解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质
解析几何专题讲座
x R, y - ，0
关于y轴对称
F 0， - p
2
y p 2
（二）圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质
例7（2019 上海）设 m 是常数，若点 F（0,5）是双曲线
m=
16 ．
y2 x2 1 的一个焦点，则
m9
【解析】由于点 F（0,5） 是双曲线 y2 x2 1 的一个焦点，
mx y 2m 1 0m R 相 切 的所 有 圆 中， 半 径 最 大的 圆 的 标准 方 程
为 x 12 y2 2．
【解析】由直线 mx y 2m 1 0m R与圆相切得圆心到直线的距离d 等于
圆的半径 r ，
即r m1 m1 ， m2 1 m2 1
到直线 2x y 0 的距离为 4 5 ，则圆 5
【解析】
的方程为 x 22 y2 9．
圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，圆心到直线 2x y 0 的距离为 4 5 ， 5
待定系数法
设圆的方程 x a2 y b2 r 2，其中圆心 (a, b) ，
C1
C2
C1
C2
C1
（一）直线与圆、圆与圆
例1（2016 浙江）已知
，方程 a2 x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则
圆心坐标是
- 2,-4 ，半径是
5．
【解析】因为方程 a2 x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆 ，
AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为
．
（一）直线与圆、圆与圆
巩固练习1.
A
【解析】圆 x 22 y2 2 的圆心C2,0 ，半径r 2 ，可以计算 AB 2 2 ，
【专题三】解析几何
【专题三】解析几何【考情分析】1．圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．高考一般设计两个客观题和一个主观题，客观题考查直线与圆的关系和圆锥曲线的概念及基本几何性质，主观题一般通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．2． 该部分考查的重点有：直线与圆的方程、直线与圆的位置关系、三种圆锥曲线的概念及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，动点轨迹方程的求法，解析几何与各部分知识综合问题的解法，数形结合思想等．1．直线与圆综合直线与圆都是解析几何的基本知识点，考题常以选择题和填空题形式综合考查他们之间的位置关系．难度不大，属于基础题．例1．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭例2．已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为（ ）（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++=(C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++= 2．直线与圆锥曲线的综合直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便．直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑推理能力．例3．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32 B ．26 C ．27D ．42例4：已知椭圆22132xy+=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆于B 、D 两点，过F 2的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P 。
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
第1课时 圆锥曲线的定义、方程与性质
3 =2 3 .故选C. 2
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考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点)
命题点 1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围; 2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程;
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3.求双曲线的渐近线方程.
1 2 3 2
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方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准 方程.
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(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法
确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0, n>0,且m≠n),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
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跟踪集训
x2 y 2 1.(2017辽宁沈阳质量检测(二))已知双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、 a b 高考导航
右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称 点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|-|BN|=12,则a=
(3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.
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典型例题
x2 y 2 (1)(2017河南郑州质量预测(三))椭圆 5 + 4 =1的左焦点为F,直线x=
a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 ( )
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质和方程。
在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而圆锥曲线则是曲线的一种特殊类型。
本文将探讨曲线与圆锥曲线的性质与方程。
一、曲线的基本概念在解析几何中，曲线是由一组点构成，这些点满足一定的几何条件。
曲线可以是一条直线，也可以是一条弧线。
曲线有很多重要的性质，比如长度、弧度等。
曲线的方程是将曲线上的点与坐标系中的数值进行对应的数学表达式。
二、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一类曲线，其定义是通过一个点（焦点）和一个直线（准线）来确定的。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
这三种曲线都具有独特的性质和方程。
1. 椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之和等于常数。
椭圆的中心是焦点所在的点，长轴和短轴是椭圆的两个重要参数。
椭圆的方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的长轴和短轴长度。
2. 抛物线的性质与方程抛物线也是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离等于准线到点的距离。
抛物线具有对称性，焦点所在的直线称为对称轴。
抛物线的方程可以表示为y² = 4ax，其中a是抛物线的参数，代表焦点到准线的距离。
3. 双曲线的性质与方程双曲线是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之差等于准线到点的距离。
双曲线具有两个分支，每个分支都有一个焦点和一个准线。
双曲线的方程可以表示为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线的参数。
三、曲线与圆锥曲线的联系曲线可以包含圆锥曲线作为其特例。
例如，当圆锥曲线的焦点与准线重合时，圆锥曲线成为一条直线。
当圆锥曲线的参数满足一定条件时，圆锥曲线可以退化为点或者不存在任何实数解。
(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线的分类及基本方程
圆锥曲线的分类及基本方程圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。
本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。
如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。
二、圆锥曲线的分类根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。
下面分别进行讲解。
1. 椭圆椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。
其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 12. 双曲线双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。
其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 13. 圆圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。
圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。
三、圆锥曲线的性质1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。
研究解析几何中的圆锥曲线性质
研究解析几何中的圆锥曲线性质解析几何是数学中的一个重要分支，其中研究了圆锥曲线的性质。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都有各自独特的特征和性质。
本文将探讨这些圆锥曲线的性质，介绍它们的方程、焦点和几何性质。
一、椭圆的性质1. 方程与定义椭圆是一个平面内到两个定点的距离之和等于常数的点集。
其标准方程为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2. 几何性质- 椭圆的中心位于坐标原点(0, 0)。
- 其对称轴与x轴和y轴重合，互相垂直。
- 椭圆的离心率为e，满足0 < e < 1。
- 椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和为常数。
二、双曲线的性质1. 方程与定义双曲线是一个平面内到两个定点的距离之差等于常数的点集。
其标准方程为：(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别为双曲线的半长轴和半短轴。
2. 几何性质- 双曲线的中心位于坐标原点(0, 0)。
- 其对称轴与x轴和y轴重合，互相垂直。
- 双曲线的离心率为e，满足e > 1。
- 双曲线的焦点到双曲线上任意点的距离之差为常数。
三、抛物线的性质1. 方程与定义抛物线是一个平面内到一个定点的距离等于到一条直线的距离的点集。
其标准方程为：y² = 4ax，其中a为抛物线的焦距。
2. 几何性质- 抛物线的焦点位于坐标原点(0, 0)。
- 抛物线的开口方向由a的正负决定。
- 抛物线在焦点处与直线x = -a垂直相交。
- 抛物线的顶点位于坐标(0, 0)。
综上所述，研究解析几何中的圆锥曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线，可以根据其方程和定义来确定其特征和性质。
对于椭圆和双曲线而言，它们都具有关于焦点和离心率的一些共同性质，但离心率的大小不同使得其形状和几何性质也随之有所区别。
抛物线则具有自己独特的特征，如焦点的位置和顶点的存在。
通过研究和理解这些性质，我们能够更好地应用圆锥曲线解决实际问题，并在数学领域中发展更深入的知识。
(统考版)2023高考数学二轮专题复习：圆锥曲线的定义、方程与性质课件
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆6 Nhomakorabeay2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D． ＋y2＝1
2
(2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
c
a
2c
2a
＝ 7m，所以C的离心率e＝ ＝ ＝
F1 F2
PF1 − PF2
＝
7m
7
解析几何与圆锥曲线
解析几何与圆锥曲线解析几何是数学中的一个分支，研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系。
而圆锥曲线是解析几何中的一个重要概念，指的是在平面上由一个定点(焦点)和一个定直线(直角平分线)确定的几何图形。
本文将详细解析解析几何与圆锥曲线之间的关系。
一、解析几何基础解析几何的基础是坐标系，通常使用直角坐标系来描述平面上的点和几何图形。
在直角坐标系中，每个点都可以用两个坐标表示，分别表示该点在横轴和纵轴上的位置。
我们可以利用坐标系来描述线段、直线、曲线等几何图形，并通过代数的方法来研究它们的性质和关系。
二、圆锥曲线的定义与分类圆锥曲线是指在平面上由一个定点(焦点)和一个定直线(直角平分线)确定的几何图形。
根据焦点和直角平分线的相对位置，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
1. 椭圆：焦点到直角平分线的距离之和是一个常数，称为椭圆的离心率。
当离心率小于1时，椭圆是闭合曲线，当离心率等于1时，椭圆是一个线段，当离心率大于1时，椭圆是两个分离的曲线。
2. 双曲线：焦点到直角平分线的距离之差是一个常数，称为双曲线的离心率。
当离心率小于1时，双曲线是两个分离的曲线，当离心率等于1时，双曲线是两条渐进线，当离心率大于1时，双曲线是两个分离的曲线。
3. 抛物线：焦点到直角平分线的距离等于一个常数，称为抛物线的离心率。
抛物线有两种形式，一种是开口向上的抛物线，一种是开口向下的抛物线。
三、解析几何与圆锥曲线的关系解析几何主要研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系，而圆锥曲线可以通过解析几何的方法进行研究和描述。
通过引入坐标系，我们可以将焦点和直角平分线的位置用代数的方式表示，从而推导出圆锥曲线的方程和各种性质。
以椭圆为例，假设焦点为F(a,0)，直角平分线为x=k，其中a和k为常数。
根据椭圆的定义，点P(x,y)到焦点和直角平分线的距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a，可以得到以下方程：(x-a)^2+y^2+(x-a)^2+y^2=4a^2化简后即为椭圆的标准方程。
圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
平面解析几何中的圆锥曲线和旋转曲面的性质
平面解析几何中的圆锥曲线和旋转曲面的性质在平面解析几何中，圆锥曲线和旋转曲面是两个重要的概念。
它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将探讨圆锥曲线和旋转曲面的性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、圆锥曲线的性质圆锥曲线是一个平面和一个圆锥的交点所形成的曲线。
根据交点的位置和角度，圆锥曲线可以分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
1. 圆当平面与圆锥的底面相交于一个圆时，圆锥曲线就是一个圆。
圆是一种特殊的圆锥曲线，具有以下性质：- 圆上的所有点到圆心的距离都相等。
- 圆的内角和为360度。
- 圆的半径和直径之间的关系为：直径是半径的两倍。
2. 椭圆当平面与圆锥的底面相交于两个圆时，圆锥曲线就是一个椭圆。
椭圆具有以下性质：- 椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和是一个常数，称为椭圆的长轴。
- 椭圆上的所有点到两个焦点的距离之差的绝对值是一个常数，称为椭圆的短轴。
- 椭圆的长轴与短轴之间的关系为：长轴是短轴的两倍。
3. 双曲线当平面与圆锥的底面相交于两个不相交的曲线时，圆锥曲线就是一个双曲线。
双曲线具有以下性质：- 双曲线上的所有点到两个焦点的距离之差是一个常数，称为双曲线的离心率。
- 双曲线的离心率大于1。
- 双曲线有两条渐近线，渐近线是双曲线的对称轴。
4. 抛物线当平面与圆锥的底面相交于一个曲线时，圆锥曲线就是一个抛物线。
抛物线具有以下性质：- 抛物线上的所有点到焦点的距离与到准线的距离相等。
- 抛物线有对称轴，对称轴与准线垂直，并通过焦点。
二、旋转曲面的性质旋转曲面是由旋转曲线沿某个轴旋转一周形成的曲面。
根据旋转曲线的类型和旋转轴的位置，旋转曲面可以分为圆锥曲线、圆柱面和旋转抛物面等。
1. 圆锥曲线当旋转曲线为圆且旋转轴不与旋转曲线相交时，形成的旋转曲面是一个圆锥曲线。
圆锥曲线具有与平面圆锥曲线相似的性质。
2. 圆柱面当旋转曲线为直线且旋转轴平行于旋转曲线时，形成的旋转曲面是一个圆柱面。
圆柱面具有以下性质：- 圆柱面上的所有点到旋转轴的距离都相等。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与关系
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与关系解析几何是数学中重要的一个分支，研究几何图形在坐标系中的表示和性质。
其中，曲线和圆锥曲线是解析几何的重要内容。
本文将对曲线和圆锥曲线的性质与关系进行分析和解读。
一、曲线的定义与性质曲线在解析几何中被定义为由平面中的点组成的连续集合。
曲线可以是直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
不同曲线的性质各异，但它们都有一些共同的特点。
首先，曲线上的任意两点之间的直线称为切线。
在曲线上的任意一点，切线的斜率等于曲线在该点的导数。
这意味着通过求导可以确定曲线上每一点的切线，从而揭示曲线的变化趋势。
其次，曲线可以分为开曲线和闭曲线两种类型。
开曲线在坐标平面中的两个无限远点处不相交，如直线和双曲线；闭曲线形成一个封闭形状，如圆和椭圆。
闭曲线的特点是它们的切线在每个点上都与曲线相切。
曲线的性质还与其方程的形式相关。
例如，一次方程代表一条直线，二次方程代表抛物线，而椭圆和双曲线则对应于二次方程的变形形式。
通过分析曲线方程，我们可以得出关于曲线的更多信息。
二、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是一类通过圆锥切割方式得到的曲线。
根据切割位置和角度的不同，圆锥曲线可以分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
这三种曲线都有其独特的性质和特点。
首先，椭圆是圆锥切割后形成的曲线。
椭圆具有两个焦点和同一条长轴上的两个顶点。
椭圆的性质包括：焦点处的反射定律、离心率和焦距的关系、椭圆的离心角等。
椭圆在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
其次，抛物线是圆锥切割时圆锥轴与圆锥表面平行的情况下形成的曲线。
抛物线的性质包括：焦点与直角的关系、抛物线的对称性、顶点位置等。
抛物线以其特殊的形状和性质在自然界和人造结构中得到广泛应用。
最后，双曲线是圆锥切割时圆锥轴与圆锥表面夹角大于圆锥表面开口角的情况下形成的曲线。
双曲线的性质包括：焦点与直角的关系、双曲线的对称性、渐近线等。
双曲线在物理学、光学、电子等领域中有重要的应用价值。
三、曲线与圆锥曲线的关系曲线和圆锥曲线之间存在着密切的联系和关系。
解析几何中的圆锥曲线性质
解析几何中的圆锥曲线性质圆锥曲线是解析几何中的重要概念，是由圆锥与平面相交产生的图形。
它包括椭圆、双曲线和抛物线三种，并具有许多重要的性质。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，具有很多独特的性质。
椭圆的中心为O，两个焦点分别为F和F'，长轴为2a，短轴为2b。
则有以下性质：1、椭圆两焦点到中心的距离相等。
即OF=OF'=c，c是椭圆离心率。
椭圆为两焦点间距的等差中项轨迹。
2、椭圆满足反射定律。
即从一个焦点出发的光线照射到椭圆上的任意点P，然后反射出去后的光线将直接通过另一个焦点。
这是最初发现椭圆的方式之一。
3、椭圆的周长公式周长为C=4a (1-e²) 的等效标准式，其中e是离心率。
4、椭圆面积公式面积为S=πab。
二、双曲线双曲线与椭圆相似，也是圆锥曲线的一种。
其中心为O，两个焦点分别为F和F'，距离为2a，离心率为c/a。
则有以下性质：1、双曲线离心率大于1。
离心率c/a＞1，两焦点同时在x轴中心两侧。
2、双曲线的渐近线。
双曲线上有两根等角的斜渐近线，在两根直线的中间，双曲线成了自己的渐近线。
渐近线k是y=±(a/c)x.3、双曲线的公切线从椭圆的任一点P引一条与焦点之间连线的中垂线M，与焦点之间连线交椭圆于A、B两点，P到A、B的两条公切线交于双曲线上的另一点Q。
三、抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种，拥有自己独特的性质。
其上的每个点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
抛物线的焦点为O，准线为x轴。
则有以下性质：1、抛物线的反射定律抛物线反射定律是一个光学原理，指入射光线垂直于抛物线，在焦点后方入射时，经过反射后的光线都汇聚到焦点上。
2、抛物线的标准式抛物线的标准式为 y²=2px，其中p为焦距；若以顶点为起点，则顶点V为坐标原点，到焦点的距离p为负，此时抛物线开口向上；反之，抛物线开口向下。
3、抛物线面积公式面积为S=2/3px²。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。
在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。
本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。
二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。
3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。
其中，p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。
双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。
2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。
此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。
3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。
四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。
2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。
例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。
3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。
综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。
在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。
平面解析几何的圆锥曲线性质与应用
平面解析几何的圆锥曲线性质与应用在平面解析几何中，圆锥曲线是指平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线具有独特的性质和广泛的应用，本文将从圆锥曲线的定义、性质和应用三个方面进行论述。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个动点和一个定点（焦点）确定的，动点到焦点的距离与动点到一定长度的有向线段的距离的比值（离心率）为常量。
根据离心率的大小，圆锥曲线可分为椭圆（离心率<1）、双曲线（离心率>1）和抛物线（离心率=1）三种类型。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆是一个较为常见的圆锥曲线。
它具有以下性质：（1）椭圆是一个闭合曲线，其形状像一个拉伸的圆；（2）椭圆的两个焦点位于椭圆的长轴上；（3）椭圆的长轴和短轴之间的比例关系与离心率有关；（4）椭圆的周长和面积的计算公式与其长轴和短轴有关。
2. 双曲线的性质双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）双曲线是一个非闭合曲线；（2）双曲线的两个焦点位于双曲线的对称轴上；（3）双曲线的离心率决定了其形状，离心率越大，曲线越尖锐；（4）双曲线的渐近线是其两支曲线的夹角的平分线。
3. 抛物线的性质抛物线是一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）抛物线是一个非闭合曲线；（2）抛物线的焦点位于其顶点的对称轴上；（3）抛物线可以通过焦点和直线的焦点到直线的距离来定义；（4）抛物线是一条对称曲线，其顶点为对称中心。
三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 天体运动的轨迹分析利用圆锥曲线的性质，可以研究行星和卫星的运动轨迹，预测其位置和速度等相关信息。
2. 信号传输与接收电磁波的传输和接收过程中，通常可以利用圆锥曲线的特性实现信号的聚焦和扩散，从而提高通信的效率和可靠性。
3. 工程建模与设计在建筑、航天航空和汽车工程等领域，圆锥曲线常被用于模型设计、数据分析和系统优化等方面。
4. 统计分析与数据拟合圆锥曲线可以用来拟合数据，在统计学和数据分析中广泛应用，用于预测趋势、拟合模型和作为数据分布的基础。
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解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质学习目标（1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。
知识回顾及应用1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质4．应用所学知识解决问题：【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53(,)22-，求椭圆的方程。
答案：221106x y += 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率14e b ==,焦点在x 轴上；（2）4,a c ==焦点在y 轴上；（3）10,a b c +==答案：（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=或2213616y x +=。
【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ；（2）经过两点3(2-。
答案：（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）2214x y +=。
问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】圆锥曲线的方程例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。
解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为:由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。
过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
答案：221168x y +=求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法”。
需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。
注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，2.若方程222(2)(1)1k k x k y +-++=表示焦点在y 轴上的双曲线，则k Î(1,1)-.3.求过点A （-3，2）的抛物线的标准方程。
答案：292x y =或243y x =-【类型二】 圆锥曲线的几何性质例2．（1）若双曲线222x y k -=的焦距是6，则k = 。
【解析】若0k >，则双曲线的标准方程为2212x y k k -=， 所以2223,,22k ka b k c ===，又3c =，所以392k=，6k =；若0k <，则双曲线的标准方程为2212y x kk -=--， 所以2223,,22k ka kbc =-=-=-，又3c =，所以392k -=，6k =-；综上可知，6k =±。
（2）设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率等于 。
【解析】不妨取双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为by x a=，代入21y x =+并整理得20ax bx a -+= 由题设知，2222450b ac a ∆=-=-= 根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的性质的基本程序是：先将方程化为标准方程，再寻找数量关系。
特别地，在求圆锥曲线离心率的时候，常常需要列出一个关于,,a b c 的所以双曲线的离心率为ce a==练习：（1）已知椭圆22:14x G y +=，求椭圆G 的焦点坐标和离心率。
【解析】由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-； 离心率为.23==a c e （2）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中, 12,F F 为其左、右焦点，以21F F 为直径的圆与椭圆交于D C B A ,,,四个点，若21,F F ,D C B A ,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆离心率为( C ) A.1B.21-【类型三】圆锥曲线的定义例3（1）已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．解 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， ∵A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，∴|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)，一般地，对于椭圆和双曲线，只要与两个焦点距离有关的问题就应该优先考虑它们的定义；而对于抛物线，利用其定义将抛物线上的点与焦点间的距离和该点到准线的距离进行互化是基本手段，要加强这方面的认识。
∴|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |，∴|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2， ∴|FA |－|FB |＝2<14.由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上， ∴点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．（2）点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是 ( D )（A （B （C ）2 （D ）2练习：（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________．56（2）抛物线24y x =上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离||4MF =，则点M 的横坐标x = 3 .（3）若椭圆122=+ny m x 与双曲线q p n m q y p x ,,,(122=-均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅等于 p m -检测1．已知点F 1、F 2分别是椭圆192522=+y x 的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则△PF 1F 2的周长等于（ B ）A.20B.18C.16D.142．椭圆11522=+y m x 的焦距等于2，则m 的值是（ B ） A.5或3 B.16或14 C.5 D.163．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( B )A.233B.263C.33D.34.（2013海淀一模） 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是( B )A. 12B.2 D. 35．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为221432x y -=，渐近线方程为6．抛物线28x y =的焦点坐标为 )321,0( ． 7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°．则椭圆离心率的范围是 。
解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)． ∴c 2a 2≥14，即e ≥12. 又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1【能力提升】8．已知点P 是椭圆22195x y +=上一动点，F 为椭圆的左焦点，定点(1,1)A ，则PF PA+的最小值是6（提示：利用椭圆的定义）9.（1）方程22)1()3(-++y x -20x y -+=在直角坐标系中表示的曲线是（ C ） A 两条相交直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 （提示：移项平方转化即可，也可以利用双曲线的第二定义）（2）方程22)1()3(-++y x 20y -+=在直角坐标系中表示的曲线是（D ） A 两条相交直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 （提示：利用抛物线的定义）（3）方程22)1()3(-++y x -20x y ++=在直角坐标系中表示的曲线是（ A ） A 两条相交直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线（提示：移项平方转化即可。
注意：点(3,1)-在直线20x y ++=上，故不能使用双曲线的第二定义）纠错矫正总结反思（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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