八年级数学勾股定理11
初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理勾股定理
1.1探索勾股定理第2课时验证和应用勾股定理学习目标1.学会用几种方法验证勾股定理．2.能够运用勾股定理解决简单问题．学习过程预习：一、勾股定理的验证活动：1、请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．2、大正方形的面积可以表示为也可以表示为3、结论习得：思想：方法：二、勾股定理的简单应用例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?变式：1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（)A.50米B.120米C.100米D.130米（例1图）（变式1图）例2：如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．变式：2.如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处?（例2图）（变式2图）习得：1、勾股定理的使用前提：2、求线段长的方法之一：三、小结互助分享1、组内分享你学到了哪些重要的解题思想、解题方法以及注意事项？2、你还需要解决的疑惑找组内成员解决.3、总结本小组在课堂中的表现.四、限时训练：1.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm,与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC=______．（1题图）（2题图）（3题图）2.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来的高度为3．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______．4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，⊥B=⊥ACD=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？5.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.五、作业布置：A层：小青P3—4（11题不做）B层：小青P3—4：1—12题（11题不做）。
勾股定理常用11个公式
勾股定理常用11个公式勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，指的是直角三角形中，任意一条直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
勾股定理是数学中非常重要的一条定理，广泛应用于各个领域。
以下是勾股定理常用的11个公式：1. 勾股定理的一般形式在直角三角形 ABC 中，设 AB、AC 为直角边，BC 为斜边，则有：BC² = AB² + AC²2. 勾股定理的两个常见形式a. 已知直角边和斜边设直角边 AB = a，AC = b，BC = c，则有：c² = a² + b²b. 已知两条直角边设直角边 AB = a，BC = b，AC = c，则有：c² = a² + b²3. 勾股定理的逆定理如果在一个三角形中，某一边的平方等于另外两边的平方之和，那么这个三角形肯定是直角三角形，即有：若 c² = a² + b²，则三角形 ABC 是直角三角形。
4. 勾股数指满足勾股定理的整数三元组 (a, b, c)，其中 a、b、c 都是正整数，称为勾股数。
例如：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)。
5. 勾股数的生成公式生成勾股数的公式称为勾股数生成公式。
其中，m 和 n 是正整数，且 m > n，gcd(m, n) = 1，k 是任意正整数，则有：a = k × (m² - n²)，b = k × (2mn)，c = k × (m² + n²)6. 勾股数的性质a. 勾股数只存在于原始勾股数列中。
b. 勾股数之间不存在公因数。
c. 每个奇数都可以表示为两个勾股数之和。
d. 每个正整数都可以表示为不超过四个勾股数之和。
7. 勾股数的应用a. 构造直角三角形。
b. 计算斜线长度。
c. 解决一些证明问题。
d. 在几何光学中，勾股数用于计算光路长度。
初二数学勾股定理
课题勾股定理教学目标1、运用勾股定理进行简单的计算；2、能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能应用勾股定理解决简单的实际问题。
重点、难点重点：将实际问题转化为直角三角形模型和勾股定理。
难点：如何用勾股定理解决实际问题。
考点及考试要求1、运用勾股定理进行计算；2、应用勾股定理解决实际问题。
教学内容【知识点预习】勾股定理：勾股定理逆定理：【典型例题分析】一．勾股定理与面积公式结合.例1 如图在Rt△ABC中，已知∠C=900, CD是AB边上的高，AB=3.5，AC=2.8，求CD的长.二. 勾股定理与完全平方公式结合.例2 已知Rt△ABC中，两直角边的和为14cm，斜边长为10cm，求这个直角三角形的面积？练习：已知一个直角三角形的斜边长为cm, 两直角边的差为cm，求此三角形的面积.点评：完全平方公式( a±b )2=a2+b2±2ab 中a±b （两数的和或差）看作整体①，a2+b2 （两数的平方和）看作整体②，ab （两数的积）看作整体③；①②③中已知任两个的值，可求出第三个的值; 或可用任意两个表示第三个。
当a，b分别表示直角三角形的两直角边时，整体①与两直角边有关，a±b为两直角边的和或差，整体②与斜边有关，a2+b2为斜边的平方，整体③则与面积有关，ab为面积的2倍.例3 一个三角形较大的角是另两个角之和，其最长边为41，面积为180，则另两边长为多少？三．勾股定理及其逆定理的变式活用.例4 △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a＋c=2b，c－a = b，试判断△ABC的形状.四．综合性例5 如图，点D是Rt△ABC 的斜边上的一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=15，BE=10，求四边形DECF的面积？【巩固练习】1、三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是_________cm．2、AD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝5cm，BD＝3cm ，那么BC＝_________cm．3、在ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,连接MN,则等腰三角形有_________个,直角三角形有_________个．4、在RTΔABC中, ∠B=90°,AD为BC边中线,DE⊥AC于E,则:AB2+EC2______AE2 ．5、在直角三角形中,两锐角的平分线相交成钝角的度数是_________ ．边长是10厘米, 则两直角边长是_________.6、小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：_______________（填“能”、或“不能”）7、有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是________(π取3)8、在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（）（A）42 (B)32 (C)42或32 (D)37或33.9、已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）.（A）80cm (B)30cm (C)90cm (D120cm.10、直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为（）(A)10cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm11、在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边长为（）（A）5 (B)4 (C)3 (D)211、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm12、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A、 b2=a2-c2B、∠C=∠A-∠BC、∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D、a∶b∶c=12∶13∶5三、证明题13、直角三角形中，两直角边长为a、b,斜边长为c，斜边上的高为h，求证：四、简答题14．如图四边形ABCD是实验中学的一块空地的平面图，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m现计划在空地上植上草地绿化环境，若每平方米的草皮需150元；问需投入资金多少元？五、应用题15、印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题。
北师大版八年级数学上册《勾股定理》课件(共18张PPT)
知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足___________， 则△ABC为___________. 4．勾股数： 满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问 题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各
组条件，判定△ABC的形状．
（1）a 4 1 ， b 4 0 ， c 9 （2）a m 2 n 2 ， b m 2 n 2 ， c 2 m （ n m n 0 ）
合作探究
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北 偏东60o方向以每小时8 n mile的速度前进， 乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙 船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙 船是沿哪个方向航行的吗？
第一章 勾股定理
回顾与思考
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题
cbaD CA B第一章 勾股定理学问点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。
学问点二：验证勾股定理学问点三：勾股定理证明（等面积法）例1。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：ACBD例2。
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a学问点五：勾股定理逆定理假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。
若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。
1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 3.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 学问点六：勾股数bbba（1）满意222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的一样的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不行能的是（ ）.A.3,5,4B. 5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7学问点七：确定最短路途1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm,有一只甲虫从A 动身，沿外表爬到C '，最近间隔 是多少？2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .学问点八：逆定理推断垂直1．在△ABC 中，已知AB 2－BC 2＝CA 2，则△ABC 的形态是( )A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．无法确定．2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对学问点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水ABCD A 'B 'C 'D 'ABC5米3米池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，假设把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,安排在楼梯外表铺地毯,地毯的长度至少须要________米.3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两局部各是多长？4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发觉旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？综合练习一一、选择题1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A.25B.14C.7D.7或253.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6.将直角三角形的三边扩大一样的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满意(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）A 、10B 、11C 、12D 、139.如图、山坡AB 的高BC =5m ，程度间隔 AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )A 、19棵B 、20棵C 、21棵D 、22棵10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2a +2b +2c 的值是 （ ）A 、6B 、8C 、10D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）Ａ、9，12，15 B 、45，1，43 C 、0.2，0.3，0.4 D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（ ）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．400225AB812255.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD= ，S△ABC = 。
教学设计北师大版八年级上册册数学11
第一章勾股定理1 探索勾股定理【教学目标】知识与技能1.先用数格子(或割、补、拼等)后用求面积的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系.2.会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想,并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法.情感态度与价值观1.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力;进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐;通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化历史的感情,激励学生发奋学习.【重点难点】重点:1.用面积法验证勾股定理.2.应用勾股定理解决简单的实际问题.难点:先用数格子(或割、补、拼等)后用求面积的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系. 【教学过程】一、创设情境内容:2002年国际数学家大会在我国北京召开(投影显示本届国际数学家大会的会标):会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.二、探索归纳1.探究活动一内容:投影显示如下地板砖示意图,引导学生从面积的角度观察图形:问:你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?学生通过观察,归纳发现:结论:以等腰直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.2.探究活动二内容:由结论1我们自然产生联想:一般的直角三角形是否也具有该性质呢?(1)观察下面两幅图:(2)填表:A 的面积 (单位面积)B 的面积 (单位面积)C 的面积(单位面积)左图 49 13 右图 16 9 25(3)你是怎样得到正方形C 的面积的?与同伴交流.方法一:如图1,将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形,S C =4××2×3+1=13.方法二:如图2,在正方形C 外补四个全等的直角三角形,形成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,S C =52-4××2×3=13.方法三:如图3,正方形C 中除去中间5个小正方形外,将周围部分适当拼接可成为正方形,如图3中阴影部分可拼成两个小正方形,按此拼法,S C =2×4+5=13.(4)分析填表的数据,你发现了什么?学生通过分析数据,归纳出:结论2:以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.3.议一议内容:(1)你能用直角三角形的边长a,b,c来表示上图中正方形的面积吗?(2)你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?(3)分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.4.探究三:利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.例题:如图所示,一棵大树在一次强烈台风中于离地面10 m处折断倒下,树顶落在离树根24 m处. 大树在折断之前高多少?三、交流反思教师提问:1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?2.对这些内容你有什么体会?与同伴进行交流.在学生自由发言的基础上,师生共同总结:1.知识:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.2.方法:(1) 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用;(2)“割、补、拼、接”法.3.思想:(1) 特殊→一般→特殊;(2) 数形结合思想.四、检测反馈1.基础巩固练习:求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答):2.生活中的应用:小明妈妈买了一部29 in(74 cm)的电视机. 小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽,他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?五、布置作业P4:习题1.1 1,2,3题六、板书设计1 探索勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.几何语言:因为在Rt△ABC中,∠C=90°所以由勾股定理得:a2+b2=c2七、教学反思(一)设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念,在探索勾股定理的整个过程中,本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时,进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.(二)突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理,本节课首先情景创设激发兴趣,再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手,自然过渡到探究一般直角三角形,学生通过观察图形,计算面积,分析数据,发现直角三角形三边的关系,进而得到勾股定理.。
北师大版八上数学专题一勾股定理(内含答案详解)
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BS 八上数学专题一勾股定理一．选择题（共14小题）1．在Rt△ABC中，若斜边AB=3，则AC2+BC2等于（）A．6B．9C．12D．182．在△ACB中,若AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积为（）A．6B．8C．12D．243．直角三角形的两边长分别为6和8,那么它的第三边长度为（）A．8B．10C．8或2D．10或24．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为(）A．4B．8C．16D．645．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．B．2C．D．26．如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC=3，BC=4时，计算阴影部分的面积为（)A．6B．6πC．10πD．127．△ABC的三边长为a，b,c,已知a：b=1：2，且斜边c=2，则△ABC的周长为（）A．3B．5C．6D．68．如图，线段AD是直角三角形ABC斜边上的高，AB=6，AC=8,则AD=（）A．4B．4.5C．4.8D．59．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2=48，S3=9,则S1的值为（)A．18B．12C．9D．310．下列各组数据分别为三角形的三边长,不能组成直角三角形的是（）A．9,12,15B．7，24，25C．6，8,10D．3，5，711．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm12．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为（)A．13 m B．12 m C．4 m D．10 m13．如图，圆柱的底面周长是14cm,圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm14．一架长25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7dm,如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm二．填空题(共6小题)15．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5）,（5，12,13），（7，24，25)，（9，40,41）…可发现,4=，12=，24=…请写出第5个数组:．16．如果一个三角形的三边长之比为9：12:15,且周长为72cm，则它的面积为cm2．17．如图，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点C到线段AB的距离是．18．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是时，这三条线段构成直角三角形19．小东拿着一根长竹竿进一个宽为4米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0。
八年级下册18.1勾股定理。11-6班.吴江生
习题. 复习与巩固
1.求出下列直角三角的未知边。
2.一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部在离旗杆底部 8m处，旗杆折断之前有多高？
谢谢大家 再见！
18.1.勾股定理
数学系116班 吴江生
2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽
这个图案有什么意义呢？为什 么选定它作为2002年在北京召 开的国际数学大会的会徽呢？
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
毕达哥拉斯 （公元前 572-前492 年），古希 腊著名的哲 学家、数学 家、天文学 家。
≈2.256
因为AC 大于 木板的宽，所以木板 过。
能
从门框内通
探究2
如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO的距离 为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m那么梯子底端B也外移 0.5m吗?
可以看到，BD=OD — OB ，求BD，可以先求 OD. 在R t AOB中， 2.5² =6.25 OB² =__________________________________， 2.5 OB=__________________________________， 在R t COD中， CD² —OC² OD² =__________________________________, 1.16 OD=__________________________________, 1.34 BD=___________________________________, 0.5 梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移______。
相传2500年前，毕达哥拉斯又一次在朋友家 做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了 直角三角形的某种数量关系。我们也来观察下图 的地面，看看能发现些什么。
北师大版八年级数学上勾股定理
初中数学试卷勾股定理一探索勾股定理（一）勾股定理知识链接（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2-b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．同步练习1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2014•乐山）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ．则BD 的长为（ ）A ．532B ．543C ．554D ．5533．（2013•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）A ．5B ．7 C ．5 D ．5或74．（2013•六合区一模）如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为3和4，则b 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．75．（2014•增城市一模）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=20，BC=15，（1）求AB 的长；（2）求CD 的长．6．（2014•金华模拟）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．7．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm8．（2014•徐汇区二模）如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD=5，BO=4，则AO的长为．9．（2014•香坊区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为（）A．16 B．18 C．24 D．3210．（2014•南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC 边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是．11．（2014•房山区一模）阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5、10、13，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为______；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．2、29的格点△DEF；①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为13、5②计算△DEF的面积为______．（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若PQ=22，PR=13，QR=17，则六边形AQRDEF的面积为______．（二）勾股定理证明知识链接（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．同步练习1．用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2 C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=（a+b）2．2．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．3．（2014•满洲里市模拟）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（）A．49 B．25 C．13 D．14．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．1215、（2011•温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是______．6．由8个相同的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么222a3-333b3=______．7．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为____ __，该定理的结论其数学表达式是____ __．8．如图，网格中的图案是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证某个著名结论的方法：（1）请你画出直角梯形EDBC绕EC中点O顺时针方向旋转180°的图案，你会得到一个美丽的图案．（阴影部分不要涂错）．（2）若网格中每个小正方形边长为单位1，旋转后A、B、D的对应点为A′、B′、D′，求四边形ACA′E的面积？（3）根据旋转前后形成的这个美丽图案，你能说出这个著名的结论吗？若能，请你写出这个结论．9．（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．10．.如图，已知正方形ABCD和CEFG，连接DE，以DE为边作正方形EDHI，试用该图形证明勾股定理：CD2+CE2=DE2．（三）等腰直角三角形知识链接（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，两腰相等，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r ：R=1：2+1．同步练习1．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，BD 是角平分线，DE ⊥BC ，垂足为点E ．若CD=25，则AD 的长是（ ）A ．225B ．22C ．25 D ．52．在△ABC 中，BC ：AC ：AB=1：1：2，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．如图，等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ＞3，点M 在AC 上，点N 在CB 的延长线上，MN 交AB 于点O ，且AM=BN=3，则S △AMO 与S △BNO 的差是（ ）A ．9B ．4.5C ．0D ．因为AC 、BC 的长度未知，所以无法确定4．（2011•万州区模拟）如图，△ACD 和△AEB 都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五个结论：①EC=BD ；②EC ⊥BD ；③S 四边形EBCD = 21EC •BD ；④S △ADE =S △ABC ；⑤△EBF ∽△DCF ；其中正确的有（ ）A ．①②④⑤B ．①②③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤5．如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是____ __．6．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．有下列结论：①∠DEO=45°；②△AOD ≌△COE ；③S 四边形CDOE = 21S △ABC ；④OD 2=OP •OC ． 其中正确的结论序号为____ __．（把你认为正确的都写上）7．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC=90°，AB=AC ，若∠1=20°，则∠2的度数为____ __．8．（2014•徐州模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE= ____ _cm．9．（2014•温州五校一模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，点E在BC 边上，且CE=CD，连结AE、BD、DE．①求证：△ACE≌△BCD；②若∠CAE=25°，求∠BDE的度数．二能得到直角三角形吗（一）勾股定理的逆定理知识链接（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．同步练习1．（2012•广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．②B．①②C．①③D．②③2．（2012•连云港一模）如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2014•江西模拟）下列各三角形中，面积为无理数的是（）A．B．C．D．4．下列能构成直角三角形三边长的是（ ）A ．1，1，2B ．5，8，10C ．5，12，13D ．6，7，85．（2012•松北区二模）如图△ABC 中，AB=5，AC=3，中线AD=2，则BC 长为____ _．6．在直角三角形中，满足条件的三边长可以是____ _（写出一组即可）．7．三角形的三边a ，b ，c 满足（a+b ）2=c 2+2ab ，则这个三角形是____ _三角形．8．（2014•萧山区模拟）如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，∠BCD=135°，且AB=3cm ，BC=7cm ，CD=25cm ，点M 从点A 出发沿折线A-B-C-D 运动到点D ，且在AB 上运动的速度为21cm/s ，在BC 上运动的速度为1cm/s ，在CD 上运动的速度为2cm/s ，连接AM 、DM ，当点M 运动时间为____ _（s ）时，△ADM 是直角三角形．9．（2014•高安市模拟）如图，方格纸中的每个正方形的边长均为1，点A 、B 在小正方形的顶点上，在图中画△ABC （点C 在小正方形的顶点上），使△ABC 为直角三角形（要求画两个且不全等）10．（2014•顺义区一模）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为______三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为______三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？（二）勾股数三勾股定理应用（一）勾股定理的应用知识链接（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．同步练习1．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（）A．100 B．180 C．220 D．2602．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC 长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为（）米．4A．25 B．12 C．13 D．33．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A．5米B．3米C．（5+1）米D．3米4．（2014•和平区一模）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．点D到地面的垂直距离DE=32m，则点B到地面的垂直距离BC为___ ．5．（2013•池州一模）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为___ ．6．（2014•西湖区一模）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，开始时B到墙C的距离为0.7米，若梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离相等，则下滑的距离是___ 米．7．（2014•三门县一模）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是__ _．8．（2014•西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．9．（2014•广东一模）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．10．（2013•本溪）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：2=1.41，3=1.73）（二）平面展开----最短路径问题 知识链接（1）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．同步练习1．如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC=32BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ）A ．(4+π6)cmB ．5cmC ．35cmD ．7cm2．如图，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ）A ．80cmB ．70cmC ．60cmD ．50cm3．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m ，高为3m ．如果要求彩带从柱子底端的A 处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处（线段AB 与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（ ）A ． 45mB ．3mC ．4mD ．5m4．如图，圆柱底面半径为π2cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为（ ） A ．12cm B ． 97cm C ．15cm D ． 21cm5．（2014•博山区模拟）如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A．3 B．2+2C．10D．46．（2013•荆州模拟）如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建梯子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为___ 米．7．（2013•盐城模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___ cm．8．（2014•西湖区一模）如图，是一个无盖玻璃容器的三视图，其中俯视图是一个正六边形，A、B两点均在容器顶部，现有一只小甲虫在容器外A点正下方距离顶部5cm处，要爬到容器内B点正下方距离底部5cm处，则这只小甲虫最短爬行的距离是___ cm．9．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则L12=______．设路线2的长度为L2，则L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=______．路线2：L22=______．所以选择路线______（填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．。
部编数学八年级下册专题11勾股定理中的蕴含数学思想的典型试卷(解析版)含答案
专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（解析版）第一部分典例剖析类型一方程思想（1）单勾股列方程1．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）思路引领：根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：m2+702＝（m+10）2，解得m＝240，答：河宽240米．总结提升：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2021春•全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长．思路引领：根据勾股定理求出BC，设AB＝x，根据直角三角形的性质得到AC＝2x，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：由题意得，∠ADB＝∠ABC＝90°，∠DCB＝45°，∠ACB＝30°，则DB＝DC＝3，由勾股定理得，BC==设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理得，AC2＝AB2+BC2，即（2x）2＝x2+（2，解得，x=则AC＝2x＝总结提升：本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．3．（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？思路引领：由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC 中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，∵∠AOB＝90°，∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，∴62+（18﹣x）2＝x2，解方程得出x＝10（cm）．答：机器人行走的路程BC是10cm．总结提升：本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．二、双勾股方程4．（2018秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）．（1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝ ；（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝ ；（3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值．思路引领：（1）求出BC的长即可解决问题；（2）如图4中，求出高BH即可解决问题；（3）如图3中，作CD⊥AB于D，求出CD即可解决问题．解：（1）如图2中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝8，∴h（BC）＝BC﹣AD＝8﹣6＝2．故答案为2．（2）如图4中，作BH⊥AC于H．∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=10，∵12•AC•BH=12•AB•BC，∴BH=24 5，∴h（AC）＝AC＝BH＝10―245=265．故答案为26 5．（3）如图3中，作CD⊥AB于D．设BD＝x，则AD＝21﹣x．∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，∴202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2，解得x＝5，∴CD12，∴h（AB）＝AB﹣CD＝21﹣12＝9．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2020秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x=165，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE=12∠ACD，∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCB'＝90°，∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°，即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，∴∠EFC＝45°＝∠ECF，∴CE＝EF＝4，∴BE＝4+1＝5，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC=设AE＝x，则AB＝x+5，∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，解得：x=16 5，∴AE=165，AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC =12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D 重合．（1）填空：△ADC是 三角形；（2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长；（3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．思路引领：（1）根据折叠得到AD＝AC，所以△ADC是等腰三角形；（2）设CE＝x，利用勾股定理得到方程132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答；（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，所以△AED与△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD＝2AE．由BC﹣BD＝CD，即可解答．解：（1）∵三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．∴AD＝AC，∴△ADC是等腰三角形；故答案为：等腰．（2）设CE＝x，则BE＝14﹣x，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2，∴AE2＝132﹣x2在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2，∴AE2＝152﹣（14﹣x）2∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE12．（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE．证明如下：由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，∴△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，∴DE＝CE，∠DAE=∠EAC=12∠DAC=12×90°=45°，∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝EC，即CD＝2AE．∵BC﹣BD＝CD∴BC﹣BD＝2AE．总结提升：本题考查了等腰三角形的性质定理与判定定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的根据是判定△ADC是等腰三角形和勾股定理的应用．类型二数形结合思想7．（2022•锡山区一模）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）A．B．C．5D．思路引领：直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．解：由题意可得：OB＝4，BC＝2，则OC故点M对应的数是：故选：B．总结提升：此题主要考查了勾股定理，根据题意得出CO的长是解题关键．8．（2022春•+形，根据“三角形三边关系”A．分类讨论思想B．方程思想C．类比思想D．数形结合思想思路引领：“三角形三边关系”，可得+“三角形三边关系”故选：D．总结提升：本题主要考查了勾股定理以及三角形三边关系的运用，解题时注意三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．9．（2019秋•海州区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．（1①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x 轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM．N1 （填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N1O；②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为 ．（2②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O=A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB=A（x，y）与点B（1，5）之间的距离．（32）的方法，在图③中画出图形，那么C （填写坐标）与点D（x，y）之间的距离．（4）拓展应用：A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F （填写坐标）的距离之和．的最小值为 （直接写出结果）思路引领：（1）①构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案；②由两点间的距离即可得出答案；（3）设点D′的坐标为（x+2，y﹣3），由两点间的距离和平移的性质即可得出结论；（4）①由（3）即可得出答案；②根据三角形的三边关系即可求出答案．解：（1）N1（﹣2，3）或（3，﹣2）与点O（0，0）之间的距离N1O，故答案为：（﹣2，3）或（3，﹣2）；②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2（3）设点D′的坐标为（x+2，y﹣3），如图③所示：由探究（2）可知，D′O=将线段D′O先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到线段CD，此时，D的坐标为（x，y），点C的坐标为（﹣2，3），∵CD＝D'O，∴CDC（﹣2，3）到点D（x，y）之间的距离；故答案为：（﹣2，3）；（4）①由（2+点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F（﹣2，﹣3）的距离之和，故答案为：（﹣2，﹣3）；②当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，∴由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，当点A位置线段EF之间时，此时EF＝AF+AE，EF的距离，∴EF==总结提升：本题是三角形综合题，主要考查学生的阅读理解能力以及两点间距离公式的运用，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考核学生综合能力，属于中等题型．类型三分类讨论思想10．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC P有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个思路引领：根据已知条件得到∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，根据点P到AC解：∵AB＝BC＝AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，∵点P到AC∴AP＝CP=∴在AB和BC边上存在这样的P点，∵AD＝2，∴D到AC∴当点P与点D重合时，P到AC∴这样的点P有3个，故选：D．总结提升：本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．11．（如皋市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若BC＝8，求AC的长；（3）要使满足条件的△ABC唯一确定，直接写出BC的长度x的取值范围．思路引领：（1）分两种情形求解即可；（2）如图，作BH ⊥AM 于H ，则BH =12AB ＝6，AH ＝（3）当BC ≥12或BC ＝6时，△ABC 唯一确定．解：（1）如图，①当∠ACB ＝90°，AC ＝②当∠ABC ′＝90°时，AC ′＝（2）如图，作BH ⊥AM 于H ，则BH =12AB ＝6，AH ＝∵BC ＝8，∴CH =∴AC ＝AH +CH ＝AC ′＝（3）当BC ≥12或BC ＝6时，△ABC 唯一确定．总结提升：本题考查解直角三角形、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 出发，沿A →B 方向运动，速度为每秒2cm ；点Q 从点B 出发，沿B →C →A 方向运动，速度为每秒4cm ；两点同时开始运动，设运动时间为t 秒．（1）①Rt △ABC 斜边AC 上的高为 ；②当t＝3时，PQ的长为 ；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．思路引领：（1）①利用勾股定理可求解AC的长，利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高；②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=20(cm)，∴Rt△ABC斜边AC上的高为12×1620=9.6(cm)；②当t＝3时，则AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ==cm)，即PQ的长为，故答案为：①9.6cm；②；（2）由题意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm），当△BPQ为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t，解得t=8 3，∴出发83秒后△BPQ能形成等腰三角形；（3）在△ABC中，AC＝20cm，当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm），∵△BCQ为等腰三角形，∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，①当BQ＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC于E，则CE=12CQ=2t―6，由（1）知BE＝9.6cm，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝9.62+（2t﹣6）2，解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；②当CQ＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6；③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC，∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，∴∠A＝∠QBA，∴QB＝QA，∴CQ=12AC=10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5；综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．总结提升：本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键．类型四转化思想13．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．思路引领：根据垂直的定义和勾股定理解答即可．解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．总结提升：本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．14．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（ ）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2=13（S1+S3）思路引领：根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S3＝4S2．解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．总结提升：考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．第二部分专题提升训练1．（2020春•长春期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 ．思路引领：设△ABE的面积为S，则S正方形ABCD ＝S+140，S正方形AEFG＝S+124，再根据正方形的面积公式得到S正方形ABCD ＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，所以AB2﹣AE2＝16，然后利用勾股定理计算BE的长．解：设△ABE的面积为S，∵S正方形ABCD ＝S+S1＝S+140，S正方形AEFG＝S+S2＝S+124，而S正方形ABCD ＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，∴AB2﹣AE2＝140﹣124＝16，在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2＝16，∴BE＝4．故答案为4．总结提升：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．2．（2021春•东昌府区期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′D＝6，则BN的长是 ．思路引领：由正方形的性质得出BC＝CD＝9，则B'C＝3，由折叠的性质得出BN＝B'N，设BN＝x，由勾股定理列出方程可得出答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝9，∵B'D＝6，∴B'C＝3，∵将四边形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，∴BN＝B'N，设BN＝x，∵B'N2＝B'C2+CN2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5．故答案为5．总结提升：本题考查翻折变换，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．（2022秋•绥中县校级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝25cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AB的长．思路引领：（1）由BC ＝25cm ，CD ＝24cm ，BD ＝7cm ，知道BC 2＝BD 2+CD 2，根据勾股定理的逆定理可得△BDC 为直角三角形；（2）设AB ＝xcm ，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程可求出AB 的长．（1）证明：∵BC ＝25cm ，CD ＝24cm ，BD ＝7cm ，∴BC 2＝132＝169，BD 2+CD 2＝52+122＝25+144＝169，即BC 2＝BD 2+CD 2，∴△BDC 为直角三角形；（2）解：设AB ＝xcm ，∵△ABC 是等腰三角形，∴AB ＝AC ＝xcm ．∵△BDC 为直角三角形，∴△ADC 为直角三角形，∴AD 2+CD 2＝AC 2，即x 2＝（x ﹣7）2+242，解得：x =62514，故AB 的长为：62514cm ．总结提升：此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理解答．4．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点．（1）求证：DF ＝GF ；（2）求DF 的长度．思路引领：（1）利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；（2）设FD＝x，表示出CF、BF，利用勾股定理构建方程即可．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE＝EG，AB＝BG，∴ED＝EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED＝EG，EF＝EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF＝FG，（2）解：设DF＝x，则CF＝3﹣x，BF＝3+x，在Rt△BFC中，∵BF2＝BC2+CF2∴（2+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得：x＝2∴DF＝2．总结提升：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．5．（2022•岳池县模拟）在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）思路引领：（1）在BA、BC上分别截取BE＝BF＝5cm；（2）在AB上截取BE＝5cm，以E为圆心，5cm长为半径作弧，交AD于F；（3）在BC上截取BE＝5cm，以E为圆心5cm为半径作弧，交CD于F．解：如图1所示：S=12EB•BF=12×5×5＝12.5（cm2），如图2所示：BE＝5cm，则AE＝3cm，∵EF＝5cm，∴AF=4（cm），S=12BE•AF=12×5×4＝10（cm2），如图3所示：BE＝5cm，则CE＝4cm，∵EF＝5cm，∴CF=3（cm），S=12BE•CF=12×5×3＝7.5（cm2）．总结提升：此题主要考查了应用与设计作图，本题需仔细分析题意，结合图形即可解决问题．6．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值．思路引领：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．解：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．把AB平移至ED（如图所示）．①若AB＝x，当CD＝9时，则x当CD＝5时，则x当CD＝1时，则x②若AB＝9，当CD＝5时，由（x+1）2+52＝92，得x=1；当CD＝1时，由（x+5）2+12＝92，得x=―5；当CD＝x时，由x2+（1+5）2＝92，得x=（以上每种情况2分）…（12分）总结提升：本题考查勾股定理的知识，解题关键是分AB＝x或AB＝9两种情况进行讨论，注意不要漏解．7．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求BC的长．（2）斜边AB上的高是 ．（3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．思路引领：（1）由勾股定理可求得BC的值，（2）再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；（3）如图，当点P'在∠BAC的角平分线上时可先利用三角形全等，求出AD＝AC＝8，分别表示各线段，在直角三角形中，利用勾股定理求出t的值．（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，②当点P在线段AC上时，又分三种情况：BC＝BP；PC＝BC；PC＝PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得：BC＝6；（2）设斜边AB上的高为h，∵12AB⋅ℎ=12AC⋅BC，∴10h＝6×8，∴h＝4.8．∴斜边AB上的高为4.8；故答案为：4.8；（3）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，∴P'D＝P'C＝2t﹣8，∵BC＝6，∴BP'＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t，在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，AP′=AP′P′D=P′C，∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP'中，由勾股定理得：22+（2t﹣8）2＝（14﹣2t）2，解得：t=16 3．故答案为：16 3．（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，∴此时CP＝BC＝6，∴AP＝AC﹣CP＝8﹣6＝2，∴2t＝2，∴t＝1；②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+6＝20，∴2t＝20，∴t＝10；若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=24 5，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=2=3.6，∴BP＝7.2，∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+7.2＝21.2，∴2t＝21.2，∴t＝10.6；若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ＝0.5×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ＝0.5×AC＝0.5×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=5，点P运动的长度为：AC+BC+BP＝8+6+5＝19，∴2t＝19，∴t＝9.5．综上，t的值为1或9.5或10或10.6．总结提升：本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键。
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
第11讲勾股定理折叠问题
第十一讲勾股定理折叠问题一、知识梳理初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.图形折叠问题核心实质是轴对称性质，即先找出对称轴，再观察元素不变量与变量，然后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。
图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等，考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析式等等，折叠问题中，“折”是过程，“叠”是结果，此题型灵活多变，能考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及推理能力，解决折叠问题，首先要对图形折叠有一定准确定位，把握折叠实质，从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系，抓住图形的变量和不变量，其次探索折叠变化规律，充分挖掘图形隐含的几何性质，运用所学知识合理、有序、全面解决问题。
折叠性质：①对应线段相等（能够重合的线段）②对应角相等（能够重合的角）性质记忆：折叠必有角相等、边相等。
处理策略：求什么设什么，找直角三角形，用勾股定理二、典型例题（1）折叠与角度问题例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=25°，则∠CDE=__________.解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ECD=45°，∠B=∠CED，∵∠A=25°，∴∠B=90°-25°=65°，∴∠CED=65°，∴∠CDE=180°-45°-65°=70°，故答案为：70°．例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，将∠A 折叠，使点A 落在边CB 上的点A′处，折痕为CD ；若∠A′DC=84°，则∠B=________°．解：∵△CDA′与△CDA 关于CD 成轴对称，∴∠ADC=∠A′DC=84°，∵∠ACB=90°，∴∠DCA=∠DCB=45°，∵∠CDA=∠B+∠DCB ，∴∠B=84°-45°=39°故答案为：39．（2）折叠与线段长度例3、如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cm2D ．5cm 2【解析】∵90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =∴4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中∵222DE BD BE +=∴2222(4)x x +=-解得32x =故选C例4、如图，在矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，点E 是边A D 上一动点，将ABE △沿直线BE 对折，点A 的落点为A '，当A DE ' 为直角三角形时，线段AE 的长为（）A ．3B ．4C ．6或3D ．3或4【答案】C 【分析】当A DE ' 为直角三角形时，有两种情况：①当点A '在矩形内部时，如图1所示，先利用勾股定理求出BD =10，根据折叠的性质得90BA E DA E ''∠=∠=︒，设AE =x ，则A E x '=，DE =8-x ，然后在Rt A DE ' 中运用勾股定理计算出x 的值即可；②当点A '落在边BC 上时，如图2所示，此时四边形ABA E '是正方形，得出AE =AB =6．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A =∠C =90°，AB =6，AD =8∴10BD ===当A DE ' 为直角三角形时，有两种情况：①当点A '在矩形内部时，如图1所示，由折叠的性质得，AE A E '=，6A B AB '==设AE x =，则A E x '=，8DE x =-∴1064DA BD A B ''=-=-=在Rt A DE ' 中，222A E DA DE ''+=∴2224(8)x x +=-解得，x =3∴AE =3；②当点A '落在边BC 上时，如图2所示，此时四边形ABA E '是正方形，∴AE =AB =6故选：C ．例5、如图，在Rt ABC 的纸片中，90C ∠=︒，5AC =，13AB =．点D 在边BC 上，以A D 为折痕将ADB △折叠得到AD B ' ，A B '与边BC 交于点E ．若D EB ' 为直角三角形，则BD 的长是_______．【答案】7或263【分析】由勾股定理可以求出BC 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD 的长．【详解】解：在Rt ABC 中，12BC ===，（1）当90ED B ∠'=︒时，如图1，过点B ′作B F AC '⊥，交AC 的延长线于点F ，由折叠得：13AB AB ='=，BD B D C F ='=，设BD x =，则B D CF x '==，12B F CD x '==-，在Rt AFB' 中，由勾股定理得：222(5)(12)13x x ++-=，即：270x x -=，解得：10x =（舍去），27x =，因此，7BD =．（2）当90D EB ∠'=︒时，如图2，此时点E 与点C 重合，由折叠得：13AB AB ='=，则1358B C '=-=，设BD x =，则B D x '=，12CD x =-，在Rt △B CD ¢中，由勾股定理得：222(12)8x x -+=，解得：263x =，因此263BD =．故答案为：7或263．例6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC A 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则△B'FC 的面积为______________．【答案】9625【分析】由题意可得AB=10，根据面积可得CE=4.8，根据勾股定理可求BE=6.4，由折叠可求∠ECF=45°，可得EC=EF=4.8，即可求BF 的长，可求面积．【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴BA==10，∵将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，∴∠AEC=∠CED ，∠ACE=∠DCE ，∵∠AED=180°，∴∠CED=90°，即CE ⊥AB ，∵S △ABC =12AB×EC=12AC×BC ，∴EC=4.8，在Rt △BCE 中，=6.4，∵将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B′处，∴BF=B'F ，∠BCF=∠B'CF ，∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°，∴ECF=45°，又CE ⊥AB ，∴∠EFC=∠ECF=45°，∴CE=EF=4.8，∵BF=BE-EF=6.4-4.8=1.6，∴△BFC 的面积为:12FB×EC=18249625525⨯⨯=，由翻折可知，△B'FC 的面积=△BFC 的面积=9625故答案为9625．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质求∠ECF=45°是本题的关键．（2）折叠与最值问题例7、如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值（）A ．不存在B ．等于1cmC ．等于2cmD ．等于2.5cm【解析】当C′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm ，∴AC′=AB-BC′=2cm ．故选：C ．例8、如图，矩形纸片ABCD，3AD=，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，AB=，5折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在AB、A D边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为（）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．【详解】解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，即52=（5-EB）2+32，解得EB=1，例9、如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，∵3-1=2，∴点E在BC边上可移动的最大距离为2．故选：B ．例10、如图，在矩形ABCD 中，10AB =，12AD =，点E 是AB 的中点，点F 是A D 边上的动点，将AEF ∆沿EF 翻折，得到A EF '∆，则A C '的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】求A C '的最小值，先求出EC 的大小，再根据EA A C EC ''+≥，求出A C '的范围即可．【详解】解析：连接E C 在△A CE '中，可得EA A C EC ''+≥．在Rt EBC ∆中，由勾股定理，得13EC ==．由折叠可知，5EA EA '==，∴8A C '≥故选C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边的大小关系及勾股定理，正确掌握三角形三边的大小关系及勾股定理是解题的关键．例11、如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．【答案】1【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB是正方形，在Rt △ABC 中，，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，∴AP 的最小值为AD PD=4-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=341----故答案为1例12、如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．【答案】2【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE 长，代入求出即可．【详解】如图，连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，∴，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠B=45°，∵，∴，即，∴△PEB 的周长的最小值是．故答案为．【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置．三、课堂练习1.如图所示，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使点C 恰好落在BA 边上，得到点C′，若∠C′EB=40°，求∠EDC′的度数．2.在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AB 上，连接CD ，将△ADC 沿直线CD 翻折，点A 恰好落在BC 边上的点E 处，若AC ＝3，BE ＝1，则DE 的长是_____．【答案】157【分析】过点D 作DHAC ⊥于H ，DF BC ⊥于F ，由折叠的性质可得3AC CE ==，45ACD BCD ∠=∠=︒，由勾股定理可求5AB =，由面积法可求D F 的长，由勾股定理可求D E 的长．【详解】解：如图，过点D 作DHAC ⊥于H ，DF BC ⊥于F ，将ADC ∆沿直线CD 翻折，3AC CE ∴==，45ACD BCD ∠=∠=︒，4BC ∴=，D H AC ⊥ ，DF BC ⊥，45ACD BCD ∠=∠=︒，DF DH ∴=，45DCF FDC ∠=∠=︒，DF CF ∴=，22291625AB AC BC =+=+= ，5AB ∴=，111222ABC S AC BC AC DH BC DF ∆=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ ，127DF ∴=，127DF ∴=，127DF CF ∴==，97EF =，157DE ∴===，故答案为：157．3.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠，点D 落在矩形ABCD 内部的点D′处，则CD′的最小值是（）A ．4B ．C ．4-D ．4+【答案】C 【解析】【分析】根据翻折的性质和当点D'在对角线AC 上时CD′最小解答即可．【详解】解：当点D'在对角线AC 上时CD′最小，∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，∴AD=AD'=BC=2，在Rt△ABC中，＝4∴，故选：C．4.如图，在长方形ABCD的边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．已知AB＝6cm，△ABF的面积是24cm2．（1）求BF的长；（2）求AD的长；（3）求点E与点C的距离．【答案】（1）8cm；（2）10cm；（3）83 cm【分析】（1）由在长方形ABCD中，AB＝6cm，△ABF的面积是24cm2，即可求得BF的长；（2）由（1），易得AD＝AF，DE＝EF，即可求得AF的长，然后得出AD的长；（3）首先设EC＝xcm，则EF＝DE＝（6﹣x）cm．由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2求出x 的值即可得出答案．【详解】（1）∵ABCD是长方形，∴△ABF是直角三角形，∵△ABF面积是24cm2，∴12AB•BF＝24．∵AB＝6cm，∴BF＝8cm；（2）由题意知，△ADE和△AFE重合，则△ADE≌△AFE，则AD＝AF，DE＝EF．在Rt△ABF中，由勾股定理得10AF===（cm）．则AD＝10cm；（3）∵BC＝AD＝10cm，∴CF＝BC﹣BF＝2cm.设EC ＝xcm ，则EF ＝DE ＝（6﹣x ）cm ．由勾股定理得：CE 2+CF 2＝EF 2，∴x 2+22＝（6﹣x ）2，解得：83x =，∴点E 与点C 间的距离是83cm.【点睛】此题考查长方形的性质、勾股定理、折叠的性质，（3）是此题的难点，根据（2）求出CF ，由折叠得到EF ＝DE ，设EC ＝xcm ，因此利用勾股定理列得关于x 的关系式解出x 的值，由此解答此题.5.在矩形纸片ABCD 中，3AB =，5AD =.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的'A 处，折痕为PQ ，当点'A 在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、A D 边上移动，则点'A 在BC 边上可移动的最大距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据翻折变换，当点Q 与点D 重合时，点A′到达最左边，当点P 与点B 重合时，点A′到达最右边，所以点A′就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时A′B 的长度，然后两数相减就是最大距离．【详解】解：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得A’D=AD=5，在Rt △A’CD 中，A’D 2=A’C 2+CD 2，即52=(5-A’B)2+32，解得A’B=1；如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得A’B=AB=3，∵3-1=2，∴点A’在BC边上可移动的最大距离为2．故选B．6.矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是AB的中点，点F是BC上任意一点，把△EBF沿直线EF翻折，点B落在点P处，则PC的最小值是_______________．【答案】2【详解】连接CE，当点P在CE上时，CP的值最小．CE===∴=-=．CP CE EP2故答案为：2．7.如图，在长方形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，折叠纸片ABCD ，使顶点C 落在边A D 的点G 处，折痕分别交边A D 、BC 于点E 、F ．（1）求证：GEF △是等腰三角形（2）求GEF △面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）152【分析】（1）根据翻折的性质得到EFC EFG ∠=∠，根据//AD BC 得到EFC GEF ∠=∠，从而得到EFG GEF ∠=∠，问题得证；（2）根据GEF △高为AB=3，得到当点G 与点A 重合时，GEF △的面积最大．根据勾股定理求出AF=5，进而得到GE=5，即可求出GEF △的面积．【详解】（1）由翻折得：EFC EFG ∠=∠．∵//AD BC ，∴EFC GEF ∠=∠，∴EFG GEF ∠=∠，∴GE=GF ，∴GEF △是等腰三角形．（2）如图，∵GEF △高为AB=3，∴当GE 最大时GEF △的面积最大，∴当点G 与点A 重合时，GEF △的面积最大．在Rt ABF 中，222AF AB BF =+，∴()22239AF AF =+-，解得：5AF =，∴5GE AF ==，∴GEF △的面积最大值＝1155322=⨯⨯=．四、举一反三1.如图，EF 是正方形两对边中点的连线段，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A落在EF 上的G 点，求∠DKG 的度数．2.如图，在Rt ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==，点,E F 分别是边,AB BC 上的动点，沿EF 所在直线折叠B Ð，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上，若FB C ' 为直角三角形，则BF 的长为__________．【解析】90,A AB AC ∠=︒==，∴∠C=45°，2BC ==，折叠后，要使FB C ' 为直角三角形，则有：FB C ' 也为等腰直角三角形，①当90B FC '∠=︒时，∴45C FB C '∠=∠=︒，此时点B '与点C 重合，∴E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴112BF BC ==，②当90FB C'∠=︒时，∴45C B FC '∠=∠=︒，∴BF FB B C ''==，在Rt B FC '△中，FC F '=，BC=BF+FC ，∴)12BC BF BF =+=+=，解得：2BF =-；故答案为2-或1．3.如图，Rt △ABC 中，AB ＝18，BC ＝12，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．8B ．6C ．4D ．104.如图，长方形纸片ABCD ，10AB =，8BC =，点P 在BC 边上，将CDP 沿DP 折叠，点C 落在E 处，PE ，D E 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则A F 长为______．【答案】103【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=10-x 、BF=PC=8-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC=DE=10，CP=EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP E B OF OP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE=OB ，EF=BP ．设EF=x ，则BP=x ，DF=DE -EF=10-x ，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC ，PC=BC-BP=8-x ，∴AF=AB -BF=2+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+82=（10-x ）2，∴43x =；∴410233AF =+=．故答案为：103．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点E 是AD 边上一动点，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A′恰好落在矩形ABCD 的对角线上，则AE 的长为_______.答案：3924or 6.如图，已知等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，E 是BC 上的一个动点，将△ABE 沿着AE 折叠到△ADE 处，再将边AC 折叠到与AD 重合，折痕为AF ，当△DEF 是等腰三角形时，BE 的长是___________．【答案】52或258或74．【分析】分三种情况讨论：DE=DF ，DE=EF ，EF=DF ．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题．【详解】解：由折叠可知，BE=DE ，DF=CF ，AD=AB=AC=5，当DE=DF 时，如图1，此时DE=DF=BE=CF ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B C BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABE ≌△ACF ，∴AE=AF ，∴AD 垂直平分EF ，∴EH=FH ，142BH CH BC ===，∴3AH ===，∴532HD =-=，设BE DE x ==，则4EH x =-，则在直角△DHE 中，()22242x x -+=，解得52x =，当DE=EF 时，如图2，作AH ⊥BC 于H ，连接BD ，延长AE 交BD 于N ，可知BE=DE=EF ，∵AH ⊥BC ，AB=AC ，BC=8∴BH=CH=4，∴3AH ===，设EH m =，则4BE EF m ==-，∴()8242CF m m =--=，即2DF m=∵AB=AD ，∠BAN=∠DAN ，∴AN ⊥BD ，BN=DN ，∴12EN DF m ==，∴EN EH=在△AHE 和△BNE 中，90AHE BNE EH ENAEH BEN ==︒⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△AHE ≌△BNE ，∴AE=BE ，设BE AE x ==，则4EH x =-，在直角△AEH 中，()22243x x -+=，解得258x =，当DF=EF 时，如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，延长AF 交DC 于M，同理258 EF CF==∴252578884 BE=--=故答案为：52或258或74．【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．7.如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD平分B A C∠，且AD=8，P，Q分别是AB、AD上的动点，连接BP，PQ，则BP+PQ的最小值为___．【答案】9.6【分析】过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，得到CQ=BP+PQ的最小值，由勾股定理不求得AD=8，再利用等面积法即可求得其值．【详解】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，则CQ=BP+PQ的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB•CQ=BC•AD，∴CQ=12310BC ADAB⨯==9.6故答案为：9.6．8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE．（1）求证：AD∥CE；（2）求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）75【分析】（1）由折叠的性质可得DE=BD ，AE=AB ，可证EF=BF ，AD ⊥BE ，由等腰三角形的性质可求∠DBE ＝∠DEB ，∠DEC ＝∠DCE ，由三角形的内角和定理可求CE ⊥BE ，可得结论；（2）由三角形的面积公式可求BF 的长，由勾股定理可求CE 的长．【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，∴BC 5==，∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝BD ＝DE ＝52，∵将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，∴DE ＝BD ，AE ＝AB ，∴AD 垂直平分BE ，∴EF ＝BF ，AD ⊥BE ，∵DE ＝DB ＝CD ，∴∠DBE ＝∠DEB ，∠DEC ＝∠DCE ，∵∠DBE +∠DEB +∠DEC +∠DCE ＝180°，∴∠DEB +∠DEC ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∴CE ⊥BE ，∴AD ∥CE ；（2）∵S △ABC ＝12×AC ×AB ＝12×3×4＝6，且CD ＝BD ，∴S △ADB ＝12S △ABC ＝3，∴12AD ×FB ＝3，∴FB ＝125，∴BE ＝245，∴CE 75==．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．五、课后练习一、选择题1.如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，将△ABC 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，AD 是折痕，则△BDE 的周长为()A ．6B ．8C ．12D ．14【解析】在Rt △ABC 中，∵AC =6，BC =8，∠C =90°，∴AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ，∴BE =4，∴△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12．故选：C ．2.如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为（）A ．5B ．4C ．4.25D ．154【解析】由折叠的性质可得AE=A 1E ，∵△ABC 为等腰直角三角形，BC=6，∴AB=6，∵A 1为BC 的中点，∴A 1B=3，设AE=A 1E=x ，则BE=6-x ，在Rt △A 1BE 中，由勾股定理可得32+（6-x ）2=x 2，解得x=154，故选：D ．3.如图，矩形ABCD ，AB =3，BC =4，点E 是AD 上一点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠，点A 恰好落在BD 上的点G 处，则AE 的长为（）A ．2B ．52C ．32D ．3【解析】在Rt △ABD 中，AB=3，AD=BC=4，∴BD=5由折叠得，∠BGE=∠A=90°，BG=AB=3，EG=AE ，∴DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE ，在Rt △DEG 中，EG 2+DG 2=DE 2，∴AE 2+4=（4-AE ）2，∴AE=32．故选：C ．4.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（）A ．1B ．2CD ．2【解析】作DG ⊥BC ，连接AE ，在Rt △CDG ，∠DCG=60°，得出CG=4，∴DG=4AB=，设BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE=CE=8-x ，在Rt △ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2，即(8-x)2)2+x 2解得x=1，故选A.5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解析】在RT△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB=10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，设CD＝DE＝x，在RT△DEB中，∵DE2＋EB2＝DB2，∴x2＋42＝（8−x）2∴x＝3，∴CD＝3．故选：B．6.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC ＝9，则BF的长为（）A．4B．C．4.5D．5【解析】∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．二、填空题7.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，P 为AD 上一动点，把△ABP 沿BP 翻折，使点A 落在点F 处，连接CF ，若BF ＝CF ，则AP 的长为_____．【答案】53【分析】过点F 作EN ∥DC 交BC 于点N ，交AD 于点E ，设AP ＝x ，则PF ＝x ，得出（3﹣x ）2+12＝x 2，解方程即可得解．【详解】解：过点F 作EN ∥DC 交BC 于点N ，交AD 于点E ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝∠DCB ＝90°，∴FN ⊥BC ，FE ⊥AD ，∵BF ＝CF ，BC ＝6，∴CN ＝BN ＝3，由折叠的性质可知，AB ＝BF ＝5，AP ＝PF ，∴4FN ==，∴EF ＝EN ﹣FN ＝5﹣4＝1，设AP ＝x ，则PF ＝x ，∵PE 2+EF 2＝PF 2，∴（3﹣x ）2+12＝x 2，解得，53x =，故答案为：53．【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠变换的性质、勾股定理是关键．8.如图，三角形纸片ABC 中，∠ACB =90 ，BC =6，AB =10．在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则CE 的长为________．【答案】3【分析】根据折叠得，BD＝AB＝10，EA＝ED，求出CD＝4，在直角三角形CDE中，设未知数，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】∵∠ACB=90 ，BC=6，AB=10∴8=由折叠得，BD＝AB＝10，EA＝ED，设CE＝x，则EA＝ED＝8−x，在Rt△DCE中，CD＝10−6＝4，由勾股定理得，x2＋42＝（8−x）2，解得，x＝3故填：3．9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在射线BC上运动，AD=AB=1，则△ADE的周长最小值为______.【答案】1+【分析】作D点关于BC的对称点D’,连接AD’与BC的交点即为E点，此时△ADE的周长为AD+AE+DE=AD+AD’,故可求解.【详解】作D点关于BC的对称点D’,连接AD’与BC的交点即为E点，此时△ADE的周长最小，即△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AD’,∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1∴四边形ABFD为正方形，∴AD+AD’=1+1+1+.10.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE 折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为___________．【答案】12-或1．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出-1，设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，∴=∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=1，∴CB′=1-，设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+1-）2=（2-x）2，解得x=51 2-，∴BE=1 2；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=1．故答案为：12-或1．11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D是BC边上的点，AB=18，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则BP+EP的最小值是____．【答案】9【分析】根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可．【详解】∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处，∴点C、E关于AD对称，∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC，∵∠C=90°，∠BAC=30°，∴BC=12AB，∴BC=9．∴PB+PE的最小值为9.故答案为9．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．【答案】．【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=12AF=2，∴，∵FP=FC=2，∴-2，∴点P到边AB距离的最小值是-2．故答案为:．【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P 的位置.12．如图，折叠矩形纸片ABCD ，使B 点落在A D 上一点E 处，折痕FG 的两端点分别在AB BC 、上(含端点)，且6,10AB BC ==．则AE 的最大值是_____，最小值是_______．【答案】6；2．【分析】点G 在AB 边上，点F 在BC 边上．分别利用当点F 与点C 重合时，以及当点G 与点A 重合时，求出AE 的极值进而得出答案：【详解】解：如图，设AE 的长度为,x 当点F 与点C 重合时，根据翻折对称性可得10,EC BC ==在Rt CDE ∆中，222,CE CD ED =+即()22210106AE =-+，解得2,AE =即2,x =如图，当点G 与点A 重合时，根据翻折对称性可得6,AE AB ==即6x =；所以AE 的最大值是6,最小值为2.故答案是：6,2．三、解答题13.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE的长．【答案】（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵ AFE是由 ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6．（2）设CE=x，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，CF+CE=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理得：2224+x=(8-x)，解得：x=3，∴222故CE的长为3．14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．(1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示)【答案】（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3)△BCD 的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=（8-x ）2，再解方程可得x 的值，进而得到AD 的长；（3）根据三角形ACB 的面积可得112AC CB m =+ ，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，再把左边配成完全平方可得CA+CB 的长，进而得到△BCD 的周长．【详解】（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，∴AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，x 2+62=（8-x ）2，解得：x=74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．15.如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2．【分析】（1）先判断出AF=AD=8，进而利用勾股定理求出BF=6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出结论；（2）先作出点E关于BC的对称点E，进而求出DE'，再利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF6，∴CF＝BC﹣BF＝4，设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3；（2）如图，延长EC 至E '使CE '＝CE ＝3，连接AE '交BC 于P ，此时，PA +PE 最小，最小值为AE '，∵CD ＝8，∴DE '＝CD +CE '＝8+3＝11，在Rt △ADE '中，根据勾股定理得，AE '．16.如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD m ==，动点P 从点D 出发，沿射线DA 以每秒1个单位的速度向点A 方向运动，连接CP ，把PDC △沿PC 翻折，得到PEC V ．设点P 的运动时间为()t s ．（1）若3m =，当P E B 、、三点在同一直线上时，求t 的值；（2）若点E 到直线BC 的距离等于1，求t 的值；（3）若AE 的最小值为1，直接写出m 的值．【答案】（1）t=3（2）t=；（3）m=【分析】（1）如图1中，设PD=t ．则PA=3-t ．首先证明BP=BC=6，在Rt △ABP 中利用勾股定理即可解决问题；（2）通过添加辅助线，构造直角三角形再解决问题；（3）当点A,点E ，点C 在同一条直线上时，AE 最短，利用勾股定理求值即可．【详解】解：（1）如图1中，设PD=t ．则PA=3-t∵P 、B 、E 共线，∴∠BPC=∠DPC ，∵AD ∥BC ，∴∠DPC=∠PCB ，∴∠BPC=∠PCB ，∴BP=BC=3，在Rt △ABP 中，∵AB 2+AP 2=BP 2，∴22+（3-t ）2=32，∴t=3（舍去）或∴当t=3P E B 、、三点在同一直线上．（2）过点E 作MN ⊥BC ，交AD 于点M∵四边形ABCD 是矩形，MN ⊥BC∴MN ⊥AD∵点E 到直线BC 的距离等于1∴EN=1∵MN=AB=2,EC=CD=2,∴EN=MN-EN=2-1=1∴在Rt △ENC 中，∴MD=∵由题意得：-t,ME=MN-EN=2-1=1,EP=PD=t∴在Rt △MPE 中，222=ME MP PE +即：)2221=t +，解得：（3）如图，当点A,点E ，点C 在同一条直线上时，AE 最短．由题意得：AE=1，EC=CD=AB=2∴在Rt△ABC中，BC=∴．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理，学会构造图形思考问题是解答此题的关键，属于中考压轴题．。
八年级数学上册《11 勾股定理》讲义 北师大版
《11 勾股定理》讲义一、必须要熟悉记忆：1、常见的勾股数有：①3、4、5；②5、12、13；③6、8、10；④7、24、25；2、常见数的平方：1²=1, 2²=4，3²=9,4²=16,5²=25,6²=36,7²=49,8²=64，9²=8110²=100，11²=121,12²=144,13²=169,14²=196,15²=225,16²=256,17²=289，18²=324, 19²=361,20²=400,25²=6253、勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．即3k,4k,5k,也是勾股数。
专题1 已知两边，求第三边（）例1（1）在直角△ABC中，BC=5，AC=12，则AB= 。
(2) 如图2，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，且BD=6，AD=6，SΔABC=42，则AC= 。
(3) 在△ABC中, ∠C=90°,BC=4，BC:AB=4:5，则AC= ,BC上的高。
(4) 已知直角三角形的两边是6和10，求三角形的面积。
（5）在Rt△ABC中，BC=7，AB=24，若第三边为整数，则第三边AC= 。
（6）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．（7）一个三角形的三边是三个连续整数，则它的三边长分别是，如果三边长是连续的三个偶数，则它的三边长分别是。
变式1-1:（1）在直角三角形ABC中，∠A=∠B=45°，AC=2，则AB= 。
（2）在直角三角形ABC中, ∠A=∠C,AC=4，则AB= ,CB= 。
（3）在等腰直角△ABC中，∠C=90°，则AB:AC:BC= 。
(重点记忆)变式1-2:（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AB:AC:BC= （重点记忆）（2）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D．若BD=1，则AB= 。
第11讲 勾股定理与锐角三角函数(题型训练)【有答案】-【2022年】中考数学大复习(知识点·易错点
第11讲 勾股定理与锐角三角函数题型一 勾股定理1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点A 和B ，顶点为C ，且b 2﹣4ac ＝12，则∠ACB 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】解：令y ＝0，则ax 2+bx +c ＝0，∴x ＝2b a -，∴AB ＝|． ∵b 2﹣4ac ＝12，∴C （﹣2b a ，﹣3a）．∴AC ．由抛物线的对称性可知BC ＝， ∴AC ＝BC ＝AB ，∴∠ACB ＝60°．故选：C ．2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB ，CD 是⊙O 的两条平行弦，AB ＝8，CD ＝6，⊙O 的半径为5，则弦AB 与CD 的距离为（ ）A ．1B ．7C ．4或3D ．7或1【答案】D【解析】①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∵AB ＝8，CD ＝6，∴AE ＝4，CF ＝3，∵OA ＝OC ＝5，∴由勾股定理得：EO ＝2254-＝3，OF ＝2253-＝4，∴EF ＝OF ﹣OE ＝1；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，EF ＝OF +OE ＝7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故选：D ．3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，连接EF ，G 是EF 的中点，连接DG ．在中，2BE =，，若将绕点B 逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG 长的最大值是（ ）A 67B ．217C ．10D ．12【答案】C【解析】解：如图，△ BEF 旋转到图中位置，连接BD 、BG ，∵在△BEF 中，∠EBF =90°，BE =2，∠BFE =30°，∴EF =2BE =4，BF 3，∵旋转前点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，∴AB =CD =4，BC 3∴BD =8.∵在Rt △BEF 中，点G 是EF 的中点，∴BG =12EF =2.在△BEF 的旋转过程中，BG 的长不变，∵在△DBG 中，BG+BD >GD ，∴当D ，B ，G 三点共线且B 点在D 、G 之间时，DG 最大，此时，DG=BG+BD =2+8=10，∴DG 的最大值为10.故选C.4．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C ，D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若CD ＝23，∠CBA ＝15°，则AB 的长是（ ）A ．23B ．4C ．33D ．43【答案】B【解析】解：过点O 作OE CD ⊥交于点E ，连接OC ，则123CE DE CD ， ∵OC OB =，15CBA ∠=︒，∴，∵AB 是⊙O 的直径，∴，∵CD 平分ACB ∠，∴1452BCDACB ，∴，设OE =x ，则OC =2x ，在中，由勾股定理得， 222OC OE CE =+222(2)3x x =+ 2243x x =+233x =21x =解得11x =，21x =-（舍），∴OC =2，∴，故选B ．5．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，若∠BAP =∠CBP ，且AP =6，则PC 的最小值是（ ）A ．B ．3C ．3-3D ． 【答案】D【解析】把△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABP ’，连接PP ’则AP ’=PC ，BP =BP ’，∠PBP ’=90°，∠AP ’B =∠CPB故△PP ’B 是等腰直角三角形∴∠PP ’B =45°∵∠BAP =∠CBP∴∠BAP =∠ABP ’∴BP ’∥AP∴∠APB =90°当P ’、P 、C 在同一直线上，且AP ’⊥P ’C 时，AP ’最短∴∠AP ’B =90°+45°=135°∴∠P AP ’=180°-∠AP ’B =45°∴△APP ’是等腰直角三角形∴AP ’=6∴PC =AP故选D ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中点E 、F 、G 分别在线段AB 、BC 、FD 上，若3BF ，则小正方形的边长为（ ）A ．6B ．5C ．154D ．【答案】C【解析】解：在△BEF 与△CFD 中∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CFD ，∵BF ＝3，BC ＝12，∴CF ＝BC −BF ＝12−3＝9，又∵DF ＝222212915CD CF +=+=，∴BF EF CD DF =，即31215EF =， ∴154EF =， 故选：C ．7．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D ，E 是斜边BC 上两点，且，将绕点A 顺时针旋转90°后，得到AFB △，连接EF ，下列结论：①；②ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=．其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：∵△ADC 绕A 顺时针旋转90°后得到△AFB ，∴△ABF ≌△ACD ，∴AF =AD ，∠CAD =∠BAF ，∵在直角三角形ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，即∠CAD +∠BAD =90°，∴∠BAF +∠BAD =90°，即∠F AD =90°，∵∠DAE =45°，∴∠DAE =∠F AE =45°，在△AED 和△AEF 中， DA FA DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△AEF （SAS ），故①正确，∵AE 与AD 不一定相等，∴AE AD 不一定与1AB AC=相等 ∴△ABE 与△ACD 不一定相似，②错误；∵△AED ≌△AEF ，∴DE =EF ，由旋转可知：△ADC ≌△AFB ，∴BF =CD ，∵BE +BF ＞EF=DE ，∴BE +DC ＞DE ，③错误；∵在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，∠ABC =∠C =45°，由旋转可知：∠ABF =∠C =45°，∴∠EBF =90°，∴BE 2+BF 2=EF 2，∴BE 2+DC 2=DE 2，④正确；故选B ．8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，半径的圆，点P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π-【答案】D【解析】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴OP ，∵OA '=OB '=∴P A'=PB '= ，∴tan ∠A'OP =tan ∠B'OP ， ∴∠A'OP =∠B'OP =60°，∴∠A'OB'=120°，∴S阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ-=-， 故答案为：D ．9．（2021·福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上的两点，AB ＝EF ＝BC ，点G 是边AB 上的中点，连接GE 、DF ．当GE +DF 取最小值时，线段CF 的长是（ ）A ．1BC ．43D ．【答案】C【解析】解：取BC 的中点H ，连接GH 、HF 、HD ，∵在矩形ABCD 中， AB EF =BC ，∴BC =2，EF =BC =2，∴AC 4，∵点G 是边AB 上的中点，点H 是边BC 上的中点，∴GH =12AC =2，GH ∥AC ，∴GH = EF =2，GH ∥EF ，∴四边形EGHF 是平行四边形，∴EG =HF ，∴GE +DF = HF +DF ≥DH ，∴当H 、F 、D 共线时，GE +DF 有最小值，最小值为DH ，如图：在矩形ABCD 中，CH ∥AD ，CH =12BC =12AD ，∠DAC =∠HCF ，∴△CFH △AFD ，∴12CF CHAF AD ==，∵AC =4，∴CF =43， 故选：C ．10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图1，若△ABC 内一点P 满足∠P AC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点，已知在等腰直角三角形DEF 中，如图2，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ EQ +FQ ＝（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：如图2，在等腰直角△DEF 中，∠EDF =90°，DE =DF ， ∠1=∠2=∠3，∴∠1+∠QEF =∠3+∠DFQ =45°，∴∠QEF =∠DFQ ，且∠2=∠3，∴△DQF ∽△FQE ， ∴DQ FQ DF FQ QE EF ===∵DQ∴2,FQ EQ ==∴EQ +FQ =2+，故选：D ．11．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝2，CD ＝5，AD ＝kAB （k 为常数），则BD 的长为____．（用含k 的式子表示）【解析】解：如图，连接AC ，∵AE ⊥BC ，BE ＝CE ＝2，∴BC =4，AE 垂直平分BC ，AB =AC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转至△ACG ，如图所示，连接DG ，则AD =AG ，BD =CG ，由旋转的性质可得：∠BAC =∠DAG ，∵AB=AC，AD=AG，∴△ABC∽△ADG，∴AD DG AB BC=，∵AD＝kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∵△ABC∽△ADG，∴∠ABC=∠ADG，∴∠ADG+∠ADC=90°，即：∠CDG=90°，∴，∴．12．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____．【答案】1【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=6，CD=8，∴CE=4，AF=3，∵OA=OC=5，∴由勾股定理得：EO3=，OF4，∴EF=OFOE=1；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，反向延长OE 交AB 于点F ，连接OA ，OC ，EF =OF +OE =7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故答案为：1或7．13．在等边△ABC 中，AB ＝6，BD ＝4，点E 为AC 边上一个动点，连接DE ，将△CDE 沿着DE 翻折得到△FDE ，则点F 到AB 距离的最小值是_____．【答案】2【解析】解：如图，过点D 作DT AB ⊥于T ．ABC ∆是等边三角形，，6BC AB ==，90DTB ∠=︒，4BD =，2CD DF ∴==，sin 60DT BD =︒=观察图象可知，当点F 落在DT 上时，点F 到AB 距离的最小，最小值为2，故答案为：2．14．（2021·山东李沧·九年级期中）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，AD DGH 是AF 的中点，那么CH 的长是 __________________．【解析】如图，连接AC 、CF ，∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，AD =DG =2AC ∴=，CG =， 143CF ∴=，∠ACD ＝∠GCF ＝45°， ∴∠ACF ＝90°，由勾股定理得，2222142582()33AF AC CF =+=+=， ∵H 是AF 的中点，11258582233CH AF ∴==⨯=． 故答案为：583． 15．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）如图，在中，AD BC ⊥，BE AC ⊥交AD 于点F ，且BD AD =．（1）求证：．（2）若F 为AD 的中点，且1DC =．求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）5AC =【解析】（1）证：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴∠BDF =∠ADC =∠FEA =90°，∵∠AFB =∠CAD +∠FEA =∠FBD +∠BDF ，∴∠CAD =∠FBD ，在△BDF 和△ADC 中，∴；（2）∵，∴DF =DC ，∵F 为AD 的中点，1DC =，∴AD =2DF =2DC =2，∴在Rt △ADC 中，225AC AD DC =+=∴5AC =16．（2021·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠MAN ＝45°．把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ．（1）求证：△AEM ≌△ANM ．（2）若BM ＝3，DN ＝2，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABC＋∠ABE＝180°，∴点E，点B，点C三点共线，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x−3，CN＝x−2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM＋DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2，∴25＝（x−2）2＋（x−3）2，解得，x＝6或−1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．17．（2021·天津河西·九年级期中）如图，已知BC为⊙O的直径，BC=5，AB=3，点A点B点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求BD，CD的长．．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）CD BD【解析】解：（Ⅰ）连接OD，∵BC为直径，∴．在Rt CAB △中， 2222534AC BC AB =-=-=．（Ⅱ）∵ AD 平分CAB ∠，∴ ∠CAD =∠BAD ，∴CD BD =．在中，5BC =，222CD BD BC +=，∴ 522BD CD ==． 18．（2021·河南·永城市实验中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在AB 和BC 上，4BE =．1AE BF ==，将绕点F 顺时针旋转，当点H 落在CD 边上时，得到GHF △．（1）求证：．（2）求,E H 两点之间的距离．【答案】（1）见解析；（2）34【解析】（1）将绕点F 顺时针旋转得到GHF △，，四边形ABCD 是正方形，1AE BF ==， 4CF BE ∴==，22(17)41CH ∴=-=，，在EBF △与FCH △中，，，；（2）如图，连接EH ，作EM CD ⊥交于点M ，，，225334EH ∴+19．（2021·四川江油·九年级期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，6BC DE ==，8AC FE ==，顶点D 与边AB 的中点重合．（1）若DE 经过点C ，DF 交AC 于点G ，求重叠部分（DCG △）的面积：（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D 旋转，使DE AB ⊥交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图2，求DH 的长．【答案】（1）6；（2）154【解析】（1）∵，D 是AB 的中点，∴DC DB DA ==．∴∠B =∠DCB ．又∵ABC FDE △≌△，∴FDE B ∠=∠．∴．∴DG BC ∥．∴，∴DG AC ⊥．又∵DC DA =，∴G 是AC 的中点． ∴118422CG AC ==⨯=，116322DG BC ==⨯=． ∴1143622DCG SCG DG =⨯⋅=⨯⨯=．（2）如图2所示：∵ABC FDE △≌△，∴1B ∠=∠．∵90C ∠=︒，ED AB ⊥，∵，，∴2B ∠=∠，∴12∠=∠，∴GH GD =，∵，1390∠+∠=︒，∴3A ∠=∠，∴AG GD =，∴AG GH =，∴点G 为AH 的中点；在Rt ABC △中，10AB ==，∵D 是AB 中点， ∴152AD AB ==， 连接BH ．∵DH 垂直平分AB ，∴AH BH =．设AH x =，则BH x =，8CH x =-，由勾股定理得：()22286x x -+=， 解得254x =，∴154DH =． 20．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝ BC ，∠ACB ＝ 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E ．（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ；（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②EF BE =，见解析【解析】（1）如图1，∵，AE BD ⊥，∴，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠；（2）①补全图形如图2；②EF BE =.理由如下：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌，∴CM CE =，，又∵，∴，∴ME =，又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒，后得到AF ，且，∴.题型二 锐角三角函数1．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，设sin B ＝n ，那么n 的取值范围是（ ）A ．0＜n ＜1B ．102n <<C ．0n <<D ．0n < 【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，且，∴0°＜∠B ＜45°，∴0sin B <<，即0n << 故选C ．2．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）A ．sin A ＝45B ．tan A ＝43C ．cos A ＝45D ．tan B ＝34【答案】C【解析】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC3，∴sin A ＝35，故选项A 错误； tan A ＝34，故选项B 错误； cos A ＝45，故选项C 正确； tan B ＝43，故选项D 错误． 故选：C ．3．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将AOB ∠放在正方形网格中，则cos AOB ∠的值为（ ）A ．B C ．2 D ．12 【答案】A【解析】解：如图所示，在直角三角形OBE 中，OE =2，BE =4，∠OEB =90°， ∴OB∴，故选A ．4．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =3，AB ＝5，则cos A 的值为（ ）A ．35B ．43C ．34D ．45【答案】A 【解析】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴cos A ＝35AC AB =．5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列四个三角比正确的是（ ）A ．sinA ＝AC AB B ．cosA ＝AD AC C ．tanA ＝CD BD D ．cosA ＝CD AD【答案】B【解析】解：因为∠ACB =90°，CD ⊥AB ，所以sinA BC AB =，cosA =AD AC AC AB =，tanA =CD AD ， 故选：B ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点C 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E ，线段BE 交AD 于点F ，则tan EDF ∠的值为（ ）A ．724B ．C ．725D ．247【答案】A【解析】∵在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴AD =BC =4∵点C 沿对角线BD 折叠，得到△EDF∴DE =DC =AB又∠A =∠E =90°，∠AFB =∠EFD∴△ABF ≌△DEF ，∴BF =DF ，AF =EF设EF =x =AF ，则DF =4-x在Rt △DEF 中，DF 2=EF 2+DE 2即（4-x ）2=x 2+32解得x =78∴EF =78， ∴tan EDF ∠=778324EF DE ==7．已知a =3，且2(4tan 45)0b -°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A 【解析】解：∵2(4tan 45)0b -=°， ∴4tan 450,130,2b b c ︒-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩所以a =3，b =4，c =5，即222+=a b c ，∴∠C =90°， 所以162S ab ==． 8．（2021·山东新泰·九年级期中）已知α是锐角，sin cos30α=︒，则α的值为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．无法确定 【答案】B【解析】解：α是锐角，sin cos30α=︒，．故选：B ．9．（2021·浙江鄞州·九年级期末）角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（ ）A．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<【答案】C【解析】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小， tan β随β的增大而增大， A.∵sin 45︒∴0<sin α<,选项A 正确，不合题意； B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C．sin 45︒，cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，符合题意； D．sin 45︒，cos 45︒，cos αβ><sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意． 故选择：C ．10．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．3+3D ．3【答案】A 【解析】根据题意，得3,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,3A ，()3,1B ∵直线2l 过原点O 和点C∴直线2l ：y x =∵(,)P m n 在直线2l 上∴m n =∴PC = 连接PA ，PB ，FB∴PA PB =，线段AB 的中点为点C∴()2,2C ，OC AB ⊥过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D∴()2,0D∴AD ==AB =BD = ∴222AD AB BD =+∴∴点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心∴cos BD ADB AD ∠== ∵AC BC =，12FB FA AD ==∴12BFC AFB ∠=∠ ∵，且12APB AFB ∠=∠ ∴∴cos cos FC APB BFC FB ∠=∠===∴FC ∴或 当时，APB ∠和ADB ∠位于直线AB 两侧，即∴不符合题意∴PC PF FC =+=2m < ∴)2PC m ==-，∴)2m -=∴32m =∴23m n m +==故选：A ．11．（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室九年级期中）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，2BC =，则AC =______．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵1sin 3BC A AB==， 又∵BC =2，∴AB =6，∴，故答案为：12．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，折线AB ﹣BC 中，AB ＝3，BC ＝5，将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，点B 的对应点落在线段BC 上的点D 处，点C 的对应点落在点E 处，连接CE ，若CE ⊥BC ，则tan ∠EDC ＝_________________．【答案】247【解析】解：如图，连接AC ，AE ，过点A 作AF ⊥BC 于F ，作AH ⊥EC 于H ，∵CE ⊥BC ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴四边形AFCH 是矩形，∴AF ＝CH ，∵将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，∴AD ＝AB ＝3，BC ＝DE ＝5，∠ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴AC ＝AE ，∵AC ＝AE ，AB ＝AD ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴BF ＝DF ，CH ＝EH ，∵AB 2＝AF 2＋BF 2，DE 2＝DC 2＋CE 2，∴9＝AF 2＋BF 2，25＝（5﹣2BF ）2＋4AF 2，∴BF ＝95，AF ＝125， ∴EC ＝2CH ＝2AF ＝245，CD ＝5﹣2×95＝75， ∴tan ∠EDC ＝EC CD ＝247， 故答案为：247．13．（2021·重庆南开中学九年级期中）计算：02tan 45)π+︒＝___．【答案】3【解析】解：原式＝2×1+1＝2+1＝3，故答案为：3．14．若三个锐角,,αβγ满足sin 48,cos 48,tan 48αβγ===，则,,αβγ由小到大的顺序为________________．【答案】βαγ<<【解析】解：根据锐角三角函数的性质可得：cos48°=sin42°,sin42°<sin48°<1,tan45°<tan48°,tan45°=1，∴cos48°<sin48°<1<tan48°，∴β<α<γ，故答案为β<α<γ．15．（2021·福建·泉州五中九年级期中）如果α是锐角，且22sin cos 481α+︒=，那么α= _________度【答案】48【解析】∵α是锐角，22sin cos 481α+︒=，又∵22sin cos 1αα+=，∴α=48°．故答案是48．16．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD 内有一动点P ，且BP ．连接CP ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．连接CQ 、DQ ，则12DQ +CQ 的最小值为 ___．【答案】5【解析】解：如图，连接AC 、AQ ，∵四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∴∠BCP ＝∠ACQ ，cos ∠ACB ＝BC AC cos ∠PCQ ＝PC QC = ∴∠ACB =∠PCO ，∴△BCP ∽△ACQ ，∴AQ BP =∵BP ，∴AQ ＝2，∴Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1， ∵12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∴△QAE ∽△DAQ ， ∴12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∴12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ， ∴5CE =， ∴12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．17．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋．（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°．【答案】（1）（2）1． 【解析】解：（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋，，（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°，3222-⨯，1-，=1．18．（2021·四川·（﹣2014）0﹣（12）−2＋|2sin45°﹣2|．【答案】−2（﹣2014）0﹣（12）﹣2＋|2sin45°﹣2|4＋＝−2．19．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）计算：tan60cos30 2sin60tan45-︒-︒︒︒【答案】3 2【解析】解：tan60cos30 2sin60tan45--1-3=2．20．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）（1）在图①中的线段AB上画出点M，使AB＝3AM．（2）在图②中作出△ABN，使点N在格点上，且tan∠BAN＝12．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图，点M即为所求．（2）如图，点N即为所求．BN=AN=AB=∵222BN AN AB+=,∴△ABN是直角三角形，且∠ANB=90°，∴1tan2BNBANAN∠===．21．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°，求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．【答案】sin CDA ∠=cos 7CDA ∠=，tan CDA ∠= 【解析】解：过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵AD ＝BD ，∴CE ＝EB ，∴AC ＝2DE ．又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵∠BCD ＝30°，∴EC ＝2DE ，DC ．设DE ＝k ，则CD ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，．∴sinAC CDA AD ∠==cos CD CDA AD ∠===tanAC CDA CD ∠==22．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图1，已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝tan ∠ABC ＝3，BF ⊥AC ，垂足为F ．点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）．（1）求边BC 的长；（2）如图2，联结DF ，DF 恰好经过△ABC 的重心，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ．联结DF ，如果△DQF 和△ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3）BD BD 【解析】解（1）如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°，∵AB ＝AC ＝∴BC ＝2BH ，在Rt △AHB 中，tan ∠ABC ＝AH BH＝3， ∴AH ＝3BH ， 根据勾股定理得，AH 2＋BH 2＝AB 2，∴（3BH ）2＋BH 2＝（2，∴BH ＝5，∴BC ＝2BH ＝10；（2）∵BC ＝10，tan ∠ABC ＝3，∴CF BF ＝2，作BN ⊥BC ，CM ⊥BC ，∵G 为重心，∴AG ＝10，GH ＝5，∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC∴CM AG ∥，∴∠ACM =∠CAG ，∠GMC =∠AGM∴△CMF ∽△AGF 则CM CF AG AF =＝14， ∴CM ＝14AG ＝52， ∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC ，BN ⊥BC∴CM AG BN ∥∥∴∴G 为MN 中点∴HG 为梯形CMNB 的中位线，∴BN ＝2GH ﹣CM ＝152， ∵NB AG ∥，∴∠DAG =∠NBD ,∠AGD =∠BND∴△ADG ∽△BDN ∴43AD AG BD BN ==，∴AD ＝47AB （3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC ＝∠DEB ＝90°，∴∠BQE ＝∠ACB （同角的余角相等）∵∠BQE ＝∠DQF ，∴∠DQF ＝∠ACB∵△DQF 和△ABC 相似，∴或DQ FQ BC AC=， ∵tan ∠BQE ＝tan ∠ACB ＝tan ∠ABC ＝3， ∴3BE QE =，3DE BE= 设QE ＝x ，BE ＝3x ，则DE ＝9x ，∴BQ BD ＝DQ ＝8x ，∵BF ＝3CF ＝∴QF ＝，（ⅰ解得x ＝1513，∴BD ＝（ⅱ）当DQ FQ BC AC =时，则，810x = 解得x 35=，∴BD ＝=，综上所述，BD BD 23．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的延长线于E ．（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述圆心O 的位置；②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明．【答案】（1）①见祥解，圆心O 在斜边AB 的中点；②见详解；（2）①见详解；②AB ，见详解．【解析】解：（1）①作AC 的垂直平分线GH 与AB 的交点O 为圆心O ，以点O 为圆心，以OA 为半径画圆，则⊙O 是△ABC 的外接圆，∵GH 为AC 的垂直平分线，OI ⊥AC ，AI =CI ，∠ACB =90°，连OC ，∴IO ∥CB ， ∴1AI AO IC OB==， ∴AO =OB ，∴点O 为AB 中点，∴OC 为斜边中线，∴OC =OA =OB ，∴⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在斜边AB 的中点；②∵AE ⊥BD ，AO=BO ，∴OE 为斜边中线，∴OE =OA =OB ，∴点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，如图；②AB ，理由如下：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BAC =∠ABC =()1180452ACB ︒-∠=︒， ∴∠CEB =∠CAB =45°，∴∠AEC =∠CEB +∠AEB =45°+90°=135°，∴∠FEC =180°-∠CEB =180°-45°=135°=∠AEC ，在△FEC 和△AEC 中，FE AE FEC AEC EC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEC ≌△AEC （SAS ），∴FC =AC∵AC =AB sin45°AB ， ∴FC =ACAB ，∴AB ．24．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD ）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC ，BD 的长度分别为40cm ，30cm 及夹角∠BEC ＝60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．（1）如图1，△ABC 中，D 为AB 上任意一点（不与A ，B 两点重合），连接CD ，CD ＝a ，AB ＝b ，∠ADC ＝α（α为CD 与AB 所夹的锐角），则△ABC 的面积为 ．（用a ，b ，α表示）问题解决：请你解决工作人员的问题．（2）如图2，四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝40cm ，BD ＝30cm ，∠BEC ＝60°，求四边形ABCD 的面积．（写出必要的解答过程）新建模型：（3）若四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝α（α为AC 与BD 所夹的锐角），直接写出四边形ABCD 的面积为 ．（用a ，b ，α表示）模型应用：（4）如图3，四边形ABCD 中，AD +BC ＝AB ，∠BAD ＝∠ABC ＝60°．已知BD ＝a ，求四边形ABCD 的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）【答案】（1）12ab sinα；（2）2；（3）12ab sinα；（4）a 2．【解析】解：（1）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，如图1所示：∴△CMD为直角三角形．又∵∠ADC＝α，∴sinα＝CMCD，∴CM＝CD•sinα，∴S△ABC＝12AB•CM＝12AB•CD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（2）过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，如图2所示：∵∠BEC＝60°，∴∠AED＝60°，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sin60°＝AC•DE，S△ABC＝12AC•BE•sin60°＝AC•BE，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AC•DE+AC•BE＝AC（DE+BE）＝AC•BD＝×40×30＝cm2）；（3）如图2，过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEC＝α，∴∠AED＝α，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sinα，S△ABC＝12AC•BE•sinα，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABD＝12AC•DE•sinα+12AC•BE•sinα＝12AC•（DE+BE）•sinα＝12AC•BD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（4）在AB上取BG＝BC，连接DG、AC、CG，AC分别交DG、BD于H、P，如图3所示：∵AD+BC＝AB，AG+BG＝AB，∴AD＝AG，∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴△ADG与△BCG均为等边三角形，∴DG＝AG，CG＝BG，∠AGD＝∠BGC＝60°，∴∠DGC＝60°＝∠BGC，∴∠AGC＝∠DGB＝120°，∴△AGC ≌△DGB （SAS ），∴AC ＝BD ，∠GAC ＝∠GDB ，∵∠DHC ＝∠AHG ，∴∠DPH ＝∠AGD ＝60°，∴S 四边形ABCD ＝12•a •a •sin60°＝12•a •a •＝a 2． 题型三 解直角三角形1．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE =10m ，且tan ∠CEF =43，那么矩形ABCD 的面积为（ ）cm ；A ．280B ．300C ．320D ．360【答案】C【解析】解：在Rt △EFC 中，tan ∠CEF=CF CE =43， ∴设3CE k =，则4CF k =，根据勾股定理得到5EF k =，由折叠的性质知，∴8DC AB k ==，∵，，∴，∴，∴6BF k =，，在Rt AEF 中，由勾股定理可得：，∴2k =，∴，20BC =，∴矩形ABCD 的面积为；故选C ．2．（2021·重庆八中九年级期中）如图，垂直于地面的通信基地AB 建在陡峭的山坡BC 上，该山坡的坡度i ＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB 的高度，他首先在C 处测得山脚与通信基地AB 的水平距离CD ＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E 处，他在E 处测得通信基地顶端A 的仰角为60°，则通信基地AB 的高度约为（ ）≈1.414）A ．136米B ．142米C ．148米D ．87米【答案】B【解析】解：如图，作EH ⊥CD 于H ，EF ⊥AD 于F ．在Rt △ECH 中，∵EH ：CH ＝1：2.4，EC ＝52m ，设EH=x ，则CH =2.4x ，222EH CH EC +=，即()2222.452x x +=， 解得x=20(负值舍去)，∴EH ＝DF ＝20m ，CH ＝48m ，∴EF ＝DH ＝CD ﹣CH ＝156﹣48＝108m ，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝60°，∴AF ＝EF •tan60°＝∴AD ＝AF +DF ＝m ，在Rt △BCD 中，∵BD ：CD ＝1：2.4，∴BD ＝65m ，∴AB ＝AD ﹣BD ＝207﹣65＝142m ，故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（ ）A B ． C D 【答案】D【解析】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD∴ BD ＝BA +AD ＝5，在Rt △BCD 中，BC =∴ sin CD B BC ==．故选：D ．4．（2021·天津河西·九年级期中）如图，在⊙O 中，点A ，B 在圆上，∠AOB =120°，弦AB 的长度为则半径OA 的长度为（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】B【解析】过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，∵OA =OB ，∠AOB =120°，AB∴AD =BD =12AB ∠AOD =60°， ∵AD OA =sin ∠AOD = sin 60°=， ∴OA ==4，故选B ．5．（2021·山东东昌府·九年级期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB =米，背水坡CD 的坡度i =则背水坡的坡长CD 为（ ）米．A ．20B ．C ．10D ．【答案】A【解析】解：∵迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB 米，∴AE sin45°=10（米），∴DF =AE =10，∵背水坡CD 的坡度i =1∠DFC =90°，∴tan ∠C =DF FC = ∴∠C =30°，∴DC=2DF=2AE=20（米），故选A．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1 B．1.2 C．3 D．5【答案】B【解析】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，在Rt△AFQ和Rt△ABC中，∵sin∠A=FQAF，sin∠A=BCAB，∴FQAF=BCAB，∵AC＝6，BC＝8，CF＝2，∴AB=10，∴8 410 FQ=，∴FQ=3.2，∵FP0=2，∴P0Q=3.2-2=1.2．故选：B．7．（2021·山东沂源·九年级期中）在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tan A＝_________．【答案】3 4【解析】如图，∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，∴∠C=90°，AC，∴tanA =68BC AC ==34， 故答案为：34． 8．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝60°，则△ABC 的面积是 ___．【答案】123【解析】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD △中，sin AD B AB =，即3sin 6062AD =︒=， 解得33AD =， 则的面积是1183312322BC AD ⋅=⨯⨯ 故答案为：39．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，在菱形ABCD 中，tan ∠DAB ＝43，AB ＝3，点P 为边AB 上一个动点，延长BA 到点Q ，使AQ ＝2AP ，且CQ 、DP 相交于点T ．当点P 从点A 开始向右运动到点B 时，求点T 运动路径的长度为__________．385 【解析】解：连接AT 并延长交CD 于N ，如图：∵CD ∥BQ ，∴AP DN＝AT NT ＝AQ CN ， ∴ AP AQ ＝12＝DN CN ， ∴点N 是CD 上靠近D 的三等分点，∴点T 在线段AN 上运动，当P 从点A 开始向右运动到点B ，即P 与B 重合时，如图：点T 运动路径即为AT ，过D 作DH ⊥AB 于H ，过T 作TM ⊥AB 于M ，在Rt△ADH中，tan∠DAB＝43，设DH＝4k，则AH＝3k，AD＝5k，∵AD＝AB＝3，∴5k＝3，∴k＝35，∴DH＝125，AH＝95，∴BH＝AB﹣AH＝65，∵DTPT＝CDPQ＝APAP AQ+＝13，∴PTPD＝34，∵DH⊥AB，TM⊥AB，∴TM∥DH，∴PTPD＝TMDH＝BMBH，即34＝125TM＝65BM，∴TM＝95，BM＝910，∴AM＝AB﹣BM＝21 10，在Rt△ATM中，AT，．10．（2021·广东·广州六中九年级期中）如图，△ABCAB＝AC，∠BAC＝120°，P为⊙O中优弧BC上一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最大值___．【答案】6+【解析】延长PC至F，使CF＝BP，连接AF，∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠ACF＝∠ABP，在△ACF和△ABP中，AC AB ACF ABP CF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABP （SAS ），∴AF ＝AP ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝30°，∴∠APC ＝30°，过点A 作AE ⊥PF 于E ，∵AF =AP ，∴△APF 是等腰三角形，则PF ＝2PE ，在Rt △AEP 中，cos ∠APC ＝PE AP， ∴PE ＝AP •cos ∠APC ＝AP •cos 30°＝ AP ，∴PF ＝2PE，∵PF ＝PC ＋CF ＝PC ＋BP，即PC ＋PB，∴P A +PB +PC =（AP而AP 为⊙O∴AP 最大＝∴P A +PB +PC 的最大值为（×故答案为：．11．（2021·山东泰山·九年级期中）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为4米，落在斜坡上的影长CD 为3.8米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1）．【答案】旗杆的高度约为8.8米【解析】解：如图，过C 作CM ∥AB 交AD 于点M ，过M 作MN ⊥AB 于点N ．则四边形BCMN 是矩形，∴MN ＝BC ＝4米，BN ＝CM ， 由题意得：CM PQ CD QR =， 即13.82CM =， 解得：CM ＝1.9（米），在Rt △AMN 中，∠ANM ＝90°，MN ＝BC ＝4米，∠AMN ＝60°，∴tan60°＝AN MN ＝4AN∴AN ＝．∵BN ＝CM ＝1.9米，∴AB ＝AN +BN ＝（米），答：旗杆的高度约为8.8米．12．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）全球最长跨海大桥——港珠澳大桥连接香港、澳门、珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30，拉索CD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索顶端的距离BC 为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH 的长．（结果精确到0.1 1.732）．【答案】立柱BH 的长约为16.3米【解析】解：设DH 的长为x 米，由题意得∠AHB =90°，∵∠CDH =60°，∠AHB =90°，∴米∴()2BH CH BC =+=米，∵∠A =30°，∴米，∵AH=AD+DH，∴320=+，x x∴10x=∴米，答：立柱BH的长约为16.3米．13．（2021·山东阳谷·九年级期中）如图，小杰在高层楼A点处，测得多层楼CD最高点D的俯角为30°，小杰从高层楼A处乘电梯往下到达B处，又测得多层楼CD最低点C的俯角为10°，高层楼与多层楼CD之间的距离为CE，已知AB＝CE＝30米，求多层楼CD的高度．（结果精确到1米），sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【答案】18米【解析】解：如图所示，延长CD至F点，使得AF⊥CD，则四边形AECF为矩形，AF=CE=30，AE=CF，由题意，∠F AD=30°，在Rt△ADF中，，∵在B处测得最低点C的俯角为10°，∴∠BCE=10°，在Rt△BCE中，，∵AE=CF，∴AB+BE=DF+CD，即：30+5.4CD=，∴米，∴CD的高度约为18米．14．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝12米，AE＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3≈1.73，sin53°≈45，34cos53,tan 5353︒︒≈≈） （1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．【答案】（1）点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）广告牌CD 的高约8.4米【解析】解：（1）如图，过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，垂足分别为M N 、，由题意可知，45CBN ∠︒＝，53DAE ∠︒＝，13i ＝：，12AB ＝米，24AE ＝米，∵13BM i tan BAM AM∠＝：＝＝， ∴30BAM ∠︒＝，∴162BM AB ＝＝（米）， 即点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）在中，∴162NE BM AB ＝＝＝（米）， 3632AM AB ＝＝（米）， ∴()6324ME AM AE ++＝＝米，∵45CBN ∠︒＝，∴()6324CN BN ME +＝＝＝米，∴()6330CE CN NE ++＝＝米，在中，53DAE ∠︒＝，24AE ＝米， ∴4·5324323DE AE tan ︒≈⨯＝＝（米）， ∴CD CE DE -＝33032-＝32＝8.4≈（米）答：广告牌CD的高约8.4米．15．（2021·山东任城·九年级期中）如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B≈1.4≈2.45，结果精确到个位）．【答案】A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．【解析】如图，过点A作AD BC⊥于D，△中，，在Rt ACDAC＝35×40＝1400（米），则（米）．△中，∠B＝30°，在Rt ABD∴（米）．过点P作PE AB⊥，垂足为E，则AE＝PE•tan45°＝PE，BE＝PE•tan60°，∴，∴)1PE=PE=≈．解得：700735综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．16．（2021·山东任城·九年级期中）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）【答案】建筑物BC的高度为25米．【解析】设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，∴DC＝BC＝x米，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACDC，即5xx+＝1.2，解得：x＝25，答：建筑物BC的高度为25米．17．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点．点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，（1）求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到真线BC的距离）．（2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°＝0.60，cos 37°＝0.80，tan 37°＝0.75）【答案】（1）2.2米；（2）0.6米【解析】解：（1）如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB-∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°-∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米．（2）把连接点E向右移动到E'，连接A E',过点E'作E K AG'⊥,垂足为K，∴∴四边形EHKE'是矩形，∴EE HK'=，米∵∠EAH= =53°，．∴。
八年级上册数学勾股定理知识点
八年级上册数学勾股定理知识点八年级上册数学勾股定理知识点1.勾股定理的内容：假如直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：假如三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大一样倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：假设一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，那么这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，那么它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，那么周长为24例2：直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，那么斜边为5 第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，那么另一边为根号7《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题!例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的选项是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C初中数学的方法和技巧多做主要是指做习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
做习题的目的首先是纯熟和稳固学习的知识;其次是初步启发灵敏应用知识和培养独立考虑的才能;第三是融会贯穿，把不同内容的数学知识沟通起来。
在做习题时，要认真审题，认真考虑，应该用什么方法做?能否有简便解法?做到边做边考虑边总结，通过练习加深对知识的理解。
必需要有错题本说到错题本不少同学都觉得自己的记忆力好，不需要错题本就能记住，这是一种“错觉”，每个人都有这种感觉，等到题目增多，学习内容加深，这时就会发现自己力不从心了。
初中资料初二数学勾股定理常用的11个公
初二数学勾股定理常用的11个公(1) (3,4,5),(6,8,10) … …3n,4n,5n (n是正整数)(2) (5,12,13) ,( 7,24,25),( 9,40,41) … …2n + 1,2n^2 + 2n,2n^2 + 2n + 1 (n是正整数)(3) (8,15,17),(12,35,37) … …2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1 (n是正整数)(4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n均是正整数,m;n)1过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5过一点有且只有直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线两条甚至和第三条直线平行，这几条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180"18 推论1直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角直角三角形(等腰直角三角形也算在内)两直角边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)底面平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。
也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a²+b²=c²。
勾股定理原发现约有500种证明方法，是定理中证明方法最多的定理之一。
中国上古时代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。
”它被记录在了《九章算术》中。
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[单选]以下各类型基金，属于行业型股票型基金的有（）。A.国内股票型基金B.资源类股票型基金C.QDIID.成长型基金 [判断题]可转换证券实贡上嵌入了普通股票的看跌期权，正是从这个意义上说，我们将其列为期权类衍生产品。（）A.正确B.错误 [单选]股票质押贷款期限最长为（）。A、3个月B、4个月C、5个月D、6个月 [多选]下列选项中，股票与债券有区别的是（）。A.性质B.有价证券C.承担的风险D.持有人对公司经营管理享有的权利E.收益 [单选]世界上第一家股票交易所于1602年在（）成立。A．英国的伦敦B．美国的纽约C．美国的华盛顿D．荷兰的阿姆斯特丹 [单选]A公司于2010年4月5日从证券市场上购入B公司发行在外的股票500万股作为可供出售金融资产，每股支付价款6元(含已宣告但尚未发放的现金股利1.5元)，另支付相关费用20万元，A公司可供出售金融资产取得时的入账价值为()A、3020万元B、2250万元C、2270万元D、3000万元 [单选]根据规定，首次公开发行股票并在创业板上市的，持续督导的期间为证券上市当年剩余时间及其后（）个完整会计年度。A．1B．2C．3D．4 [单选]我国境外上市外资股中的N股是指在（）上市的股票。A、纽约B、伦敦C、东京D、香港 [单选]以下何种期权组合可以构造合成股票策略（）。A、卖出一份平值认购期权，买入一份具有相同到期日的平值认沽期权B、卖出一份平值认沽期权，买入一份具有相同到期日的平值认购期权C、卖出一份平值认沽期权，买入一份具有相同到期日的平值认沽期权D、卖出一份平值认购期权，买入 相同到期日的平值认购期权 [单选]下列何种类型的股票在经济周期的下跌末期能发挥较强的抗跌能力。（）A.公共事业B.能源C.设备D.房地产