第三章数学模型1-微分方程

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第3章微分方程

dxdydz t
流出-流入积累率
( u ) ( u ) ( u ) x y z dxdydz x y z
dxdydz t
( u x ) ( u y ) ( uz ) 0 x y z t
P38
柱坐标中的表达式：
1 1 rur u uz 0 t r r r z
式中： r 径向坐标；z 轴向坐标；θ方位角
（2-14）
d u r dt
表示线速度
直角坐标系与柱坐标系的关系
P38
图2-2b 示出球坐标系与直角坐标系的关系。
x 向质量净出率：
x 向增加量
( u x )dx dydz x
① 质量净出率
x 向质量净出率： y 向质量净出率：
z 向质量净出率：
三向六面净出率：
（kg/s）
( u x )dx dydz x
( u y )dy dxdz y
( uz )dz dxy z
本节内容：
1.能量方程（ E.E. ）的建立 2. 其他坐标系下的形式 3. E.E.的简化
4. E.E.的应用举例
1. 方程的建立 ( E.E. )
衡算根据：热力学第一定律，即某过程中体系从环境中所吸
收的热量减去对体系所作功之差，等于该体系在过程前后的能量变化，其数学表达式为：
在传热、传质过程中往往伴随有流体流动，因
此均需要用到C.E.。
2．连续性方程的另一表达式
( u ) 0 t
引入随体导数的概念，上式可写为：
( u ) 0 u u t t
或

(整理)第三章微分法建模

第三章微分法建模微分概念是高等数学中的基本概念，它表示两个变量之间的变化率.尽管大多数学过高等数学的同学对微分概念很熟悉，但灵活地将微分概念运用于数学建模并不是件容易的事情. 3.1 微分法 3.1.1纯增长率概念纯增长率(pure growth rate)也叫净增长率(net growth rate)，它是微分法建立数学模型最常用的概念之一. 令)(t x 记某个量在t 时刻的值.我们可以设想这个量是某生物种群中个体总数.其实它也可以是地球上人类人口数，或是某集团公司的资本总量等等.这个量可以用不同方式计量，例如人口数量以百万计算；厂商资本的总量以百万元计算；植物的净重以公斤计算；某鱼类种群的数量以公斤计算等等.我们假设它的值可以取某个区间内的任何实数，也就是认为它是一个连续的量. 令b 表示在单位时间现有每单位种群诞生或新加入种群的单位数，并称它为瞬时出生率(instantaneous birth rate)，又令x 记现有种群单位数.于是，在长度为t 的无穷小时间区间中，实际增加的种群单位数近似的为t bx ∆.这里之所以说t bx ∆是近似值，是因为b 通常随时间而变化，即 )(t b b =，因而我们在出生率前面加上了形容词“瞬时的”. 在无穷小区间),[t t t ∆+内，b 从)(t b 变到)(t t b ∆+. 类似地，x 从)(t x 变到)(t t x ∆+.另一方面，区间),[t t t ∆+又如此之短，以至于在此区间中b 的值与)(t b 的值没有多大区别，而x 与)(t x 的值也同样没有多大的不同. 通常认为，b 和x 对t 至少连续，并且假设x 对t 还是可微的.因此当 0→∆t 时， )()()(t O t b t t b ∆+=∆+,)()()(t O t x t t x ∆+=∆+,这里“大O ”定义为当0→∆t 时的无穷小量，即时趋于零的量当0)(→∆≡∆t t O . 现在我们可以更确切地写出在无穷小区间),[t t t ∆+内种群实际增加的单位数，这就是 t t O t x t O t b ∆∆+∆+)}()()}{()({ 令d 记在单位时间现有每单位种群中死亡或离开种群的单位数，并称它为瞬时死亡率(instantaneous death rate).于是类似于上面的讨论，在无穷小区间),[t t t ∆+内，实际离开种群的单位数为 t t O t x t O t d ∆∆+∆+)}()()}{()({ 显然，上面两式之差就是在无穷小区间),[t t t ∆+内种群纯增加的单位数，这也正好是)(t x 增加的数量，所以有 =-∆+)()(t x t t x t t O t x t O t b ∆∆+∆+)}()()}{()({ t t O t x t O t d ∆∆+∆+-)}()()}{()({ 现在定义纯增长率μ为单位时间现有每单位种群中纯增加的种群单位数.因为μ为瞬时出生率b 与瞬时死亡率d 之差，亦即d b -=μ. 于是，得到 )]()()][()([)]()()][()([)()(t O t x t O t d t O t x t O t b t t x t t x ∆+∆+-∆+∆+=∆-∆+取极限0→∆t 即得 x x d b dx bx dt dx μ=-=-=)( 从而有 dt dx x 1=μ 如果用)(t o ∆表示当0→∆t 时t ∆的高阶无穷小量，即时仍趋于零的量之后当除以0)(→∆∆≡∆t t t o . 则(3.1.1)式的右端可改写为)()(t o t x d b ∆+∆-(3.1.2)式本身并不是一个数学模型，而只是纯增长率μ的定义，它通常是t x ,函数.但是一旦对这个函数的具体形式作出假设，它就成为一个数学模型. 3.1.2 微分方程及其初等解法用微分法建立的数学模型通常都可以用微分方程来表示，因此模型的求解会利用到微分方程的解法.大多数情形下，由于建立的模型比较复杂，很难用初等积分方法来求精确解，这时需要用数值方法来近似求解.但对于较为简单的情形，可以用分离变量法、常数变异法等方法来求得精确解.这些方法在常见的常微分方程书中都可以找到，所以这里不再重复. 3.2 Malthus 模型及其修改 3.2.1 连续Malthus 人口模型设某地区的人口总数为)(t P .1798年，英国人T.J.Malthus 在研究了百余年的人口统计资料之后，他发现了单位时间人口的净增长与人口总数成正比的规律，即 t t kP t P t t P ∆=-∆+)()()( (3.2.1) 当0→∆t 时，上式变为微分方程)()(t kP dtt dP = (3.2.2) 根据现实状况，配以适当的初始条件如：00)(P t P = (3.2.3)系统(3.2.2) (3.2.3)可求解为： )(00)(t t k e P t P -= (3.2.4) 这就是著名的Malthus 人口模型. 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好的吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异.人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口数量比较符合该模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却与此模型相去很远. 在理论上，当∞→t 时，∞→)(t P .这意味着该地区人口数量可以无限制地增大，这与现实是相矛盾的. 3.2.2 湖泊污染的减退考虑一个受某种物质污染的湖水.假设这个湖的湖水体积V （以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中.以)(t x 记在任意时刻t 每立方米湖水中所含污染物质的克数，这是污染程度的一种合理量度，习惯上称之为污染浓度.令r 表示每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量.我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，此时流入湖里的全部是干净水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的%5或环保要求？考虑在时间段],[t t t ∆+上湖水污染浓度的变化.因为湖水所含污染物的量的减少是由污水流出造成的，故 t r t x V t x t t x ∆-≈-∆+)()]()([ (3.2.5) 当0→∆t 时，上式变为微分方程 )()(t x V r dt t dx -= (3.2.6) 考虑如下的初始条件： 0)0(x x = (3.2.7) 于是(3.2.6) (3.2.7)可求解为： t V r e x t x -=0)( (3.2.8) 这是Malthus 模型的另一个版本. 利用(3.2.8)我们可以解决前面提出的问题.式(3.2.8)告诉我们： ))(ln(0t x x r V t = (3.2.9) 将2005.0/1)(/0==t x x 代入(3.2.9),就可以计算出污染浓度下降到开始时（即污染停止时）污染浓度的%5所需的时间为： r V r V t 320ln 05.0≈= 我们把此结果应用于北美的两大湖：安大略湖和伊利湖.这两个湖的湖水体积分别为121064.1⨯和111058.4⨯立方米，而平均流量分别为每天81073.5⨯和81080.4⨯立方米.因此安大略湖的305.01059.8⨯≈t 天或23.5年，伊利湖的305.01086.2⨯≈t 天或7.8年.由于建立模型时有两个假设；一、污染物质均匀的混合在湖水中. 二、流入（或流出）湖水的流量是一个常数. 故我们建立的模型与现实是有差距的.当然，如果实际流量的季节性变化对污染没有太大的影响，而污染物质与湖水混合不均匀尽可能延长净化时间的话，上面的结果就可能看成是所需净化时间的一个下限.这是我们从这个简单的模型中所得到的一个很有用的信息. 3.2.3 Malthus 模型的修改——Verhulst 模型对Malthus 模型的修改中最著名的是Verhulst 模型.考虑到单位时间单位人口的净增长率并不一定是一个常数，那么最简单的假设是线性关系.理论上，如果没有自然灾害、疾病或战争，人类的总数会不断增加，这样必然导致人类生存竞争的加剧和人类生存环境的恶化.事实上，单位时间单位人口的净增长率呈下降趋势.因此人口数量的变化可以考虑关系： )()()()(t bP a t t P t P t t P -=∆-∆+ (3.2.10) 当0→∆t 时，上式变为微分方程 )()](1[)(t P t cP a dt t dP -=(3.2.11) 其中a ，b ，a b c /=都是正常数.边界条件(3.2.2)在这里是同样适合.从方程发现，如果c P 10<，则0)(>dt t dP ，从而)(t P 单调增加趋于最大群体数c 1；如果c P 10>，则0)(<dt t dP ，从而)(t P 单调减少趋于最大群体数c 1.事实上，令)(1)(t Q t P =，方程(3.2.11)变为线性方程 ac t aQ dt t dQ =+)()( 其解为： at e c Q c t Q --+=)()(0 ，其中001P Q = 从而 at m me P P P t P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(0(3.2.13) 其中b a c P m ==1.显然，当∞→t 时，m P t P →)(.当0P 分别取m m m P P P P P P ><=000,,时图形如图3.1所示.并称m P P <0的图像为Logistic （逻辑斯提克）曲线，而相应的微分方程也称为Logistic （逻辑斯提克）方程. 3.2.4 植物的生长模型令)(t x 为某种植物在时刻t 的净重（或干重，即不包含水分的重量）.设这种植物吸取一种养料而生长，记这种养料在时刻t 的重量为)(t S .一般而言，养料越多，植物生长得就越快；反之，养料越少，植物生长得就越慢.因此最简单的假设是：t 时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻t 的重量)(t S 成正比，即 t t x t kS t x t t x ∆=-∆+)()()()( (3.2.14) 这里k 是正常数.我们也可以假设别的，例如t 时刻单位时间单位净重量植物的净重量的增长与养料在时刻t 的重量)(t S 的平方成正比，或与养料在时刻t 的重量)(t S 的二分之三次方成正比等等.但在缺少有关该植物本身进一步信息的情况下，我们区分不出哪一个假设更正确，因此我们采用其中最简单的假设.当然，这也可能是一个很好的假设，如果不是，以后还可以修改. 由式(3.2.14)即得 k S x dt dx = (3.2.15) 此时，由于养料在时刻t 的重量)(t S 未知，所以(3.2.15)还不能单独求解.我们必须寻求其它的量关系.为此，我们假设养分被植物吸收后全部转化成了植物的净重量，没有丢弃任何东西.这意味着，任意时刻单位时间养分减少的重量与植物净重量的增加相等，此关系可表示为： dx dS -= (3.2.16) 上式中“负号”表示植物的净重量x 增加时养分的重量S 减少.从(3.2.16)中马上可以得到xx S f -=(3.2.17) 其中常数f x 为对应于0=S 时x 的值.方程(3.2.15)和(3.2.17)一起便可求解.将(3.2.17)代入(3.2.15)，得到 x x x k dt dx f )(-= (3.2.18) 这就是植物生长的数学模型.它的解为： t kx f f f e x x x x x t x --+=))0(()0()0()( (3.2.19) 其解曲线如图3.2所示. 注意到曲线是S 形的，先向上弯曲到拐点 )0()0(ln 1x x x kx t f f -=，2fx x =，然后向下弯曲，并且当∞→t 时逼近于水平渐近线f x x =.不难发现，我们又一次得到了Logistic 方程和Logistic 曲线，即方程(3.2.18)和曲线(3.2.19).这是生态学中最重要的数学模型之一.实践中，植物的生长会在有限时间内达到它的最大净重量，而在(3.2.19)中说明只有当∞→t 时)(t x 才逼近于f x .这说明该模型只是抓住现象的本质特点，而不是现实过程的模仿.实际测量数据是判断模型有效性的唯一根据.当适当选择k 和f x 的值之后，上述模型对一年生的植物生长给出了很好的描述. 练习１．蚂蚁群体的死亡率同当时的数目成正比.如果不出生幼蚁，则在一周末总数减少一半.然而，由于要产幼蚁，出生率也同现有总数成正比变化，并且两周内蚁群总数翻一番.试确定每周该群体的出生率. ２．一个大罐装有50升的盐水，其内溶有50公斤的盐，水以每分钟2升的速度注入该罐，并且搅拌好的溶液以同样的速度流进原先装有50升纯水的二级罐，试确定25分钟后二级罐内溶液的浓度. ３．假设Verhulst 方程(3.2.11)变为)(])(1[)(2t P t cP a dtt dP -= 试求解之.并比较(3.2.11)的解.如果2)(t P 变为nt P )(又如何？４．两棵植物种在一起，按比例吸取养分，试建立它们的生长模型. 3.3 传染病传播的数学模型人们将传染病的统计数据进行处理和分析发现，在某一地区某种传染病传播时每次所涉及的人数大体上是一个常数.这一现象如何解释呢？下面我们建立传染病传播的数学模型并用我们建立的数学模型来解释这种现象. 传染病传播涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，如果还要考虑人员的迁入和迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的宣传等因素的影响，那么传染病的传播变得非常复杂. 如果一开始就把所有的因素统统考虑进去，那么我们将陷入多如乱麻的头绪中而不能自拔，倒不如舍弃众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原假设，再建立一个与实际比较吻合的模型.下面由简单到复杂将建模的思考过程作一示范，读者可从中得到很好的启发. 模型一考虑最简单的情形. 假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数是常数0K ；假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人. 记 )(t i 表示t 时刻病人数， 0K 表示每个病人单位时间内传染的人数， 0)0(i i =，即最初有)0(i 个传染病人，则在t ∆时间内增加到病人数为 t t i K t i t t i ∆=-∆+)()()(0 于是得微分方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)0()()(i i t i K dt t di (3.3.1) 这也是一个Malthus 模型.其解为： t K e i t i 00)(= (3.3.2) 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的. 这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长. 但由(3.3.2)式可知，当∞→t 时，∞→)(t i ，这显然与实际情况不能相符. 问题在于两条假设均不合理.特别是假设（1），每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际不符. 因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多.而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的. 为了更好的吻合实际情况，我们在原有基础上修改假设建立新的模型. 模型二用)(t i ，)(t s 表示t 时刻传染病人数与未被传染人数.0)0(i i =. 假设（1），每个病人在单位时间内传染的人数与这时未被传染人数成正比，比例系数是常数0K ；假设（2），一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡，即他一旦得病后就一直是病人；假设（3），该地区总人数不变，设为n .即n t i t s =+)()(. 由以上假设得微分方程： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=00)0()()()()()(i i n t i t s t i t s K dt t di(3.3.3) 注意到该模型与植物的生长模型一致.因此，可以类似地求解此模型.其解为： nt K e i n n t i 0)1(1)(0--+=(3.3.4)其图形如图3.3所示.模型(3.3.3)可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间. 医学上称t dt di /为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图3.4所示.由(3.3.4)式可解出20020])1(1[)1(00n tK n tK e i n e i n n K dt di ---+-=(3.3.5) 令0)(22=dt t i d ，得极大值点为：n K i n t 001)1ln(-= (3.3.6) 由此可见，当传染病强度0K 或总人数n 增加时，1t 都将变小，即传染病高峰来的快.这与实际情况吻合.同时，如果知道了传染病强度0K （由统计数据得出），即可预报传染病高峰1t 到来的时间，这对于防治传染病是有益的. 模型二的缺点：当∞→t 时，由(3.3.4)式可知，n t i →)(.即最后人人都要生病. 这显然是不符合实际情况的.造成的原因是假设（2）中假设了人得病后经久不愈. 为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染给别人，因为其中一部分会被隔离. 还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病后经久不愈. 为此作出新的假设，建立新的模型.模型三在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍然要把问题简单化.设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形.并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者.在这种情况下，把居民分成三类：第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的.用)(t I 表示t 时刻第一类人数. 第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的.用)(t s 表示t 时刻第二类人数. 第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人.用)(t R 表示t 时刻第三类人数. 假设疾病传染服从以下法则：（1）在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N ，即不考虑出生及其它原因引起的死亡，以及迁入与迁出等情况. （2）易受传染者人数)(t s 的变化率正比于第一类的人数)(t I 与第二类人数)(t s 的乘积. （3）由第一类向第三类转变的速率与第一类的人数成正比. 由假设（1）（2）（3）得微分方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=I dtdR IrsI dtdI rsIdt ds γγ(3.3.7) 其中γ,r 为两个比例常数，r 为传染率，γ为排除率. 由个方程相加得 0)]()()([=++t R t I t s dt d 则)()]()()([人口总数，是常数N t R t I t s =++ 故)()()(t I t s N t R --=. 由此可知，只要知道了)(t s 和)(t I ，即可求出)(t R . 而(3.3.7)式的第一和第二个方程与)(t R 无关，因此由 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=I rsI dt dI rsI dt ds γ (3.3.8) 得 rs rsI I rsI ds dI γγ+-=--=1， (3.3.9) 从而 c s r s s I ++-=ln )(γ当0t t =时， 0000)(,)(s t s I t I ==，记r γρ=，有000ln )(s s s s I s I ρ+-+= 下面讨论积分曲线(3.3.10)的性质. 由(3.3.9)知 ⎪⎩⎪⎨⎧<>==><+-=ρρρρs s s s s I ,0,0,01)(' 所以当ρ<s 时，)(s I 是s 的增函数，ρ>s 时，)(s I 是s 的减函数. 0)()0(00>=-∞=I s I I 由连续函数中间值定理及单调性知，存在唯一点∞s ，00s s <<∞时，使得0)(=s I .而当0s s s ≤<∞时，0)(>s I . 由(3.3.8)式知0=I 时，0/,0/==dt dI st ds ，所以)0,(∞s 为方程组(3.3.8)的平衡点. 当0t t ≥时，方程(3.3.10)的图像如图3.5.图3.5 当t 由0t 变化到∞时，点))(),((t I t s 沿图3.5中诸条曲线移动，并沿s 减少的方向移动，因为)(t s 随时间的增加而单调减少.因此，如果ρ<0s ，则)(t I 单调减小直到零，)(t s 单调减小直到∞s .所以，如果为数不多的一群传染者0I 分散在居民0s 中，且ρ<0s ，则这种传染病会很快被消灭. 如果ρ>0s ，则随着)(t s 减小到ρ时，)(t I 增加，且当ρ=s 时，)(t I 达到最大值.当ρ<)(t s 时，)(t I 才开始减小. 由以上分析可以得出如下结论：只是当居民中的易受传染者的人数超过阈值r γρ=时传染病才会蔓延. 用一般的常识来检验上面的结论也是合理的.当人口拥挤、密度高、缺乏应有的科学文化知识、缺乏必要的医疗条件、隔离不好而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低、社会条件好、有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围内出现却很快被消灭. 如果起初易受传染的人数0s 大于但接近于阈值ρ，即如果)(0ρ-s 与ρ相比是小量，则最终患病的人数近似于2)(0ρ-s .这就是著名的传染病学中的阈值定理.生物数学家Kermack 和Mekendrick 在1927年首先证明了这个定理. 定理（传染病学中的阈值定理）设r s +=ρ0，且假设ρ/r 与1比相是小量.并设最初传染者人数0I 很小，则最终患病的人数为r 2.即是易受传染者的人数最初比阈值高多少，那么最终就会比阈值低多少. 根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数.这个定理揭示了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一个常数的现象. 在传染病发生的过程中，不可能准确地调查每一天或每一星期得病的人数.因为只有那些来医院就医的人才能被人知道他们得了病，并把他们隔离起来防止传染.因此，统计的记录是每一天或每一星期新排除者的人数，而不是新得病的人数.所以，为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较，必须解出(3.3.7)的第三个方程. )(s R N I dt dR --==γγ (3.3.11) 因为 ργγs s r I r s I dt dR dt ds dR ds -=-=-== 即得 ρdR s ds -= 所以ρ/0)(R e s R s -=代入(3.3.11)得 )(/0ργγR e s R N I dt dR ---== (3.3.12) 方程(3.3.12)虽是可分离变量的，但是不能用显式求解. 如果传染病不严重，则ρ/R 是小量，取泰勒级数 +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2/211ρρρR R e R 的前三项，近似得 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=20211ρργR R s R N dt dR⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=200021ρργR s R s s N其解为 )]21tanh(1[)(002ϕαγαρρ-+-=t s s t R 其中 2/10020])(2)1[(ρραs N s s -+-=，)1(1tanh 01-=-ραϕs 因此 )21(sec 22022ϕαγργα-=t h s dt dR (3.3.13)方程（3.3.13）在dt dR t -平面上定义了一条对称钟形曲线，称为疾病传染曲线.如图3.6.疾病传染曲线很好的说明了实际发生的传染病.每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值，然后又减少下来. Kermack 和Mekendrick 把(3.3.13)得到的dt dR 的值与取自1905年下半年至1906年上半年在孟买发生的瘟疫资料进行比较，模型值与实际值非常接近.这说明模型III 是很好的. 3.4 Lanchester 作战模型问题：两军对垒，现甲军有m 个士兵，乙军有n 个士兵，试计算战斗过程中双方的死亡情况以及最后的胜负状况. 这个问题提得很模糊.因为战争是一个很复杂的问题.涉及因素很多，如兵员的多少，武器的先进与落后，两军所处地理位置的有利与不利，士气的高低，指挥员的指挥艺术，后勤供应状况，气候条件等诸多因素.因此，如果把战争所涉及到的所有因素都考虑进去，这样的模型是难以建立的.但是对于一个通常情况下的局部战争，在合理的假设下建立一个作战数学模型，读者将会看到得出的结论是具有普遍意义的.在第一次世界大战期间，Ｆ·Ｗ·Lancheste r(兰彻斯特)投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得出交战结果的数学模型.并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定理”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比. 对于一次局部战争，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备、指挥艺术.还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数.两军士兵都处于对方火力范围内.由于战斗紧迫、短暂，也不考虑支援部队. 根据问题的不同，Lanchester 将战争分成三种：正规战、游击战和混合战.正规战是指战斗双方都处于对方的视野中，没有掩护.游击战是指战斗双方都处于各自的掩体内不被对方看见，作战射击目标是一个范围而不是单个个人.混合战是指战斗双方其中一方处于自己的掩体内而另一方处于对方的视野中，即一方是游击战而另一方是正规战. 3.4.1正规战模型令)(t x 表t 时刻甲军人数，)(t y 表t 时刻乙军人数. 在以上假设下，显然甲军人数的减员人数成正比，同样乙军人数的减员率与甲军人数成正比，可得正规部队的作战模型为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=bx dtdy aydt dx (3.4.1)其中0,0>>b a ，均为常数，(3.4.1)式中两式作比值，可积分得 c bx ay bx ay =-=-202022 (3.4.2) 这就是“兰彻斯特平方定理”， (3.4.2)式在y x -平面上是一族双曲线.如图3.7所示，双曲线上箭头所指方向表示战斗力随着时间而变化的方向.图 3.7中，2=a ，1=b .0=c 是一条过原点的直线，它将平面分成两部分：0>c （直线上方的部分）和0<c （直线下方的部分）. 由图3.7知，当0>c 时，曲线与y 轴有一个交点.此时，因为甲部队的士兵人数先减少为０，因此，乙部队获胜.从(3.4.2)式我们知道，乙方要获胜，就要使不等式2020bx ay >成立.可采用两种方式：（1）增大a ，即配备更先进的武器.（2）增加最初投入战斗的人数0y .但是，值得注意的是：在上式中a 增大两倍，结果20ay 也增大两倍.但0y 增大两倍则会使20ay 增大四倍.这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定理的意义，说明兵力增加，战斗力将大大增加. 下面考虑一个具体的数值例子.设甲军有100=m 人，乙军有50=n 人，两军装备性能相同，即令1=b a ，于是(3.4.2)为 a c x y x y =-=-=-7500202022或750022=-y x 因为战斗结束时一方人数为０.显然，甲军获胜.最后，乙军被消灭即0=y ，从而由75002=x 解得87≈x .这说明甲方战斗死亡13人，剩余87人，乙方50人全部战斗死亡. 另外，如果考虑两军作战时有增援.令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率.所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率.即t 时刻单位时间增援的战士人数.此时正规战对正规战的作战模型为： ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g bx dt dy t f ay dt dx(3.4.3)3.4.2 混合战模型如果甲军是游击战，乙军是正规战.由于游击战对当地的地形比较熟悉，常常处于不易被对方发现的有利地形.设游击部队占据区域R ，由于乙军看不清楚甲军，只好向区域R 射击，但并不知道杀伤情况.我们认为如下的假设是合理的：游击部队x 的战斗减员率与自己部队人数x 成正比.因为x 越大，目标越大，被敌方子弹命中的可能性就越大.另一方面，游击部队x 的战斗减员率还应当与对方部队人数y 成正比.因为y 越大，火力越强，x 的伤亡人数也就越大.因此游击部队x 的战斗减员率等于)()(t y t cx ，常数c 称为敌方y 的战斗有效系数.如果)(t f 和)(t g 分别为游击队和正规部队增援率，则游击队和正规部队的作战模型为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g dx dt dy t f cxy dt dx (3.4.4) 若无增援)(t f 和)(t g ，则(3.4.4)式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=dx dt dy cxy dt dx(3.4.5)(3.4.5)式中两个方程相比，积分得M dx cy dx cy =-=-020222(3.4.6)(3.4.6)式在y x _平面上定义了一族抛物线，如图3.8所示. 如果0>M ，则正规部队胜.因为当)(t y 减小到c M /，部队x 已经被消灭.同样，如0<M ，则游击队胜. 3.4.3 游击战模型甲乙双方都是游击部队，因而双方都隐藏在对方不易发现的区域内活动.由混合战部分的分析，得游击战数学模型 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g dxy dt dy t f cxy dt dx (3.4.7) 其中)(t f 和)(t g 分别为甲军和乙军的增援率，c ，d 分别为乙军和甲军的战斗有效系数. 如果甲乙双方的增援率均为零，则游击战模型(3.4.7)变为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=dxy dt dy cxy dt dx (3.4.8) (3.4.8)式中两个方程相比，积分得 L dx cy dx cy =-=-00 (3.4.9) (3.4.9)式在y x -平面上定义了一族直线，可通过修改图3.7或图3.8的程序来在计算机上输出这一族直线的图像.如图3.9，当0=L 时，它是这族直线中过原点的一条.此时甲乙双方战平（因为双方人数都减少为零），条件为00dx cy =；当0>L 时，即00dx cy >，此时乙方胜（因为甲方人数减少至零时，乙方还有士兵人数为c L /）.最后，当0<L 时，即00dx cy <，甲方胜（因为乙方人数减少至零时，甲方还有人数为d L /-）.。

微分方程模型方法

物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人口数量随时间变化的规律，预测未来人口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势，为政策制定者提供依据，以制定合理的计划生育政策。例如，Logistic模型是一种常用的人口动态模型，通过建立微分方程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数学基础，如线性代数、微积分、常微分方程等。

自动控制原理与系统第三章自动控制系统的数学模型

④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节，直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。

第3章微分方程模型

第三章微分方程建模在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。

例如，根据自由落体运动的重力加速度g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。

本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。

这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。

提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。

最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。

因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。

事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。

§3.1 几个简单实例例3.1 （理想单摆运动的周期）本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。

（图3-1）从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 sin mg ，根据牛顿第二定律可得：θθsin mg ml -= 从而得出两阶微分方程：sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ⎧+=⎪⎨⎪==⎩ （3.1）这就是理想单摆运动满足的微分方程。

（3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。

根据微积分知识，当θ很小时，有sin θ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程：⎪⎩⎪⎨⎧===+∙∙∙0)0(,0)0(0ϑϑϑϑϑl g （3.2）（3.2）的特征方程为02=+lg λ 对应的特征根为i lg =λ，（其中i 为虚单位），故（3.2）中的微分方程的通解为： t c t c t ωωϑcos sin )(21+=，其中lg =ω 代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解θ(t )= θ0cos ωt注意到当4T t =时，θ(t ) = 0，即可得出 24πω==T l g t 故有 l g T π2=这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。

微分方程模型介绍

微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程：一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。

这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

3.1微分方程模型-微分方程的几个简单实例

微分方程模型浙江大学数学建模实践基地§3.1 微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。

在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。

例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。

从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin θ，根据牛顿第二定律可得：sin ml mg θθ=- 从而得出两阶微分方程：0sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎪=⎧⎪⎨⎩ （3.1）这是理想单摆应满足的运动方程（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。

当θ很小时，sin θ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：00(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎧=⎪⎨⎪⎩ （3.2）由此即可得出2g T l π=（3.2）的解为: θ(t )=θ0cosωtg l ω=其中当时,θ(t )=04T t =42g T l π=故有M Q P mgθl 图3-1（3.1）的近似方程例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。

与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。

设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。

这一问题属于对策问题，较为复杂。

讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。

设巡逻艇在A 处发现位于B 处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA 为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r =r (θ)，见图3-2。

B AA1dr ds dθθ图3-2由题意，，故ds =2dr 2ds dr dt dt =图3-2可看出，222()()()ds dr rd θ=+故有:2223()()dr r d θ=即:3rdr d θ=（3.3）解为：3r Ae θ=（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。

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2
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3
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1 微分方程数学建模的重要性
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03-1第三章-第1-8节-微分方程模型市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

(5 13)
将(5-10)和( pr 2
ur
(5 14)
最终f 把 (54-1pA4r2)2m和r(05-6)代r0入(rr5-4)式得 (5 15) r 这里 0 是单位向径，指示向径方向。
(5-15)式表白： (1)行星运动时受旳力旳方向与它旳向径方向
相反，即在太阳—行星连线方向，指向太阳；
若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹旳水平和铅垂方向旳坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假设3我们有
mx(t) F cos
my(t) F sin mg
(2 3)
式中m为铅球旳质量，F是对铅球旳推力，为力旳
方向既铅球旳出手角度。
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，t t0
22
§4 追踪问题旳数学模型
问题：我辑私舰雷达发觉距d海里处有一艘走私船正
以匀速 a沿直线行驶，辑私舰立即以最大旳速度（匀v速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰旳瞬时
速度方向一直指向走私船，试求辑私舰旳运动轨迹及追上旳时间。
(留作自学)
23
§5 万有引力定律旳发觉
历史背景：开普勒三定律：１、各颗行星分别在不同旳椭圆轨道上绕太阳运营，太阳位于这些椭圆旳一种焦点上。２、每颗行星运营过程中单位时间内太阳—行星向径扫过旳面积是常数。３、各颗行星运营周期旳平方与其椭圆轨道长半轴旳3次方成正比。
14
x
v2 g
cos
sin
(
v2 g2
sin 2
2h
)
1 2
g
v
cos
v
(
F m
2 2
g2
2F m
g sin )t0

1一阶微分方程及其建模方法

ln y x 2 C1
y Ce 为所求通解.
x2
14
例 2 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比,已知 M
t 0
M0 , 求衰变过程中铀含量
M ( t )随时间 t 变化的规律.
解衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
7
3、主要问题-----求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
设y ( x )在区间 I 上有 n 阶导数,
F ( x, ( x ), ( x ),, ( n) ( x )) 0.
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
10
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分
d x 方程 2 k 2 x 0 的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC2 cos kt , dt 2 d x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
P ( x ) dx
y u ( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
22
u ( x ) e 将y和y 代入原方程得
P ( x ) dx
Q( x ),
P ( x ) dx dx C , 积分得 u( x ) Q( x )e

系统数学模型建立

di ui = iR + L + u0 dt du0 1 u0 = ∫ idt i = c c dt d 2 u0 du0 代入得: Lc 2 + Rc + u 0 = ui dt dt
外
x-x
c

阻尼力与元件所受合外力构成平衡力系
阻力F
& -cx+F外 = 0
(3)、弹性元件、与阻尼元件相似。与阻尼元件相似。
2、机械平移系统、
建立机械平移系统的微分方程时，建立机械平移系统的微分方程时，一般以质量元件为研究对象，对其进行受力分析，质量元件为研究对象，对其进行受力分析，然后根据受力平衡方程建立微分方程。后根据受力平衡方程建立微分方程。
第二节系统微分方程的建立一、步骤
1、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 2、建立每个环节输入、输出的函数关系。、建立每个环节输入、输出的函数关系。 3、对非线性方程线性化。、对非线性方程线性化。 4、消除中间变量，建立只含有系统输入、输出、消除中间变量，建立只含有系统输入、及系统结构性能参数的微分方程。及系统结构性能参数的微分方程。微分方程的一般表达式写作
例1：系统如图示，建立系统的微分方程。：系统如图示，建立系统的微分方程。解：
r ∑F = 0 F1 F2 F3 F4 = 0 d 2 x(t ) dx(t ) f (t ) m c kx(t ) = 0 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m +c + kx(t ) = f (t ) 2 dt dt
2、举例、
电路的微分方程。例1：建立R-C电路的微分方程。：电路如图，解：R-C电路如图，设电路电流为i

数学建模,第三章-微分方程模型

8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题黑龙现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假江科设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的技巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度学是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型：院解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑龙江科技学院数学建模
数学建模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑龙江科技学院数学建模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

第一节系统微分方程

机械工程控制基础
第三章系统数学模型
1、什么是控制系统的数学模型描述系统输入、输出物理量，以及内部物理量之间关系的数学表达式。 2、线性系统与非线性系统：系统的数学模型能用线性微分方程描述的系统称为线性系统。否则为非线性系统
机械工程控制基础
第三章系统数学模型
机械工程控制基础
第三章系统数学模型
机械工程控制基础
第三章系统数学模型
消去中间i变量,则得
d uC duC LC RC uC ur 2 dt 或写作 dt
d 2uc duc TLTC TC uc u r 2 dt dt
（3—1）
2
L 式中， TL , TC RC . R 式（3-1）就是图3-1所示电路的数学模型，它描述了该电路在 ur 作用下电容两端电压 uc 的变化规律。
机械工程控制基础
第三章系统数学模型
例3-2 已知一R-C网络如图所示，试写出该网络输入与输出之间的微分方程。
图3-2 两级R-C电路
解当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组
机械工程控制基础
1 C1 1 C2 1 C2
第三章系统数学模型
机械工程控制基础
第三章系统数学模型
二、列写系统微分方程式的一般方法 • 系统微分方程(differential equation)是描述控制系统动态性能的一种数学模型。
• 为使所建立的数学模型即简单又具有足够的精度，在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一些次要因数略去。 • 用解析法推演系统的数学模型的前提是对系统的作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的了解。

第三章数学模型1-微分方程.

•
线性系统
拉氏变换傅氏变换
传递函数
微分方程
频率特性
•
建模方法
机理分析法
适用于比较简单的系统
实验辨识法
适用于复杂系统
数学模型的概括性
• 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。数学模型表达了这些系统的共性。
•
•
数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。
自动控制原理
第三章线性系统的数学模型
本章知识点：线性系统的输入－输出时间函数描述传递函数的定义与物理意义典型环节的数学模型框图及化简方法
引言
定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。用途： 1）分析实际系统 2）预测物理量 3）设计控制系统
表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程（内部描述）复域：传递函数（外部描述）、动态结构图频域：频率特性
目的：从时间域角度，建立系统输入量
（给定值）和系统输出量（被控变量）之间的关系。
两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应
描述。
一．
线性系统的微分方程描述（机理建模法）
SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描述的标准形式
an1c(t ) anc(t )
1.
c( n) (t ) a1c( n1) (t ) a2c( n2) (t )
列写系统微分方程的步骤
① ② ③
划分不同环节，确定系统输入量和输出量；
写出各环节（元件）的运动方程；
消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程；化为标准形式。

微分方程模型

微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。

通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。

本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。

基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。

微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。

通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。

常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。

解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。

解析解是指能够用数学公式精确表示的解。

解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。

一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。

数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。

微分方程与传递函数

k M x(t)
F克服弹簧恢复力和阻尼力，使M向下运动，
产生加速度分析质量块M受力，有:
固定端
(1)外力F
F(t)
k与变形长度相关
(2)弹簧恢复力kx(t)
(3)阻尼力
M x(t)
(4)惯性力
f
与变形速
度相关
固定端
由于M受力平衡，所以
式中：x 为M的位移(m)； f 为阻尼系(N·s/m); k 为弹性系数(N/m)。
19
5.传递函数为系统的单位脉冲响应函数的拉普拉斯变换。
系统的单位脉冲响应为：
传递函数的拉氏反变换为该系统的单位脉冲响应函数系统的单位阶跃响应为：
四、基本RLC网络的复阻抗
电阻、电容、电感与电压、电流之间满足广义的欧姆定律。
RLC:
时域: 拉式变换: 复阻抗:
例：列写RC网络的传递函数
化简，并写成输出/输入的形式：
关于并联电路阻抗的计算：
例:
1.阻抗替换： 2.1/sC与R并联：
3.输入端总阻抗： 4.输出端分压： 5.传递函数：
再见
根据系统内在规律牛顿运动学能量守恒物料守恒等建立各物理量之间的数学关系选定系统的输3选定系统的输入输出变量及状态变量消去中间变量建立模型输出变量状态变量rlc电路系统的数学模型rditutldt?dttductic?tcritu??2222tutudttdurcdttudlcrccc???2tudttdurcdttudlcccc???例2
uc (t )
i(t ) C duc (t ) dt

LC
d 2uc (t ) dt 2

RC
duc (t ) dt
uc (t )