第16讲、导数与函数性质

16.3 渐近线
设函数 f x定义在c,上，若当x 时，点x, f x到直线y ax b的距离趋于 零，则称直线 y ax b 是曲线 y f x 当
x 时的一条渐近线.
16.3.1 渐近线的充要条件
设函数 f x在 c,上有定义，则直线
f x
f x0
f
x0
2

x

x0
2
o x x0 2
x x0

f
x0


x

x0
2

f
x0
2



x

x x0
其中 x为无穷小量，因此当x充分靠近 x0
时，f
Leabharlann Baidu
x0
2



x
与
f
x0

符号相同；
v1 a2 x2 v2 b2 d x2
Tx v1
a2 a2 x2
3
v2
b2
b2 d x2 3

例6、最小二乘法
要测量某一个量的值，共作了n次试验，测
得的数据分别是 a1, a2 ,, an .为代表要测
量的量，需要找这样一个 x0 ：它使得平方和 n f x x ai 2 达到最小.用这样的x0 i 1
或 y ，称 x c是 y f x的一条~
例9、求函数
f
x
x3 x 1的渐近线
x 12
a

lim
x
f
x
x
lim
x
x3 x 1
xx 12

1
b

lim
x
f
x

x

lim
x
2x2 1
x 12

2
因此有渐近线 y x 2 ;
dx f x ax b cos
dx 0x
lim f x ax b 0
x
b lim f x ax x
lim f x a lim f x ax 0 a lim f x
拐点
这个点还有什么特殊的性质？
16.2.3 拐点的必要条件
设 f x在a,b内有连续的二阶导数. 若点 c a,b 是函数 f x的拐点，则 f c 0 证：反证.不妨设 f c 0，由连续性可知 存在c的一个邻域U c，使得 x U c, f x 0 ；由判定定理可知f x 在U c内都是向下凸的，与c是拐点矛盾.

则称它在a, b上是一个向上凸（凸）的函数；
向下凸（凹）
16.2.2 凹凸性的判定定理
设 f x在a,b上有二阶导数. 若对于每一点 x a,b，都有 f x 0，则 f x在a,b上
是向下凸的；
证：设x0 a,b为任意一点，对任意 x a,b
lim f x f x0 0, lim f x f x0 0
xx0 0
x x0
xx0 0
x x0
例2、关于Fermat定理中条件的不充分性
（1）请找一个实例，说明“导数为零的点 可以不是极值点”；
（2）导数为零的点称为“驻点”、“稳定 点” （3）考或察者稳“定临点界是点否”为，极可值能点的的理方由法是是什考么？
结论：x 3 是极大值点，x 0不是极值点.
例5、光的折射定律
设有甲、乙两种介质，其交界面为一平面.设
光从甲种介质中之A点发出，经过两介质的交
界面，到达乙种介质中的B点.光的折射定律
告诉我们：光所走路径满足
s s
in in

0 0
v1 v2
，其中
0是光的入射角，0 是折射角，v1, v2 分别是光
在甲、乙介质中的速度.证明：光所走的路径
是时间最少的路径.
A
d
a

O
x
P
C b
a2 x2 b2 d x2
B
T

v1
v2
T a2 x2 b2 d x2
v1
v2
Tx x
dx
0
v1 a2 x2 v2 b2 d x2
x
dx
作为结果，则有较大把握使误差较小.
f
x
n
2
i 1
x ai
0
x0

1 n
n i 1
xi
16.2 凹凸性
向上凸（凸）
向下凸（凹）
任一点处切线 位于曲线上方
任一点处切线 位于曲线下方
如何用导数语言描述上述直观现象？
16.2.1 函数凹凸性的定义
设 f x在a,b上可导，若对于每个x0 a,b 有x a,b, x x0, f x f x0 f x0 x x0
类似定义极小值和极小值点； 极大/小值统称极值，极大/小值点统称极值点
例1、极值与最值的区别和联系
（1）极值未必是闭区间上的最值； （2）闭区间上的最值未必是极值； （3）若一个函数在定义区间内（而非端点）
取得最大值，则这个值必为极大值； （4）函数在闭区间上的最大值要么是极大值
点，要么是端点值；
y

xx 2 x 12
y

x
2
13
渐近线：y x 1, x 1
感谢倾听！
虑其两侧附近函数值的性态.
例3、求 f x x3 6x2 15 x 4 的极值点
f x 3x2 12 x 15 0 x1 1, x2 5
+
-
+
-1
5
极大
极小
f 1 12 f 5 96
16.1.3 利用稳定点的二阶导数判断极值点
此外有垂直渐近线 x 1（为什么？）
16.4 函数作图
函数作图的一般步骤： （1）考察定义域，连续性，可微性； （2）求导：稳定点，单调区间，极值点； （3）求二阶导数：凹凸性，拐点； （4）无穷变化趋势，渐近线等
例10、作 y x2 的简图 x 1
定义域：x 1，考虑该点附近的性态
且 x x0，写出拉格朗日余项的泰勒公式：
f
x
f
x0
f
x0 x
x0
1 2
f
x
x0 2
例7、y ax3 bx2 cx d a 0的凹凸性区间
y

x 6ax 2bx

b b
3a , 3a ,
向下凸 向上凸
大学数学先修课 微积分
第16讲 导数与函数性质1
16.0 函数性质与函数图象
作为函数的直观表示的函数图象： 定义域，值域，连续性； 单调区间与极值点； 凹凸区间与拐点；（*曲率） 渐进性质；
16.1 极值问题
16.1.1 极值点
若函数 f x在 x0 点附近有定义，且存在一个 邻域U x0 使得 x U x0 , f x f x0 ， 则称函数值 f x0 为极大值，x0 为极大值点；
设函数 f x在区间a,b内有一阶导数，x0 a,b 是它的一个稳定点，且 f x在 x0有二阶导数. 若f x0 0，则 x0为极大值点；若f x0 0，
则 x0 为极小值点.
提示：考虑 f x在 x0点的泰勒公式
证：由稳定点条件可知 f x0 0
x0
3

f
x0
6



x

x x0
其中 x为无穷小量，因此当x充分靠近 x0
时，
f
x0
6



x

与
f
x0

符号相同；
但是 x x0 3在 x0点两侧改变符号……
16.1.4 对稳定点的一般判定
设f x在 x0点有 2n 阶导数，且 f x0 f 2n1 x0 0
y ax b 是 y f x 当x 时之渐近
线的充要条件是：
a lim f x,b lim f x ax
x x
x
证：充分性比较显然 dx f x ax b
必要性：设 x, f x 到直线 y ax b距离为dx
例8、关于拐点条件的进一步追问
（1）举例说明 f c 0 不是充分条件；y x4 （2）将 f c 0与什么条件结合，能够保证
是拐点？给出猜测并说明理由.
设 f x在 a,b 内有连续的三阶导数. 若 存在点 c a,b 使得 f c 0, f c 0， 则c是 f x的拐点.
16.1.2 极值点的必要条件（Fermat定理）
设 f x在a,b上有定义，若x0 a,b是f x 的极值点，且 f x 在 x0 处可导，则f x0 0
提示：还记得Rolle定理的证明过程吗？
证：设 x0为极大值点，则存在U x0 a,b
使得 x U x0 , f x f x0 ；由此可知
x x
x
x
x x
16.3.2 渐近线的可能情况：
y ax b : a lim f x,b lim f x ax
x x
x
特殊情况：水平渐近线 lim f x b x
前述定义未包含情况：垂直渐近线
若当x c 或x c 0, x c 0时，y
因此当 f x0 0 时 f x f x0 ，f x0 是极小值.
追问：如果 f x0 f x0 0 呢？
f x
f x0
f
x0
6

x

x0
3
o x x0 3
x x0

f
x0 x
若 f 2nx0 0，则x0 为极小值点； 若 f 2nx0 0，则x0 为极大值点.
例4、研究 f x x3ex 的极值点
f x 3x2 x3 ex 0 x1 0, x2 3 f x x3 6x2 6x ex f 3 0, f 0 0 f x x3 9x2 18x 6 ex f 0 0