人教版高中数学必修一《对数与对数运算》之《对数函数及其性质的应用》导学学案

第2课时对数函数及其性质的应用

［学习目标］1•进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用.

厂知识梳理

知识点一对数型复合函数的单调性

(1) 设y= log a f(x)(a>0且1)，首先应求使f(x)>0的x的范围，即函数的定义域.

(2) 在定义域内考虑u= f(x)与y= log a u的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”

来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数

知识点二对数型函数的奇偶性

对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如y= log2凶就是偶函数•证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质•题型援宠重点突破

题型一对数值的大小比较

例1比较下列各组中两个值的大小：

(1) log 31.9, log32;

(2) log 23, log 0.32；

(3) log a n, log a3.14(a>0, a* 1).

解⑴因为y= Iog3x在(0,+s)上是增函数，

所以Iog31.9

⑵因为log23>log 21 = 0, log o.32

所以log23>log o.32.

⑶当a>1时，函数y= log a x在(0, + )上是增函数，

则有log a n >log3.14；

当0

则有log a n

综上所得，当a>1 时，log a n >log3.14;当0

反思与感悟比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性

(1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较

(2) 若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论

(3) 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺

2 2 2

时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较

(4) 若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较•

跟踪训练 1 (1)设a= log32, b = Iog52, c= log23,则( )

A. a> c>b

B.b >c> a

C.c> b> a

D.c>a> b

⑵已知a= Iog23.6, b = Iog43.2, c= Iog43.6，则( )

A.a>b>c

B.a>c> b

C.b>a>c

D.c>a> b

答案(1)D (2)B

解析(1)a = Iog32v log33 = 1 ；c= log 23 >Iog22= 1,

由对数函数的性质可知Iog52v Iog32,

••• b v a v c,故选D.

(2)a= Iog23.6 = Iog43.62，函数y= Iog4x在(0,+^)上为增函数,3.62>3.6>3.2, 所以a> c>b，故选B. 题型二对数型函数的单调性

例2 讨论函数y= Iog0.3(3 —2x)的单调性.

3

解由3 —2x>0，解得x<|

设t = 3 —2x, x€ (—a, |).

•••函数y = log°.3t是减函数，且函数t = 3—2x是减函数，

3

•函数y = log°.3(3 —2x)在(—a,刁上是增函数.

反思与感悟 1.求形如y= log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0, 先求定义域.

2.对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则.

跟踪训练2 求函数y= Iog2(x2—5x + 6)的单调区间.

解由y = x2—5x+ 6的图象可知，函数y= Iog2(x2—5x+ 6)的定义域为(一a, 2) U (3 , + a), 令u= x2—5x + 6,可知u = x2—5x+ 6在(—a, 2)上是减函数，在(3,+a)上是增函数，而y= Iog2U在(0 , +a )上为增函数，故原函数的单调递增区间为(3 , + a )，单调递减区间为(一a, 2).

题型三对数型复合函数的值域或最值

1

例3 求y= (log 1 x)2—2log丄x+ 5在区间［2,4］上的最大值和最小值.

2 2

解因为2< x< 4,所以log 1 2> log 1 x> log 1 4,

2 2 2

即—1> log 1 x> —2.

2

设t = log 1 X,则一2W t< —1,

2

1 1

所以y= t2—qt+ 5,其图象的对称轴为直线t = 4，

所以当t=— 2 时，y max = 10；当t =— 1 时，y min = ^3.

反思与感悟1•这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题

2•注意换元时新元的范围.

跟踪训练3已知实数x满足4X—10 -2X+ 16W 0，求函数y= (log a x)2—log r x+ 2的值域. 解不等式4x—10 2x+ 16W 0 可化为(2x)2—10 2x+ 16< 0,

即(2x—2)(2x—8) w 0•从而有 2 w 2x< 8,即 1 < x< 3.

所以0w Iog3x w 1.

由于函数y= (log 3x)2—Iog3 .x+ 2可化为

y = (log 3x)2 —2|og 3x + 2= (log 3x—|)2+ 31,

1 31 5

当l0g3X= 4时，Y min =石；当I°93X= 1 时，y max=》

31 5

所以，所求函数的值域为电，5】.

题型四对数型函数的综合应用

x+ 1

例4已知函数f(x)= loga—(a>0且吐1).

(1)求f(x)的定义域；

⑵判断函数的奇偶性和单调性

x+ 1 > 0 x+ 1v 0,

解(1)要使此函数有意义，则有

或

x—1 > 0 x—1 < 0.

解得x> 1或x<— 1 ,

此函数的定义域为(一8,—1) U (1,+8).

—x+ 1 x—1

(2)f(—X) = log a—x—1= log a X^

—I x+1 —=—log a x— 1 =—f(x).

又由(1)知f(X)的定义域关于原点对称,

••• f(x)为奇函数.

x+1 2

f(x) = log a x一1 = log a(1 +X一1),