两直线位置关系复习

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高中数学复习-两直线的位置关系

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解析 (1)两直线l1,l2有可能重合. (2)如果l1⊥l2,若l1的斜率k1＝0,则l2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
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2.(2016·北京卷)圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x＋3 的距
离为( )
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(3)法一在 l：2x－3y＋1＝0 上任取两点，如 M(1，1)，N(4，3)，则 M，N 关于点 A 的对称点 M′，N′均在直线 l′上. 易知 M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0. 法二设 P(x，y)为 l′上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)， ∵P′在直线 l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即 2x－3y－9＝0.
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1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( ) (4) 已知直线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 , l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2＋B1B2＝0.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
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2020年高考数学专题复习两直线的位置关系

两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系2.两直线的交点3．三种距离4.几种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1解析：选C.由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.(教材习题改编)已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则实数a 的值是________．解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋1）＝2×3，a ·1≠2，解得a ＝－3.答案：－3若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.答案：－12两条直线平行与垂直(1)(2019·金丽衢十二校高三联考)设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x＋(5＋m )y ＝8，则“l 1∥l 2”是“m ＜－1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．【解析】 (1)若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2⇒m ＝－1或－7，经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7，故是充分不必要条件，故选A.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.【答案】 (1)A (2)4x ＋3y －6＝0将本例(2)中条件“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直”改为“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0平行”，求此时直线l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．因为l ∥l 3，所以直线l 的斜率k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.由一般式确定两直线位置关系的方法已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. (2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以a b＝1－a .① 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.距离公式(高频考点)距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大．主要命题角度有：(1)求距离；(2)已知距离求参数值； (3)距离公式的综合应用．角度一求距离已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB的中点为P (0，10a)，则线段AB 的长为________．【解析】依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )、B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝02x ＋y ＝10，则A (4，8)、B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10. 【答案】 10角度二已知距离求参数值(1)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10](2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3·a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]． (2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，因此c ＝2或－6.【答案】 (1)D (2)2或－6角度三距离公式的综合应用(1)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(1，2)或(2，－1)D ．(2，1)或(－1，2)(2)在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________．【解析】 (1)设P 点坐标为(x ，5－3x )，则P 点到直线x －y －1＝0的距离d ＝|x －（5－3x ）－1|2＝|4x －6|2＝2，所以|2x －3|＝1，所以x ＝1或x ＝2.所以P 点坐标为(1，2)或(2，－1)．(2)由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14|，又1<m <4，所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．【答案】 (1)C (2)94距离的求法 (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．1．已知A (2，0)，B (0，2)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝2 2. 由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t ＋t 2－2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝0对称问题已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.1．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)关于y轴对称的直线的方程为( )A．Ax－By－C＝0 B．Ax＋By－C＝0 C．Ax－By＋C＝0 D．Bx＋Ay＋C＝0 解析：选A.因为点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)，将直线Ax＋By＋C＝0(A，B ≠0)中的x用－x代换得－Ax＋By＋C＝0，即Ax－By－C＝0，故选A.2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案：210求两直线交点坐标及过交点的直线的设法 (1)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一一组解(x 0，y 0)，即为两直线l 1与l 2的交点坐标． (2)过直线l 1与l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(注：该直线系不包含直线l 2)．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0(n ∈R ，且n ≠C )．解决对称问题应抓住以下两点(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直．(2)已知点和对称点为端点的线段的中心在对称轴上．易错防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．[基础达标]1．(2019·富阳市场口中学高三质检)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12解析：选C.因为直线l 2的斜率为12，直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，所以直线l 1的斜率等于－2，即－1a＝－2，所以a ＝12，故选C.2．(2019·金华十校联考)“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.3．(2019·义乌模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D.由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.4．已知点A (－1，2)，B (3，4)，P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，则△PAB 的面积为( ) A ．15 B ．552C ．6 5D ．152解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1）＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)．即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32＝352.所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.6．两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]．故选D.7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：由题意可得两点间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋（2－x ）2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，即最小值为12.答案：128．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________．解析：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)，则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上．因为易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，所以b ＝2.答案：29．(2019·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：34510．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．解析：动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)．因为此两条直线互相垂直，所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10，所以10≥2|MA |·|MB |，所以|MA |·|BM |≤5，当且仅当|MA |＝|MB |时取等号．答案：511．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝|PA |＝10. [能力提升]1．(2019·温州八校联考)已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2解析：选A.集合M 表示去掉一点A (2，3)的直线3x －y －3＝0，集合N 表示恒过定点B (－1，0)的直线ax ＋2y ＋a ＝0，因为M ∩N ＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax ＋2y ＋a ＝0与直线3x －y －3＝0相交于点A (2，3)．因此－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，即a ＝－6或a ＝－2.2．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A ．22，12B ．2，22C ．2，12D ．24，14解析：选A.由题意知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1. 又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝（a ＋b ）2－4ab 2＝（－1）2－4c 2＝12－2c ，而0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .所以b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.所以直线l的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，设直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，所以6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.所以直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案：6x －8y ＋1＝04．(2019·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．解析：因为f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，所以f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.答案：5 25．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.此与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为点B 与A (－1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )．由题意，得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简，得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．(2)法一：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，点M ，N 的坐标分别为(3，y M )，(3，y N )．则直线AP 的方程为y －1＝y 0－1x 0＋1(x ＋1)，直线BP 的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0－1(x －1)．令x ＝3，得y M ＝4y 0＋x 0－3x 0＋1，y N ＝2y 0－x 0＋3x 0－1.于是△PMN 的面积S △PMN ＝12|y M －y N |(3－x 0)＝|x 0＋y 0|（3－x 0）2|x 20－1|. 又直线AB 的方程为x ＋y ＝0，|AB |＝22，点P 到直线AB 的距离d ＝|x 0＋y 0|2.于是△PAB 的面积S △PAB ＝12|AB |·d ＝|x 0＋y 0|.当S △PAB ＝S △PMN 时，得|x 0＋y 0|＝|x 0＋y 0|（3－x 0）2|x 20－1|. 又|x 0＋y 0|≠0.所以(3－x 0)2＝|x 20－1|，解得x 0＝53.因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±339.法二：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则12|PA |·|PB |sin ∠APB ＝12|PM |·|PN |·sin ∠MPN . 因为sin ∠APB ＝sin ∠MPN ，所以|PA ||PM |＝|PN ||PB |，所以|x 0＋1||3－x 0|＝|3－x 0||x 0－1|，即(3－x 0)2＝|x 20－1|，解得x 0＝53.因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±339.。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》两条直线的位置关系

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

两条直线的位置关系知识点总结

两条直线的位置关系知识点总结关键信息项1、直线的斜率定义：＿___________________________计算方法：＿___________________________斜率不存在的情况：＿___________________________ 2、两条直线平行条件：＿___________________________斜率关系：＿___________________________特殊情况：＿___________________________3、两条直线垂直条件：＿___________________________斜率关系：＿___________________________证明方法：＿___________________________4、两条直线相交交点坐标的求解方法：＿___________________________夹角的计算：＿___________________________5、点到直线的距离公式公式：＿___________________________推导过程：＿___________________________6、两平行线间的距离公式公式：＿___________________________应用场景：＿___________________________11 直线的斜率直线的斜率是描述直线倾斜程度的一个重要概念。

它通常用字母$k$表示。

斜率的定义是直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

如果直线上有两点$（x_1,y_1)＄和$（x_2,y_2)＄，则斜率$k ＝＼frac{y_2 y_1}｛x_2 x_1}＄。

需要注意的是，当直线垂直于$x$轴时，斜率不存在。

111 斜率的计算方法计算斜率可以通过已知的直线上两点的坐标来进行。

此外，如果直线的方程为斜截式$y ＝ kx ＋ b$，其中$k$就是直线的斜率。

112 斜率不存在的情况当直线垂直于$x$轴时，即直线与$x$轴的夹角为$90^＼circ$，此时直线上任意两点的横坐标相同，横坐标之差为$0$，导致斜率不存在。

1.两条直线的位置关系(基础)知识讲解

两条直线的位置关系(基础)知识讲解【要点械理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系:相交和平行.(1)平行线:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“〃”表示. 如下图，两条宜线互相平行，记作AB〃CD或a〃bCB(2)互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行•(3)相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条宜线相交只有一个交点.一组相交线产生两对对顶角。

即Z1和Z3是对顶角，Z2和Z4是对顶角。

Z 1和Z 2 , Z 2和Z3, > 3和Z 4 , Z4和Z 1是邻补角要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角(1)定义:如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，英中一个角叫做另一个角的补角.类似地，如果两个角的和是90° ,那么这两个角互为余角•简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角.(2)性质:同角(等角)的余角相等.同角(等角)的补角相等.要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关・(2)—个锐角的补角比它的余角大9 0。

.2•对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念“三线八角”模型如制直线AB. CD仃宜线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条宜线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角"，如图.被截统(1)条直线AB, CD与同一条宜线EF相交.(2) “三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成.(3)Z1和Z3, Z2和Z4是对顶角：Z1和Z2, Z1和Z4互为邻补角；Z4和Z5是同旁内角；Z1和Z5是同位角：Z4和Z6是内错角(2)性质：对顶角相等.邻补角互补即和为180 °要点三、垂线1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是宜角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.如图.要点诠释：⑴记法：直线a^b垂直，记作：“丄6直线AB和CD垂直于点0,记作：AB丄CD于点0.(2)垂直的立义具有二重性，既可以作垂直的判泄,又可以作垂直的性质，即有：、窘'唇、CD丄AB.ZAOC = 90°2.垂线的性质：(1)平面内，过一点有且只有一条宜线与已知宜线垂直.(2)直线外一点与宜线上徉点连接的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 要点诠释：(1)性质(1)成立的前提是在“同一平而内”,“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有” 说明了垂线的存在性和唯一性.(2 )性质(2)是“垂线段最短实际上，连接直线外一点和直线上各■点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.要点诠释：(1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；(2)求点到宜线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后汁算或度量垂线段的长度.类型一、两条直线的位置关系Ci类型二、对顶角、补角、余角2 •如图所示，直线AB 、CD 相交于点6 Zl=6 5° ,求Z2、Z3、Z4的度数.举一反三：【变式】如图所示，两宜线相交，已知Z 1与Z 2的度数之叱为3: 2,求Z1与Z2的度数.类型三、垂线* 3・下列语句中，正确的有()① 一条直线的垂线只有一条.② 在同一平而内，过直线上一点有且仅有一条宜线与已知直线垂直. ③两直线相交，则交点叫垂足.④互相垂直的两条直线形成的四个角一都是直角.A ・0个B 」个 C, 2个 1)・3个举一反三：【变式】直线/外有一点P,则点P 到直线/的距离是(A. 点P 到直线/的垂线的长度.B. 点P 到直线/的垂线段.C. 点P 到直线/的垂线段的长度.D •点P 到直线/的垂线.举一反三：【变式】如图，直线AB和CD交于0点，0D平分Z B0F, 0E 丄CD于点0,ZA0C = 40。

两直线位置关系复习(PPT)3-1

∥l2
A1 A2
=
B1 B2
≠
C1 C2 .
思考一：他们的相同点
思考二：他们不同之处
思考三：还有哪些问题？
思考四：如何解答
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的数亿年要安静得多了。金星上没有小的环形山，看起来小行星在进入金星的稠密大气层时金星表面金星表面没被烧光了。金星上的环形山都是一串串的看来是由于大的小行星在到达金星表面前，通常会在大气中碎裂开来。玛亚特山，金星上最大的火山之一，比周围地区高出9米，宽千米，火山及火山活动金星表面为数很多。至少8%的金星表面覆盖着火山岩除了几百个大型火山外，在金星表面还零星分布着,多座小型火山从火山中喷出的熔岩流产生了了长长的沟渠，范围大至几百公里，其中最长的一条超过7公里，公转自转编辑金星绕轴自转的方向与太阳系内大多数的行星是相反的。金星以.天绕太阳公；早教加盟；转一周，平均距离为一亿八百万千米。虽然所有的行星轨道都是椭圆的，但金星轨道的离心率小于.当金星的位置介于地球和太阳之间时，称为下合（内合），会比任何一颗行星更接近地球这时的平均距离是, 万千米，平均每8天发生一次下合。由于地球轨道和金星轨道的离心率都在减少，因此这两颗行星最接近的距离会逐渐增加。而在离心率较大的期间，金星与地球的距离可以接近至,8万千米。金星的自转周期是天，是主要行星中自转最慢的。金星的恒星日比金星的一年还要长（金星日相对于.7地球日），但是金星的太阳日比恒星日为短，在金星表面的观测者每隔.7天就会看见太阳出没一次，这意味着金星的一天比水星的一天（ 7地球日）短。太阳会从西边升起，然后在东边落下。金星在赤道的转速只有.千米/小时，而地球在赤道的转速大约是,千米/小时。如果从太阳的北极上空鸟瞰太阳系，所有的行星都是以反时针方向自转，但是金星是顺时钟自转，金星的顺时钟转是逆行的转动。当行星的自转被测量出来时，如何解释金星自转的缓慢和逆行，是科学家的一个难题。当他从太阳星云中形成时，金星的速度一定比原来更快，并且是与其他行星做同方向的自转，但计算显示在数十亿年的岁月中，作用在它浓厚的大气层上的潮汐效应会减缓它原来的转动速度，演变成今天的状况。令人好奇的是金星与地球平均8天的会合周期，几乎正好是个金星的太阳日，这是偶然出现的关系，还是与地球潮汐锁定的结果，还无从得知。虽然小行星VE8 维持着与它相似的轨道，但金星还没有天然的卫星。依据加州理工学院的AlexAlemi和DavidStevenson两人对早期太阳系研究所建立的模型显示，在数十亿年前经由巨大的撞击事件，金星曾至少有过一颗卫星。依据Alemi和Stevenson的说法，大约过了一千万年后，另一次的撞击改变了这颗行星的转向使

专题25 两直线的位置关系-【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破

专题25 两直线的位置关系直线的方程平行垂直1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__ __三种情况．(1)两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔．(2)两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔____．2.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__ __；平行⇔方程组__ __；重合⇔方程组有__ __．3.(1) 与直线Ax + By + C = 0平行的直线设为： (x,y 的系数相同)(2) 与直线Ax + By + C = 0垂直的直线设为： (x,y 的系数换位置，添负号)4.两种特殊的直线：过点P(x O , y O )垂直于 x 轴的直线为，过点P(x O , y O )垂直于y 轴的直线为 x 轴的直线方程为 , y 轴的直线方程为5.直线方程的一般式化为斜截式：Ax + By + C = 0①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式： .6.求平行线间的距离时，一定要把 x ,y 的系数相同，且为一般式7.求线段 A B 的垂直平分线的步骤:(1)求中点M 的坐标.(2)求直线 A B 的斜率.(3)1 lAB kk =-(4)用点斜式写出方程.(5)结果化成一般式1.求过点与已知直线平行的直线2. 求过点与已知直线平行的直线3.求线段的垂直平分线4.平行线间的距离一．选择题：本大题共18小题，每小题4 分，满分72 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组直线中，互相平行的是（）A.x − y + 1 = 0与x + y = 0B.2x + y + 3 = 0与2x− y=0C.y =23x – 5与y =32x + 3 D.y = 2x + 1与y=2x −12.已知直线x − 2y + 1 = 0，则下列四条直线中与已知直线垂直的是（）A.2x + y + 1 = 0B.x + 2y + 3 = 0C. 2x − y + 1 = 0D. x − 2y + 3 = 03. 已知直线l 1: 2y = x ,直线l 2: y + 2x + 1 = 0,则l 1与l 2的位置关系是( )A.相交不垂直B.相交且垂直C.平行不重合D.重合4. 如果直线y = 3x 与直线y = −mx +1平行，那么m 的值为( )A.−3B.- 13C. 13D.35. 经过点(1, −1)且与直线2x − y + 5 = 0平行的直线方程是() A.x + 2y + 1 = 0 B.x + 2y − 3 = 0C.2x − y − 3 = 0D.2x − y + 6 = 06. 若直线l 1: 3x − y − 7 = 0与l 2: ax + 2y − 1 = 0垂直,则a=（）A. 32B. -32 C. 23 D . -237. 已知直线l 过点P(1, −1),并且与直线x + 3y − 1 = 0垂直，则直线l 的方程是( )A. 11(1)3y x +=--B. 11(1)3y x -=-+23C. 13(1)y x -=+− 3，32 D. 13(1)y x +=-8. 经过点(1, −1)且与直线2x − y + 3 = 0垂直的直线方程是( ) 、A.x + 2y + 2 = 0B.x + 2y = 0C.x − 2y − 3 = 0D.x + 2y + 1 = 09. 直线x − y + 6 = 0与直线x + y = 0的交点坐标为 ( )A.(−3,3)B.(3, −3)C.(4,2)D.(3,3)10. 两平行直线3x + 4y − 12 = 0和6x + 8y + 6 = 0之间的距离是( )A.18B.9C.6D.311. 已知过点P(−1,2)的直线l 1与直线l 2: x + y = 0垂直,垂足为点M,则点M 的坐标为（） A. (−32,32) B. (−23,23)C. (−1,1)D. (−2,2)12. 已知点A (−1,4)， B (5,2)，则AB 的垂直平分线是（）A.3x − y − 3 = 0B.3x + y − 9 = 0C.3x − y − 10 = 0D.3x + y − 8 = 013. 若两条直线l 2: x + 2y − 6 = 0与l 1: x + ay − 7 = 0平行，则l 1与l 2间的距离是()A. B.C. 2D. 514. 以点P (1,3), Q(−5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为（）A.12x + y + 2 = 0B.3x + y + 4 = 0C.3x − y + 8 = 0D. 2x − y − 2 = 015. 已知直线l1: x + 2y − 5 = 0, l2: 2x + y + 2 = 0，则直线l1与直线l2及x 轴所围成的三角形面积是（）A.12B.18C.24D.3016. 经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝017.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－318.直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则a＝()A．－1B．2C．－1或2D．0或1二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28 分.19.如果直线2x − y − 3 = 0和直线kx + 2y − 2 = 0垂直，那么k 的值是__ __..20. 经过点M(−1,0)，且与直线x + y = 1垂直的直线的方程为_ __.21. 已知点A(1,3)和点B(3, −1)，则线段AB 的垂直平分线方程是__ __.22.过直线2x + y − 3 = 0和直线x − 2y + 1 = 0的交点，且斜率为−1的直线的一般式方程为__ __.，则线段AB 的垂直平分线在y轴上的截距为__ _ .24.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l 的方程为__ __．25.已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为__ .专题24 直线的方程(参考答案)1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况．(1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．(2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．2.两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．3.(1) 与直线Ax + By + C = 0平行的直线设为：Ax + By + m = 0(x,y 的系数相同)(2) 与直线Ax + By + C = 0垂直的直线设为：Bx − Ay + m = 0(x,y 的系数换位置，添负号)4.两种特殊的直线：过点P(x O , y O )垂直于 x 轴的直线为x = x O ，过点P(x O , y O )垂直于y 轴的直线为y = y Ox 轴的直线方程为 y =0, y 轴的直线方程为 x =05.直线方程的一般式化为斜截式：Ax + By + C = 0①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. 6.求平行线间的距离时，一定要把 x ,y 的系数相同，且为一般式7.求线段 A B 的垂直平分线的步骤:(1)求中点M 的坐标.(2)求直线 A B 的斜率.(3)1l AB k k =- (4)用点斜式写出方程.(5)结果化成一般式。

高考数学---两条直线的位置关系PPT复习课件

的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C ＝0的距离平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By ＋C2＝0间的距离
|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
d＝
|C1－C2| A2＋B2
33
本例题也可通过对称直线和原直线平行，设出所求直线，然后利用点M到两直线的距离相等求解．
34
轴对称问题(关于直线对称)
轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
A×x1＋2 x2＋B×y1＋2 y2＋C＝0，由方程组 yx22－－yx11×－AB＝－1，
41
1.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝
0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程
为
．
42
6x－y－6＝0 [设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以
a－b－－43＝－1，－32＋a－b＋2 4＋3＝0，
16
已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
17
[解] (1)由题意得m2m2－－8m＋－n1＝＝00，，解得mn＝＝71.，即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)． (2)∵l1∥l2，∴m2 ＝m8 ≠－n1 解得mn≠＝－4，2，或mn≠＝2－. 4，即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.

解析几何复习系列之三(两直线的位置关系)

两直线的位置关系【复习要点】1、两条直线的夹角θ： ①直线1l ：1110a x b y c ++=，2l ：2220a x b y c ++=（11,a b 不能同时为0，22,a b 不能同时为0）cos θ=②当两条直线的斜率都存在时，且分别为1k 、2k （121k k ⋅=-） 1212tan 1k k θk k -=+ 2、判断两直线是否平行或垂直时，①若两直线的斜率都存在且不重合，设1l ：11y k x b =+，2l ：22y k x b =+，则1l //2l 12k k ⇔=；12l l ⊥121k k ⇔⋅=-②对于直线1l ：1110a x b y c ++=，2l ：2220a x b y c ++=（1110a b c ≠，2220a b c ≠）则1l //2l ⇔111222a b c a b c =≠；1212120l l a a bb ⊥⇔+=； 1l 与2l 相交⇔1122a b a b ≠；1l 与2l 重合⇔111222a b c a b c == 3、点到直线的距离：①已知一点00(,)P x y 与一条直线l ：0ax by c ++=，则点P 到直线l的距离为d = ②两条平行直线1l ：10ax by c ++=与2l ：20ax by c ++=之间的距离为d =. 【强化训练】 1、如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则实数a =2、已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为3、已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 的值是4、点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为5、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为6、若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________.7、平行于直线20,x y --=且与它的距离为的直线方程是8、“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的 ( )条件（A ）充分必要条（B ）充分而不必要（C ）必要而不充分（D ）既不充分也不必要9、若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤7510、经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程为 .11、直线3210x y -+=与直线0x y -=的夹角大小为12、直线2310x y ++=与直线50x +=的夹角大小为13、若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为14、直线1l 过点(3,0)A ，直线2l 过点(0,4)B ，且1l //2l ，它们之间的距离为d ，则d 的取值范围是15、求经过点(2,1)P ，且与直线5230x y ++=的夹角为45 的直线方程.16、已知直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=，若12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-，求实数m ，n 的值.。

高考数学(理科)复习第八单元第42讲两直线的位置关系

(4)易知最小值就是由该点向直线所作的垂线段的
长,即点到直线的距离.
课前双基巩固
2.[教材改编] 直线 2x+2y+1=0 与直线 x+y+2=0 之
间的距离是
.
[答案]
32 4
[解析] 先将 2x+2y+1=0 化为
x+y+12=0,则两平行线间的距离 d=|2-212|=342.
课前双基巩固
即 4x+3y-6=0.
方法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点,∴设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l⊥l3,∴ 3(1+λ)-4(λ-2)=0,解得 λ=11,∴直线 l 的方程为 12x+9y-18=0,
即 4x+3y-6=0.
直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程
是
.
[答案] x-y+3=0
[解析] 易知圆 x2+(y-3)2=4 的圆心坐标为 (0,3),直线 x+y+1=0 的斜率为-1,则所求直线的斜率为 1,所以所求直线的方程为 y=x+3, 即 x-y+3=0.
课前双基巩固
5.光线沿直线 y=2x+1 射到直线 y=x 上,被 y=x 反射后
l(不包括直线
3x+2y-5=0)恒过定点 A(1,1).又|PA|= (-2-1)2 + (-1-1)2= 13,
且|3×(-2)3+22+×2(2-1)-5|= 13,即 PA 与直线 3x+2y-5=0 垂直,所以点 P 到直线 l 的距离 d∈[0, 13).故选 A.(2)由直线 m 与直线 l 平

专题两条直线的位置关系(知识点串讲)(学生版)

专题05两条直线的位置关系重难突破知识点一对顶角、邻补角、互余、互补1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．2、对顶角两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．如图1∠和3∠是对顶角；2∠和4∠是对顶角对顶角的性质：对顶角相等．注意：①形成对顶角的前提条件是两条直线相交。

对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系；②对顶角必须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延长线．③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．3、邻补角两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图，1∠和2∠有公共顶点O ，有一条公共边OC ，OA 与OB 互为反向延长线，所以1∠和2∠互为邻补角；4、余角和补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．（2）性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．典例1（2021春•福田区校级月考）下列四个图形中，1∠是对顶角的是()∠与2A．B．C．D．典例2（2020春•南山区期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OE为DOB∠∠=︒，则DOEAOC∠的角平分线，若54的度数为()A．25︒B．26︒C．27︒D．28︒典例3（2020春•高明区期末）如图，直线AB CD⊥于点O，EF为过点O的一条直线，则1∠的关系中一定成立∠与2的是()A．互为邻补角B．互为补角C．互为对顶角D．互为余角知识点二垂直、垂线段最短1、垂直两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB 与CD 互相垂直，记作AB CD ⊥或（CD AB ⊥），读作“AB 垂直于CD ”，垂足为O ；注意：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况．2、垂线的性质平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条；②必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条；③点到直线的距离，一定是线段的长度，不是线段．典例1（2020春•揭阳期中）若点A 到直线l 的距离为7cm ，点B 到直线l 的距离为3cm ，则线段AB 的长度为()A ．10cmB ．4cmC ．10cm 或4cmD ．至少4cm典例2（2020•金平区一模）能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是()A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．垂线段最短D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直典例3（2020•南海区校级模拟）如图，CA AB ⊥，EA AD ⊥，已知45DAB ∠=︒，那么EAC ∠的大小是()A ．50︒B ．45︒C ．30︒D ．60︒巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2020春•五莲县期末）下列四个图中，1∠与2∠是对顶角的是()A ．B ．C ．D ．2．（2019•紫金县一模）如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，若1290∠+∠=︒，则BOC ∠的度数是()A ．100︒B ．115︒C ．135︒D ．145︒3．（2019春•光明区期末）如图，CO AB ⊥，垂足为O ，90DOE ∠=︒，下列结论不正确的是()A ．1290∠+∠=︒B ．2390∠+∠=︒C ．1390∠+∠=︒D ．3490∠+∠=︒4．（2020春•济阳区期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分EOC∠的∠=︒，则BOEEOC∠，100大小为()A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒5．（2020秋•长春期末）如图，AC BCAC=，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可⊥，4能是()A．3.5B．4.5C．5D．5.56．（2021春•历下区期中）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB CD⊥，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是()A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线7．（2020春•南海区期末）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是()A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短8．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分AOC∠=︒，则CON∠的度数为BOD⊥．若70∠，ON OM()A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒二、填空题（共5小题）9．（2021春•福田区校级期中）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是（用字母表示）．10．（2019春•杏花岭区校级期中）如图，直线a与直线b相交于点O，231∠=∠，2∠=．11．（2021春•南海区校级期中）如图，E是直线CA上一点，40⊥，∠，GE EF∠=︒，射线EB平分CEFFEA则GEB∠=︒．12．（2020春•金山区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，40⊥，则DOE∠的∠=︒，过点O作EO ABAOC度数为．13．（2021春•金牛区校级月考）已知A∠的大小∠的3倍少20︒，则A∠与的B∠比B∠两边分别垂直，且A是．三、解答题（共2小题）14．（2021春•简阳市月考）如图所示，直线AB、CD相交O，OE AB∠=∠，求BOD∠DOE COE⊥于O，且3的度数和AOD∠的度数．15．（2020秋•砚山县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，90∠=︒．AOM（1）如图1，若OC平分AOM∠的度数；∠，求AOD（2）如图2，若4∠的度数．∠，求MONBOC NOB∠=∠，且OM平分NOC。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解61---两条直线的位置关系

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第61讲两条直线的位置关系考向预测核心素养一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，大部分都是客观题.直观想象、数学运算一、知识梳理1．两条直线的平行与垂直 (1)两条直线平行若l 1∥l 2，则l 1与l 2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k 1＝k 2.因此，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2．(2)两条直线垂直设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，k 1)，b ＝(1，k 2)，于是l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔1×1＋k 1k 2＝0，即k 1k 2＝－1.也就是说，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．2．两条直线的交点坐标已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则交点P 的坐标是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离点点距点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2常用结论1．两个充要条件(1)两条直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(2)两条直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.2．三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B 1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．四种常用对称关系(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T8(3)改编)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A ．x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析：选D.依题意得直线l 的斜率为1，又直线l 过点(0，3)，所以直线l 的方程为y －3＝1×(x －0)，即x －y ＋3＝0.2．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 9改编)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 答案：－93．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 7改编)两条平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－（－10）|22＋32＝21313. 答案：21313一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(忽略两直线平行的充要条件致误)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2 B.－3 C ．2或－3D.－2或－3解析：选 C.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或m ＝－3.故选C. 2．(距离公式使用不当致误)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A.235B.2310C ．7D.72解析：选D.由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0 可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.3．(忽略两直线垂直的充要条件致误)已知直线l 1：ax ＋y －4＝0和l 2：2x ＋ay ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________．解析：因为l 1⊥l 2，则2a ＋a ＝0，所以a ＝0. 答案：04．(位置关系考虑不周全致误)已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．解析：由点到直线的距离公式可得|3a ＋2＋1|a 2＋1＝|－a ＋4＋1|a 2＋1，解得a ＝12或a ＝－4. 答案：12或－4考点一两条直线的位置关系(自主练透)复习指导：能根据斜率判定两条直线的位置关系．1．(多选)(链接常用结论1)(2022·重庆调研)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3B ．若l 1∥l 2，则m ＝3C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12解析：选BD.若直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错误，B 正确；若l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，解得m ＝12，C 错误，D 正确．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D.2x ＋3y －1＝0解析：选A.因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.3．已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23，43C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫43，－23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23解析：选D.由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23.4．(多选)(2022·葫芦岛协作校高二考试)已知A (1，2)，B (－3，4)，C (－2，0)，则( )A ．直线x －y ＝0与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135°C ．△ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为y ＝2D ．△ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为x －4y ＋7＝0 解析：选BCD.如图，因为k OA ＝2>1，k OB <0，所以直线x －y ＝0与线段AB 无公共点，A 错误；因为k AB ＝4－2－3－1＝－12>－1，所以直线AB 的倾斜角大于135°，B 正确；因为线段BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，2，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＝2，C 正确；因为k BC ＝4－3＋2＝－4，所以BC 上的高所在直线的方程为y －2＝14(x －1)，即x －4y ＋7＝0，D 正确．(1)两条直线平行、垂直的判断方法若已知两条直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等． ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意：〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．〈2〉注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．考点二两条直线的交点与距离问题(多维探究)复习指导：1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．角度1 两条直线的交点(1)对于任给的实数m ，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(9，－4) B.(－9，－4) C ．(9，4)D.(－9，4)(2)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线的方程为__________________．【解析】 (1)(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5即为m (x ＋2y －1)＋(－x －y ＋5)＝0，故此直线过直线x ＋2y －1＝0和－x －y ＋5＝0的交点．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0得定点的坐标为(9，－4)．(2)由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79.因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.【答案】 (1)A (2)4x －3y ＋9＝0 角度2 距离问题已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．【解】 (1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2.所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝|PA |＝10.若将本例变为：直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点且到点A (1，0)和点B (3，4)的距离相等，求直线l 的方程．解：由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0解得交点坐标为(2，1)．当AB ∥l 时，又k AB ＝2，所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)即2x －y －3＝0，当l 过AB 中点时，又AB 的中点为(2，2)．所以直线l 的方程为x ＝2.利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要先把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等再利用距离公式求解．|跟踪训练|1．(多选)已知直线l 1：2x ＋3y －1＝0和l 2：4x ＋6y －9＝0，若直线l 到直线l 1的距离与到直线l 2的距离之比为1∶2，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －8＝0 B.4x ＋6y ＋5＝0 C ．6x ＋9y －10＝0 D.12x ＋18y －13＝0解析：选BD.设直线l ：4x ＋6y ＋m ＝0，m ≠－2且m ≠－9，直线l 到直线l 1和l 2的距离分别为d 1，d 2，由题知：d 1＝|m ＋2|16＋36，d 2＝|m ＋9|16＋36，因为d 1d 2＝12，所以2|m ＋2|16＋36＝|m ＋9|16＋36，即2|m ＋2|＝|m ＋9|，解得m ＝5或m ＝－133，即直线l 为4x ＋6y ＋5＝0或12x＋18y －13＝0.2．(多选)(2022·北京昌平区一中上学期期中)点(0，1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离可能为( )A ．0 B.1 C. 2D. 3解析：选ABC.直线y ＝k ()x ＋1过点()－1，0，所以()0，1到直线y ＝k ()x ＋1的距离的最大值为()－1－02＋()0－12＝ 2.3．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两条直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.答案：2910考点三对称问题(思维发散)复习指导：对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直．(链接常用结论3)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，所以M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.在本例条件下，求直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程解题．|跟踪训练|如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3 B.6 C.210D.2 5解析：选C.直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.[A 基础达标]1．(2022·哈师大附中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0, l 2：x ＋ay ＋2＝0, 其中a ∈R, 则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的()A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋(a ＋2)a ＝0，所以a (a ＋3)＝0，所以a ＝0或a ＝－3 .故选A.2．(2022·广州期末)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是()A ．－6＜k ＜－2 B.－5＜k ＜－3 C ．k ＜－6D.k ＞－2解析：选A.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎨⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2.因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以⎩⎨⎧k ＋6＞0，k ＋2＜0，解得－6＜k ＜－2.3．已知直线l ：ax ＋by ＋c ＝0与直线l ′关于直线x ＋y ＝0对称，则l ′的方程为()A ．bx ＋ay －c ＝0 B.ay －bx －c ＝0 C ．ay ＋bx ＋c ＝0 D.ay －bx ＋c ＝0解析：选A.在l 的方程中以－x 代替y ，以－y 代替x ，即得l ′的方程．直线ax ＋by ＋c ＝0关于直线x ＋y ＝0对称的直线l ′的方程是a (－y )＋b (－x )＋c ＝0，即bx ＋ay －c ＝0.4．(2022·亳州市质量检测)若动点M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2分别在直线x ＋y ＋7＝0与直线x ＋y ＋5＝0上移动，则MN 的中点P 到原点距离的最小值为()A ．2 3 B.3 3 C.3 2D.2 2解析：选C.由题意知，MN 的中点P 的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为x ＋y ＋6＝0，所以P 到原点的距离的最小值为d ＝612＋12＝3 2. 5．(多选)(2022·宜昌市夷陵中学检测)已知直线l 的一个方向向量为u ＝(－36，12)，且l 经过点()1，－2，则下列结论中正确的是() A ．l 的倾斜角等于150° B ．l 在x 轴上的截距等于233C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0垂直D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0平行解析：选CD.因为直线l 的一个方向向量为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，12，所以直线l 的斜率为k ＝12－36＝－3，设直线的倾斜角为α(α∈[0°，180°))，则tan α＝－3，所以α＝120°，所以A错误；因为l经过点()1，－2，所以直线l的方程为y＋2＝－3(x－1)，令y＝0，则x＝－233＋1，所以l在x轴上的截距为－233＋1，所以B错误；因为直线3x－3y＋2＝0的斜率为33，直线l的斜率为－3，所以－3×33＝－1，所以l与直线3x－3y＋2＝0垂直，所以C正确；因为直线3x＋y＋2＝0的斜率为－3，直线l的斜率也为－3，且两直线截距不相等，故两直线平行，所以D正确．6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x－3y＋4－45(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝07．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为________．解析：因为点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即最小值为d＝|2－2＋5|22＋12＝ 5.所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为 5.答案： 58．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0和l2：2x＋(a－1)y＋a＝0，则原点到l1的距离的最大值是________；若l1∥l2，则a＝________．解析：直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0，则直线过定点A(－3，4)，当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1，此时原点到l1的距离的最大值为|OA|＝（－3）2＋42＝5.若a ＝0，则两直线方程为y －4＝0和2x －y ＝0，不满足直线平行；若a ＝1，则两直线方程为x ＋y －1＝0和2x ＋1＝0，不满足直线平行；当a ≠0且a ≠1时，若两直线平行，则a 2＝1a －1≠3a －4a ，由a 2＝1a －1得a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，a 2＝3a －4a，舍去，当a ＝－1时，a 2≠3a －4a，成立，即a ＝－1. 答案：5 －19．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. (2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以a b＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知四边形ABCD 为平行四边形，A (0，3)，B (4，1)，D 为边AB 的垂直平分线与x 轴的交点．(1)求点C 的坐标；(2)一条光线从点D 射出，经直线AB 反射，反射光线经过CD 的中点E ，求反射光线所在直线的方程．解：(1)如图，设AB 中点为M ，则M (2，2)，由AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，可知k MD ·k AB ＝－1，因为k AB ＝1－34－0＝－12，所以k MD ＝2，所以直线MD 的方程为y －2＝2(x －2)，即y ＝2x －2. 令y ＝0，则x ＝1，所以D 点的坐标为(1，0)．又因为四边形ABCD 为平行四边形，设C (a ，b )，因为＝，即(a －1，b )＝(4，－2)，所以a ＝5，b ＝－2，即点C 的坐标为(5，－2)．(2)由(1)知，直线AB 的方程为x ＋2y －6＝0，如图，设点D 关于直线AB 的对称点为D ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，m ＋12＋2·n2－6＝0，整理可得⎩⎨⎧2m －n －2＝0，m ＋2n －11＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝4，所以D ′(3，4)，又因为CD 的中点E 的坐标为E (3，－1)，因此，反射光线所在直线D ′E 的方程为x ＝3.[B 综合应用]11．(多选)(2022·重庆市永川景圣中学月考)下列说法正确的是() A ．过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0 B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2 C ．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角为60°D ．过点()－1，2且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＝0解析：选BD.过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0和y ＝2x ，A 错误；取x ＝0，y ＝－2，则直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，B 正确；直线3x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－3，倾斜角为120°，C 错误；垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程斜率为k ＝－2，过点()－1，2的直线方程为y ＝－2()x ＋1＋2＝－2x ，即2x ＋y ＝0，D 正确．12．(2022·山东省精英对抗赛)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为()A ．2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0 D.2x －3y －12＝0解析：选B.由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎨⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，所以N (－3，1)．设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)．则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)．所以所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选B.13．(2022·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有()A ．a ＝13，b ＝6B.a ＝－3，b ＝16C ．a ＝3，b ＝－16 D.a ＝－13，b ＝－6解析：选D.由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0，2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2，0)在直线y ＝－3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6，0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13.14．(2022·乳山市第一中学月考)从点A (2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在直线的方程为________．解析：点A ()2，3关于y 轴的对称点为()－2，3，由于入射光线与a ＝(8，4)平行，所以反射光线的斜率是－48＝－12，所以反射光线所在直线方程为y －3＝－12(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝0[C 素养提升]15．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．因为方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，所以⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明：过点P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，所以M 与Q 不可能重合，|PM |＝42，所以|PQ |<42，故所证成立． 16.如图所示，m ，n ，l 是三条公路，m 与n 是互相垂直的，它们在O 点相交，l 与m ，n 的交点分别是M ，N ，且|OM |＝4，|ON |＝8，工厂A 在公路n 上，|OA |＝2，工厂B 到m ，n 的距离分别为2，4.货车P 在公路l 上．(1)要把工厂A ，B 的物品装上货车P ，问：P 在什么位置时，搬运工走的路程最少？ (2)P 在什么位置时，工厂B 搬运工与工厂A 搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)解：以m ，n 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A (2，0)，B (－2，－4)，M (0，4)，N (－8，0)，故公路l 所在的直线方程为x －2y ＋8＝0.(1)P 在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA |＋|PB |的值最小时P 的位置．设点A 关于直线l 的对称点A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2×n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，所以A ′(－2，8)．又P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时等号成立，此时|PA |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点．联立⎩⎨⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以P (－2，3)．(2)由题意可知，原问题等价于求点P 的位置，使||PB |－|PA ||的值最大．A ，B 两点在直线的同侧，P 是直线上的点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时等号成立，此时||PB |－|PA ||取得最大值|AB |，点P 即为直线l 与直线AB 的交点．又直线AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎨⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10，所以P (12，10)．。

两条直线的位置关系(基础)知识讲解

两条直线的位置关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，在正方体中：（1）与线段AB平行的线段_________；（2）与线段AB相交的线段______；（3）与线段AB既不平行也不相交的线段______．【答案】（1）CD、A1B1、C1D1；（2）BC、B B1、A1A、AD；（2）A1D1、D1D、B1C1、CC1．【解析】（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．（2）与线段AB相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段．（3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段．【总结升华】考查平行线与相交线的定义．类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系．【答案与解析】解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠3＝∠1＝65°，同理，∠4＝∠2＝115°．综上得，∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．举一反三：【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．【答案】解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得3x+2x＝180°．解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°．答：这两个角的度数分别是108°，72°．类型三、垂线3．下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条．②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．③两直线相交，则交点叫垂足．④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠COE＝55°．则∠BOD的度数为().A．40°B．45°C．30°D．35°【答案】D【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE 的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．5.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。

两条直线的位置关系(复习课)课件

要点一
总结词
将两条直线的位置关系应用于实际问题中，进行解析和解答。
要点二
详细描述
在实际问题中，如建筑、工程、交通等领域，经常涉及到两条直线的位置关系。通过将实际问题转化为数学模型，利用几何知识和数学方法进行解析和解答，可以解决实际问题。例如，在建筑设计中，需要判断建筑物的立面是否与地面平行或垂直；在交通规划中，需要判断道路的走向是否与另一条道路相交或平行。
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详细描述：在解析几何中，两条直线与x轴的夹角是解决许多问题的重要参数，如求交点、判断平行等。
两条直线与y轴的夹角
总结词：角度计算详细描述：计算两条直线与y轴的夹角
，同样需要先确定直线的斜率，然后利用三角函数计算夹角。
总结词：性质分析
详细描述：分析两条直线与y轴夹角的大小关系，可以推断出两条直线的倾斜程度和方向。
总结词：应用实例
详细描述：在解析几何中，两条直线与y轴的夹角是解决许多问题的重要参数，如求交点、判断垂直等。
利用夹角判断两条直线的位置关系
总结词：平行与垂直的判断总结词：位置关系的性质
详细描述：根据两条直线与坐标轴的夹角，可以判断两条直线是平行、垂直还是相交。
详细描述：通过夹角判断位置关系时，需要考虑夹角的大小和方向，以及直线的斜率。
两条直线的位置关系( 复习课)ppt课件
目录
• 两条直线的位置关系概述 • 两条直线交点的问题 • 两条直线与坐标轴的夹角问题 • 两条直线的距离问题 • 综合应用题
01
两条直线的位置关系概述
平行与垂直的定义
平行
在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行。
垂直
两条直线相交形成的角为90度，则这两条直线垂直。

一轮复习：两条直线的位置关系

授课主题两条直线的位置关系教学目标1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．4．能运用数形结合的思想方法，体会用代数方法研究直线问题的基本思路和方法，将几何问题转化为代数问题来解决；反过来，某些代数问题也可转化为几何问题来解决．教学内容1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系2．三种距离3．常用的直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.题型一两直线的平行与垂直例1、已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2方法点拨：分类讨论法．答案 D解析若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.故选D.例2、已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．方法点拨：分类讨论法．答案 1或0解析 l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2. 综上可知，实数a 的值为1或0. 方法技巧研究两直线平行与垂直关系的解题策略1．已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.2．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．【冲关针对训练】1．(2018·宁夏银川九中模拟)已知b ＞0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3答案 B解析由已知两直线垂直，得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b ＞0，∴ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，∴(ab )min ＝2.故选B.2．(2017·西安模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．答案 25解析由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6ba≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 题型二两条直线相交及距离问题例3、(2018·福建厦门联考)“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件方法点拨：直接求满足条件的C 的取值再判定．答案 B解析点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.例4、已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．方法点拨：画出直线y ＝－12x ＋2，分析直线系y ＝kx ＋2k ＋1动态思考．答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4，0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ： Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【冲关针对训练】(2017·石家庄期末)设定点A (3,1)，B 是x 轴上的动点，C 是直线y ＝x 上的动点，则△ABC 周长的最小值是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D.10答案 B解析作出点A (3,1)关于y ＝x 的对称点A ′(1,3)，关于x 轴的对称点A ″(3，－1)，连接A ′A ″，交直线y ＝x 于点C ，交x 轴于点B ，则AC ＝A ′C ，AB ＝A ″B ，∴△ABC 周长的最小值为|A ′A ″|＝(1－3)2＋(3＋1)2＝2 5.故选B.1.(2018·山西长治模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2019π2－2α的值为( )A.45 B ．－45C ．2D ．－12答案 B解析由题意知tan α＝2，又α∈[0，π)，∴sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫2019π2－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2α＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－45，故选B.2．(2017·天山期末)直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，则过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋3y －2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y ＋2＝0答案 A解析 ∵直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)， ∴把P (2,3)代入两直线得2a 1＋3b 1＝2和2a 2＋3b 2＝2，过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＝2即2x ＋3y －2＝0，故选A.3．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案－3解析 ∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.(经检验满足题意)．∴a ＋b ＝－3.4．(2017·山西太原质检)光线从A (－4，－2)点射出，射到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.一、选择题1．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案 C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.2．(2017·清城一模)已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为P (1，p )，则m －n ＋p 的值是( )A ．24B ．20C ．0D ．－4答案 B解析 ∵直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，∴m －4×25＝－1，∴m ＝10，直线mx ＋4y －2＝0即5x ＋2y －1＝0，垂足(1，p )代入得，5＋2p －1＝0，∴p ＝－2. 把P (1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，可得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20，故选B.3．过点P (1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)． (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)． 16．(2018·深圳质检)如图所示，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．解 (1)证明：设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0>0)，则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1，即|PM |·|PN |为定值． (2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋12x 0. 所以|OM |＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0. 连接OP ，S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋12·1x 0·2⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.17．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.18．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P .(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.方法与技巧1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意． 2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．失误与防范1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑． 2．在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．1． (2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件．2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 答案 A解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D解析设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直．5. 如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5答案 A解析由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6． (2013·天津)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．－12B ．1C ．2 D.12答案 C解析圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上， ∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直． ∴k OP ＝2－02－1＝2，又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直． ∴a ＝k OP ＝2，选C.7．已知直线l 1：y ＝x sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，则直线l 1与l 2()A ．通过平移可以重合B ．可能垂直C ．可能与x 轴围成等腰直角三角形D ．通过绕l 1上某一点旋转可以重合答案 D解析 l 1的斜率sin α∈[－1,1]，l 2的斜率为2，积可能为－1，即两直线可能垂直，斜率不可能相等，所以必相交，l 1绕交点旋转可与l 2重合．8．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为 ( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析原点O 到直线l 的距离d ＝|m ×0＋n ×0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2＝3，∴m2＋n 2＝13，在直线l 的方程中，令y ＝0可得x ＝1m，即直线l 与x 轴交于点A (1m ，0)，令x ＝0可得y ＝1n ，即直线l 与y 轴交于点B (0，1n)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·1|m |·1|n |＝12|m |·|n |≥1m 2＋n 2＝3，当且仅当|m |＝|n |时上式取等号，由于m 2＋n 2＝13，故当m 2＝n 2＝16时，△AOB 面积取最小值3.9．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值 |PQ |＝2－02＋1＋32＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.10． (2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.① 又k BD ＝5－－11－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．11．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 35解析由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.12．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________．答案 ①⑤解析两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．13．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案345解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35n ＝315，故m ＋n ＝345.14．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.15．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x－2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.16．如图，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值． (1)证明设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0 (x 0>0)．则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1. (2)解直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋22x 0， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.。

两条直线的位置关系知识点及题型归纳

两条直线的位置关系知识点及题型归纳
知识点精讲
一、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表9-1所示.
两直线方程
平行
垂直
(斜率存在)
(斜率不存在)
或
或中有一个为0，另一个不存在.
二、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为 .
特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
简证：首先易知：若直线l关于直线对称的直线是，则经过它们的交点（假定相交）且垂直于的直线也是l与的同，故只证的情形.
然后把每条直线都平移至过原点O，所得直线分别为，且
不妨在直线上取异于O的点，则关于对称的点为
故，所以，得证.
变式1 （1）求点P(4,5)关于点M(3,-2)对称的点Q的坐标；
2.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行，则a=( )
A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-3
3.直线y=3x绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得直线（）
A. B. C. D.
4.设a,b,c分别是中角A,B,C所对边的边长，则直线与的位置关系是（）
A. B.6C. D.
变式2 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P（如图9-9所示）.若光线QR经过的重心，则AP等于（）
A.2B.1C. D.
有效训练题
1.若直线ax+2y+6=0和直线垂直，则a的值为（）
A. B.0C. 或0D.-3
2．点到直线的距离
点到直线的距离

两直线的位置关系-高中数学总复习课件

直的充要条件是 A 1 A 2＋ B 1 B 2＝0；
（2）直线 l 1： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1＝0与直线 l 2： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2＝0平
行或重合的充要条件是 A 1 B 2－ A 2 B 1＝0.
目录
高中总复习·数学
3. 与对称问题相关的六个结论
（1）点（ x ， y ）关于原点（0，0）的对称点为（－ x ，－ y ）；
无解；
（2）相交⇔方程组有
（3）平行⇔方程组
（4）重合⇔方程组有
⁠
无数个解 .
⁠
目录
高中总复习·数学
3. 三种距离公式
（2 − 1 ）2 ＋（2 − 1 ）2
（2）点到直线的距离公式：点 P 0（ x 0， y 0）到直线 l ： Ax ＋ By ＋
｜0 ＋0 ＋｜
2 ＋2
目录
高中总复习·数学
2. 已知直线 l 1： ax ＋2 y －1＝0，直线 l 2：8 x ＋ ay ＋2－ a ＝0，当 l 1∥
l 2时， a ＝－4 .
⁠
解析：因为 l 1∥ l 2，由结论2得 a ·a －2×8＝0，解得 a ＝±4.当 a ＝4
时，直线 l 1：4 x ＋2 y －1＝0，直线 l 2：8 x ＋4 y －2＝0，即4 x ＋2 y
C ＝0的距离 d ＝
；
⁠
提醒
利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为
一般式.
目录
高中总复习·数学
（3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线 Ax ＋ By ＋ C 1＝0
｜1 −2 ｜
2 ＋2
与 Ax ＋ By ＋ C 2＝0间的距离 d ＝

两条直线的位置关系(含答案)

两直线的位置关系【知识清单】：1．两条直线位置关系的判定（1）易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．（2）比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．2．两条直线的交点的求法：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B2y ＋C 2＝0的解．3．距离注意：运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．【考点突破】：考点一两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)1．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D 由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2，故选D.2．(2016·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.考点二距离问题(重点保分型考点——师生共研)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2016·绵阳一诊)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95B ．185 C ．2910D ．295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.考点三对称问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：角度一：点关于点的对称问题1．(2016·蚌埠期末)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 为( ) A ．(1,6) B ．(6,1) C ．(1，－6)D ．(－1,6)解析：选D 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧3＋x2＝1，2＋y2＝4，∴x ＝－1，y ＝6，∴M (－1,6)．角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]：1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快[小题纠偏]1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．1710B ．175C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2解析：选C 法一：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D.法二：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5. 3．平行线3x ＋4y －9＝0和6x ＋8y ＋2＝0的距离是( ) A ．85B ．2C ．115D ．75解析：选B 依题意得，所求的距离等于|－18－2|62＋82＝2.4．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D 设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.5．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·大连二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝( ) A ．－7或－1 B ．－7 C ．7或1D ．－1解析：选B 由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)． 3．(2016·宜春统考)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.4．(2015·合肥一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0.6．(2015·成都检测三)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1. 答案：17．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－798．(2016·江西八校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为 y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A ．24，14B ．2，22C ．2，12D ．22，12解析：选D 依题意得|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c ≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，22×12＝12.2．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.【拓展延伸】：1、设a 、b 、c 分别是ABC ∆中角A 、B 、C 的对边的长，则直线sin y+c=0A x a + 与直线sin y+sinC=0bx B - 的位置关系为2、在平面直角系xoy 中，已知圆C ：222(62)4560x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,0) .若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为 . 3、（1）如果直线+2y+2=0ax 与直线3y 2=0x -- 平行，则a = . （2）直线1+ay+6=0l x ：与直线2:(2)3y+2=0l a x a -+ 平行，则a = ．（3）已知直线1+2ay 1=0l x -：与直线2:(31)y 1=0l a x a --- 平行，则a = . 4、（1）若直线m +y=0x 与直线+2y+1=0x 互相垂直，则m =（2）直线1+y =0l x a a -：与直线2:(23)y 1=0l ax a ---垂直，则a = ． 5、已知m 为实数，直线1m +y+3=0l x ：与直线2:(3m 2)+my+2=0l x -，则：（1）当12l l 时，m 的值为；（2）当12l l ⊥时，m 的值为6、求过点A （2,3），分别满足下列条件的直线的方程：（1）与直线2+y 5=0x -平行；（2）与直线2+y 5=0x -垂直7、（1）已知直线l 与直线+3y 5=0m x -：2平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线l 方程.（2）求与直线5+3y 1=0x -垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程.8、（1）两条直线13y 15=0l x --：与直线2:3y 6=0l kx --与两坐标轴正向围成的四边形有一个外接圆，则实数k 的值为（2）若点A （-1,1）在直线p y+4=0x q +m:上，且直线m 与直线n :(p 1)y+q=0x -+互相垂直，当p 、q 同号时，求直线m 的方程.。