第三章 数学模型1-微分方程

控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函 数；
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关 系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、 输入量及它们各自对时间的导数或积分；



这种微分方程又称为动态方程或运动方程；
微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数， 又称为系统的阶数。
2.
JLa d 2 Ra J d 电枢控制式直流电动机： C e ua 2 Cm d t Cm d t
这些都是线性定常二阶微分方程，即这些系统具有相同 形式的数学模型。 此类物理性质不同，但具有相同数学模型的系统称为相 似系统，在微分方程中对应相同位置的物理量称为相似量。
课程小结
重点掌握机理分析法建立系统的微分方程

例3：图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列 写以 ui (t )为输入量，以 uo (t ) 为输出量的网络微分方程。
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为
di (t ) 1 L i (t ) dt Ri (t ) ui (t ) dt C duo (t ) i (t ) C dt
① ②
输出
duc i C dt
(3)消去中间变量
把②代入①，并进行整理得：
duc RC uc ur dt
这是一个线性定常一阶微分方程。
[例2]：写出二阶RC网络的微分方程。
i1
Baidu NhomakorabeaR1 C1
i2
R2 C2
解：(1)确定输入输出量
ur
uc
u1
输入 输出
uc
(2)列写微分方程
ur
(3)消去中间变量
ui (t ) 0 d (uo (t ) 0) C 0 R dt
整理后得
duo (t ) RC ui (t ) dt
(2-4)
或者为
T duo (t ) ui (t ) dt
(2-5)
式中T=RC为时间常数。方程(2-4)和(2-5)就是该系统 的微分方程，这是一个一阶系统。
例5 :机械位移系统,物体在外力F(t)作用下 产生位移y(t)，写出运动方程。
输入F(t)，输出y(t)理 论依据:牛顿第二定律, 物体所受的合外力等于 物体质量与加速度的乘 积.
F ma
F(t)外力
F1(弹簧 的拉力)
F1 ky (t ) dy (t ) F2 f dt
m
F2阻尼器的阻力
消去中间变量可得：
d2 d R1 R2C1C 2 2 uc ( R1C1 R2C 2 ) uc uc ur dt dt
显然，这个结果是错误的。这是为什么呢？
注意：在列写电路的微分方程时，必须考 虑到后级电路是否对前级电路产生影响。 例2中，只有当后级R2C2网络的输入阻抗很 大时，对前级的影响才可以忽略不计。 这种后一级对前一级的影响称为负载效应。
•
线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
•
建模方法
机理分析法
适用于比较简单的系统
实验辨识法
适用于复杂系统
数学模型的概括性
• 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电 气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能 具有完全相同的数学模型。 数学模型表达了这些系统的共性。
•
•
数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模 型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再 涉及实际系统的物理性质和具体特点。
由数学模型确定系统性能的主要途径
求解
线性微分方程 傅 氏 变 换 拉氏变换 传递函数 S=jω 频率特性 计算
时间响应
观察 性能指标
拉氏反变换 估算 估算
频率响应
本章将重点讨论以下几类控制系统模型

微分方程 单位脉冲响应 传递函数 方块图（结构图）
3.1 线性系统的输入-输出时间函数描述
1. 电网络系统 2. 机械系统
(t ) bmr (t ) (2-1) b0r ( m) (t ) b1r (m1) (t ) b2r (m 2) (t ) bm1r
式中 r(t)：系统的输入信号； c(t)：输出信号； ai(i=1,2,…n)和bj(j=0,1,…m)是由系统的结构 参数决定的系数。
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
(2-6)
或写成
m f d 2 y (t ) f dy (t ) 1 y (t ) F (t ) 2 f k dt k dt k
(2-7)
思考：比较表达式(2-3)和(2-7)可以得到什么结论


d2 d y Ky F 弹簧-阻尼-质量系统：m 2 y f dt dt
d2 d 二阶RC网络： T1T2 2 uc (T1 T2 T3 ) uc uc ur dt dt d2 d RLC串联电路： LC 2 uo RC uo uo ui dt dt
d 2uo (t ) duo (t ) T1T2 T2 uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
(2-3)
相似系统和相似变量

数学模型相同的各种物理系统称为相似系统；

在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称 为相似变量。
根据相似系统的概念，一种物理系统研究的结 论可以推广到其相似系统中。 可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难 实现的系统。
列写系统微分方程的步骤
① ② ③
划分不同环节，确定系统输入量和输出量；
写出各环节（元件）的运动方程；
消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变 量及其各阶导数的方程； 化为标准形式。
④
[例1]：写出图示一阶RC电路的微分方程。
i
R C
解：(1)确定输入输出量和中间变量
ur
uc
uc
ur
输入
(2)列写微分方程 1 u r R i id t C
d 2 y (t ) a F (t ) F1 F2 ma 2 dt dy (t ) d 2 y (t ) 得F (t ) ky (t ) f m dt dt 2
d y (t ) dy (t ) 整理得到：m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
2
根据牛顿运动定律，系统的运动方程为
自动控制原理
第三章 线性系统的数学模型
本章知识点： 线性系统的输入－输出时间函数描述 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法
引言
定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系 的数学表达式即为数学模型。 用途： 1）分析实际系统 2）预测物理量 3）设计控制系统
表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 （内部描述） 复域：传递函数（外部描述）、动态结 构图 频域：频率特性
并进行整理得：
1 ur R1 i 1 ( i1 i 2 )dt C1 1 1 ( i i ) dt R i i 2 dt 1 2 2 2 C1 C2
duc i2 C 2 dt
22 dd d d u u T T u ( T T T ) u 1 1C 2 2 2 u 1 1C1 2 3 c c (R c c R1 R2C R C R C ) uc r uc ur 2 2 1 2 2 dt dt dt dt
消去中间变量 i(t) ，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
(2-2)
(2-2)式也可以写为
d 2uo (t ) duo (t ) T1T2 T2 uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
令R1C1=T1， R2C2=T2， R1C2=T3 。
这是一个线性定常二阶微分方程。
问题： 这是一个两级的RC网络，能否先写出两个单级RC网络 的微分方程，再消去中间变量，从而得到整个网络的 微分方程呢？ 我们来试一下，由上例结果可得：
d ur R1C1 u1 u1 dt d u1 R2C 2 uc uc dt
(2-3)
其中： T1 L R ， T2 RC 。

这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的 系统称为二阶线性定常系统。

例 4： 图2-2是一个由理想运算放大器组成的电容负 uo (分别表示输入量和输出量， t) ) 反馈电路 。电压 ui (t和 试确定这个电路的微分方程式。
解 理想运算放大器正、反相输入端电位相同，且输 入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有
目的：从时间域角度，建立系统输入量
（给定值）和系统输出量（被控变量）之 间的关系。
两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应
描述。
一．
线性系统的微分方程描述（机理建模法）
SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描 述的标准形式
1.
(t ) anc (t ) c( n ) (t ) a1c(n1) (t ) a2c (n 2) (t ) an1c