解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质

解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质

学习目标

（1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。

知识回顾及应用

1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线

2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质

4．应用所学知识解决问题：

【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53

(,)22

-，

求椭圆的方程。 答案：22

1106

x y +

= 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）离心率14

e b =

=,焦点在x 轴上；

（2）4,a c ==焦点在y 轴上；

（3）10,a b c +==

答案：（1）22116x y +=；（2）22

116y x +=；（3）2213616x y +

=或2213616

y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ；

（2）经过两点3(2-。 答案：（1）22

19x y +=或221819y x +=；（2）2214

x y +=。

问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）

【类型一】圆锥曲线的方程

例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆

和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。 解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =

24y x ∴= 抛物线方程为:

由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(2

2

2222211321

a a

b a

c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：

对于双曲线，1222a MF MF '=-=

2222221321

a a

b

c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：

练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为

2

。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。

答案：22

1168

x y +

=求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法”

。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，

2.若方程222(2)(1)1k k x k y +-++=表示焦点在y 轴上的双曲线，则k Î(1,1)-.

3.求过点A （-3，2）的抛物线的标准方程。

答案：292x y =或24

3y x =-

【类型二】 圆锥曲线的几何性质

例2．（1）若双曲线222x y k -=的焦距是6，则k = 。

【解析】若0k >，则双曲线的标准方程为22

12

x y k k -

=， 所以2223,,22k k

a b k c ===，又3c =，

所以392

k

=，6k =；

若0k <，则双曲线的标准方程为

22

12

y x k

k -=--， 所以2223,,22

k k

a k

b

c =-=-=-，又3c =，

所以392

k -=，6k =-；

综上可知，6k =±。

（2）设双曲线122

22=-b

y a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则

双曲线的离心率等于 。

【解析】不妨取双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为b

y x a

=，

代入21y x =+并整理得20ax bx a -+= 由题设知，2222450

b a

c a ∆=-=-= 根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的性质的基本程序是：先将方程化为标准方程，再寻找数量关系。特别地，在求圆锥曲线离心率的时候，常常需要列出一个关于,,a b c 的

所以双曲线的离心率为c

e a

==

练习：（1）已知椭圆2

2:14

x G y +=，求椭圆G 的焦点坐标和离心率。

【解析】由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c

所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-； 离心率为.2

3==

a c e （2）在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>中, 12,F F 为其左、右焦点，以21F F 为直径的

圆与椭圆交于D C B A ,,,四个点，若21,F F ,D C B A ,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆离心率为( C ) A.

1

B.2

1-

【类型三】圆锥曲线的定义

例3（1）已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．

解 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， ∵A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，

∴|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)，

一般地，对于椭圆和双曲线，只要与两个焦点距离有关的问题就应该优先考虑它们

的定义

；而对于抛物线，利用其定义将抛物线上的点与焦点间的距离和该点到准线的距离进行互化是基本手段，要加强这方面的认识。