么”“半径又决定什么？”，等。
最后，在学生探究的基础上，引导学生对圆的有关概念和基本特征进行归纳和整理，以形成系统的、科学的概念体系。
二、圆的周长公式推导、圆的周长计算突破建议：1．以问题为导向，组织学生合作与交流，自主归纳圆周长计算公式。
教学圆的周长，首先可根据“怎样求出圆桌和菜板边缘所箍铁皮的长度？”引导学生自己想出各种方法，再动手试一试。
教师对“绕”“滚”方法进行必要的指导的同时，组织学生讨论比较这些方法的异同，使学生明白这些方法都是将一个未曾学过的曲线图形的长度转化为可以直接测量的直线线段的长度，渗透“化曲为直”的转化思想。
进而，在“还可以怎样求圆的周长？”这一问题的引领下，引导学生讨论：圆的周长和什么有关？圆的周长与半径（直径）到底又怎样的关系？我们又该怎样去研究？再次激发起学生探究的欲望，提升学生的思维层次，促进学生有的放矢寻求更为一般化的求圆周长的方法，为学生自主归纳圆周长的计算公式做好了策略与技术上的准备。
初中数学 公开课--内心外心与圆的关系12、10
课题：三角形内心、外心和圆的关系编制：彭泉松课标要求：三角形内心与外心的性质运用。
德育目标：在探究圆中相关辅助线的活动中获得成功的体验，建立学习信心。
学习目标：1、掌握基本图形的常用辅助线做法，会运用相关知识解决问题2、会从已知内心、外心等条件找到问题解决思路。
学习重点：运用三角形内心、外心的性质进行证明与计算。
学习难点：内心、外心性质在圆中的运用。
学习过程： 一、目标导学，引入新课1、复习三角形的内心、外心的定义、性质。
2、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。
3、切线长定理的应用。
二、自主学习，合作交流1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于2、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=3、如图．在△ABC 中，AC=10，AB=9，BC=11，它的内切圆与AB 、BC 、AC 分别相切与E 、D 、F ，则AE=AF= ，BE=BD= ，CD=CF= 4、如图，△ABC 中，∠BOC=140°，I 是内心，O 是外心，则∠BIC= 。
三、例题讲析（疑难点拨，因势利导）例：如图1，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心，求证：①BD=CD=ID ；②∠AIB =90°+21∠ACB ;变式1：如图2，I 为△ABC 的内心，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC.变式2、如图3，若∠BAC =90°，DI=24，求⊙O 的半径。
I OA BCFEDO ABCABCD IOE 图2图1EOI CBA图3I D COBA图4EIDCOBA EC AO BD 变式3：如图3，若∠BAC =90°，AB=8，AC=6，求DI 、OI 的长。
圆单元教学重难点及解决措施
圆单元教学重难点及解决措施(一)教学目标1.使学生认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的基本特征。
2.使学生会利用直尺和圆规，在教师指导下设计一些与圆有关的图案。
3.使学生通过实践操作，理解圆周率的意义，理解和掌握圆的周长计算公式，并解决一些相应的实际问题。
4.引导学生探索并掌握圆的面积计算公式，并解决一些简单的实际问题。
5.使学生认识扇形，掌握扇形的些基本特征。
6.使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程，培养数学活动经验，在解决一些与圆有关的数学问题的过程中，提高问题解决的能力。
7.使学生在推导圆的周长与面积的计算公式过程中体会和掌握转化、极限等数学思想。
8.通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴趣。
(二)内容安排及其特点1.教学内容和作用。
在之前的学习中，学生已经学习过长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，也直观地认识过圆。
在此基础上，本单元开始正式学习圆的有关知识，这也是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。
长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。
从研究直线图形到研究曲线图形,对学生而言是一种跨越。
因为研究曲线图形的思想、方法与直线图形相比，是有变化和提升的。
因此，通过对圆的研究，学生不仅需要掌握圆的一些基础知识，还需要通过学习，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，进一步发展数学思维能力和问题解决的能力。
一是圆的认识。
教材利用学生已有经验，用多种方法画圆，包括用圆规画圆的方法，并利用圆规画圆的方法认识圆心、半径和直径以及半径、直径的关系等。
与实验教材相比，此次修订后的教材，增加了圆心和半径对确定圆的位置和大小的作用以及用圆进行图案设计的内容。
这两部分内容关系紧密，因为在设计图案时，需要确定不同的圆的位置和大小。
这些基础知识和基本技能，是对圆的特征的本质刻画，也是深人学习圆的其他知识的必备条件。
此外，考虑到在轴对称图形的相关单元已经提到过圆的轴对称性，此次修订，在正文中删去了圆的轴对称性的相关内容，只在练习中加以巩固。
圆整章知识点归纳
第24章 《圆》整章知识点归纳第一节 圆的有关性质知识点一：圆的定义1、圆可以看作是到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）的点的集合.2、圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径）. （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面.（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上.知识点二：圆的相关概念1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．如劣弧AB ，优弧ACB注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆.半圆既不是优弧，也不是劣弧．．．．．．．．．．．．．. 3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.知识点三：圆的对称性1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线．．．．．．．都是圆的对称轴. 注意：（1）圆的对称轴有无数条（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”.2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合（圆的旋转不变性）.知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 交CD 于点E ，若AB ⊥CD ，则CE =DE ，CB =DB ，AC =AD注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”. （2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立.2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.A 如图1：CD 是非直径的弦，AB 是直径，若CE =DE ，则AB ⊥CD ，CB =DB ，AC =AD . 注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图2 直径AB 平分CD ，但AB 不垂直于CD .重点剖析知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， 所对的弧也相等.如图，在⊙O 中，若∠AOB =∠COD ，则AB =CD ，AB =CD .2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.（圆心角、弧、弦关系定理）知识点六：圆周角定理及其推论1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图：∠CAB =12∠COB2、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，若AB 为直径，则∠C =90°；若∠C 为90°，则AB 是直径. 知识点七：圆内接多边形1、圆的内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补. ∠A +∠C=180°，∠B +∠D =180°第二节 点和圆、直线和圆的位置关系知识点一：圆的确定图1图21、过一点作圆：只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆就可以作出，这样的圆有无数个.2、过两点作圆：经过两个点A，B作圆，只要以线段AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个.3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的三点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心在线段AB，AC的垂直平分线的交点O处，以O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A、B、C三点的圆，这样的圆有且只有一个.不在同一条直线上的三个点确定一个圆4、要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上.方法归纳：确定一个圆的圆心的方法，只需作出此圆任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心.知识点二：三角形的外接圆1、三角形的外接圆：经过三角形三个项点可以作一个圆，2、这个圆叫做三角形的外接圆.3、三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，如图：⊙O是△ABC的外接圆，点O是△ABC的外心.（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径.（2）一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形.（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜边中点.lllP知识点三：反证法：（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.知识点四：直线和圆的位置关系1、直线与圆相离⇔d r>⇔直线与圆无交点；2、直线与圆相切⇔d r=⇔直线与圆有一个交点；3、直线与圆相交⇔d r<⇔直线与圆有两个交点；知识点五：切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：（1）两个条件：①过半径外端；②垂直半径，二者缺一不可即：∵MN⊥OA，MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）切线判定方法：（1）数量关系：若圆心到直线的距离d等于半径r，则直线是圆的切线.（2）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.提示：在判定切线时，往往需要添加辅助线（连半径证垂直或作垂直证半径）.2、切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出第三个.知识点六：切线长定理切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：∵P A、PB是⊙O的两条切线∴P A=PB，PO平分∠BP A知识点七：三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的对比边心距r 半径R中心角αbBCr=a+b-c2第三节 正多边形和圆知识点一：正多边形的定义及其相关概念各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.知识点二：与正多边形的有关计算（1）正n 边形的每个内角为n n n ︒-︒=︒∙-360180180)2( （2）正n 边形的每个中心角为n︒360（3）（4）正n 边形的每个外角为n︒360 （5）（6）正n 边形的半径R 、边心距r 、边长a 之间的关系为22221R r a =+⎪⎭⎫⎝⎛（7）正n 边形的边长a 、边心距r 、周长l ，面积S 之间的关系为na l =，rl s 21=知识点三：正多边形与圆的关系（1）把圆分成n （n ≥3）等份，①依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n 边形；②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形.PABO R r（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.知识点四：正多边形的性质1、正多边形的各边相等，各角相等.2、正多边形都是轴对称图形，几边形就有几条对称轴，边数为偶数的正多边形也是中心对称图形.3、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成n 2个全等的直角三角形.注意：正多边形都有一个外接圆，而圆有无数个内接正多边形.第四节 弧长和扇形面积知识点一：弧长公式：180Rn l π=在半径为R 的圆中，因为360° 的圆心角所对的弧长就是圆周长R C π2=，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π，即180R π，于是︒n 的圆心角所对的弧长为180Rn l π= 注意：在弧长公式中，n 和180都不带单位“度”.知识点二：扇形面积公式： lR R n S 213602==π扇形（其中l 为扇形的弧长，R 为半径） 在半径为R 的圆中，因为360° 的圆心角所对的扇形面积2R S π=，所以圆心角是1°的扇形面积是3602R π，于是圆心角为︒n 的扇形面积是3602R n S π=扇形知识点三：圆锥的有关概念1、圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段 叫做圆锥的母线，如图，线段P A 、PB 是圆锥的两条母线.2、圆锥的侧面积和全面积如图，设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为R ，那么这个这个扇形的半径为R ，扇形的弧长为2πr ，因此圆锥的侧面积公式：S 侧=12(2πr )·R =πRr圆锥的全面积公式：2Rr S S S r ππ=+=+侧全底注意：在计算圆锥的侧面积时，要注意各元素之间的对应关系，千万不要错认为圆锥底面圆的半径等于扇形半径或把母线当成扇形的弧长.。
中考数学圆内心外心
B前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。
第1个问题 内心、外心知多少 【2013元调 第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠=o D 、121802AOB AIB ∠-∠=o 分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。
内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。
∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+12∠C外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）11190,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠o o o（2）1()2S a b c r ABC =++V ，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径当90BAC ∠=o 时，四边形ADOF 为正方形，2a b cr +-=AABE【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=2IM ；③∠BIM=∠BAP ；④PMOBIN +=22；其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。
2020中考数学难点突破：圆的知识重点
2020中考数学难点突破：圆的知识重点圆虽然是最熟悉的几何图形之一，但它有很多新的知识点，尤其是这里重要的知识点，都与前面的知识紧密联系着，解题时必须用到直线型中的定理、法则。
因此，解题时先要由条件对图形有比较好的认识，再联想相关知识，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一解决。
圆这章知识重点可以归纳为：1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。
b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。
2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线；两圆相交时作公共弦，两圆相切时作分切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A.213014000x x +-=B.2653500x x +-=C.213014000x x --=D.2653500x x --= 2．已知，二次函数()22y x k =++向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到二次函数()21y x h =+-，则h 和k 的值分别为（ ）A.3,4-B.1,4-C.1,2D.3,2 3．如图，不等式组315215x x --⎧⎨-<⎩…的解集在数轴上表示为（ ）A.B.C. D.4．若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．3D ．55．如图所示物体的俯视图是( )A． B． C ． D ．6．一个不透明的盒子里装有除颜色外其他都相同的红球6个和白球若干个，每次随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.3 左右，则盒子中白球可能有（ ）A ．12个B ．14个C ．18个D ．20个7．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m ，宽为2m.为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宜传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右.由此可估计宜传画上世界杯图案的面积为( )A ．22.4mB ．23.2mC ．24.8mD ．27.2m8．如图，已知直线MN ：y ＝kx+2交x 轴负半轴于点A ，交y 轴于点B ，∠BAO ＝30°，点C 是x 轴上的一点，且OC ＝2，则∠MBC 的度数为（ ）A ．75°B ．165°C ．75°或45°D ．75°或165°9．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC ，AB=4，D 为AB 上的动点，DP ⊥AB 交折线A ﹣C ﹣B 于点P ，设AD=x ，△ADP 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝13，小亮通过观察得出了下面四个结论：①c ＜0，②a ﹣b+c ＞0，③2a ﹣3b ＝0，④5b ﹣2c ＜0．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，两条斜边互相平行，则∠1=（ ）A ．75B ．70C ．65D ．6012．改革开放40年，中国教育呈现历史性变化．其中，全国高校年毕业生人数从16.5万增长到820万，40年间增加了近50倍．把数据“820万”用科学记数法可表示为（ ）A ．48210⨯B ．58210⨯C ．58.210⨯D ．68.210⨯ 二、填空题13．如图，直线y ＝15x ﹣1与x ，y 轴交于B 、A ，点M 为双曲线y k x=上的一点，若△MAB 为等腰直角三角形，则k ＝_____．14．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA= ．15．已知m n 、均为整数，当BC AP λ=时，()()60mx x n ++≤恒成立，则m n +=_____________．16．如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AB ＝4，P 是BC 边上的动点（不与B ，C 重合），点P 关于直线AB ，AC 的对称点分别为M ，N ，则线段MN 长的取值范围是_____．17．计算：(－1)0=________.18．已知扇形的圆心角是120°，半径为6cm ，把它围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径是_____cm ．三、解答题19．如图，正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为（0，4），直线1：y ＝mx+m （m≠0）（1）直线L 经过一个定点，求此定点坐标；（2）当直线L 与正方形ABCD 有公共点时，求m 的取值范围；（3）直线L 能否将正方形分成1：3的两部分，如果能，请直接写出m 的值，如果不能，请说明理由．20．如图，一次函数y ＝﹣x+b 交x 轴于点A ，交y 轴于点B （0，1），与反比例函数1(0)k y k x =<的图象交于点C ，C 点的横坐标是﹣2．（1）求反比例函数y 1的解析式；（2）设函数2m y (m 0)x =>的图象与1k y (k 0)x =<的图象关于y 轴对称，在2(0)m y m x=>的图象上取一点D （D 点的横坐标大于1），过D 点作DE ⊥x 轴于点E ，若四边形OBDE 的面积为10，求D 点的坐标．21．在直角三角形中，如果已知2个元素（其中至少有一个是边），那么就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：（1）观察下列4幅图，根据图中已知元素，可以求出其余未知元素的三角形是 ．（2）如图，在△ABC 中，已知∠B ＝40°，BC ＝18，AB ＝15，请求出AC 的长度（答案保留根号）．（参考数据：sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.75）22．小明骑电动车从甲地去乙地，而小刚骑自行车从乙地去甲地，两人同时出发走相同的路线；设小刚行驶的时间为x （h ），两人之间的距离为y （km ），图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，点B 的坐标为（13，0）． 根据图象进行探究：（1）两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求两人的速度分别是每分钟多少km？（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式；并写出自变量x的取值范围．23．解下列方程：（1）12223x xx-+-=-；（2）x2－2x－6＝0．24．如图，点D是以AB为直径的半圆O上一点，连接BD，点C是»AD的中点，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E．求证：（1）CE是半圆O的切线；（2）BC2＝AB•BE．25．改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．（1）求线段AG的长度；（2）连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．（所有结果精确到0.1m．参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C D D B B D B C A D 二、填空题13．414．3 515．-7或-5 16．6≤MN＜42 17．118．2三、解答题19．（1）（﹣1，0）（2）23≤m≤4（3）1或3216【解析】【分析】（1）由y＝mx+m＝m（x+1）知x＝﹣1时y＝0，从而得出答案；（2）把点A，C的坐标分别代入直线y＝mx+m，分别求得m的值即可求出m的取值范围；（3）把B的坐标代入直线L，由直线L能将正方形分成1：3的两部分，即可求出m值；再由直线L交DC 与BC且满足直线L能将正方形分成1：3的两部分也可求出m的值，本题可求解．【详解】（1）∵y＝mx+m＝m（x+1），∴不论m为何值时，x＝﹣1时y＝0，故这个定点的坐标为（﹣1，0）（2）∵正方形ABCD的边长为2，点A的坐标为（0，4），∴B（0，2），C（2，2），D（2，4），把A（0，4）代入y＝mx+m得，m＝4，把C（2，2）代入得，2＝3m，解得m＝23，直线L与正方形ABCD有公共点，m的取值范围是23≤m≤4；故直线L与正方形ABCD有公共点时，m的取值范围是23≤m≤4；（3）能理由：∵正方形ABCD的边长为2，∴正方形的面积为4，分情况讨论：（Ⅰ）：当直线L过点B时，把点B代入y＝mx+m，得m＝1，∴直线L 与AD 的交点E 的坐标为（1，4），S △ABE ＝12AB•AE＝12×2×1＝1， ∴S △ABE ＝14S 正方形ABCD ∴当m ＝1时，直线L 能否将正方形分成1：3的两部分；（Ⅱ）：设直线L 过DC 上点F ，BC 上的点G 时，把x ＝2代入直线L ，y ＝2m+m ＝3m ，得F （2，3m ），FC ＝3m ﹣2把y ＝2代入直线L ，2＝mx+m ，x ＝21m +，得G （21m +，2），CG ＝2﹣21m + ∴S △GCF ＝12×FC•CG＝12×（3m ﹣2）（2﹣21m +）(32)1m m m -=+ 由S △GCF ＝14S 正方形ABCD 得， ∴(32)1m m m -=+＝14×4，解，得m ＝3216±（负值不合题意，舍去）， ∴当m ＝3+216时，直线L 能否将正方形分成1：3的两部分； 综上所述，存在这样的m 值，使直线L 能否将正方形分成1：3的两部分，故m 的值为1或3+216． 【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，一次函数及其性质，待定系数法求函数解析式的方法，考查学生解决问题的能力，略难一点．20．（1）16y x =-；（2）314,7⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）运用待定系数法解得即可；（2）根据（1）的结论，可设点D坐标为（a，6a），则DE＝6a，OE＝a，由四边形OBDE的面积为10，根据梯形的面积公式即可求解．【详解】（1）把B（0，1）代入y＝﹣x+b得：b＝1，∴y＝﹣x+1，当x＝﹣2时，y＝3，∴点C坐标为（﹣2，3），∴反比例函数解析式为16yx=-；（2）∵函数1y的图象与函数2y的图象关于y轴对称，设点D坐标为（a，6a），则DE＝6a，OE＝a，∴S四边形OBDE＝OE（OB+DE）＝12a（1+6a）＝10，解得：a＝14，∴D点坐标为（14，37）．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用，能求出两函数的解析式是解此题的关键，数形结合思想的应用．21．（1）②,③；（2）313【解析】【分析】（1）①没有已知边，求不出边长，不合题意；②、③作出相应的垂线，根据锐角三角函数定义及勾股定理即可求出未知的元素，符合题意；④只知道一个角与一条边，求不出其他的角，不合题意，进而得出正确的选项；（2）过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，由AB的长，利用锐角三角函数定义分别求出AD及BD 的长，再由BC−BD求出DC的长，在直角三角形ADC中，利用勾股定理即可求出AC的长．【详解】解：（1）①没有已知边，求不出边长，不合题意；②、③作出相应的垂线，根据锐角三角函数定义及勾股定理即可求出未知的元素，符合题意；④只知道一个角与一条边，求不出其他的角，不合题意，故可以求出其余未知元素的三角形是②,③；（2）如图，作AD⊥BC，D为垂足，在Rt△ABD中，∵sinB ＝AD AB ，cosB ＝BD AB，AB ＝15， ∴AD ＝AB•sinB＝15×0.6＝9，BD ＝AB•cosB＝15×0.8＝12，∵BC ＝18，∴CD ＝BC −BD ＝18−12＝6，则在Rt △ADC 中，根据勾股定理得：AC ＝222296313AD DC +=+=．【点睛】此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，其中作出相应的辅助线是解本题第二问的关键．22．（1）9；（2）点B 表示2人相遇；（3）0.15千米/分钟，0.3千米/分钟；（4）1127932y x x ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由图像可知当0t =时，两人相距9km ，所以可知两地的距离为9km .（2）在B 点时，两人相距为0时，说明两人在B 点相遇.（3）利用两人的速度和193=÷，进而得出小刚的速度，以及小明的速度； （4）根据两地距离和两人的速度和和图像可以求出y 与x 之间的函数关系式.【详解】解：（1）由图像可知：当0t =是，实际距离是9千米，2个人出发时候的距离就是两地距离，即两人相距9km ；（2）点B 表示2人相遇，因为2人此时的距离为0；（3）速度和19273=÷=千米/小时0.45＝千米/分钟， 小刚的速度919÷＝＝千米/小时0.15＝千米/分钟，（可得小明的速度为18千米/小时） 小明的速度0.450.150.3＝﹣＝千米/分钟，（4）两人相遇时用时：199183÷+（）＝，即103B （，）BC 段表示：两人从相遇后到小明到达终点时的行驶情况，此时，用时为：1191836÷=﹣， 此时两人相距：1918 4.56+⨯=（），所以14.52C （，） 设BC 段的函数解析式为：y kx b +＝，把B 、C 两点坐标代入 可得：279k b ==-，所以解析式为：1127932y x x =-≤≤（） ． 【点睛】本题主要考查了一次函数解决实际问题，主要利用一次函数求最值时关键是应用一次函数的性质. 23．（1）x ＝1.（2）1217,17x x =+=- 【解析】 【分析】（1）先去分母、再去括号、移项，然后合并同类项后把x 的系数化为1即可； （2）利用配方法解方程． 【详解】（1）解：6x －3(x －1)＝12－2(x ＋2) 3x ＋3＝8－2x 5x ＝5 ∴ x ＝1． （2）解：x 2－2x ＝6 x 2－2x ＋1＝7 (x －1)2＝7 x －1＝±7∴ x 1＝1＋7，x 2＝1－7． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法法：将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 24．（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ABC ＝∠DBC ，根据等腰三角形的性质得到∠OCB ＝∠OBC ，等量代换得到∠OCB ＝∠CBD ，推出OC ∥BD ，根据平行线的性质得到OC ⊥CE ，于是得到结论；（2）连接AC ，由AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）连接OC ， ∵点C 是AD 的中点，∴AC CD =， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∵OC ＝OB ， ∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠OCB ＝∠CBD ， ∴OC ∥BD ， ∵CE ⊥BE ， ∴OC ⊥CE ，∴CE 是半圆O 的切线； （2）连接AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵CE ⊥BE ， ∴∠E ＝90°， ∴∠E ＝∠ACB ， ∵∠ABC ＝∠CBD ， ∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BCBC BE=， ∴BC 2＝AB•BE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．（1）3.5m ；（2）FG≈2.1． 【解析】 【分析】（1）设AE=x ，由题意可知：BE 0.19x =，CE 0.60x=，根据BE+CE=BC 列出方程即可求出答案． （2）由于AF ⊥AC ，所以∠FAG=∠ACE=31°，利用锐角三角函数的定义即可求出AG 的值． 【详解】 （1）设AE=x ． ∵tan ∠ABE AE BE =，tan ∠ACE AE CE =，∴BE 0.19x =，CE 0.60x=∵BE+CE=BC ，∴0.190.60x x +=20，∴解得：x≈2.9，∴AG=2.9+0.6=3.5m ； （2）当AF ⊥AC 时，∴∠FAG+∠EAC=∠EAC+∠ACE=90°，∴∠FAG=∠ACE=31°，∴tan31°FGAG=，∴FG≈2.1；【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若函数22y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A.1b <且0b ≠B.1b >C.01b <<D.1b <2．把函数y x =向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( ) A.()2,2B.()2,3C.()2,4D.(2,5)3．在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（ ）A ．1B ．34C ．12D ．144．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，则cosA 的值是（ ） A ．12B ．32C ．33D ．35．如图，直线y ＝﹣x+b 与双曲线(0)ky x x=> 交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，AM ⊥y 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，有以下结论：①S △AOM ＝S △BON ；②OA ＝OB ；③五边形MABNO 的面积22MABNO b S 五边形；④若∠AOB ＝45°，则S △AOB ＝2k ，⑤当AB ＝2 时，ON ﹣BN ＝1；其中结论正确的个数有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6．在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的( ) A ．众数B ．方差C ．中位数D ．平均数7．如图，在△ABC 中，BA=BC ，BP ，CQ 是△ABC 的两条中线，M 是BP 上的一个动点，则下列线段的长等于AM+QM 最小值的是（ ）A ．ACB ．CQC ．BPD ．BC8．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）A ．105B ．115C ．120D ．1359．已知x a ＝2，x b ＝﹣3，则x 3a ﹣2b ＝（ ） A ．23B ．89C ．-23D ．89-10．在平面直角坐标系xOy 中，作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是22(1)1y x =+-，则抛物线A 所对应的的函数解析式是( )A.22(3)2y x =-+- B.22(3)2y x =-++ C.22(1)2y x =---D.22(1)2y x =--+11．《庄子》一书里有：“一尺之棰（木棍），日取其半，万世不竭（尽，完）”这句话可以用数学符号表示：1＝23111++222+…+12n +…；也可以用图形表示．上述研究问题的过程中体现的主要数学思想是（ ）A ．函数思想B ．数形结合思想C ．公理化思想D ．分类讨论思想12．“定西市乒乓球夏令营”开始在学校报名了，已知甲、乙、丙三个夏令营组人数相等，且每组学生的平均年龄都是14岁，三个组学生年龄的方差分别是2S 甲=17，2S 乙=14.6，2S 丙=19，如果今年暑假你也准备报名参加夏令营活动，但喜欢和年龄相近的同伴相处，那么你应选择( ) A ．甲组 B ．乙组C ．丙组D ．采取抽签方式，随便选一个二、填空题13．在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为_________。
《圆》重难点整理
《圆》重难点整理圆这一章是常考章节，其中包括以下知识点：圆的认识，圆的周长推导及计算，圆的面积推导及计算，已知圆的直径或半径求周长或面积。
圆的认识：圆是平面上封闭的曲线图形，它有无数条对称轴，直径所在的直线就是它的对称轴。
圆无数条直径和半径。
在同一个圆中，直径都相等，半径也都相等，且直径是半径的两倍。
画圆时，（圆心）决定圆的位置，（半径）决定圆的大小。
圆的半径扩大3倍，直径扩大（）倍，周长扩大（）倍；面积扩大（）倍。
1、圆的周长推导：滚圈法和绕线法。
通过实验发现，圆的周长除以直径的值都是3倍多一些。
我们将这个固定的值（不会随圆的大小而改变）叫圆周率，用字母∏表示。
由此，我们可以说圆的周长是直径的∏倍，或3倍多一些，或大约是3.14倍。
2、已知直径或半径求周长：C=∏d或C=2∏r。
①、一辆自行车轮胎外直径50厘米，如果自行车每分钟转120周，这辆自行车每小时能行多少千米？（得数保留整千米）②、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径50厘米。
要骑过94.2米长的钢丝，车轮要滚动多少周？③、一只挂钟的分针长1.5米，经过45分钟后，分针针尖走过的路程是多少？（3/4圈）④、一段长628米长的绳子刚好绕树干十圈，求树干的横截面的周长？3、圆的面积推导：将圆平均分成8份，然后拼成一个近似的长方形或平行四边形（分的份数越多，越接近于长方形和平行四边形）。
长方形的长（平行四边形的底）相当于圆周长的一半，长方形的宽（平行四边形的高）相当于圆的半径。
长方形的面积=长* 宽，r*r=∏r2。
即=圆周长的一半* 圆的半径，S=∏4、已知直径或半径求面积：S=∏r2。
①、用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米，所画的圆的面积是（）平方厘米。
②、学校圆形大钟的分针长90厘米，它的针尖一昼夜扫过的面积是多少平方米？（转24圈）③、学校圆形大钟的时针长80厘米，它的针尖一昼夜扫过的面积是多少平方米？（转2圈）④、一根长3米的绳子系着一只羊，栓在草地中央的树桩上，羊吃草的面积最多是多少平方米？⑤、一种压路机的前轮直径1.5米，宽2米。
精品文档 (28)《圆》重难点突破
《圆》重难点突破一、圆的认识突破建议：1．为学生提供丰富的圆的素材。
数学上的圆是抽象后的产物，与生活中所见到的圆形物体既有联系，又有区别。
由此，教学时应提供丰富的圆的生活素材，利用多媒体或事物展示的同时，适时描述刻画数学上的圆，也可以让学生介绍举例数学上的圆，以进一步帮助学生建立圆的表象，为学生学习后续知识打下良好的基础。
2．加强用圆规画圆的方法指导，突出数学要素，帮助学生加深对圆的本质特征的认识。
教学时要对学生画圆方法进行具体指导，在规范的方法示范的同时，引导学生画出位置、大小各不相同的圆，并着重指明画圆方法中的一些数学要素：圆规的“脚尖”“两脚之间距离”在画圆时起什么作用？以揭示圆的本质，帮助学生清楚地认识到圆的圆心和半径分别决定圆的位置与大小。
3．加强动手操作活动，引导学生自主探索圆的特征。
教学时，应以问题导向为主线，放手让学生有序展开活动，通过折一折、画一画、量一量等方式，建立清晰的表象，探究圆的各种特征。
例如：“圆有多少条半径？”“半径与直径的长度有什么样的关系？”“圆心决定什么”“半径又决定什么？”，等。
最后，在学生探究的基础上，引导学生对圆的有关概念和基本特征进行归纳和整理，以形成系统的、科学的概念体系。
二、圆的周长公式推导、圆的周长计算突破建议：1．以问题为导向，组织学生合作与交流，自主归纳圆周长计算公式。
教学圆的周长，首先可根据“怎样求出圆桌和菜板边缘所箍铁皮的长度？”引导学生自己想出各种方法，再动手试一试。
教师对“绕”“滚”方法进行必要的指导的同时，组织学生讨论比较这些方法的异同，使学生明白这些方法都是将一个未曾学过的曲线图形的长度转化为可以直接测量的直线线段的长度，渗透“化曲为直”的转化思想。
进而，在“还可以怎样求圆的周长？”这一问题的引领下，引导学生讨论：圆的周长和什么有关？圆的周长与半径（直径）到底又怎样的关系？我们又该怎样去研究？再次激发起学生探究的欲望，提升学生的思维层次，促进学生有的放矢寻求更为一般化的求圆周长的方法，为学生自主归纳圆周长的计算公式做好了策略与技术上的准备。
2023年人教版数学中考重难点突破—三角形的内切圆与内心附解析
2023年人教版数学中考重难点突破—三角形的内切圆与内心一、单选题1．内心和外心重合的三角形是()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的（）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°.则∠BOC 等于（）A ．125°B ．120°C ．115°D ．100°4．如图，在ABC 中，58C ∠=︒，点O 为ABC ∆的内心，则AOB ∠的度数为（）A ．119︒B ．120︒C ．121︒D ．122︒5．如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB 处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D ，E 两点，经测量AD=10cm ，BE=15cm ，则该自来水管的半径为（）cm ．A ．5B ．10C ．6D ．86．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是 DF上一点，则∠EPF 的度数是（）A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°7．如图，ABC 的内切圆О 与AB BC AC ，，分别相切于点D ，E ，F ，连接OE ，OF ，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则阴影部分的面积为（）A ．122π-B ．142π-C ．4π-D ．114π-8．如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（）A B ．2πC ．32D ．529．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．其中正确的个数是（）A ．0B ．2C ．3D ．410．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10=（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π二、填空题11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为．12．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，连结OB ，OD ．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是．13．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC 内心的坐标为.14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为直径，BC =4，点E 是△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，则DE=．15．如图，扇形AOB ，且OB=4，∠AOB=90°，C 为弧AB 上任意一点，过C 点作CD ⊥OB 于点D ，设△ODC 的内心为E ，连接OE 、CE ，当点C 从点B 运动到点A 时，内心E 所经过的路径长为。
高中数学新人教版A版精品教案《圆的方程重难点创新教学方法》
25 圆的方程教材分析圆是学生比较熟悉的曲线，在初中几何课中就已学过圆的定义及性质．这节主要是用坐标的方法画圆———建立圆的方程．首先是根据圆的定义，建立圆的标准方程，进而研究圆的一般方程，并在此基础上，运用坐标法，探讨直线与圆、圆与圆的位置关系．由于圆是一种对称、和谐的图形，有很多优美的几何性质，因此，在运用坐标法解决问题的同时，充分利用了圆的几何性质．这节课的重点是圆的两种方程的求法及互化，直线与圆位置关系、数量关系的判定与求解．难点是对待定系数法、数形结合等方法的理解及灵活应用．教学目标1 理解和掌握圆的标准方程和一般方程，并会熟练地进行方程的互化，能根据条件灵活选用适当的方法建立圆的方程．2 在直线的方程、圆的方程的基础上，用代数、几何两种方法研究直线与圆的位置关系．3 初步学会用待定系数法、数形结合法解决与圆有关的一些简单问题．4 能应用圆的方程解决一些简单的实际问题，培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力．任务分析圆是学生比较熟悉的一种曲线，建立圆的方程也比较容易．学习时，应根据问题条件，灵活适当地选取方程形式，否则，可能导致解题过程过于烦锁．在解决直线与圆、圆与圆位置关系问题时，要尽可能挖掘、应用关于圆的隐含条件，要注意数形结合、待定系数法的应用．教学设计一、问题情境圆是最完美的曲线，它是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合．定点是圆心，定长是半径．在平面直角坐标系中，怎样用坐标的方法刻画圆呢？［问题］河北省赵县的赵州桥，是世界著名的古代石拱桥，也是造成后一直使用到现在的最古老的石桥．赵州桥的跨度是，圆拱高约为．建立适当的平面直角坐标系，写出这个圆拱所在的圆的方程．解析：要求圆的方程，只要确定圆心的位置和半径的大小．第一步：以圆拱对的弦所在的直线为ｘ轴、弦的垂直平分线为轴建立直角坐标系．根据平面几何知识可知，圆拱所在圆的圆心O必在轴上，故可设O1（0，b）．第二步：设圆拱所在圆的半径为r，则圆上任意一点的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．问：一辆宽为、高为3m的货运车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为轴，建立直角坐标系如图，那么半圆的方程为2＋2＝16，（≥0）．将＝代入，得即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．思考：假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高至少为多少米？［练习］1 求经过三点A（－1，5），B（5，5），C（6，2）的圆的方程．2 求过两点A（3，1），B（－1，3）且圆心在直线3－－2＝0上的圆的方程．六、拓展延伸1 自点A（－1，4）作圆（－2）2＋（－3）2＝1的切线，求切线的方程．思考：（1）当点Ａ的坐标为（2，2）或（1，1）时，讨论该切线与圆的位置关系分别有什么变化？（2）如何判定直线与圆的位置关系的判定方法．直线与圆的位置关系的判定常用两种方法：几何法和代数法．若直线的方程为A＋B＋C＝0，圆C的方程为（－a）2＋（－b）2＝r2．①几何法设圆心（a，b）到直线的距离为d，则d＞ｒ与c相离；d＝r与c相切；d＜r与c相交．②代数法Δ＞0方程有两个不同解方程组有两个不同解与C有两个不同交点相交；Δ＝0相切；Δ＜０相离．2 若圆2＋2＝m与圆2＋2＋6－8－11＝0有公共点，求ｍ的取值范围．思考：如何判定圆与圆的位置关系．圆与圆的位置关系的判定主要就是几何法．已知，则d＞r1＋r2C1与C2外离；d＝r1＋r2C1与C2相外切；d＝｜r1－r2｜C1与C2相内切；｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2C1与C2相交；d＜｜r1－r2｜C1与C2内含．3 画出方程：｜｜－1＝表示的曲线．4 已知圆C：2＋2＝r2，直线：a＋b＝r2．当点P（a，b）在圆C上、圆C内和圆C外时，分别研究直线与C具有怎样的位置关系．5 已知：圆满足：①截轴所得的弦长为2；②被轴分成两段弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线：－2＝0的距离为．求该圆的方程．点评这节课重点研究了圆方程的两种表示形式，突出了利用待定系数法、几何法来确定圆的方程，及利用圆的方程解决简单的实际问题，对圆与直线、圆与圆位置关系稍作涉列．由于初中几何中研究这些知识较多，所以对这些内容的探究放手于学生，对学生能力的培养与锻炼大有好处．此外，例题和练习的选取配置较好，突出了与实际问题的联系，易激发学生的学习兴趣．这篇案例在继承中国传统的“双基”同时，着眼于在体现课程新理念上（尤其是体现新的探究、自主学习理念）有所突破．。
《圆的认识》重难点突破教学活动研磨单22
研磨后，对于判断
重难点有什么新思考？
初步认识了圆，会画圆、并且知道了圆的大小与什么有关，位置与什么有关。在活动中，感受圆与其他图形的区别，沟通他们的联系。
（3）教Βιβλιοθήκη 改进比较研磨前后我的进步点
2.教材内容落实情况：通过观察、操作、比较等活动，培养学生的观察能力，动手操作能力和抽象概括能力。
3. 课标要求落实情况：让学生经历从现实生活中发现圆、认识圆的过程，体会数学与生活的密切联系。
研磨后对于教学目标的确定与实施有什么新思考？
在时间上分配的不够好，以至于讨论时间稍长，影响了后来学生的画圆和相应的练习，这部分内容，学生还没有充分施展，就草草结束了。对学生备的不够。给学生的问题是：“你发现了什么？”我的意在引导学生用自己的话说出半径越长圆就越大，说不到点上。后来我引导说：从大小上看，它们和什么有关？学生们这才能够说出来。学生对圆的本质特征的理解有一个过程，很多时候我太着急。而且，对教学语言的把握我得再用心些。
教学目标达成
1. 学习重点是否合理：首先是开门见山由“圆”字带给你的想法到情景图中找、指圆再到揭示课题，其次是放手让学生在猜、折、做、画等各种数学活动中认识角，再拓展延伸，最后是归纳交流，学习重点合理。
2. 学习难点是否解决：课堂教学中，我始终站在学生的角度来思考教学方案，考虑课堂结构。注重丰富的教学情境的创设，注重学生的亲身体验，注重对学生开展探究活动的指导，注重引导学生将知识转化为能力，实现课堂中师生、生生之间的交流，学习难点解决。
2.在活动中，感受圆与其他图形的区别，沟通他们的联系。
3.学情分析：圆是日常生活中常见的图形，但学生对圆的基本特征缺少研究。它是小学几何的一个新知识点，研究方法有所变化。通过学习，可以使学生初步掌握研究曲线图形的基本方法，为学习圆柱圆锥的知识打下基础。
圆的周长突破重难点教学设计
圆的周长突破重难点教学设计教材分析：圆的周长是学生在学习直线图形的周长、面积基础上第一次学习曲线图形的周长。
苏教版五年级上册第五单元。
教材创设了一个“天坛”的简单情景，帮助学生认识圆的周长，并用“绕线”“滚动”等常用方法测量圆的周长，然后安排了探究活动：“圆的周长与什么有关？有什么关系？”通过研究发现圆的周长与直径的关系，从而推导出圆的周长计算公式。
教学目标: 1、知识与技能目标：使学生直观认识圆的周长，知道圆的周长的含义，通过对圆周长的测量方法和圆周率的探索、圆的周长计算公式的推导等教学活动，培养学生观察、猜测、分析、抽象、概括、动手操作的能力和解决简单的实际问题的能力。
2、过程与方法目标：通过动手操作，猜想验证等方法使学生亲历整个探寻知识的过程，从而掌握圆周长计算的由来和相关知识。
3、情感态度与价值观：通过介绍我国古代数学家祖冲之在圆周率方面的伟大成就，对学生进行爱国主义教育，激发民族自豪感，培养创新精神以及团结合作精神。
教学重难点：1、探索发现圆的周长与直径的关系；2、运用圆周长的知识解决一些简单的实际问题。
学生学情分析： 1、授课班级学生基础一般，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。
2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。
教学方法：在教学中独立思考、合作操作、小组交流等学习方式交互运用，引导学生在认知矛盾、实际操作中去思考、探究、发现、解决问题。
教具准备：多媒体课件，圆形图片、直尺、计算器、实验单教学过程：一、创设情境，导入新课1、课件出示龟兔赛跑，判断比赛是否公平。
继而引出圆的周长。
（设计目的：通过观看课件中的有趣情景，激起学生探究圆的周长的欲望。
）（板书：圆的周长）二、互动交流，探究新知1、认识圆的周长⑴让学生拿出自己的圆形学具，摸一摸，并配合多媒体动画想一想什么是圆的周长。
（围成圆的曲线的长，叫做圆的周长。
）2、想一想，议一议，如何让利用手中的工具测量圆的周长。
圆的认识重难点突破方案
《圆的认识》重难点突破方案一、教学设计理念：新课标指出：“学生是数学学习的主人”，教师要“向学生提供充分从事数学活动的机会”，并指出：“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”。
本课例我让学生自己动手来折圆纸片、同学之间合作交流，共同探究圆的一些特征。
这样的组织教学，使整节课充满了“做数学”的过程，学生的主体性得到充分展现。
现代信息技术是为教学服务的，其主要功能就是“提供学生学习背景，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
”本课例的教学设计还着力利用信息技术让学生经历体验的过程，将抽象的数学知识形象化。
引导学生积极主动的参与学习过程，培养学生的数学意识和数学能力。
二、教学对象分析：本课时教学对象是小学六年级上学期的学生，年龄在11—12岁。
他们开始对“有用”的数学更感兴趣。
此时，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排更应当关注数学在学生的学习和生活中的应用，使他们感觉到数学就在自己的身边，而且学数学是有用的、必要的，从而愿意并且想学数学。
对于本节课教学的圆学生在生活中有大量的接触，有了一定的知识、经验基础，同时学生具备了很强的动手操作能力，有较强的交流与表达的愿望，使课堂教学引导学生主动探究，开展小组合作学习，培养创新意识和实践能力成为可能。
三、教学内容分析:“圆的认识”是人教版义务教育课程标准实验教科书数学第十一册第四单元P55—58页的内容。
本单元教材教学圆的认识、圆的周长和面积、轴对称图形。
这部分内容是在学生学过了一些常见平面图形的认识，有关平面图形的周长和面积，以及在低年级直观认识圆的基础上教学的。
学生从学习直线图形的知识，到学习曲线图形的知识，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化。
《圆的认识》是这一单元的第一节课，是这一单元中较为重要的教学内容。
本课时的教学是进一步学习圆的周长和面积的重要基础，同时对发展学生的空间观念也很重要。
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B前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。
第1个问题 心、外心知多少【2013元调 第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠= D 、121802AOB AIB ∠-∠=分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。
心：圆在三角形，与三边都相切三角形切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个角平分线的交点。
∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+12∠C外心和心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 心的考查更灵活：常考角度、面积（1）11190,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠（2）1()2S a b c r ABC =++，a 、b 、c 为三边长，r 是切圆的半径当90BAC ∠=时，四边形ADOF为正方形，2a b cr +-=AABE【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=2IM ；③∠BIM=∠BAP ；④PMOBIN +=22；其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为心，心与三角形顶点的连线即为角平分线 则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。
圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。
这里APM BPM ∠=∠，则AM=BM 则△AMB 为等腰直角三角形，AM=BM ，AB=2AM③欲证AB=2IM ，则证IM=AM 或 IM=BM 即可。
令IAB IAP x ∠=∠=，则45,45IAM x AIM x ∠=+∠=+（心性质、外角等于不相邻2角之和） ④对于∠BIM=∠BAP 这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别， 若P 在AB 中点处，显然∠BIM=∠BAP 不成立⑤式子看起来很复杂，看见2联系等腰直角三角形。
本题的主线是 角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。
过点M 作AP 、BP边的垂线，易证PCMD 为正方形。
AB=2OB ，则IM=AM=2AB ，而AB=2OB ，所以IM=2OB ，又PI=2IN ，所以 PM=2（IN+OB ），证毕【例题2】（2013黄冈一模）如图，△ABC 中，下面说确的个数是（ ）个 ①若O 是△ABC 的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°； ②若O 是△ABC 的，∠A=50°，则∠BOC=115°； ③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC 的面积的最大值是12； ④△ABC 的面积是12，周长是16，则其切圆的半径是1；4545xx NIABP45xxNIABPCDN IA OBPA 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：①第1和第2个结论是正确，第4个结论是错误的，不解释； ②第3个结论，有一定难度方法1：勾股定理由图知：底边BC 一定，则AE 最大时，△ABC 的面积的最大 令AB=a ，BE=b ，则AC=10-a ，CE=6-b由于2222AB BE AC CE -=-，则2222-(10-)-(6-)a b a b =，解得 31655a b =+ 因为2222223161616916-()(b 3)5525255a b b b ⨯=+-=--++ 不用具体算出来，当b=3时，有最大值即22AD a b =-取最大，此时△ABC 为等腰三角形，易知AB=5，BD=3，AE=4方法2：海伦－九韶公式，如果你记得住的话： ()()(),2a b cS P p a p b p c p ++=---=令AB=x ，则AC=10-x ，由题知P=8，则 828(86)(8)(2)4(8)(2)4122x x S x x x x -+-=---=-+≤⨯=（也可以用配方法）【训练题】1、如图，O 是△ABC 的，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交E 、F ，则（ ） A 、EF ＞AE+BF B 、EF ＜AE+BF C 、EF=AE+BF D 、EF ≤AE+BF2、已知，如图，点E 是△ABC 的心，延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD 、DC 、EC ，则图中与BD 相等的线段分别是____________________OABCEBCA3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，延长AC 到D ，使CD=BC ，点P 是△ABD 的心，则∠BPC=___________4、如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，如果O 为△ABC 的心，过O 作OE ⊥AD 于E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为__________5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点O 、I 分别为△ABC 的外心和心，AC=6，BC=8，则OI 的值为_______________DBFDA6、如图，△ABC 接于⊙O ，I 是其心，且AI ⊥OI 。
若AC=9，BC=7，则AB=_______7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P ，从点P 向半径OA 引垂线PH交OA 于点H ，设△OPH 的心为I ，那么当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时，I 所经过的路径长为_______________8、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，过B 点的切线交OE 的延长线于点F ，连结FD ，则下列结论： ①DE BE ；②FD 是⊙O 的切线；③∠C=∠DFB ； ④E 为△BDF 的心。
其中一定成立的个数有_______________。
A 、①②③ B 、①②④ C 、①③④ D 、②③ 提示：角的转换要灵活FAA9、如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI。
下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④IF RAE+为定值，其中正确的结论有（）A、①③④B、①②③C、①②③④D、①②④提示：参考例1解法10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是直径，I为△ABC的心，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，IM⊥BC于M。
则下列结论：①EF⊥AD；②AB AC BC+-=；③1)2AD IM BC=+，其中正确的是__________提示：①是对的B11、下列列说法：①如图1，扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，OA=6，点C是AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于D，作CE⊥OB于E，连接DE，点G在线段DE上，且DG＝1 3DE，连接CG。
当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，长度不变的是DG；②如图2，正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心O在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点A于点H重合，且EH切⊙O于点H，延长FH交CD边于点G，则HG的长为193；③已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则其心和外心之间的距离是5cm；其中正确的有___________（请写序号，少选，错选均不得分）图2HAFBA12、已知，如图：在平面直角坐标系中，点D 是直线y x =-上一点，过O 、D 两点的圆⊙1O 分别交x 轴、y 轴于点A 和B 。
（1）当A （-12，0），B （0，-5）时，求1O 的坐标；（2）在（1）的条件下，过点A 作⊙1O 的切线与BD 的延长线相交于点C ，求点C 的坐标； （3）若点D 的横坐标为72-，点I 为△ABO 的心，IE ⊥AB 于E ，当过O 、D 两点的⊙1O 的大小发生 变化时，其结论：AE BE -的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化围；x。