数学建模--湖水的自我净化问题

湖水的自我净化问题

摘要

本题是一容积为V的大湖受到某种物质污染，从某时刻起污染源被切断，湖水开始更新，更新速率为r，建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型问题。解决本问题需要用到微元法的思想，也就是在很小的时间内流出的湖水污染物浓度不变，然后利用湖水污染物的变化量等于流出湖水的污染量建立等式关系，对该等式求导后得出一个微分方程，利用Matlab中dsolve函数解该微分方程，求得污染物浓度下降至原来的3%所需时间为440.4天。本模型涉及到解微分方程，所以模型的应用很广泛，可以应用到动态分析问题中，利用该模型可以解决大量实际生活和生产问题。

关键词：微元法；微分方程；动态分析；Matlab

一、问题重述

1.1背景资料与条件

有一容积为V （单位：3

m ）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r （单位：3/m d ）。试建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型。

1.2需要解决的问题

在湖的容积为35.176*10^12()m ，湖水更新速率为34.121*10^10(/)m d 的条件下，求污染终止后，污染物下降到原来的3%所需的时间。 二、基本假设

2.1模型的假设

1) 假设一：湖水保持体积V 不变。

2) 假设二：污染物始终均匀的分布在湖中。（假设合理性见背景资料与条件。）

3) 假设三：在很小的时间内污染物浓度不变。（微元法思想）

2.2本文引用数据、资料均真实可靠。

三、符号说明

3.1模型的符号说明

A:():w t t 时刻湖区的污染物浓度。

B:(0):w 表示初始时刻湖中水的污染浓度。

C: t 为污染源切断后湖水更新的时间(单位：天)。

四、模型的建立与求解

4.1模型的建立

从开始到t 天内湖水含污染物改变量为：

(0)()Vw Vw t -

由于流入湖中的水没有污染物，所以t 天内更新流出污染物量为：

0()t

w t rdt ⎰ 利用湖水污染物的变化量=流出湖水的污染量得：

0(0)()()t

Vw Vw t w t rdt -=⎰ 对t 求导得微分方程为：

r t w dt

t Vdw )()(-=, 变换后可得：

()()dw t w t r dt V

-=， 然后利用Matlab 中dsolve 函数求解微分方程，代入()3%(0)w t w =求得时间t 。

4.2模型的概述

本题是利用微元法的思想，通过利用湖水污染物的变化量等于流出湖水的污染量列出等式，然后求导变成微分方程，接着通过Matlab 中dsolve 函数求解微分方程，最后通过代入条件求得时间t 。

4.3模型的运用与求解

由0(0)()()t Vw Vw t w t rdt -=⎰对t 求导后得V

r t w dt t dw )()(-=,再利用Matlab 中dsolve 函数求解此微分方程，Matlab 运行后得t)/V)*C2/exp((r = w ，在Matlab 中编写程序求解t ，代入条件求得结果，对湖水的自我净化过程作图（如图1）（程序见附录）。

01002003004005006007008009001000

010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

图1

其中横坐标为时间t （单位：天），纵坐标为)(t w 关于)0(w 的百分比。红色星号表示污染浓度降到原来的%3时的点。从图中可以看出湖水自我净化速率呈下降趋势。

4.4模型的结果

将10^10

V=代入得440.4257

=

t，保留一位小数后求得

5.176

*

*

4.121

r=，10^12

t=。即污染物浓度下降至原来的3%需要的时间为4.

440天。

440.4

五、模型的分析

5.1假设的合理性分析

如果湖水体积变化，那么题目就没法做了，因此这个假设是必要的且是合理的。污染物始终均匀的分布在湖中，题目条件中已给出，所以此假设合理可靠。在很小的时间内污染物浓度不变，这是利用微元法的思想，故假设的合理性毋庸置疑。

5.2模型的误差分析

本模型的误差主要在数字的处理上，即保留几位的问题上，也就是说存在舍入误差，本题在最后结果中保留了一位小数。

六、模型的检验

由于实际数据不好求得，所以用模型计算求得的数据不好与实际数据进行比对，故也就计算不了误差大小。但本模型对所取得数据精度不同，产生的结果也就不同。根据模型的分析得本模型误差产生的原因主要是数据精度，其它因素影响很小，在本题中我所取的精度所得出的结果产生的误差在模型估计和实际许可的范围之内。

七、模型的推广

由于我的模型利用的是微分方程，因为微分方程常用于动态分析，可以用于解决动态分析问题，所以我的模型可以应用的场合非常多。除了适用于本题湖水的自我净化问题这样的问题外，我还可以利用实时监测将模型应用到其它的模型中（如海洋石油泄漏、水污染等），对于无源模型（如切尔诺贝利核泄漏事故），我可以通过某一时刻的初值来做到今后每一时刻的实时预报，以降低风险，确保人员的安全。而且，这一模型甚至还可以用在社会活动中，比如公共场所的应急安全分析可以将大量人群套用成无源场的模型，从而为人员疏散和逃生提供指导。

总而言之，只要是涉及到动态分析的问题都可以引用本模型解决，所以本模型的应用很广泛也很有用。进一步说数学并不是枯燥无味的也不是简简单单的数字而已，数学可以通过数学建模解决很多实际生活和生产问题，所以说数学很重要，学好数学就更有必要了。

八、模型的评价与优化

8.1模型的评价

本模型简单实用，可以解决大量动态分析问题，在实际生活和生产中有着重要作用，很多实际问题都要用到这个模型。模型的建立很简单，模型的求解也比较容易，但该模型的作用却很大。

8.2模型的优缺点分析

8.2.1模型的优点

利用微元法的思想建立模型，模型是一个微分方程，而微分方程是用来解决动态分析的，所以模型的应用很广泛且很有意义。本模型可以应用到实时监测中，还可以应用到公共场所的应急安全分析。