复变函数的积分柯西定理

第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念

教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变

函数积分的基本性质、柯西积分定理.

教学要求：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线

上的积分

2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定

积分的概念

教学过程：

一、复变函数的积分的定义

定义3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中

),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点

B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中

),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=

在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式

))((11

-=-∑k n

k k k

z z f ς

（1）

令|}{|max 11-≤≤-=k k n

k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作

=⎰

C

z z f d )())((lim 11

-=→-∑k n

k k k z z f ςλ

当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作⎰-

C z z f d )(

当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C

⎰

定理3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且

,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C

C

C

++-=

⎰⎰

⎰

（2）

证明：

)

)((11

-=-∑k n

k k k

z z f ς

)]())][(,(),([11

1k k n

k k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ

],

))(,())(,([)

)(,())(,(1

1

11

11

1

11

1∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ

由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知

),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有

0|}{|max 11→--≤≤k k n

k x x 0|}{|max 11→--≤≤k k n

k y y

于是上式右端的极限存在，且有

,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C

C

C

++-=

⎰⎰

⎰

二、复变函数积分的计算

设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t , 即()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.由公式(2)我们有

[()()()()()()()()]dt

t y t y t x v t x t y t x u y

y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C

C

C

'-'=++-=⎰

⎰⎰⎰

βα

,,),(),(),(),()(d d d d d

[()()()()()()()()]dt t y t y t x u t x t y t x v i '+'+⎰

βα

,,

即 ()()[](),dt t z t z f dz z f c

'⎰=⎰β

α (3) 或

()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im β

α (4) 用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.

注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算dz z C

⎰，其中C 是

（1） 从点1到i 的直线段1C ；

（2） 从点1到0的直线段2C ，再从点0到i 得直线段3C 所连

接成的折线段32C C C +=.

解：（1）)()(;1011≤≤+-==t it t t z C C ，有：

⎰⎰⎰⎰=+-=+---=10

10

1

)12()1)(1(i dt i dt t dt i it t dz z c

（2）).10()(:),10(1)(:2312≤≤=≤≤-=t it t z C t t t z C ，有：

⎰⎰⎰⎰⎰=+--=+=10

1

0)1(3

2

tdt dt t dz z dz z dz z c c c

例2 计算dz z i

i

I ⎰

-=其中C 是 (1)连接i i 到-的直线段；(2)连接i i 到-的单位圆的左半圆 (3)连接i i 到-的单位圆的右半圆 解：

i

t i tdt i idt it dz z i i I t it z i =⋅==-=-=≤≤-=-⎰⎰⎰12

2

1201211,11,)1(

于是程为：到i的直线段的参数方

i

e de idt e e dz z i i

I ，t e z it it it it it 22

322322

23,)2(22

3===⋅=-==⎰⎰⎰

π

ππ

π

ππ

π

π于是到从

方程为单位圆的左半圆的参数

i

e

e d e dz z I ，

t e z it

it it i

i

it 2)(20,)3(22

22

=====-

-

-⎰

⎰

π

ππππ到从方程为单位圆的右半圆的参数

上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关 例3

()

n

C

dz

z z -⎰，其中n 为任意整数，C 为以0z 为中心，

r 为半径的圆周.