六大几何模型.等积变形(动图版)(课堂PPT)

六大几何模型.等积变形第1部分(动图版)pptx

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巩固1：三角形ABH的面积为6，求阴影部分面积？
巩固2：已知正方形ABCD的边长为10，正方形BEFG的边长为6，求阴影部分面积？
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巩固1：三角形ABH的面积为6，求阴影部分面积？
答案：6
巩固2：已知正方形ABCD的边长为10，正方形BEFG的边长为6，求阴影部分面积？答Fra bibliotek：2012
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结论一：等底等高的两个三角形的面积相等；如下图：
结论三：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的比；如下图：
则面积比等于高的比；
如下图： ��△�� : ��△�� = AE :DE
D
��△�� = ��△��
六大几何模型详解和例题
作者：Flora和一只叫81的肥猫
2018.01
等积变形
1
2
一半模型鸟头模型
3
4 5 6
2
蝴蝶模型燕尾模型相似模型
01
等积变形模型
基础公式：��△ = 底 × 高 ÷ 2 （三角形面积的大小，取决于底和高这两个量的大小。）
等积变形习题
等积变形模型说明：等积变形中的“积”指的是面积，三角形作为最基本图形，任何直线型图形都可分解成若干个三角形，等积变形里主要研究的是三角形面积变换。等积变形模型实际应用中，常用的3个结论：结论二：如果两个三角形等底，但高不等，
13
A
D
B
C
主要应用场景：正方形、长方形、平形四边行、梯形等

六年级下册小升初6等积变形人教版(17张PPT)人教版

则满足条件的三角形有：
0
△ABD和△ACD
B
C
△ABC和△DBC
△ABC和△DBC都减去△BCO，可得：
△ABO和△CDO
故面积相等的三角形共有3对。
即如图，在梯形ABCD中,梯形ABCD的面积是25，
学即
△ABC的面积是15，△ABD的面积是多少？
练
S△ACD=25-15=10 S△ABD=S△ACD=25-15=10
练
S阴影 =6×6÷2 =36÷2 =18（cm2）
等积变形的几个重要结论：
(1)等底等高的三角形面积相等。
(2)等高看底：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么，这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)等底看高：若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么，这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
S△ABD=25-15=10
融例5：如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、会 AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米，求△ABC 贯的面积？通思考一下：能运用等积变形的知识解决这个问题吗？
连接BE D为AB的中点，即AD=BD
B D
S△AED=S△BED=30（cm2）
A
E
师：刚才，我们听到钟声“滴答”一声所经过的时间就是１秒，拍下手、数一个数、跺一下脚等所经过的时间也是1秒，你们觉得1秒的时间怎么样？
师：同学们，除了刚才老师播放的情景外，你们还知道哪些地方要用到时间单位“秒”？（学生举例，根据学生的列举出示交通标志——红绿灯、火箭发射、新年钟声倒计时等情
景图片） ①每次从纸盒里摸出一个球，记录它的颜色；

《等积变形》课件制作

B
C
S△AOD = 3÷2 =1.5(cm2 )
S梯形ABCD= 6+3+3+1.5=13.5(cm2 )
例 2 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到点D，把它的另
一边AC延长2倍到点E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE的面积是三角形ABC面积的多少倍？
AE = 3AC S△ABE = 3 S△ABC
课后练习
如图，AE=3AB，BD=2BC，△DBE的面积是△ABC面积的几倍？
A
B
E
C
D
你有什么收获？
五年级数学思维课堂
等积变形（一）
等（同）底、等（同）高的两个三角形面积相等。
6
6
例 1 如图，四边形ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为
4个三角形。已知其中两个三角形的面积为3cm2和6cm2，求直角梯
形ABCD的面积。
A
D
1.5
3O3

S△AOB = S△DOC = 3 (cm2 ) S△BOC = 2 S△DOC OB = 2OD S△AOB = 2 S△AOD
AD = 2AB S△ADE = 2 S△ABE = 6 S△ABC
AD = 2AB S△ACD = 2 S△ABC
AE = 3AC S△ADE = 3 S△ACD = 6 S△ABC
例 3 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边
形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
S阴 = S△CDE = S▱DEFC ÷2 = 56÷2÷2 = 14（厘米2）

平面几何常考五大模型等积变换鸟头蝴蝶相似燕尾

平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝）等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。

模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

bS 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：等积变化原理之四边形应用S 4S 3s 2s 1O DC BA141423213S S =S S S S DO OB S S +==+模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b2（2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ；（4）141423213S S =S S S S DO OB S S +==+ :模型四：相似三角形性质①a b c hA B C H=== ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2︰A 2hh H cb a CB Aac b HC B模型五：燕尾定理F ED CBAS △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4，S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。

等积变换模型--五大模型

等积变换模型—五大模型一、等积模型简介。

1. 等底等高的两个三角形面积相等；2. 两个三角形高相等，面积之比等于底之比；如图1所示，CD :BD :△△=ACD ABD S S ;3. 两个三角形底相等，面积之比等于高之比；如图2所示，BF :AE :△△=BCD ACD S S4. 在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，BCD ACD S S △△=；反之，如果BCD ACD S S △△=，则直线AB//CD 。

二、将三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？练习：1.画一画：用三种不同方法，把下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为2:1:1。

2.画一画：用三种不同的方法将下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为4:3:1。

3.如图，在梯形ABCD中，共有8个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？三、三角形中的等积变换。

例1：在如图三角形ABC中BD:DC=2:3，AE=EB，甲乙两个图形的面积比是多少？例2：如图所示，三角形ABC 被分成四个小三角形，其中三个三角形的面积分别为8平方厘米、6平方厘米、12平方厘米，求阴影部分的面积。

例3：如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点。

已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE 的面积。

例4：如图，三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

练习：1. 如图所示，在三角形ABC 中，CE=ED=DB ，AF=FB ，三角形ABC 的面积是24平方分米，那么，三角形FDE 的面积是多少平方分米？2. 已知一个大三角形被分成四个小三角形，其中有三个三角形的面积分别是3，4，6，求阴影部分的面积？3. 已知图中△ABC 的每边长都是96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，则线段CE 和CF 的长度之和是多少厘米？4. 如图，已知三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

小学数学几何必考五大模型优秀课件

8 典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE= 1.5，CF= 2．长方形EFGH的面积为？
H
H
A
D
A
D
E
E
G
G
B FC
B FC
【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， ,所以长方形EFGH面积为33．
1
在学习小学数学的时候，几何模型算是比较新颖的一个模块，学生们熟练掌握五大面积模型，并掌握五大面积模型的各种变形，
今天就为大家推荐一篇小学数学几何五大模型的内容。
2
3 一、等积模型
A
B
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
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证明：连接AG（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）
∴ 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等。长方形的宽=8 ×8÷10=6.4（厘米）
11 【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E 、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH ,HC ，如下图：
它们的高之比．
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二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
A
D
D E
A E

第二讲等积变形

第二讲等积变形四年级暑假时，我们学过一讲四边形中的基本图形。

在那讲我们简单地认识了一些四中的一半模型，今天，将继续我们的模型学习——等级变换模型。

一、常见一半模型复习二、本讲知识点概括1、顶点相同、底边共线的两个三角形面积关系△ABD 与△ADC 的顶点都是A ，底边BD 、BC 在一条线上，则两个三角形的高是相同的。

那么我们可以得到：△ABD 与△ADC 的倍比关系与底边BD 与DC 的倍比关系相同。

例：DC=2BD,则△ADC=2 △ABD 。

2、平行线中的等积变形△ABC 、△DBC 、△EBC 的形状不同，但是面积都是形同的。

（1）三个三角形的底边形同，都是BC.（2）平行线之间，则三个三角形的高形同。

三、例题讲解例1、分析：此题就是平行线中等积变形的简单应用。

因为AF 与BD 为平行线，3个三角形共用一个底边，且BC=BD. 所以得到：B丙甲乙BEAC B例2、分析：3对，分别是：，，例3、分析：如图：梯形ABCD中若AE∥BC,则可得到平行四边形ABCE.那么在平行四边形ABCE 中的甲乙两个三角形满足一边模型。

则平行四边形ABCE面积可求。

梯形面积可求。

解题如下：2丙=20（平方厘米），丙=10（平方厘米）平行四边形面积=2（甲+乙）=2×20=40（平方厘米）梯形ABCD面积=平行四边形面积+丙=40+10=50（平方厘米）拓展练习：如图在梯形ABDE中，BC=CD=AE,F是CE的中点，△ABC的面积为6平方厘米，求梯形ABDE的面积？例4、（1）△ABC与△ABD都以A为顶点，底边BC、BD共线，且BC=BD，所以△ABD与△ADE都以D为顶点，底边AB、AE共线，且ABC=AE，所以所以拓展练习：（1）如图△ABC的面积为24平方厘米，E、F分别是AB和AC的中点，那么△EBF的面积是多少平方厘米？提示：找顶点相同，底边共线的三角形，利用底边的倍比关系求解。

小升初图形专题——五大模型

一、等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

（4）正方形的面积＝边长×边长＝对角线×对角线÷2S 正方形＝a ×a S 正方形＝b×b÷2（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型【共角三角形】定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

规律：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型：一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===；②22::ADE ABCS S AF AG=△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。