数学建模--湖水的自我净化问题

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水环境数学模型

过水断面污染物输移率
FAuCAQC
• 断面A上污染物输移率为断面平均流速
和平均浓度及断面面积乘积，
分子扩散作用输移
– 扩散是由于物理量在空间上存在梯度使之在空间上趋于均化的物质迁移现象，
– 分子扩散：水中污染物由于分子的无规则运动,从高浓度区向低浓度区的运动过程，
– Fick 第一定律：分子扩散质量通量与扩散物质的浓度梯度成正比，
– 估算模型计算结果的偏差 – 有利于根据需要探讨建立高灵敏度或低灵敏度的模型 – 可以用来确定合理的设计裕量
• 环境系统的两种灵敏度分析
– 状态与目标对参数的灵敏度,即研究参数变化对状态变量和目标产生的影响，
– 目标对状态的灵敏度,即研究状态变量的变化对目标值产生的影响，
• 状态与目标对参数的灵敏度
吸附与解吸
• 吸附：水中溶解的污染物或胶状物,当与悬浮于
水中的泥沙等固相物质接触时,将被吸附在泥沙表面,并在适宜的条件下随泥沙一起沉入水底,使水的污染物浓度降低,起到净化作用;
• 解吸：被吸附的污染物质当水体条件流速、浓
度、PH 改变时,又溶于水中的过程，
• 吸附-解吸作用总的趋势：水体污染浓度减少
Ix 1 E m C x, Iy 1 E m C y, Iz1 E m C z
– 式中: I 分别表示 x ,y ,z方向上的污染物扩散通量； Em 为分子扩散系数m2/s,C是时均浓度，
紊动扩散作用输移
– 湍流扩散：湍流流场中质点的瞬时值相对于平均值的随机脉动导致的分散现象，
水环境模拟涉及主要问题
❖ 水流运动 ❖ 污染物在水中的迁移转化 ❖ 水体的耗氧和复氧过程 ❖ 河流水质模型 ❖ 湖泊与水库水质模型 ❖ 面源污染分析 ❖ 水污染控制系统规划

数学建模--湖水的自我净化问题

湖水的自我净化问题摘要本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型问题。

解决本问题需要用到微元法的思想，也就是在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve 函数解该微分方程，求得污染物浓度下降至原来的3%所需时间为440.4天。

本模型涉及到解微分方程，所以模型的应用很广泛，可以应用到动态分析问题中，利用该模型可以解决大量实际生活和生产问题。

关键词：微元法；微分方程；动态分析；Matlab一、问题重述1.1背景资料与条件有一容积为V （单位：3m ）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （单位：3/m d ）。

试建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型。

1.2需要解决的问题在湖的容积为35.176*10^12()m ，湖水更新速率为34.121*10^10(/)m d 的条件下，求污染终止后，污染物下降到原来的3%所需的时间。

二、基本假设2.1模型的假设1) 假设一：湖水保持体积V 不变。

2) 假设二：污染物始终均匀的分布在湖中。

（假设合理性见背景资料与条件。

）3) 假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。

（微元法思想）2.2本文引用数据、资料均真实可靠。

三、符号说明3.1模型的符号说明A:():w t t 时刻湖区的污染物浓度。

B:(0):w 表示初始时刻湖中水的污染浓度。

C: t 为污染源切断后湖水更新的时间(单位：天)。

四、模型的建立与求解4.1模型的建立从开始到t 天内湖水含污染物改变量为：由于流入湖中的水没有污染物，所以t 天内更新流出污染物量为：利用湖水污染物的变化量=流出湖水的污染量得：对t 求导得微分方程为：r t w dtt Vdw )()(-=, 变换后可得：()()dw t w t r dt V-=，然后利用Matlab 中dsolve 函数求解微分方程，代入()3%(0)w t w =求得时间t 。

数学建模湖水污染问题

湖水污染问题1121943 刘烁1121940 庄静1121946 刘蔚[摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。

人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。

湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。

所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。

湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。

通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。

通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。

下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

[关键字] 湖水污染微分方程模型一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.符合说明F：污染物浓度Z：倒入湖中的污染物总量D：处于某浓度的时间四.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

湖水污染问题的数学建模与求解

中国传媒大学2010 学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。

通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。

同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。

在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。

并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的3.15%（自然净化速率呈线性关系），4.7%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至0.001mol/l，然后给出整改建议。

一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。

PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。

10L，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。

现已知：Pristine湖的湖容量为15PCA公司声称河水污染浓度仅为0.001mol/L，自工厂以来没有改变过。

讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；（2）以目前湖水污染浓度0.03mol/L，和河水污染浓度0.05mol/L为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统2.1 模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀；（4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大；（5）湖内除Pure河外，无其他污染源；二三2.2 符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ；ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。

淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理数学建模论文

淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理摘要随着社会的的发展，越来越多的人加入到水产养殖行业，而其中池塘养殖产量约占淡水养殖的70%。

但是随着淡水生态系统水体污染和富营养化进程的加剧，经常导致有害蓝藻、轮虫等常见的浮游生物高密度发生，很容易诱发大面积水华。

水华造成严重的环境污染及水体污染，对养殖业是一个严重的打击。

本文主要采用了MATLAB程序中的相关系数分析，模糊综合评价，单侧检验等方法对淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理的相关问题进行了分析，建立相关模型。

针对问题一，首先将题目中要进行分析的量给找出来，同时将他们运用MATLAB进行相关系数分析，在此基础上分析水体、底泥与间隙水中常见主要理化因子之间的关系，并分析原因。

分析水体、底泥与间隙水中常见主要理化因子之间的关系，并分析原因。

针对问题二，建立模糊综合评价。

首先，对数据指标进行归一化处理，并利用层次分析法和因子分析法确定各指标因素的权重，最后利用确定的权重，建立池塘水体质量的综合评价模型，对池塘水体质量进行分级。

针对问题三，建立单侧检验相关性模型。

首先，运用SPSS软件分析理化因子与水华发生的相关性；然后进一步分析，得出结论。

针对问题四，利用MATLAB建立鱼类生长周期体重模型，运用二次函数建立关于体重与生长周期的拟合方程。

建立浮游植物密度与时间的关系模型并得到图像。

针对问题五，通过网上查阅资料结合附件资料分析，可以得到有利于池水养殖池塘水体的自净化的方法，并据此提供建立生态养殖模式的方案。

关键词：单侧检验相关系数分析回归分析综合评价一、问题重述目前在我国水产养殖中，池塘养殖产量约占淡水养殖的70%。

近年来，随着淡水生态系统水体污染和富营养化进程的加剧，经常导致有害蓝藻、轮虫等常见的浮游生物高密度发生，很容易诱发大面积水华。

水华造成严重的环境污染及水体污染，对养殖业是一个严重的打击。

水华的发生不仅直接影响了养殖对象的正常生长发育，严重时大量排泄废水造成淡水资源污染，还会破坏养殖生态系统的平衡，导致养殖对象的不同程度死亡，造成巨大经济损失。

数学建模湖水污染

P0
⎛ f x1 A=⎜ ⎜ gx ⎝ 1
f x2 ⎞ ⎟ g x2 ⎟ ⎠
, q = det A
P1 稳定， P2 不稳定
d + r0 / V < c0 r2
r0 ⇒ <V c0 r2 − d
则 c0 越小，V 越大
V1 − c1，b1 (输入), r1;V2 − c2，b2 (输出)
⎧ dc1 Q ⎪ dt = V (c0 − c1 ) − r1b1c1 ⎪ 1 ⎨ ⎪ db1 = b ( r c − d − Q ) 1 2 1 ⎪ dt V1 ⎩
有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓度成正比。
[b( t + Δt ) − b( t )]V = r2 c ( t )b( t )V − b( t )Vd − r0 ( t )b( t ) − −( r1 = r0 ) Δt
[c( t + Δt ) − c( t )]V = c0 r1 ( t ) − cr0 ( t ) − rs b( t )c ( t )V Δt
p1 ( t ) = K 0e − at 控制污染物的排放： dp 1 = − ( p( t ) − K 0e − at ) dt τ p( 0 ) = K 0
p( t ) = ( K 0 /(1 − aτ ))(e − at − aτ e − t / τ ) ⇒ lim p( t ) = 0 t →∞
t 时刻，
流入湖水的流速 r1 ( t ) 流入湖水的污染物的浓度 p1 ( t ) 流出湖水的流速 r0 ( t ) 流出湖水的污染物的浓度 p0 ( t ) 湖水的体积
V (t )
湖水的污染物的浓度 p( t )
[ p( t + Δt ) − p( t )]V = p1 ( t )r1 ( t ) − p0 ( t )r0 ( t ) Δt dp ⇒V = p1 ( t )r1 ( t ) − p0 ( t )r0 ( t ) = r0 ( t )( p1 ( t ) − p( t )) dt

[数学建模]湖水污染问题

湖水污染问题Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的废水排入河中,导致了Pristine湖被污染。

PCA公司声称:已排放的废水的标准多年从未改变且不会对湖的环境有影响。

假设：1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。

已知:Pristine湖的湖容量为l159.114l年。

PCA声1010，流入(流出)的水流速度为/称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。

问题：1.在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

2.派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为0.03 mol/l，再测得河水污染浓度为0.05 mol/l。

以新数据为依据考虑湖水污染问题的数学模型。

3.现在假设你是环保局的所聘请的高级顾问，请向你的雇主提交一份报告.内容包括:(1)在工厂停产(或半停产)条件下，湖水自然净化所需年限(净化指标为污染浓度不超过0.001 mol/l)；(2)为保护环境，对PCA进行整改的建议。

模型的建立1.假设1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。

假设1.2保证了湖的体积稳定，为V。

假设3保证了湖泊的中溶液是均一稳定的假设4保证了Pure河作为流入Pristine湖的唯一河流对Pristine湖中污染的决定性作用。

2.问题1由于PCA声称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。

我们姑且可以认为污染源的浓度为恒定的常量C。

通过生态环境物质守恒原理：积累量=输入量-输出量+生成量建立平衡过程模型由于假设湖内没有其他污染源，可以断定不存在生成量。

已知湖泊体积为V ，污染源的河水浓度为C ，流入和流出的体积为Vq ，湖泊内污染浓度为r （t ）则我们可以建立每年的污染积累量的模型：[r(n)-r(n-1)]V=CVq-r(a)Vq其中r(n)表示第n 年的湖泊污染浓度；n-1≤a ≤n ，r(a)表示在第n 年与第n-1年中的任意时刻的湖泊内污染浓度。

数学建模-湖水的自我净化问题

数学建模与数学实验课程设计学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师2015年6月湖水的自我净化问题摘要问题：本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型问题。

模型：解决本问题需要用到微元法建模。

方法：假设在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水中污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程。

结果：求得污染物浓度下降至原来的5%所需时间为398.3天。

一.问题重述1）背景资料与条件设一个容积为V （m 3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （m 3/天）。

试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。

2）需要解决的问题美国密西根湖的容积为4871⨯109（m 3），湖水的流量为 3.663 959 132⨯1010（m 3/天），求污染中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需要的时间。

二．模型假设1）假设一：湖水体积V 保持不变。

2）假设二：污染物始终均匀分布在湖中。

3）假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。

三．分析与建立模型1）符号说明w(t):t 时刻湖水中污染物的浓度。

w(0):表示初始时刻湖水中的污染物浓度。

t :表示污染源切断后湖水更新的时间（单位：天）。

2）分析2.1假设的合理性分析如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。

污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。

在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。

2.2模型的误差分析本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。

有关长江水质的数学建模

长江水质的评价和预测摘要本文对长江水质近两年污染情况进行建模分析，主要的处理方法如下：对于问题一：用主成分分析法得出影响长江各地区水质的主要因素是高锰酸盐指数和氨氮，通过各地区的综合的分得出湖北丹江口胡家岭水质最好，四川乐山岷江大桥、江西南昌、湖南岳阳水质较差。

对于问题二：建立一维水质模型（降解模型）/=C x Ce-()kx u得出各地区污染物的排放量，从而求得高锰酸盐指数的主要污染源是湖南岳阳、湖北宜昌、江西九江、重庆朱沱等地区；氨氮的主要污染源是：湖南云阳、江西九江、湖北宜昌、重庆朱沱等地区。

对于问题三：用GM(1,1)模型和ＢＰ神经网络分别预测长江未来十年污水排放量以及水文年干流河域各类水的河长比。

未来十年内污水的排放量（亿吨）如下表所示：未来十年水文年长江干流域四五类以及劣五类水的河长比例（具体数据见正文表7）呈现上升趋势，未来十年长江水质不容乐观。

对于问题四：采用了非线性回归和ＢＰ神经网络两种方法，在保证未来十年长江干流四类和五类水的含量控制在20%以内且没有劣五类水的情况下，分别预测得到每年应处理的污水量（亿吨）如下表所示：因为两个模型的侧重点不同，预测的结果有一定偏差，但通过观察两组数据，可以看出未来十年由于长江总体水质的恶化，处理的污水量逐年增加，符合未来长江的水质发展趋势。

关键词：主成分分析法，降解模型，GM(1,1)模型，BP神经网络，非线性回归问题重述长江是我国第一、世界第三的河流，流域面积约180万平方公里涉及青海、西藏、云南、四川、重庆、贵州、甘肃、湖北、湖南、江西、陕西、河南、广西、广东、安徽、江苏、上海、浙江、福建19省（自治区、直辖市）。

长江水质已呈现不断恶化的趋势。

专家分析认为，必须尽快加强长江水质保护，遏制水质恶化趋势，否则将带来难以挽回的损失。

据题意，本文要解决的问题有：1. 对长江近两年的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。

2. 研究分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的主要污染源的位置。

数学建模——精选推荐

问题重述设一容积为V（单位：3 m）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r（单位：3 m/天）。

试建立求污染物浓度下降至原来的5%需要多长时间的数学模型。

美国密西根湖的容积为9 487110 （3m）,湖水的流量为103.663959132 10 (3m/天)，求污染终止后，污染物下降到原来的5%所需的时间。

问题假设1、湖水的流量r一定，为常量；2、湖水的体积是不改变的；3、湖水的流入量和流出量相等且一直未变；4、流入湖水、流出湖水的污染物浓度均是常量；5、在t✞时刻流出湖水的污染物的浓度是不变的；符号说明X(t)：t时刻湖区的污染物浓度；t：时间，以天作单位；r：湖水更新的速率；V：湖水的容积；m：流入湖水中的污染浓度；X✞：t✞时间内湖水污染物浓度的变化量；X0：0时刻湖区的污染物浓度(0)X，即初始值。

问题分析在前假设条件的基础之上，湖水容量不变，仅有一个污染源，故我们可将湖泊作为一个封闭的生态系统，其简化的湖水被污染的动态过程为：污染物流入湖水，与湖水均匀混合，受污湖水进行自我净化，湖水输出湖泊。

本问题的实质就是要分析湖水污染物浓度的变化。

由于流入和流出的湖水浓度不同，且浓度的变化是动态的，故在考虑此问题时，运用质量守恒定律可知道，湖水污染浓度的变化量=流入湖水的污染量—流出湖水的污染量。

再根据微积分的知识可知，在适当短的时间段之内，通过建立微分方程，可以将连续的过程离散化，从而可得到湖水污染浓度与时间的关系表达式；运用MATLAB软件进行求解。

而在污染源被切断的情况，即湖水的污染浓度不再改变，即0m ，由问题给出污染物浓度下降到原来的5%的已知条件，可以求得所需的时间。

湖水污染问题水流的动态流程图：模型建立与求解建立湖水污染浓度随时间变化的微分方程模型：设t时刻湖区的污染物浓度为X(t)，考虑时间区间[t,t+△t],并利用质量守恒定律:△t时间内湖中污染浓度的变化量=流入湖水的污染量—流出湖水的污染量。

湖水治理数学模型

湖水治理数学模型
湖水治理数学模型是指利用数学方法和模型来研究和优化湖泊的水质、流动和污染物传输等问题，以实现湖水的治理和保护。

湖水治理数学模型可以包括以下方面的内容：
1. 水质模型：通过建立湖水水质的动力学模型，研究湖水中营养盐、溶解氧、悬浮物等物质的运输与转化规律，评估湖水的富营养化程度，为湖泊污染控制和水质改善提供科学依据。

2. 水动力模型：通过建立湖水水动力学模型，研究湖水的流动速度、流向和水体混合过程等，分析湖泊的水循环机制，揭示湖泊中污染物的扩散和沉积规律，为湖泊的污染治理和流动状况预测提供依据。

3. 污染物传输模型：通过建立湖水中污染物（如有机物、重金属等）的传输模型，研究污染物在湖水中的输移和转化过程，预测污染物的浓度分布和扩散范围，为污染物的治理和防控提供科学依据。

4. 优化模型：通过建立湖水治理的优化模型，考虑不同的治理措施和投入成本，综合考虑湖水水质和环境效益，寻找最优的治理策略和方案，为湖泊的综合管理和保护提供决策支持。

以上只是湖水治理数学模型的一些常见内容，实际应用中还可以根据具体问题情况进行模型的选择和建立，以及对应的数学方法和算法的应用。

数学建模_湖水污染问题(1)

[(Z/120000) (2000/7.2 ) +C]•问题提出下图是一个容量为2000nm 的一个小湖的示意图，通过小河 A 水以0.12m 3 /s 的速度流入，以相同的流量湖水通过 B 流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有，毒性化学物质的容器倾翻，在图中X 点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9： 00事故得到控制，但数量不详的化学物质 Z 已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m 至2om 之间。

(1) 请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；(2) 估计湖水何时到达污染高峰；(3) 何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二. 模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三. 问题分析分析：湖水在时间t 时污染程度，可用污染度 F (t )表示，即每立方米受污染的水中含有Fm 的化学污染物质和(1-F )m 的清洁水。

用分钟作为时间t 的单位。

在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Z /60 (m*min -1)，而排出湖外的污染物的速率是60*0.12F (m*min -1)。

因为每立方流走的水中含有 Fn ^的污染物, 3而湖水始终保持2000m 的容积不变。

四. 模型的建立湖水中含污染物的变化率二污染物流入量-污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/60-7.2FF(0)=0 ；2000F ' =Z/60-7.2F2000F ' +7.2F=Z/60F ' +7.2F/2000=Z/120000所以:P(t)=7.2/2000,Q(t)=Z/120000;厂 .y=湖水污染问题[]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F (t) = Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F (t)最大。

湖水污染问题的数学建模与求解

中国传媒大学2010学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。

在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。

并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的%（自然净化速率呈线性关系），%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至l，然后给出整改建议。

一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。

PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。

现已知：Pristine 湖的湖容量为1510L ，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。

PCA 公司声称河水污染浓度仅为L ，自工厂以来没有改变过。

讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；（2）以目前湖水污染浓度L ，和河水污染浓度L 为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀；（4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大；（5）湖内除Pure 河外，无其他污染源；符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ； ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。

数学建模作业

湖水的自我净化问题摘要MATLAB 求解出所求问题的结果。

即：污染源被切断后，440.4257天。

MATLAB 、动态分析一、问题重述某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。

r （单位：m 3/天）。

试建立求污染物浓5176*10^9（m 3）,湖水的流量3%所需的时间。

二、模型假设三、变量说明/天）；；四、问题分析dt 时间内，通过建立数学建模湖水的自我净化问题五、模型的建立与求解在任意t时刻，湖水中污染物的排出量为p(t)= (1）由于在dt时间内被污染的湖水排出的体积为rdt，则dt时间内排出的污染物的量为，所以在[0,t]时间段内，湖水中污染物的排出量为p(t)= (2）所以由（1）（2）得等式：=;对等式两边求导可得： (3）对等式(3)：运用MATLAB进行求解（详细程序见附件中程序1）可得 (4）则切断污染源后，污染物浓度下降至原来的a%有：（即： (5)对等式（5）两边求对数得等式：即： (6)故当，,时，进而利用MATLAB求解（详细程序见附件中程序2）可得切断污染源后，污染物下降至原来的3%所需时间t=440.4257 (天)六、模型结果的分析与检验通过分析，建立的模型表达式为关于时间t的呈负指数增长的模型，即随着时间t的增大，污染物浓度逐渐减小，且，即：时，（。

令，并把本题已知数据，，代入模型表达式。

运用MATLAB 可以画出模型表达式的图形（详细程序见附件中程序3），可得湖水污染物浓度与时间的关系图图象显示了随着时间的增长，湖水污染物浓度逐渐减小。

在现实生活中，当污染源被切断后，湖水在逐渐进行自我净化（污染物的逐渐分解、被污染的湖水流出），所以湖水中污染物的浓度逐渐减小。

即：经过分析，所建立的模型符合实际情况。

七、模型的推广与改进方向从建立的模型可以看出，本题是一个特例，只考虑了污染源被切断的情况，而实际问题中大多是污染源未被切断的问题。

我们可以将该模型推广到未被切断污染源的情况下，同样是运用微分方程等来研究污染浓度随时间变化的动态关系。

数学建模湖水污染问题

湖水污染问题1121943 刘烁1121940 庄静1121946 刘蔚[摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。

所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。

湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。

通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。

通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。

下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

湖水污染模型

精品湖水污染模型1．问题重述Pure 河是流入 Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA 将未经处理的废水排入河中，导致了Pristine湖被污染，PCA声称：已排放的废水标准多年从未改变且不会对湖的环境产生影响。

已知：Pristine 湖容量为 1015L ，流入（流出）的水流速度为 1.9 × 1014L/年。

PCA 声称河污染浓度仅为 0.001mol/L，自工厂开工以来没有改变过。

(1) 在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型，用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

(2)派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为 0.03mol/L ，再测得河水污染浓度为 0.05mol/L 。

在这样的状况下湖的污染程度又将如何变化？(3)假设你是环保局所聘请的高级顾问，在仅考虑湖水自然净化（净化指标为污染浓度不超过 0.001mol/L ）的情况下，为保护环境，对 PCA 提出整改建议。

2．问题分析2.1 问题（ 1 ）分析要想知道湖水的环境是否会恶化，就要知道湖每年流进的污染物浓度以及流出的污染物浓度，由这些数据后就可以算出湖每一年的污染情况，从而判断湖的水环境是否会恶化。

2.2 问题（ 2 ）分析要想湖的污染程度又将如何变化，就要通过题目中给的数据与湖水每一年的污染物浓度建立合适的关系，从中推算出湖水每一年的污染情况，找到湖水的变化趋势。

2.3 问题（ 3 ）分析为了保护环境，是湖水自然净化，最直接的办法就是让PCA 公司停止排放污染物质，但是如果让PCA 公司停止排放，那么 PCA 公司就要停产，这是不符合实际的，而且无法实现。

要想使湖水达到标准，除了让PCA 公司停止排放污染物质外还可以是它减少排放量，这样也可以使湖水净化到合理标准。

3. 模型假设假设 1 湖水与河水流量常年不变。

假设 2 忽略降雨、蒸发等其它因素对湖水容量的影响。

水环境数学模型

过水断面污染物输移率
FA u C A Q C
• 断面A上污染物输移率为断面平均流速
和平均浓度及断面面积乘积。
分子扩散作用输移
– 扩散是由于物理量在空间上存在梯度使之在空间上趋于均化的物质迁移现象。
– 分子扩散：水中污染物由于分子的无规则运动，从高浓度区向低浓度区的运动过程。
– Fick 第一定律：分子扩散质量通量与扩散物质的浓度梯度成正比。
根据被模拟水质的物理、化学、生物变化规律，建立反映模拟物质与其它因素间相互联系的模型结构；
率定模型参数；模型检验；
水文循环中水的污染与自净
• 水循环：水的三态转换； • 自净的三化过程：物理、化学、生物过程；
– 物理净化：污染物在水体中混合、稀释、沉淀、吸附、凝聚、向大气挥发和病菌死亡等物理作用过程；
I
1 x
Em
C x
,
I
1 y
Em
C y
,
I
1 z
Em
C z
– 式中: I 分别表示 x ，y ，z方向上的污染物扩散通量； Em 为分子扩散系数m2/s，C是时均浓度。
紊动扩散作用输移
– 湍流扩散：湍流流场中质点的瞬时值相对于平均值的随机脉动导致的分散现象。
Ix2
Ex
C x
,
Iy2
Ey
C y
,
Iz2
,
I y3
Dy
C y
,
Iz3
Dz
C z
– 式中， I表示 x ， y ， z 方向上由湍流扩散引起的污染物扩散通量； D 为离散系数；C 为环境介质中的污染物的时间平均浓度。
– 湍流扩散和弥散的引进是为了弥补在实际计算中采用时间和空间平均值而引起的误差。