结构化学第9章晶体的结构习题解答

第9章 晶体结构和性质

习题解答

【9.1】若平面周期性结构系按下列单位并置重复堆砌而成，试画出它们的点阵结构，并指出结构基元。

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○○○○

○

○

○○○○

○○○○

○

○○○○

○○

○○

○○○

○

解：用虚线画出点阵结构如下图，各结构基元中圈和黑点数如下表：

1

2

3

4

567

○○

○○○○○○○

○

○

○

○○

○

○

○○

○

○

○

○○

○

○○

○○○○○

○○○

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○○

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图序号 1 2 3 4 5 6 7 结构基元数 1 1 1 1 1 1 1 黑点数 1 1 1 1 0 2 4 圈数

1

1

1

2

3

1

3

【评注】 从实际周期性结构中抽取出点阵的关键是理解点阵的含义，即抽取的点按连接其中任意两点的向量平移后必须能够复原。如果不考虑格子单位的对称性，任何点阵均可划出素单位来，且素单位的形状并不是唯一的，但面积是确定不变的。如果考虑到格子单位的对称形，必须选取正当单位，即在对称性尽量高的前提下，选取含点阵点数目尽量少的单位，也即保持格子形状不变的条件下，格子中点阵点数目要尽量少。例如，对2号图像，如果原图是正方形，对应的正当格子单位应该与原图等价（并非现在的矩形素格子），此时结构基元包含两个黑点与两个圆圈。

【9.2】有一AB 型晶体，晶胞中A 和B 的坐标参数分别为(0,0,0)和(

12,12,1

2

)。指明该晶体

的空间点阵型式和结构基元。

解：晶胞中只有一个A 和一个B ，因此不论该晶体属于哪一个晶系，只能是简单点阵，结构基元为一个AB 。

【9.3】已知金刚石立方晶胞的晶胞参数a =356.7pm 。请写出其中碳原子的分数坐标，并计算C —C 键的键长和晶胞密度。

解：金刚石立方晶胞中包含8个碳原子，其分数坐标为：

(0,0,0)，

1(2,12,0)，(12,0,1)2，(0,12,1)2，(14,14,1)4，3(4,34,1)4，(34,14,3)4，(14,34,3

)4

（0,0,0）与（14,14,1

4）两个原子间的距离即为C －C 键长，由两点间距离公式求得：

C-C 356.7154.4pm r a ====

密度

-1

3-10323-1

812.0g mol 3.51 g cm (356.710cm)(6.022 10mol )A ZM D N V -⨯⋅==⋅⨯⨯⨯ 【9.4】立方晶系金属钨的粉末衍射线指标如下：110，200，211，220，310，222，321，400。试问：

(1) 钨晶体属于什么点阵型式？

(2) X 射线波长为154.4pm ，220衍射角为43.62°，计算晶胞参数。

解：(1) 从衍射指标看出，衍射指标hkl 三个数的和均为偶数，即满足h+k+l =奇数时衍射线系统消失的条件，由此推断钨晶体属于体心立方点阵。

(2) 对立方晶系，衍射指标表示的面间距d hkl 与晶胞参数a 的关系为：

hkl d =

代入衍射指标表示的面间距d hkl 关联的Bragg 方程2sin hkl d θλ=得：

316.5 pm

a ===

【评注】 如果代入晶面指标表示的面间距()hkl d 关联的Bragg 方程()2sin hkl d n θλ=计算，则一定要注意衍射指标n 取值。衍射指标为220的衍射实际是（110）晶面的2级衍射，即n =2。

()2223.802sin 2sin 43.62

hkl hkl n d λλ

θ=

==

()hkl d =

(()316.5pm

hkl hkl a d ===

【9.5】(1) 银为立方晶系，用Cu K α射线（λ=154.18 pm ）作粉末衍射，在hkl 类型衍射中，hkl 奇偶混合的系统消光。衍射线经指标化后，选取333 衍射线，θ=78.64°，试计算晶胞参数。(2) 已知Ag 的密度为10.507 g·cm -3，相对原子质量为107.87。问晶胞中有几个Ag 原子，并写出Ag 原子的分数坐标。

解：(1) 对于立方晶系，衍射指标表示的面间距d hkl 与晶胞参数a

的关系为：

hkl d =

408.57 pm a === (2) 10323

10.507(408.5710) 6.02104107.87

A DN V Z M -⨯⨯⨯⨯===

由hkl 奇偶混杂衍射线系统消失的现象推知，此晶体为面心点阵。因此4个Ag 原子的分数坐标为：(0,0,0)，(

12,12,0)，(12,0,12)，(0,12,1

2

)。 【9.6】由于生成条件不同，C 60分子可堆积成不同的晶体结构，如立方最密堆积和六方最密堆积结构。前者的晶胞参数a =1420pm ；后者的晶胞参数a= 1002pm ，c =1639pm 。

(1) 画出C 60的ccp 结构沿四重轴方向的投影图；并用分数坐标示出分子间多面体空隙中心的位置。

(2) 在C 60的ccp 和hcp 结构中，各种多面体空隙理论上所能容纳的“小球”的最大半径是多少？

(3) C 60分子还可形成非最密堆积结构，使某些碱金属离子填入多面体空隙，从而制得超导材料。在K 3C 60所形成的立方面心晶胞中，K +占据什么多面体空隙？占据空隙的百分数为多少？

解：(1) C 60分子堆积成的ccp 结构沿4重轴方向的投影实际就是立方面心晶胞某个面的透视图。实际晶胞(a)与沿4重轴方向的投影（b ）如下图所示：