均值不等式的证明(精选多篇)

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均值不等式的证明精选多的篇

均值不等式的证明篇一:均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式关系，它说明了算术平均数和几何平均数之间的关系。

具体表达式为：对于任意非负实数集合{a1,a2,an}，有(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当所有的非负数都相等。

下面，我们将给出AM-GM不等式的证明。

证明：首先，我们可以假设所有的a1,a2,an都是正实数。

因为AM-GM不等式对于非负实数也是成立的，所以我们可以通过限制条件来放缩实数集合。

考虑对数变换。

定义函数f(x) = ln(x)，其中x>0。

因为ln(x)在整个定义域都是凸函数，所以根据对数函数的性质，我们有：f((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(f(a1)+f(a2)+.+f(an))即，ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ (1/n)(ln(a1)+ln(a2)+.+ln(an))这是因为凸函数的定义是在一条直线上任取两个点，它总是在两点的连线上方。

继续推导，根据ln的性质，我们有：ln(a1 a2 .*an) = ln(a1) + ln(a2) + . + ln(an)将上述不等式代入这个等式中，得到ln((a1+a2+.+an)/n) ≥ ln(a1 a2 .*an)^(1/n)移项化简得到(a1+a2+.+an)/n ≥ (a1 a2 .*an)^(1/n)即AM-GM不等式得证。

最后，我们来说明等号成立的条件。

根据对数函数的性质，等号成立当且仅当所有的非负数的对数都相等，即a1 = a2 = . = an。

至此，我们完成了AM-GM不等式的证明。

总结： AM-GM不等式是数学中常用的一种不等式关系。

它表明算术平均数大于等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有的非负数相等。

该不等式的证明可以通过对数变换和凸函数的性质进行推导得到。

篇二:在数学中，均值不等式是一类用于比较多个数的重要不等式。

不等式证明（共8篇）

不等式证明（共8篇）第1篇：不等式证明,均值不等式1、设a,b∈R，求证：ab≥(ab)+aba+b2≥abba2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc3、(a+b+c)(1119++)≥ a+bb+cc+a24、设a,b∈R+，且a+b=1，求证：(a+)+(b+)≥5、若a+b=1，求证：asinx+bcosx≤16、已知a+b=1，求证：a+b≥7、a,b,c,d∈R求证：1＜+441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a+b+db+c+ac+d+bd+a+c18、求证2+2+2+Λ+2＜2 123n1111++Λ+＜19、求证：≤2n+1n+22n10、求下列函数的最值（1）已知x＞0，求y=2-x-（2）已知x＞2，求y=x+4的最大值（-2）x1的最小值（4）x-2111（3）已知0＜x＜，求y=x(1-2x)的最大值（）221611、若正数a,b满足ab-(a+b)=1则a+b的最小值是（）（2+2333）12、已知正数a,b求使不等式(a+b)≤k(a+b)成立的最小k值为（）（4）3、求函数y=14、二次函数f(x)=x+ax-x+a的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x+2m(x+3)+2m+14=0有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m ＜-22221）416、关于x的方程mx+2x+1=0至少有一个负根，则m的取值范围是（m≤1）17、关于x的方程2kx-2x-3k-2=0有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）218、为使方程x2-2px-1=0的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜19、函数f(x)=ax2+x+1有零点，则a的取值范围是（a≤20、判断函数f(x)=x-21、已知方程x-22343）41）41+1的零点的个数（一个）x3⎡95⎤x=k在[-1,1]上有实数根，求实数k的取值范围（⎢-,⎥）2⎣162⎦22、已知方程7x2+(m+13)x+m2-m-2=0有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(-2,-1)⋃(3,4)）23、关于的方程2ax-x-1=0在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,+∞)24、若关于的方程lg(xx2x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一实根，求a的取值范围第2篇：不等式证明不等式证明不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。

常用均值不等式及证明证明

常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。

由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。

对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。

由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。

即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。

简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。

三元均值不等式公式证明

三元均值不等式公式证明在数学的世界里，有一个非常实用的工具，那就是三元均值不等式。

今天咱们就来好好唠唠它的公式证明。

咱们先把三元均值不等式的公式写出来：对于任意的正实数 a、b、c，有$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$ 。

那怎么来证明它呢？咱们一步步来。

咱先假设 $a\geq b\geq c > 0$ 。

先看左边，$\frac{a + b + c}{3}$ ，这就相当于把这三个数加起来平均分成三份。

再看右边，$\sqrt[3]{abc}$ ，这是这三个数的几何平均值。

为了证明这个不等式，咱们可以巧妙地利用排序不等式。

啥是排序不等式呢？就是对于两组数 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leqa_n$ 和 $b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$ ，有 $a_1b_1 + a_2b_2 +\cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots +a_nb_{\sigma(n)}$ ，其中 $\sigma$ 是 $1, 2, \cdots, n$ 的任意一个排列。

回到咱们的三元均值不等式，因为 $a\geq b\geq c > 0$ ，所以 $a^3 \geq b^3 \geq c^3 > 0$ 。

根据排序不等式，咱们有 $a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2bc + b^2ac +c^2ab$ 。

这一步是不是有点晕？别慌，我给您举个小例子。

比如说有三个数 5、3、2，咱就按从大到小排，5 最大，3 次之，2 最小。

那么 5 的三次方就是 125，3 的三次方就是 27，2 的三次方就是8。

如果咱把它们打乱顺序相乘相加，比如 5 的平方乘以 3 乘以 2 加上3 的平方乘以 5 乘以 2 加上 2 的平方乘以 5 乘以 3 ，和 125 + 27 + 8 比起来，肯定是后者更大。

均值不等式的多种证明方法许兴华数学

均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。

在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。

1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。

一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。

2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。

下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。

2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。

在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。

对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。

许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。

解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。

然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。

那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。

2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。

在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。

在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。

3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。

均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。

数学均值不等式的证明方法

数学均值不等式的证明方法一、凸函数的性质法：凸函数是指曲线所在区间上的任意两点连线的部分都位于曲线的上方。

我们可以证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数，则有如下均值不等式成立：f((a+b)/2) ≤ (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx ≤ (f(a) + f(b))/2通过利用凸函数的性质，我们可以推广到更一般的形式：f((a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ)/(a₁+a₂+...+aₙ))≤(a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+...+aₙf(xₙ))/(a₁+a₂+...+aₙ)其中，a₁,a₂,...,aₙ是非负实数，且满足a₁+a₂+...+aₙ≠0，x₁,x₂,...,xₙ是函数f(x)的定义域上的任意n个值。

二、Cauchy-Schwarz不等式的证明法：Cauchy-Schwarz不等式是数学中最常用的不等式之一，它的一般形式可以写为：(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)，≤√((a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²))其中，a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ是任意实数。

利用这个不等式，我们可以证明数学均值不等式中的特例。

例如，我们可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明算术平均数大于等于几何平均数的不等式：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≥√(a₁a₂...aₙ)三、归纳法和递推法：在证明数学均值不等式时，可以利用归纳法和递推法构造一些递推关系式，从而推导出不等式的成立。

例如，在证明幂平均不等式时，我们可以先证明对于n=2的情况成立，即:(a²+b²)/2≥(√(a²)+√(b²))/2然后，通过递推关系式：(a₁^n+a₂^n)/2≥(√(a₁^n)+√(a₂^n))/2(a₁^(n+1)+a₂^(n+1))/2≥(√(a₁^(n+1))+√(a₂^(n+1)))/2不断迭代，可以得到幂平均不等式在任意正整数n下成立。

均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇)常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

均值不等式的证明(精选多篇)

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。

均值不等式

均值不等式及其应用戴又发一．基本均值不等式（一般形式）设0>i a ，n i ,,,, 321=，记：na a a nH 1++1+1=21 为n a a a a ,,,, 321的调和平均值， n n a a a a G 321= 为n a a a a ,,,, 321的几何平均值， n a a a a A n++++=321 为n a a a a ,,,, 321的算术平均值， na a a a Q n 2232221++++=为n a a a a ,,,, 321的平方平均值，则 Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ====321 时，等号成立．（特殊形式2=n ）若0>0>b a ,，则 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ，当b a =时，等号成立．二．基本均值不等式证明1．证明一（2=n ）（比较法证A G ≤）0≥21=2+21=2+=2)()(b a ab b a ab b a G A －－－－． A G ≤∴，当b a =时，等号成立．（分析法证Q A ≤）由 2+≤2+22b a b a ，得2+≤42++2222b a ab b a ，即 22+≤2b a ab ，显然成立，以上各步均可逆，所以2+≤2+22b a b a ．当b a =时，等式成立．（放缩法证Q A ≤）2+=2+=42++≥4+++=2+222222222ba b a ab b a b a b a b a )( ，所以2+≤2+22b a b a ．当b a =时，等式成立．（放缩法证G H ≤）ab ba abab b a ab ba ≤+2×=+2=1+12．所以 ab ba ≤1+12∴．当b a =时，等式成立．2．证明二（3=n ）如果+R c b a ∈,,，那么abc c b a 3≥++333．（当且仅当c b a ==时等号成立）∵abc ab b a c b a abc c b a 333++=3++2233333－－－－)()(])())[((c b a ab c c b a b a c b a ++3+++++=22－－ ])[(ab c bc ac b ab a c b a 3++2+++=222－－－ ))((ca bc ab c b a c b a －－－222++++=])()())[((222++++21=a c cb b ac b a －－－．A BCDOA 1 A 2A 3A 4B 1 B 2 B 3 B 4∵+R c b a ∈,, ， 0≥3++∴333abc c b a －，即 abc c b a 3≥++333．当且仅当c b a ==时等号成立．于是有 3333333333≥++c b a c b a )()()(⇒33≥++abc c b a3≥3++abc c b a ． 3．均值不等式（2=n ）几何解释1：以b a +为直径作圆O （如图），AB 为直径，a AC =，b CB =，过C 作AB CD ⊥交圆上一点D ，过O 作AB OM ⊥交圆上一点M ，连接CM ，OD ，过C 作OD CE ⊥于E ，于是2=b a OC －，2+==ba OM OD ，ab CD =，2+=22b a CM ，ba DE 1+12=，由CM OM CD DE ≤≤≤，得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ．当b a =时，等号成立．4．均值不等式（2=n ）几何解释2 ：梯形ABCD 中，上底a AB =，上底b CD =，对角线BD AC ,相交于O （如图），点4321A A A A ,,,在AD 上，点4321B B B B ,,,在BC 上，且44332211B A B A B A B A //////，若11B A 过点O ，则ba b a ab B A 1+12=+2=11；若22B A 使得梯形∽22A ABB 梯形CD B A 22，则ab B A =22；ABCDOMabE若33B A 是梯形ABCD 的中位线，则2+=33ba B A ；若44B A 使得梯形44A ABB 和梯形CD B A 44的面积相等，则2+=2244b a B A ；于是有得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ．三．对数均值不等式和指数均值不等式及其证明 1．若0>0>b a ,，且b a ≠，称ba ba ln ln －－为b a ,的对数平均值，则2+<<ba b a b a ab ln ln －－．证明：不妨设0>>b a ，另1>=bat ，由2+<<b a b a b a ab ln ln －－，得21+<1<)(ln )(t b t t b t b －，即21+<1<t t t t ln －，所以 tt t t t 1<<1+12－－ln )(．构造函数1+12=t t t t f )(ln )(－－，则0>1+1=1+41=′222)()()()(t t t t t t f －－，所以)(t f 在),[∞+1上是增函数，又0=1)(f ，所以0>)(t f ，即t t t ln )(<1+12－．再构造函数tt t t g 1+=－ln )(，则0<21=212=21211=′2tt t t t t t t t t t t g )()(－－－－－－，所以)(t g 在),[∞+1上是减函数，又0=1)(g ，所以0<)(t g ，即tt t 1<－ln ．所以tt t t t 1<<1+12－－ln )(，故2+<<ba b a b a ab ln ln －－． 2．若R b R a ∈,∈，且b a ≠，称ba e e ba －－为b a ,的指数平均值，则 2+<<2+b a b a b a e e b a e e e－－．证明：在对数均值不等式2+<<ba b a b a ab ln ln －－中，将正数b a ,分别用b a e e ,代替，即得2+<<2+b a b a ba e eb a e e e－－．四．均值不等式应用利用均值不等式求最值：（1）如果正数y x ,满足积P xy =（是定值），则y x =时，和y x +有最小值P 2；（2）如果正数y x ,满足和S y x =+（是定值），则y x =时，积xy 有最大值22)(S ．例1 已知实数y x ,满足0>>y x ，且1=2+4+1yx y x －，则y x +2的最小值是．解析： 0>2+0>y x y x ,－，)()(y x y x y x 2++=+2－))(())((yx yx y x y x y x y x y x y x －－－－2++2+4+4+1=2+4+12++= 9=42+5≥．当6=2+=2y x y x )(－时，即1=4=y x ,时，y x +2的最小值是9．例2 已知正实数y x ,满足6=3+2xy x ，则y x 3+2的最小值是（）3.A234－.B 29.C211.A 解析：由6=3+2xy x ，得26=3－xy ，234≥26+2=3+2－－∴xx y x ．当3=x 时，y x 3+2 取得最小值 234－，选B ．例3 设0>>b a ，则)(b a a ab a －1+1+2的最小值是（） 1.A2.B3.C4.D解析：4≥1++1+=1+1+2abab b a a b a a b a a ab a )()()(－－－，当1=ab ，且1=)(b a a －时，即22=2=b a ,等号成立，故选.D例4．求证：)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．解析：由2+≥2+22b a b a ，得)(b a b a +22≥+22，同理)(c b c b +22≥+22，)(a c a c +22≥+22，所以)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．例5．设0>0>b a ,，且1=+b a ，求证：225≥1++1+22)()(b b a a ．解析：∵21=2+≤b a ab ， ∴41≤ab ， ∴4≥1ab，于是 22)()(21+1+12=21++1+2≥1++1+22b a b b a a bb a a )()(225=252≥21+12=2++12=2)(22)()(ab ab b a ． 225≥1++1+∴22)()(b b a a ．例6 已知的三边长为c b a ,,，其外接圆半径为R ，求证：222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((．解析：由正弦定理，有R a A 2=sin ，所以2224=1aR A sin ，同理，2224=1b R B sin ，2224=1cR C sin ，所以，)sin sin sin )((CB A c b a 2222221+1+1++ 2322232222222222236=3×3×≥1+1+1++4=R cb ac b a R c b a c b a R 4))((，即 222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((．例7 设c b a ,,为正实数，求证32≥+1+1+1333abc c b a ．解析：32≥+3≥+1+1+1333abc abc abc c b a ．当且仅当613===c b a 时，等号成立．例8 设c b a ,,均为正数，证明：361+1+1+++2222≥)(cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时等号成立．解析：3≥2222223++c b a c b a ，322223219=131+1+1cb a abc c b a ))((≥， 36=27219+31+1+1+++32222222222≥≥∴3cb ac b a c b a c b a )(．当且仅当c b a ==，且3=2223c b a 时等号成立，即43===c b a 时等号成立．例9 已知函数x xe x f －=)(，如果21≠x x ，且)()(21=x f x f ，证明：2>+21x x ．证明：由x xe x f －=)(，x x x e x xe e x f －－－－－)()(1==′，可知，当0<x 时，0<)(x f ；当0>x 时，0>)(x f ；当1<x 时，0>′)(x f ；当1>x 时，0<′)(x f ；由)()(21=x f x f ，得0>0>21x x ,，2121=x x e x e x －－，2211=x x x x －－ln ln即1=2121x x x x ln ln －－，由 2+<=1212121x x x x x x ln ln －－，所以2>+21x x ．例10 设数列}{n a 的通项公式为na n 1++31+21+1= ，证明：)ln(1+2<n a n ．证明：由2+<b a b a b a ln ln －－，得 ba b a b a +2>－－ln ln ，令 12=1+2=－n b n a ,，得n n n 21>2121+2)ln()ln(－－，所以 nn n 1>121+2)ln()ln(－－．于是 na n 1++31+21+1= )ln()ln()ln(ln ln ln ln 1+2=121+2++35+13<n n n －－－－，即 )ln(1+2<n a n ．四．练习题1．已知正数b a ,满足2=2+1b a ，求224+1ba 的最小值． 2．已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x －22+的最小值为．3．若对任意0>x ，a x x x≤1+3+2恒成立，则的取值范围是．4．若0>0>b a ,，且不等式0≥++1+1ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于． 5．①求函数)(x x y －1=2的最大值)(1<<0x ；②求函数)(21=x x y －的最大值)(1<<0x ．6．若1=+b a ，求证：2≤21++21+b a ． 7．设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明：31≤++ca bc ab ．8．当2>n 时，求证：1<1+1)(log )(log n n n n －．9．设函数x a ax x x f )(ln )(－－2+=2的两个零点是21x x ,，求证：0<2+′1)(xx f ． 10．设数列}{n a 的通项公式为1+1+1=)(n n a n ，其前n 项和为n S ，证明：)ln(1+<n S n ．参考答案与提示：第1题 2；第2题 22；第3题（),[+∞51）；第4题 4－；第5题 ①274，32=x② 932，33=x ；第9题由0=2+=12111x a ax x x f )(ln )(－－，0=2+=22222x a ax x x f )(ln )(－－，两式相减，0=2++21212121))(())((ln ln x x a x x x x a x x －－－－－，2+<2++1=21212121x x a x x a x x x x －－－)(ln ln ，于是有 0>2+2++21221－－))(()(x x a x x a ，即0>1++2+2121))()((x x x x a －， 0>2+21－)(x x a ，且0>a ，又因为))(()()(11+2=1+2+2=2+21=′2－－－－－－ax x xx a ax a ax x x f ，当0≤a 时，0>′)(x f 在),(+∞0上恒成立；当0>a 时，)(x f 在),(a10上单调递增，在),(+∞1a上单调递减；由0>2+21－)(x x a ，且0>a ，知a x x 1>2+21，0<2+′∴1)(xx f ．第10题设0>>b a ，由2+<22b a b a b a ln ln －－，得22+2>ba b a b a )(ln ln －－，令n b n a =1+=,，有 n a n n n n >1+2+22>1+2ln )ln(－，所以 n n a a a S +++=21)ln(ln )ln(ln ln ln ln 1+=1+++23+12<n n n －－－，所以 )ln(1+<n S n ．。

均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法一、几何证明方法：对于非负实数a和b，我们可以将其表示在坐标平面上的点A(a,0)和B(b,0)上。

那么，两点之间的距离AB可以表示为：AB=√[(a-b)²+0²]=√[(a-b)²]=，a-b接下来，我们要证明的是：当a ≠ b 时，有 AM > GM。

M 是 AB 线段上的一点，对应着实数 m。

设 M 的坐标为 (m,0)，则 AM 和 GM 分别为，a - m，和√(am)。

根据几何直观，我们可以发现 AM > GM 可以转化为AM² > GM²，即，a - m，² > am 或者 (a - m)² > am。

我们将不等式 (a - m)² > am 展开，得到a² - 2am + m² > am。

化简得到a² - am + m² > 0，再进一步得到 a(a - m) + m² > 0。

由于 a > 0（即a ≠ 0），所以 a(a - m) > 0。

结合m² > 0（任何实数的平方都大于 0），我们可以得到 a(a - m) + m² > 0。

综上所述，当 a ≠ b 时，有，a - m，² > am，即 AM > GM。

因此，我们证明了均值不等式在几何意义下的正确性。

二、代数证明方法：我们可以使用代数证明方法来推导均值不等式的一般形式。

首先，我们定义两个非负实数a和b的算术平均数（AM）为：AM=(a+b)/2定义它们的几何平均数（GM）为：GM = √(ab)我们要证明的是AM≥GM。

我们可以对AM和GM进行平方，得到：AM²=(a+b)²/4GM² = ab接下来，我们使用等价变形和代数运算，来证明AM²≥GM²：AM² - GM² = (a + b)² / 4 - ab= (a² + 2ab + b²) / 4 - ab= (a² + ab + ab + b²) / 4 - ab= (a² + 2ab + b²) / 4 - 2ab / 4= (a + b)² / 4 - 2ab / 4= (a + b)² - 2ab / 4= a² + 2ab + b² - 2ab / 4= a² + ab + ab + b² - 2ab / 4= (a² + ab + ab + b² - 2ab) / 4= (a² - ab - ab + b²) / 4= (a² - 2ab + b²) / 4=(a-b)²/4根据等价变形，我们可以推出AM²-GM²=(a-b)²/4≥0。

均值不等式八法

均值不等式八法第一篇：均值不等式八法运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。

在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。

均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。

以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。

笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。

一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１已知0<x<1，求函数y=-x3-x2+x+1的最大值。

解：y=-x2(x+1)+(x+1)=(x+1)(1-x2)=(x+1)(1-x)2⎛x+1x+1⎫++1-x()⎪32x+1x+1=4•••(1-x)≤4 。

⎪=22327 ⎪⎝⎭当且仅当3x+1132=1-x，即x=时，上式取“=”。

故ymax=。

2327评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数y=x0<x<1)的最大值。

解：y==⎛x2x22⎫++1-x()⎪1 x2x22••(1-x)≤因，⎪=22327 ⎪⎪⎝⎭x2=(1-x2)，即x=当且仅当时，上式取“=”。

故ymax=。

2933评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知0<x<2，求函数y=6x(4-x2)的最大值。

解：y=36x22(4-x)22=18⨯2x2(4-x2)(4-x2)3⎡2x2+(4-x2)+(4-x2)⎤18⨯83⎥=≤18⎢。

327⎢⎥⎣⎦当且仅当2x=4-x，即x=()=”。

故ymax18⨯83=，又y>0,ymax=。

二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设x>-1，求函数y=(x+5)(x+2)的最小值。

均值不等式证明过程

均值不等式证明过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠均值不等式的证明过程。

你说这均值不等式啊，就像一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！它就好像是一个公平的裁判，告诉你几个数的平均水平和它们的乘积之间有着特别的关系。

咱就拿两个正数 a 和 b 来说吧。

它们的算术平均值就是 (a+b)/2，几何平均值呢就是根号下 ab。

那为啥说均值不等式厉害呢？咱想想啊，如果有一堆苹果要分给两个人，算术平均值就像是平均分，让每个人得到的差不多；而几何平均值就像是一种更紧凑的分配方式，保证了整体的“紧凑性”。

那怎么证明它呢？咱可以这样来想呀。

你看，(a-b)² 总是大于等于 0 的吧，这没毛病吧？展开它就得到a² - 2ab + b² 大于等于 0 呀。

把式子稍微变一变，就得到a² + 2ab + b² 大于等于 4ab 啦。

然后再把左边变成
(a+b)²，这不就出来了(a+b)² 大于等于 4ab 嘛。

两边同时开方，再除以4，不就得到了 (a+b)/2 大于等于根号下 ab 嘛！咋样，是不是挺神奇的？
这就好比盖房子，均值不等式就是那稳固的根基，有了它，上面才能建起高楼大厦呀！你再想想，如果没有这个不等式，那数学世界得变得多么混乱呀！
而且哦，均值不等式的应用可广啦！在好多实际问题里都能看到它的影子呢。

比如计算面积啦、优化资源分配啦等等。

所以说呀，可别小瞧了这均值不等式，它可是数学里的大宝贝呢！咱可得好好把它弄明白，让它为咱的数学学习助力呀！这就是均值不等式的证明过程和它的重要性，你说是不是很有意思呢？。

柯西不等式证明均值不等式

柯西不等式证明均值不等式柯西不等式是数学上的重要不等式，它可以用来证明均值不等式。

下面我们给出一个具体的证明过程。

假设有两组实数 ${a_1, a_2, ..., a_n}$ 和 ${b_1, b_2, ..., b_n}$，我们可以构造两个 n 维向量 $a=(a_1, a_2, ..., a_n)$ 和 $b=(b_1,b_2, ..., b_n)$。

根据柯西不等式，我们有：$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$接下来，我们考虑两个特殊的情况：1. 当 $a = (1, 1, ..., 1)$ 且 $b = (1, 1, ..., 1)$ 时，我们有：$(1^2 + 1^2 + ... + 1^2)(1^2 + 1^2 + ... + 1^2) \geq (1 \cdot 1 + 1\cdot 1 + ... + 1 \cdot 1)^2$$n^2 \geq n^2$这是显然成立的。

2. 当 $a = (a_1, a_2, ..., a_n)$ 且 $b = (1, 1, ..., 1)$ 时，我们有：$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(1^2 + 1^2 + ... + 1^2) \geq (a_1\cdot 1 + a_2 \cdot 1 + ... + a_n \cdot 1)^2$$n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) \geq (a_1 + a_2 + ... + a_n)^2$这是均值不等式的一个特例，即平均数的平方大于等于平方平均数。

由以上两个特例可得，柯西不等式可以用来证明均值不等式。

代数角度证明均值不等式

代数角度证明均值不等式代数角度证明均值不等式1. 引言在数学中，均值不等式是一类重要的不等式，它描述了数列中各项的平均值与其它特殊平均值之间的关系。

这些不等式具有广泛的应用，涉及到函数论、概率论、数论等领域，并被用于证明数学的许多重要结论。

本文将从代数的角度来证明均值不等式，以帮助读者更深入地理解这一概念。

2. 均值不等式的定义对于一个非负实数数列 $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$，其算术均值定义为 $A=\frac{1}{n}(a_1+a_2+\ldots+a_n)$，几何均值定义为$G=\sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}$。

均值不等式可以表述为：当数列中的每一项都非负时，有 $A\geq G$。

当且仅当数列的每一项都相等时，等号成立。

3. 证明思路要证明均值不等式，我们可以利用代数的方法来推导。

我们可以用代数平方的方式，将均值不等式转化为一个关于平方的形式，再通过代数运算进行证明。

在证明过程中，我们可以使用一些常见的代数恒等式和不等式，如柯西-施瓦茨不等式、阿姆-哥耳定理等。

4. 证明过程设 $x=a_1 a_2 \ldots a_n$，则我们需要证明的是$\left(\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right)^2 \geq x$。

将左边展开并移项得到 $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 \geq nx$。

接下来，我们可以使用数学归纳法来证明这个不等式。

当 $n=2$ 时，我们有 $a_1^2+a_2^2 \geq 2a_1 a_2$，这是由 $(a_1-a_2)^2\geq 0$ 得到的。

对于 $n=2$ 的情况，不等式成立。

假设对于 $n=k$ 的情况，不等式成立，即$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2 \geq kx$。

我们需要证明对于$n=k+1$ 也成立。

考虑 $b_1 = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_k}{k}$ 和 $b_2 = a_{k+1}$，根据柯西-施瓦茨不等式可得：$(b_1^2+b_2^2)(k+1) \geq (a_1+a_2+\ldots+a_k+a_{k+1})^2$展开后整理可得：$(k+1)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2)+a_{k+1}^2+2b_1 b_2 \geq (a_1+a_2+\ldots+a_k)^2+2(a_1+a_2+\ldots+a_k)a_{k+1}+a_{k+ 1}^2$再次使用柯西-施瓦茨不等式可得：$(k+1)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2)+a_{k+1}^2+2b_1 b_2 \geq (a_1+a_2+\ldots+a_k+a_{k+1})^2$由归纳假设可知，$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2 \geq kx$，$a_{k+1}^2 \geq x$，因此：$(k+1)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2)+a_{k+1}^2 \geq(k+1)x+x=(k+2)x$所以对于 $n=k+1$ 的情况，不等式也成立。