自发跃迁和感应跃迁

���������(���1)′(t)
=
1 ������ħ
‫׬‬0������
H’abCb’(0)������������(������0−ωl)������′dt’
=
−1 ħ
ħωƖ
������ε
������ҧ������
������������ + 1 ���������������������(������0���−0ω−ωl ���l���)−1sinklz
������0 ������������ +
������, ������������ > = ������������ 1 > = [ ������������ +
+ ħωƖ������������ ħωƖ(������������ +
������, ������������ > 1 ] ������, ������������
其中
H’ab = <a,nl| H’ |b, nl+1> H’ba = <b, nl+1| H’ |a,nl>
将(7)式代入上式，得到：
H’ab = -i
ħωƖ
������ε
������ҧ������
������������ + 1
sinklz
H’ba = i
ħωƖ
������ε
������ҧ������
+
1
>
(4)
其中Ea、Eb分别是能量本征态|a>、|b>的能量本征值，在电偶极矩近似下：
→→
H’ = eE∙ R
(5)
3
若单模辐射场是沿y方向的平面波，则其量子形式为：
Ely(z,t) = -i
ħωƖ
������ε
���������+��� − ������������ ������������������������������������
自发跃迁和感应跃迁
光的吸收与辐射现象
光的吸收：
在光的照射下，原子中的电子吸收光子，从低能级跃迁到高能级
光的受激辐射：
电子自高能态受到光的激发而跃迁到低能态，同时发射与激发光的相位、 偏振方向和传播方向相同的光。
光的自发辐射：
在没有外界因素的作用下，电子自高能态自发地跃迁到低能态， 同时发射出光的现象。
������
������������������2������������������
(15)
(16) 7
单位时间的跃迁几率，即跃迁速率，应等于(16)式对时间的导数，将从 |b,nl+1>跃迁入a,nl>的速率记为Wb-a，则：
Wb-a
=
������ ������������
|
���������(���1)(t)
(8)
4
用左失<a,nl|和<b,nl+1|分别乘以上式，并利用(4)式，得到：
Ċ������ ������ = ���1���ħ[( Ea + nlħωl )Ca(t) + H’abCb(t)] Ċ������ ������ = ���1���ħ[( Eb + (nl+1)ħωl )Cb(t) + H’baCa(t)]
1
跃迁速率
以二能级原子与一个单模辐射场组成的一个系统为例
|a>
ħωƖ |b>
|nƖ+1>
ħωƖ |nƖ>
ħωƖ |nƖ -1>
图1 自发跃迁和感应跃迁过程中包含的原子能级（左）和 辐射模能级（右）
在系统与外界没有能量交换时，系统的能量本征态只能是：| a, nƖ> ; |b, nƖ+1>
一般情况下，系统的状态可以表示为能量本征态的线性叠加：
(21)
与讨论吸收过程类似，最后得到位于上能级|a>的原子，发射一个光子而跃迁到 下能级|b>的速率Wa-b为：
Wa-b
=
2������ ωƖ���ഥ���������2
ħ������ε
(nl+1)������
������0 − ωl
������������������2������������������
因此，在t时刻，原子处在上能级的几率，也就是吸收一个光子而跃入上
能级的几率为：
|���������(���1)′(t)|2
=|
���������(���1)(t)
|2
=Leabharlann Baidu
ωƖ���ഥ���������2
ħ������ε
(nl+1)4���������������(������2���120−������ω0−l)ω2 l
ħ
(12)
Cb(t)
=
Cb’(t)exp
−������ ������������+(������������+1)ħω������ ������
ħ
将(12)式代入(9)式，得到：
Ċ������′ ������ = ���1���ħH’abCb’(t)������������(������0−ωl)������
|φ> = Ca(t) | a, nƖ> + Cb(t) |b, nƖ+1>
(1)
2
系统的哈密顿算符H，应该等于场与原子单独存在时的哈密顿算符与它 们相互作用时哈密顿算符之和，因此：
H = H0 + H’
(2)
H0 = ħωƖNƖ + P2/2m + V
(3)
显然有：
ቊ������0
������,
|2
=
2ωƖ���ഥ���������2
ħ������ε
(nl+1)���������������������������0���−0−ωωl l
������
������������������2������������������
(17)
由于
lim
������→∞
������������������ ������0−ωl ������0−ωl
(6)
将(6)式代入(5)式，得：
H’ = -i������������
ħωƖ
������ε
���������+��� − ������������ ������������������������������������
(7)
Y是坐标算符。根据量子力学理论，原先处在能量本征态的系统，由于相互作用， 状态会发生改变，在薛定谔表象中，态矢的运动方程为：
������ = ������������
������0 − ωl
(18)
当t→ ∞时有：
Wb-a
=
2������ ωƖ���ഥ���������2
ħ������ε
(nl+1)������
������0 − ωl
������������������2������������������
(19)
上式表明，当电磁场的频率ωl等于原子频率������0时，吸收过程的跃迁速率最大
Ca(0) = Ca’(0) = 0
Cb(0) = Cb’(0) = 1
(14)
由于场与原子的相互作用，在此后的某一时刻，系统的状态将不再 处在|b,nl+1>，根据量子力学基本原理，展开系数绝对值的平方|Ca(t)|2， 就代表了t时刻原子吸收电磁场的一个光子而跃入|a,nl>态的几率。
这里利用迭代法求取(13)式得一阶解，再利用初始条件，得到：
i ħ ������������������|φ> = H|φ>
将(1)和(2)代入上式，得到：
i ħ Ċ������ ������ ������, ������������ > + Ċ������ ������ ������, ������������ + 1 = (H0 + H’) [������������(������) ������, ������������ > +������������ ������ ������, ������������ + 1]
(23)
9
������������ + 1
sinklz
(9)
(10) 5
其中������ҧ������是实数，而且：
������ҧ������ = -<a,nl|eY|b,nl+1> = -<b,nl+1|eY|a,nl>
(11)
为了简化方程式(9)，可令：
Ca(t)
=
Ca’(t)exp
−������ ������������+������������ħω������ ������
(22)
Wa-b
(spont)=
2������ ωƖ���ഥ���������2
ħ������ε
������
������0 − ωl
������������������2������������������
Wa-b (induced)= 2������ħω������εƖ���ഥ���������2nl������ ������0 − ωl ������������������2������������������
(13)
Ċ������′ ������ = ���1���ħH’baCa’(t)������−������(������0−ωl)������
现在，讨论跃迁几率问题，归结为在不同初始条件下，方程(13)的求 解问题
6
受激发射与自发发射
首先研究吸收过程。假设t=0时系统处于|b,nl+1>的状态， 初始条件为：
8
现研究初始条件，原子在电磁场作用下发射的过程。
Ca(0) = Ca’(0) = 1
Cb(0) = Cb’(0) = 0
(20)
将上式第一个条件代入式(13)式第二个方程，则：
���������(���1)′(t)
=
1 ħ
ħωƖ
������ε
������ҧ������
������������ + 1 ������−−���������������(������0���−0ω−ωl ���l���−) 1sinklz