平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的(1)

平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的解析计算式

王允地1 王良文2

（1.陕西科技大学机械学院，陕西咸阳；2.郑州轻工业学院机电学院，河南郑州450002）

摘要

本文对平面运动点的位移、速度和加速度进行了复矢量描述，并引入复矢量点积概念。在此基础上，根据平面运动点的法向加速度等于速度的平方与曲率半径的比值的思想，给出了计算点轨迹曲率半径和曲率中心的通式、直角坐标式和极坐标式，还讨论了几个有代表性的分析实例。

关键词：平面运动点，轨迹曲率半径，曲率中心，解析计算式。

Analytic calculation formula for planar motion point trace’s radius of curvature and center point of curvature

Wang Yundi (1)Wang Liangwen (2)

(1.School of Mech·Eng·,Shanxi University of Science and Technology, ShanXi ,

Xianyang, 712081, China; 2. Electric-Mech·Dep·of Zhengzhou Llight Industry Institute, Zhengzhou , 450002, China)

Abstract: The paper describes the displacement 、velocity 、acceleration of Planar motion point by vector, and presents vector dot matrix conception 。under this base, according to the theory that vertical acceleration of planar motion point equals the ratio between square of velocity and radius of curvature , the general calculation formula 、the formula in form of right angle coordinates and the formula in form of polar angle coordinates for calculating motion point trace’s radius of curvature and center point of curvature are submitted . Some typical examples are discussed.

Key words: Planar motion point; trace’s radius of curvature; center point of curvature; analytic calculation formula.

0引言

在机构的运动分析与综合中，对运动点轨迹曲率的研究十分必要。如在凸轮机构综合中，凸轮廓线曲率的变化与从动件的加速度特性有重要的关联。曲率半径变化不合适，可能导致凸轮机构无法正常工作或者凸轮不能被正确加工。有关对平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的研究和阐述散见于各相关文献[1-9]。本文对这类问题进行了系统的研究。在用复矢量描述平面运动点的位移、速度和加速度的基础上，根据动点的法向加速度等于速度的平方与曲率半径比值的理论，利用矢量点积的概念，导出了平面运动点在运动中轨迹的曲率半径和曲率中心的计算通式，以及其运动点的轨迹采用参数型变量及函数型变量表达方式时，轨迹的曲率半径和曲率中心计算的直角坐标和极坐标的表达式。通过讨论有代表性的分析实例，证明了理论的正确性。

1 点平面运动的复矢量描述

1.1位移

图1 动点轨迹及曲率中心

如图1，动点C 在坐标系xoy 中运动，轨迹曲率中心为O c ，曲率半径为ρ，取x 轴为实轴，y 轴为虚轴。C 点的直角坐标为（x,y ），O c 的直角坐标为（x*,y*）。矢径oc 的模为r ，幅角为ϕ；矢径c oo 的模为r*，幅角为ϕ*。以i

oc 的复矢量表示式成为

i oc r re ϕ== （1）

与直角坐标的关系为

oc x jy =+

而

cos sin x r y r ϕ

ϕ

=⎧⎨

=⎩ （2） 1.2速度

如果已知oc 的模r 和幅角ϕ随时间t 的变化关系

()

()

r r t t ϕϕ=⎧⎨

=⎩ （3） 那么C 点速度v 成为

i i doc

v re r ie ϕϕϕ=

=+ （4） 速度的直角坐标便是

y j x

v

+= x (实轴)

cos sin sin cos x r r y r r ϕϕϕ

ϕϕϕ

=-=+ （5）

1.3加速度

将（4）式对时间求导，得C 点加速度的复矢量表示式为

()

()22i i dv

a r r e r r ie dt

ϕϕϕϕϕ=

=-++ (6) 加速度的直角坐标成为

22()cos (2)sin ()sin (2)cos a x jy

x r r r r y r r r r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

=+=--+=-++ (7) 2 动点轨迹曲率半径及曲率中心的计算式 2.1通式

由理论力学[1]的论述可知，动点C 的法向加速度等于速度的平方与曲率半径的比值。我们仍定义两复矢量的点积为两者的模及其夹角余弦的乘积。这样，在动点速度v 及加速a 已知的情况下，曲率半径ρ可按公式

3

2

()()v v iv a

ρ⋅=

⋅ （8） 求出。该式的计算结果为一代数值。当曲率中心O C 位于动点C 前进方向左侧时，ρ的计算结果为正值；反之，当曲率中心0C 位于动点C 前进方向的右侧时，ρ的计算结果为负值，它的绝对值才是曲率半径的长度。

在按（8）式算出ρ值后，曲率中心O C 的位置便可由公式 *c iv

oo r r v

ρ==+ (9) 算出。

将（8）式代入（9）式，得知由C 点位置矢量r 、速度v 及加速度a 所决定的，曲率中心O c 的位置矢量*r 为

()()

*()iv v v r r iv a

⋅=+

⋅ (10)

（8）式和（10）式便是由动点C 的运动参数计算曲率半径ρ和曲率中心位置*r 的通式。 不难知道，将确定动点C 位置的自变量改换为其它参数，（8）式和（10）式仍然成立。 2.2直角坐标式 2.2.1参数型

在已知C 点的直角坐标（x,y ）及其对时间t 的一阶导数（,x y ）和对时间的二阶导数