3.差分与等距节点的插值公式解析

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差分与等距节点newton插值

计算x0点附近的值
f
[x0 , x1 ,, xk ]

k f0 k!hk
14
k 1
k 1
k 1
k (x) (x xj ) (x0 th x0 jh) (t j)h
j 0
j0
j0
则插值公式
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 ,, xk ]k (x) k 1
化为
Nn( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [x0, x1, xn ]( x x0 )( x x1)( x xn1)

f0

1 h f0(x
x0)
2 f0 2!h2
(x
x0 )( x
x1)

n f0 n!hn
(0.00083) 0.54711
2019/12/14
23
例3 给出 f (x) cos x 在 xk kh, k 0,1,,6, h 0.1 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 f (0.048) 及 f (0.566) 的近似值并估计误差.
解根据题意，插值条件为
4!
0.00044
0.00876
0.0502.2949885. 26
由余项公式（4.11）得误差估计
R4 (0.048)

M5 5!
t(t 1)(t 2)(t 3)(t 4) h5
1.5845107 ,
Rn其(x中) Mt(t5(1n)sin1()t!0.6n)h0n.51 f6(5n.1) ( ), (x0, xn ). （4.11）
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分

计算方法第三章(插值法)解答

Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章插值法
第一节插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2

xn
y2

第三章 2等距节点插值和差分

§2 等距节点插值和差分摘要：在等距节点情况下，通过使用差分可减少Newton 插值公式的计算量。

本节首先介绍等距节点下的差分公式、差分与差商之间关系，根据待估值点x 的位置不同，引入表初公式、表末公式和Bessel 公式，最后说明在使用差分计算插值时需注意的两点：（1）不宜用高阶差分公式；（2）差分公式是一个不稳定的计算公式。

等距节点：1,1,2,,i i x x h i n +-==，h 称为步长2.2.1 差分概念一阶差分：()()()1i i i f x f x f x +∆=- 二阶差分：()()()21i i i f x f x f x +∆=∆-∆ … … … …k 阶差分：()()()111k k k i i i f x f x f x --+∆=∆-∆()()()()()()()()()123110231(1)(1)ki i k i k i k i k k k i i kk jk j j k k f x f x kf x f x x kf x f x k f x j ++-+-+--+-+=⎛⎫⎛⎫∆=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2.2.2 差分与差商关系定理2.2.1 在等距节点的情况下 ()()1121,,,,!k k k k f x f x x x x h k +∆=.利用归纳法证明这个公式是在Newton 公式中使用差商的基础 2.2.3 差分表()()()()()()()()()()()()()()()11221233212344321234554321x f x x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x x f x f x f x f x f x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆2.2.4 根据待估值点x 的位置不同选择不同的计算公式给定等距节点组：{}12,,,n x x x● 表初公式：如果x 在节点中最小的那个节点附近节点选取：1213111,,2,,.k x x x h x x h x x kh +=+=+=+x 的表示：1x x ph =+牛顿公式：()(1)(1)(1)2111112!!10.p p p p p k k k kjj P x ph f p f f f p f j --⋅⋅-+=+=+∆+∆++∆⎛⎫=∆ ⎪⎝⎭∑例2.2.1 有函数表x 0.5 0.6 0.7 0.8 f(x) 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 求f(0.54).解：差分表(1)(1)(2)23!0.540.5,0.1,0.4(0.54)0.47940.0852(0.0056)(0.0008)0.5142p p p p p x ph h p P p ---==+===+⨯+-+-=● 表末公式：如果x 在最大节点附近节点选取与编号：010200(max),,2,,.k x x x h x x h x x kh ---=-=-=-x 的表示：0x x ph =-牛顿公式：()()(1)(1)(1)200122!!0()(1)1.p p p p p k kk kk kjjj j P x ph f x p f f f p f j --⋅⋅-+----=-=-∆+∆++-∆⎛⎫=-∆ ⎪⎝⎭∑● 贝塞尔(Bessel)公式：如果x 在中间节点附近节点选取与编号：121012,,,,,,,,k k k x x x x x x x -+-+-第一种组序：01122(1),,,,,,k k x x x x x x x ----，Newton 公式1：()1121200011212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--==++-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 第二种组序：()10211,,,,,,k k x x x x x x ---Newton 公式2：()112120110111212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--+==+-+-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ Bessel 公式：（Newton1+Newton2）/2()12101002211111/222211.22k j j j j jk j j j p j f f p P x ph f j j f f p j j -+-=---+=+-⎛⎫+-+=+∆+ ⎪+⎝⎭∆+∆+-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑Bessel 公式适合计算01,01x x x p <<<<，特别是12p =.()2244011021102132821282f f f f f f P x h ---+∆+∆∆+∆+=-++ 例 2.2.2 表2.10求()f 0.525Bessel 公式的截断误差：取2n 个节点()()22(2)22(1)11111(1),2!2222n n n nf R x n n h n x x ξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<< 2.2.5 差分公式的缺点1）高阶差分容易造成有效数字的丢失，见表2.10 原因？2）差分容易扩大传播误差3322321123230012323411012332422110232433201123364x y x y y x y y y x y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y εεεεεεεεεεεεε------------------∆∆∆+∆+∆+∆+∆-∆-∆-∆-∆∆+∆-∆+∆∆-∆∆-。

第四节差分与等距节点插值公式

第四节差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值是数值计算中常用的一种插值方法，它使用离散的节点以及节点处的函数值，通过差分运算得到函数的近似值。

在本节中，将介绍差分和等距节点插值的基本思想和公式，并给出一些具体的例子和应用。

差分与等距节点插值的基本思想是利用函数在节点上的值来近似函数在其他点上的值，而节点之间的间隔是相等的。

具体来说，我们可以通过计算函数在节点上的导数来近似函数在其他点上的导数，进而得到函数在其他点上的近似值。

一维差分插值的基本公式是拉格朗日插值公式。

设函数f(x)在等距节点x0, x1, ..., xn上的值分别为y0, y1, ..., yn，则拉格朗日插值公式可以表示为：f(x) ≈ P(x) = ∑[(x - xi) / (xj - xi)] * yj其中，i ≠ j，∑表示对j的求和，xi表示节点的值，xj表示其他任意点的值，yj表示其他节点处函数的值。

多维差分插值的基本公式也是类似的。

设函数f(x1, x2, ..., xn)在等距节点(xi1, xi2, ..., xin)上的值分别为yij，则多维拉格朗日插值公式可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) ≈ P(x1, x2, ..., xn) = ∑[∏(xk - xik) / (xjk - xik)] * yij其中，∏表示对k的连乘，i ≠ j，xi1, xi2, ..., xin表示节点的值，xj1, xj2, ..., xjn表示其他任意点的值，yij表示其他节点处函数的值。

差分与等距节点插值在实际应用中有广泛的用途。

例如，在数值微分中，我们可以使用差分公式来近似计算函数在特定点上的导数。

其中，常用的差分公式有中心差分公式、向前差分公式和向后差分公式。

中心差分公式通过函数在相邻两个节点上的值来近似计算函数在中间点的导数。

向前差分公式通过函数在当前节点和下一个节点上的值来近似计算函数在当前点的导数。

4.2 牛顿插值公式

§2 差商、牛顿插值多项式在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。

而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。

一、差商及其性质： 1、相关定义设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值，则有：称],[10x x f 1010()()f x f x x x -=-为函数)(x f 在0x 、1x 点的一阶差商。

一阶差商的差商],,[210x x x f 121020],[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。

1-n 阶差商的差商],,,[10n x x x f 112020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f称为函数)(x f 在n x x x ,,,10 点的n 阶差商。

见插商表4-12、性质：性质1 ：差商],,,[10n x x x f 可表示为函数值的线性组合，即 ∑==ni i i n x f a x x x f 010)(],,,[ ，其中：∏≠=-=nij j j ii x xa ,0)(/1。

该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即：],,,[10n x x x f ＝],,,[01n x x x f ＝…＝],,,[01x x x f n这就是差商的对称性。

性质 2101010[,,][,,][,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --=-01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=11100[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-10110[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-性质 3 设)(x f 在所含节点n x x x ,,,10 的区间],[b a 上有n 阶导数，则在该区间内至少有一点],[b a ∈ξ，使得：!/)(],,,[)(10n f x x x f n n ξ= 由该性质可知，若)(x f 为n 次多项式，则其n 阶差商为一常数。

差分与等距结点插值公式共16页

1、定义：设有等距节点xk =x0+kh (k=0,1,…,n)，步长h为常数，记fk = f (xk)，称相邻两个节点xk, xk+1处的函数值的增量fk+1 fk(k = 0,1,…,n-1)为函数f (x)在点xk处以h为步长的一阶差分，记为fk，称为向前差分：
向前差分 fkfk1fk
例如f： [xk,xk1]
f(xk1)f(xk)fk
xk1xk
h
fk1 h
f[xk,xk1,xk2]
f[xk2,xk1]f[xk1,xk] xk2xk
h 1(fk1fk)
2h
22hf2k
h 1(fk2fk1) 2h
2 2h fk 22
xk fk=f(xk)
x0
f0
x1
f1
x2
f2
x3
f3
x4
f4
…
…
向前差分表
fk 2fk 3fk
f0
f1 2f0
f2 2f1 3f0
f3 2f2 3f1
…
…
…
4fk ……
4f0
…
…
向后差分表
xk fk=f(xk) ▽fk ▽2fk ▽3fk ▽4fk ……
x0
f0
x1
性质4：差分和导数的关系。 m f k m ! h m f [ x k , x k 1 , , x k m ] h m f ( m ) ( ) x k x k m
3、差分表的构造
f[x k ,x k 1 , ,x k m ] m ! 1 h m m fk m ! 1 h m m fk m(m 1 值的线性组合。
例如：

差分与等距节点插值法

xn −1 ≤ x ≤ xn
对分段二次及分段三次插值都没有相应的插值公式若 xn − 2 ≤ x ≤ xn − 1 对分段三次插值也没有相应的插值公式此时应改用Newton基本后插公式,此处只列出公式 (4) Newton − k阶基本后插公式，起点为xn − m
N k (x) = f n − m + ∑ f [ xn − m , xn − m −1 , ⋯ , xn − m −i ]∏ ( x − xn − m − j )
处的函数值为在等距节点四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分是等距节点如果节点newton插值公式为如果假设th则插值公式化为其余项化为10如果假设th可得newton向后插值公式2newton向后差分插值公式12五newton插值公式的使用由于高次插值多项式的runge现象newton插值公式一般也采用分段低次插值newton分段二次插值13余项为余项为阶基本后插公式起点从23两种情况可知若对分段三次插值也没有相应的插值公式此时应改用newton基本后插公式此处只列出公式分段二次newton向前差分插值16次插值多项式则使用在误差范围内很接近分段二次newton向后差分插值依此类推请同学们写出分段三次向前和向后newton公式及余项在实际应用中究竟使用几次插值多项式呢
−1<t <0
k = n, n − 1
依此类推,请同学们写出分段三次向前和向后Newton公式及余项在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢? 如果m + 1阶差
商(差分)很接近(在误差范围内), 则使用m次插值多项式
16
Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 计算只要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.
(k ) 1

数值分析插值知识点总结

数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。

插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。

插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。

插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。

二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。

1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。

常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。

4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。

该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。

三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。

1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。

matlab实现牛顿差分及等距节点插值公式

题目：探究matlab中牛顿差分及等距节点插值公式的实现在计算数学问题时，插值是一种常见的数值分析方法，它常常用于估计在已知数据点之间的数值。

而牛顿差分及等距节点插值公式，则是其中的一种重要方法。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨matlab 中牛顿差分及等距节点插值公式的实现方法，以便读者更深入地理解这一主题。

1. 牛顿插值方法牛顿插值是一种使用多项式进行插值的数值方法，利用了拉格朗日插值多项式的一般形式，其在实际应用中具有良好的稳定性和精确度。

在matlab中，我们可以通过编写函数来实现牛顿插值方法，并根据所给定的数据点计算出插值多项式。

2. 差分及等距节点插值公式差分及等距节点插值公式是牛顿插值的一种具体形式，它通过相邻节点的差分来递推计算插值多项式的系数，从而实现对给定数据点的插值。

在matlab中，我们可以编写代码来实现这一方法，通过对数据点的差分计算来得到插值多项式的系数，并最终得到插值结果。

3. matlab中的实现步骤在matlab中，实现牛顿差分及等距节点插值公式主要包括以下几个步骤：3.1 准备数据点：首先需要准备好给定的数据点，这些数据点将作为插值的依据。

3.2 计算差商：利用给定的数据点，我们可以计算出插值多项式的系数，即差商。

这一步骤可以通过递推计算来实现。

3.3 构建插值多项式：根据得到的插值多项式的系数，我们可以构建出完整的插值多项式。

3.4 计算插值结果：我们可以利用构建好的插值多项式来计算任意点的插值结果。

4. 个人观点和理解在我看来，牛顿差分及等距节点插值公式是一种非常实用和有效的插值方法，在实际工程和科学计算中都有着广泛的应用。

在matlab中，通过编写相应的代码，我们可以很方便地实现这一方法，并得到高质量的插值结果。

掌握牛顿插值及其在matlab中的实现方法对我们来说是非常重要的。

总结回顾本文从简到繁，由浅入深地探讨了matlab中牛顿差分及等距节点插值公式的实现方法。

§2.5 差分与等距节点插值公式1

© 2009, Henan Polytechnic University §5 差分与等距节点插值公式
1212
第二章插值法
xi
1 1.5 2 2.5 3
f (xi)
2.71828 4.48169 7.28906 12.18249 20.08554
一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分
1.76341 2.90347 4.79343 7.90305 1.14396 1.88606 3.10962 0.74210 1.22356
第二章插值法
性质2 函数值可用差分表示. 即
f n k E f k ( I ) f k
n n j 0
n
n j j f k
性质3 均差与差分的关系式为 1 m f [ xi , xi 1 , , xi m ] fi m m!h
求f(1.2)用牛顿前插公式, 且由 1.2=1+0.5t, 得t=0.4 1.14396 f (1.2) N 3 (1.2) 2.71828 1.76341 0.4 0.4 (0.4 1) 2! 0.74210 0.4 (0.4 1)(0.4 2) 3.3338632 3!
© 2009, Henan Polytechnic University §5 差分与等距节点插值公式
f (2.8) N 3 (2.8)
1313
2.71828
一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分
1.76341 2.90347 4.79343
1.5
2 2.5
4.48169
7.28906 12.18249
1.14396
1.88606 3.10962

Ch4.3 有限差与等距节点插值公式

② 若插值点位于节点中部，则可利用中心差分构造
Stirling插值、Bessel插值等； ——用于高精度要求的函数插值，现已少用！
作业
习题4（书P.114）
第9题
i i f n j f ( x j nh) C n i f j C n i f ( x j ) ； i 0 i 0 n n
③ 均差与差分之间的关系：
n f 0 n f n f [ x0 ， x1 ，， xn ] ； n n n ! h n ! h
k 0 n
xk 0 1 2 3 4 例：已知：，：（见上例）
取差分表第一行数据，得Newton前插公式为： 2 f 0 3 f 0 N 4 ( x0 th) f 0 f 0 t t (t 1) t (t 1)(t 2) 2! 3! 4 f 0 t (t 1)(t 2)(t 3) 4! 3 3t t (t 1) ；
注：① 上述推导过程以 x0作为起点，若以 xn作为起点，同理可得Newton后插公式：
2 fn N n ( x n th) f n f n t t (t 1) 2! n fn t (t 1) (t n 1) ； n!
一般以距离插值点近的那个点作为起点！
二、等距节点插值公式
将Newton插值公式中各阶均差用相应差分代替，可
得各种形式的等距节点插值公式，以下介绍常用Newton 前插与后插公式。
记节点为x j x0 jh，j 0 ， 1， 2，， n ；令x x0 th ，则 n 1 ( x) ( x x j ) (t j )h t (t 1) (t n)h n 1；

2.4 等距节点插值

2.4 等距节点插值
1．引入(微商的离散化)
f xi h f xi f xi lim h 0 h f xi f xi h lim h 0 h
h f xi 2 lim h 0 h
h f xi 2 Nhomakorabea lim
f xi f x j xi x j
x j xi
2．差分的定义设函数 y f x 在等距节点 xk x0 kh(k 0,1, n) 上的值 fk f xk 为已知,这里 h 为常数,称为步长.
定义: 偏差 fk fk 1 fk ,
性质5 (差分与导数的关系）：在等距节点的前提下，
fi k !h f [ xi , xi 1 ,
k k
, xi k ]
h f
k
(k )
( ), ( xi xi k )
性质6：常数的差分等于零. 性质7：差分算子为线性算子，即
(a f ( x) b g ( x)) a f ( x) b g ( x)
△ 2 fi
△ 3 fi
0.1 0.2
0.1
x0=0.4, h=0.2, x3=1.0. 分别用差分表中对角线上的值和最后一
行的值,得Newton向前和向后插值公式如下:
t (t 1) t (t 1)(t 2) N3 (0.4 0.2t ) 1.5 0.3t 0.1 0.1 (1) 2 3! t (t 1) t (t 1)(t 2) N3 (1 0.2t ) 2.8 0.6t 0.2 0.1 (2) 2 3!
令x=xn-th, 则当x0≤x≤xn时,0≤t≤n. 利用差商与

插值法计算方法举例

插值法计算方法举例插值法是一种用来通过已知数据点的近似值来推测未知数据点的方法。

它通常用于数据的平滑和预测，尤其在缺少数据或数据不完整的情况下。

以下是一些插值法的具体计算方法举例：1. 线性插值法（Linear Interpolation）：线性插值法是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点(x1, y1)和(x2, y2)，要推测处于两个数据点之间的未知点(x, y)。

线性插值法通过使用已知点之间的线性关系来计算未知点的值。

具体公式为：y=y1+(x-x1)*((y2-y1)/(x2-x1))2. 多项式插值法（Polynomial Interpolation）：多项式插值法通过使用一个低次数的多项式函数来逼近已知数据点，并预测未知数据点。

常见的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

其中，拉格朗日插值使用一个n次多项式来逼近n个已知点，而牛顿插值使用差商（divided differences）和差商表来逼近已知点。

具体公式为：P(x) = a0 + a1 * (x - x1) + a2 * (x - x1) * (x - x2) + ... + an * (x - x1) * (x - x2) * ... * (x - xn-1)3. 样条插值法（Spline Interpolation）：样条插值法是一种更复杂的插值方法，它通过拟合已知数据点之间的线段和曲线，来推测未知数据点。

常见的样条插值方法包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。

样条插值法具有良好的平滑性和曲线性质，通常在连续数据的插值和平滑方面效果更好。

具体公式为：S(x) = Si(x)，其中x属于[xi, xi+1]，Si(x)是第i段（i = 1, 2, ..., n-1）中的插值函数。

4. 逆距离加权插值法（Inverse Distance Weighting, IDW）：逆距离加权插值法是一种基于距离的插值方法，通过使用已知数据点的权重来推测未知数据点。

【VIP专享】有限差分与等距节点插值公式

，xk ]
k
k f1 ! hk
k f0 (k 1)h
(kபைடு நூலகம்
k 1 f0 1) ! hk1
，成立；
二、等距节点插值公式
将Newton插值公式中各阶差商用相应差分代替，可
得各种形式的等距节点插值公式，以下介绍常用Newton
前插与后插公式。
记节点为x j x0 jh，j 0 ，1，2 ，，n ；令x x0 th ，
f j2 2 f j1 f j 2 f j 为 f (x)在x j处以h为步长的二阶向前差分，简称二阶前差；
一般，称 m
fj
m1 f j1
m1
f
为
j
f (x)在x j处以h为步长
的m阶向前差分，简称m阶差分；
注：① 类似可以定义：
一阶后差：f j f j f j1 f (x j ) f (x j1) ；
n
n
则n1 (x) (x x j ) (t j)h t(t 1) (t n)hn1；
j0
j0
由Newton插值公式：
N n (x) f [x0 ] f [x0 ，x1 ](x x0 ) f [x0 ，x1 ，，xn ](x x0 )(x x1 ) (x xn1 ) ；
一、差分
1、定义：
设等距节点 x j x0 jh，j 0 ，1，2 ，，n处的函数值为
f
(x j )
f
，称
j
f j1
fj
f (x j1)
f
(
x
j
)为f
(
x)在x
处以
j
h为步长的一阶向前差分，简称一阶前差；记作：f j ；
称 f j1 f j ( f j2 f j1) ( f j1 f j )

数值分析常用的插值方法

数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。

下面将对这些插值方法进行详细介绍。

一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。

线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。

二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。

拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。

拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。

通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。

分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。

四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。

利用差商的概念来构造插值多项式。

Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。

第三章差分

差商
差商( 差商(亦称均差)
f (x1) − f (x0 ) f [x0 , x1] = x1 − x0
1阶差商阶差商
f [x1 , x2]− f [x0 , x1] f [x0 , x1 , x2] = x2 − x0 f [x1 , x2...,xn]− f [x0 , x1,... n−1] x f [x0 , x1 ,...xn] = xn − x0
函数表如上, 由差商定义及对称性，已知 y = f (x) 函数表如上, 由差商定义及对称性，得 f ( x ) − f ( x0 ) ⇒ f ( x ) = f ( x0 ) + f [x , x 0 ]( x − x0 ) ( a ) f [x , x 0 ] = x − x0 f [ x, x0 ] − f [ x0 , x1 ] f [x, x0 , x1 ] = x − x1 ⇒ f [ x , x ] = f [ x , x ] + f [x , x , x ]( x − x ) (b ) 0 0 1 0 1 1 f [ x , x 0 , x1 ] − f [ x 0 , x1 , x 2 ] f [ x , x 0 , x1 , x 2 ] = x − x2 ⇒ f [ x , x 0 , x1 ] = f [ x 0 , x1 , x 2 ] + f [ x , x 0 , x1 , x 2 ]( x − x 2 ) ( c )
太原科技大学数值分析
牛顿插值多项式
牛顿插值多项式系数
f ( x0 )
f [x0 , x1]
f[x0, x1,Lxn] ,
, ( Nn (x) = f (x0 ) + f [x0, x1](x − x0 ) +L + f[x0, x1,L xn](x−x0)(x−x1)L x−xn−1)